Введение к работе
АКТУАЛЬНОСТЬ ТЕШ. Во многих задачах теории вероятностей вакно иметь условия гладкости (и даже просто существования) плотности распределения Ff~1 случайной величины 1:П —» К определенной на вероятностном пространстве (0,3,Р). Значительный прогресс в нахождении подобного типа достаточных условий в последнее время связан с появлением так называемого стохастического вариационного исчисления, часто именуемого также исчислением Маллявена . С помощью этого исчисления поставленная задача была успешно решена для образов гауссовских мер под действием винеровских функционалов, в частности, для распределений функционалов, заданных на траекториях диффузионных процессов. Имеются работы, в которых аналогичными методами исследуются распределения функционалов от локально безгранично делимых процессов, когда кроме гауссовской компоненты имеется и вторая, "скачкообразная", представляющая собой стохастический интеграл по некоторой пуассоновской случайной мере. Другим направлением исследований в этой области является изучение образов мер в бесконечномерных пространствах под действием гладких отображений. Относительно исходных мер уяв' не требуется, чтобы они были гауссовскими, предполагается лишь, что они обладают определенной степенью гладкости. Важно отметить, что изучение свойств распределений образов гауссовских или, более общим образом, дифференцируемых мер под действием гладких отображений основано на глубоко развитом математическом анализе в бесконечномерных линейных пространствах (а именно они являются наиболее естественными вероятностными пространствами для задания гауссовских случайных величин), в частности, на теории
абстрактных винеровских пространств . Дяа "скачкообразной"
компоненти безгранично дэлзшх распределений такаэ имеется
естественное вероятностное пространство - пространство точечных
конфигураций с шро2, отввчащай некоторой пуассоновской
случайной мэра. В отличш от случая линэйвнх пространств,
сколько-нибудь глубоко развитое дифференциальное исчисление на
пространстве конфигураций, приспособленное к решению
вероятностных задач, длительное вреия отсутствовало. Настоящая
работа в определенной степени призвана еоспсжэть этот пробел.
ЦЕЛЬ РАБОТЫ состоит:
1 .в построении удобного для вароятностннх пршюЕенкй аппарата
даффорэнцнального исчисления на пространства конфигураций с
пуассоновской марой;
2.в изучении геометрии пространства конфигурации, в том числе, в
введении и изучении поверхностей конечной коразмерности и
поверхностных кар на них, нахоадэтш вовиокгаго аналога формулы
Гаусса-Остроградского;
З.в использованиин построенного аппарата дифференциального
исчисления для получения условна гладкости распределения
стохастических функционалов, в частности, функционалов от
банаховозначвнх устойчивых векторов.
4.в построении асимптотического разлогения для распределения
гладкого однородного фунционала от строго устойчивого вектора в
банаховом пространстве с показателем устойчивости, мзньшим
единицы.
МЕТОДИКА ИССЛЕДОВАНИЯ В первых трех главах диссертации
использованы обычные датоды математического анализа. Для
получения условии гладкости распределении стохастических
функционалов кроме аппарата дифференциального нечисления пз
пространстве конфигураций используется еще разработанный в главе
4 диссертации метод дифференциальных операторов. В главе 5
диссертации, посшсуэнноЯ асЕштотачесісш разлогэниям распределений однородных функционалов от строго устойчивых случайных векторов, кїі предлагаем щпнцишально новый подход к получению разложений такого типа (обычно в таких случаях используют метод характеристических функций), основанный на представлении устойчивой величины стохастическим интегралом по пуассоновской случайной мере н на разлогении распределения этой случайной мэры, члэш которого оказываются приспособленными к выделению отдельных слагаемых асимптотика.
НАУЧНАЯ НОВИЗНА Усе вопрос о том, что значит продифферэнщфовать функцию, определенную на множестве точечных конфигураций, является вполне содержательным. В главе 2 диссертации вводится достаточно простое и наглядное понятие гладкости функций, на пространстве конфигураций в if, превращающее это пространство конфигураций в бесконечномерное многообразие. Для этого многообразия стандартный образом определяются и другие традиционные структуры: касательные пространства, Евкторные поля, гладкие поверхности. Поскольку на пространстве конфигураций кроме дифференциальной структуры имеется еце и мера (распределение некоторой пуассоновской случайной меры), на гладких поверхностях (подмногообразиях конечной коразмерности) оказывается возмовным ввести поверхностные меры и доказать аналог формулы Гаусса -Остроградского, имеющую классический вид. Тем самым в определенном смысле пространство конфигураций неожиданно оказывается устроенным дан» проще, чем бесконечномерное линейное пространство, где в фордулу Гаусса - Остроградского обязательно входит еще дополнительный член, содержаний производную меры.
В главах 3 и 4 диссертации разработанная теория применяется к изучению свойств распределений стохастических функционалов, в частности, гладких функций от .бесконечномерных устойчивых векторов, для которых выводятся условия существования плотности фиксированной гладкости и ограниченности плотности и ее производных.
В главе 5 для некоторого вакнсго и интересного класса мер в пространстве конфигураций строится разложение их в бесконечную сумму линейных функционалов (в определенном отношении напоминающее разложение Ито - Фока ) и с его помощью выводится асимптотическое разложение функции распределения (и ее производных ) гладкого однородного функционала от строго устойчивого случайного вектора с показателем устойчивости меньше единицы.
ПРАКТИЧЕСКАЯ ЦЕННОСТЬ. Развитый в диссертации аппарат дифференциального исчисления на пространстве конфигураций с пуассоновской мерой расширяет известные представления с свойствах бесконечномерных вероятностных распределений. Е частности, доказано существование бесконечномерного аналоге классической (без дополнительного члена) формулы Гаусса -Остроградского. Результаты работы могут быть использованы до изучения свойств распределений стохастических функционалов. Полученные в работе конкретные результаты о свойства* функционалов от бесконечномерных, устойчивых векторов могут, I свою очередь, быть использованы для оценки скорости СХОДИМОСТИ I предельных теоремах теории вероятностей.
АПРОБАЦИЯ РАБОТЫ. Основные результаты диссертации докладавалисі на международных конференциях в Вильнюсе (1985,1989,1993), Киев(
(1991), в Международном математическом институте имени Эйлера в Санкт-Петербурге (1993), а также на семинарах в Киеве (КГУ, Институт математики АН УССР), Москве (МГУ, МИАН) и
Санкт-Петербурге (ЛСШ).
ПУБЛИКАЦИИ. По теме диссертации опубликовано 10 работ, список
приводится в конце автореферата.
СТРУКТУРА ДИССЕРТАЦИИ Диссертация состоит из введения и пяти глав. Список литературы содержит 86 наименований. Общий объем работы 222 - машинописных страницы.
Похожие диссертации на Дифференциальное исчисление на пространстве конфигураций и его применения в задачах теории вероятностей
