Содержание к диссертации
Введение
1 Об экстремальном индексе прореженного процесса авторегрессии . 17
1.1 Введение 17
1.2 Проверка условия Лидбеттера 22
1.3 Предельная теорема для максимума равномерного АР1(1)-процесса в условиях случайного прореживания 24
2 Теорема Лидбеттера для совместного распределения максимумов в условиях случайного прореживания . 31
2.1 Постановка задачи 31
2.2 Вспомогательные леммы 33
2.3 Предельная теорема для совместного максимума 38
3 Стационарный временной ряд при близкой нестационарной альтернативе: локально асимптотическое распределение отношения правдоподобия . 46
3.1 Постановка задачи и основные результаты 46
3.2 Доказательство Теоремы 51
3.3 Доказательство леммы о сходимости накопленных сумм к стохастическому интегралу 56
Литература. 59
- Проверка условия Лидбеттера
- Вспомогательные леммы
- Предельная теорема для совместного максимума
- Доказательство Теоремы
Введение к работе
Настоящая работа является диссертацией на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук и состоит из трех глав. Первая и вторая главы посвящены исследованию экстремальных значений стационарных временных рядов в условиях случайного прореживания.
Если (2) справедливо для некоторых последовательностей {ап 0} и {&„}, то говорят, что F принадлежит области притяжения распределения G и пишут F Є D{G). Известны критерии, дающие необходимые и достаточные условия принадлежности F области притяжения того или иного экстремального типа. Однако есть некоторые F, для которых не существует распределения G, такого что F Є D(G). В этом случае мы может утверждать, что максимум М„ не обладает предельной функцией распределения в условиях линейной нормировки (в качестве примера можно рассмотреть пуассоновскую функцию распределения).
На сегодняшний день классическая теория экстремальных значений полностью сформировалась и имеет множество важных приложений (см. например [17]).
В более поздний период, начиная с работ Ватсона (G.S.Watson), Бер-мана (S.M.Berman), Лойнеса (R.M.Loynes) и Крамера (Н.Cramer), возник интерес к расширению классической теории, сперва на случай зависимых последовательностей случайных величин, а затем и на стационарные процессы с непрерывным временем. Развитие пошло в двух направлениях — расширение общей теории на некоторые типы зависимых последовательностей (Ватсон и Лойнес) и создание подробной теории для стационарных последовательностей (Берман, Лидбеттер) и для гауссовских процессов с непрерывным временем (Крамер).
Далее Лидбеттер, Лингрен (G.Lingren), Рутцен (H.Rootzen) в своей совместной работе [27] объединили эти два направления и сформулировали достаточно полную и общую теорию, включающую уже известные на тот момент результаты для стационарных гауссовских последовательностей и про цсссов. В частности, Лидбеттер (см. [25],[26],[27]) расширил классическую теорию на случай стационарных последовательностей (а также на некоторые важные нестационарные случаи), использовав необходимые ограничения на зависимость между далеко отстоящими друг от друга элементами, таким образом, что классические предельные законы распределения остались в силе, как если бы элементы исходной последовательности являлись независимыми. При этом условие перемешивания, предложенное Лидбетте-ром значительно слабее, чем традиционные формы ограничения зависимости, например такие, как условие сильного перемешивания, впервые пред-ложеное М.Розенблаттом в 1956г. (см. [44]) для доказательства центральной предельной теоремы для "слабо зависящих" случайных величин.
Другим направлением является вычисление в в случаях, когда известна структура зависимости внутри последовательности случайных величин. К сожалению пока не найден аналитический метод нахождения в для произвольной стационарной последовательности; так что вычисление экстремального индекса для каждой отдельной стохастической модели воспринимается, как несомненная удача. Например Берман (Вегтап [6]) показал, что стационарная стандартная гауссовская последовательность {„} имеет 9 — 1, если для ковариационной функции тп = cov(i,n+i) справедливо r„Iogn — 0 при п — оо. Позже Рутцен (см.[42] ) вычислил в для некоторого класса скользящих средних от устойчивых процессов, В общем случае для стационарного процесса найдены различные представления в (см. [36] и [43]), которые удобны при работе с цепями Маркова, но тем не менее, тяжело трактуются с практической точки зрения. В работе [50] приводится численный метод определения в для стационарных марковских цепей &-того порядка.
Изучением стационарных процессов, наблюдаемых в случайные моменты времени занимался, в частности, Мэсри (E.Masry). Им были получены интересные результаты, касающиеся статистических свойств некоторых непараметрических оценок совместной плотности (см.[30]), спектральной плотности (см.[31]) и ковариации (см.[32]). Идея изучения поведения экстремумов случайных процессов в условиях прореживания принадлежит В.И.Питербаргу. Некоторые результаты по гауссовским процессам получены в [41].
В первой и второй главах автор использует перемешивание по Лидбет теру для получения некоторых результатов в условиях прореживания исходной последовательности.
В первой главе исследуется поведение экстремальных значений семейства стационарных процессов авторегрессии с равномерной маргинальной функцией распределения в условиях, как случайного, так и детерминированного прореживания.
Основной результат третьей главы устанавливает, что в случае произвольного маргинального распределения инновационного шума { }, и даже при наличии авто регрессионных зависимостей в этом шуме, результат аналогичен - предел отношения правдоподобия в вышеприведенной задаче существует и представляет собой сумму стохастических интегралов.
Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю доктору физ.-мат. наук, профессору В.И.Питсрбаргу за постановки задач и помощь в работе.
Основные результаты диссертации опубликованы в [52], [53] и [51].
Проверка условия Лидбеттера
Лемма 1 Равномерный процесс авторегрессии удовлетворяет условию D(u с коэффициентом перемешивания alh( = тт(х/п,р11(1 - р)) для любого фиксированного х О, где ип = 1 — (х/п), а р = 1/г 1, Доказательство. {Хп} является ассоциированной случайной последовательностью, поскольку к справедливо следующее утверждение: при п — со для любого х 0, где 9 = 1 — Er il, A = \/Et\. Доказательство. Для т п рассмотрим следующие вероятности Далее, зафиксируем моменты времени {т„,}, то есть рассмотрим фиксированную траекторию {тт = гш(о;о)}, следовательно фиксируются {tm} и {jjm = l/rfm}. Из (1.1) следует, что Р(Стп = s/rtm) l/ritn, для любого 5,0 s rtm — 1. Используя формулу полной вероятности и распределение ошибок {Cm}, мы можем переписать второй член разности (1.11) в виде где второе слагаемое обращается в ноль, как только rimx/n 1, а первое слагаемое равно для любого целого г, такого что 1 г j — tm, где j = jn целое число, вычисляемое из соотношения 1 — г (х/п) 0 1 — ri+1(x/n). В свою очередь, пусть целое dn определяется из неравенств т п j„ т д+1. Тогда, мы видим, что dn — оо a dn = о(п) при п — оо. Заметим, что равенство (1.13) справедливо, в частности, для = тт — тт, то есть, Рекурсивные формулы (1.12) и (1.14) позволяют нам вычислить P{M dn 1 — х/п). Повторное применение (1-12) и (1.14) начиная с т = dn дает Теперь заметим, что равенство (1.15) верно для любой фиксированной траектории {tm}. Следовательно, мы можем проинтегрировать (1.15) по пространству всех действительных последовательностей с мерой, соответствующей функции распределения Т. Имеем: Из следствия 1 вытекает, что для случайной последовательности {Yn} и соответствующих dn, кп и а„д выполняются условия леммы ней применима теорема 1 из [10]. Следовательно Используя свойство марковости последовательности {Хп}, мы преобразуем первый член в квадратных скобках (1.2), который будет равен где новые остатки С -ЇР = Xjt — Р?г грХір не зависят от Xjp,l t q. Аналогично, второй член в квадратных скобках (L2) можно переписать в виде что и дает нам утверждение леммы. Следствие 1 Случайная подпоследовательность {Yn} также удовлетворяет условию D(un), где {ип} и anj из леммы 1. Доказательство. Данное следствие доказывается совершенно аналогично лемме 1 с заменой г"і,...,гр,Іі,...,І? на г ,.,., г,р,гуп ..., г соответственно. Замечание: Несложные вычисления показывают, что т.е. условие D (u„) не верно для {Х„} и мы не можем применить теорему 1. 1.3 Предельная теорема для максимума равномерного АК(і)-процесса в условиях случайного прореживания. 0 существует, тогда и только тогда, когда для любого х 0, при п — со, где A = X/Eti. Доказательство. Обозначим h — hn — гаах{/ : Т{ п}. Оценим модуль разности Последнее выражение не превосходит суммы Первое слагаемое оценим как Воспользовавшись формулой полной вероятности, перепишем второе слагаемое (1.6) в виде Заметим, что согласно усиленному закону больших чисел случайная величина hn/n —У А почти наверное при п — оо, а поскольку Ehnjn — А, то и сходимость в L1 имеет место.
Отсюда, а также из (1.7) и (1.8) видно, что разность (1.5) сколь угодно мала при достаточно больших п и утверждение леммы верно. Доказательство основного результата этой главы будет существенным образом опираться на следующую лемму из [26]: Лемма 3 Пусть {м„} — числовая последовательность, и условие D(un) справедливо для некоторой стационарной последовательности {п}. Пусть также Мп = гаах, „ ,-, а {кп} — последовательность натуральных чисел, такая что кп = о(п), и для {ln}, {njn}, использовавшихся в определении D{un), выполняется knln = о{п), knanin - 0. Тогда Сформулируем основное утверждение: Теорема 2 Пусть {Хп} - равномерный процесс авторегресси и Мп maxr. „ Хп. Тогда справедливо следующее утверждение: при п — со для любого х 0, где 9 = 1 — Er il, A = \/Et\. Доказательство. Для т п рассмотрим следующие вероятности Далее, зафиксируем моменты времени {т„,}, то есть рассмотрим фиксированную траекторию {тт = гш(о;о)}, следовательно фиксируются {tm} и {jjm = l/rfm}. Из (1.1) следует, что Р(Стп = s/rtm) l/ritn, для любого 5,0 s rtm — 1. Используя формулу полной вероятности и распределение ошибок {Cm}, мы можем переписать второй член разности (1.11) в виде где второе слагаемое обращается в ноль, как только rimx/n 1, а первое слагаемое равно для любого целого г, такого что 1 г j — tm, где j = jn целое число, вычисляемое из соотношения 1 — г (х/п) 0 1 — ri+1(x/n). В свою очередь, пусть целое dn определяется из неравенств т п j„ т д+1. Тогда, мы видим, что dn — оо a dn = о(п) при п — оо. Заметим, что равенство (1.13) справедливо, в частности, для = тт — тт, то есть, Рекурсивные формулы (1.12) и (1.14) позволяют нам вычислить P{M dn 1 — х/п). Повторное применение (1-12) и (1.14) начиная с т = dn дает Теперь заметим, что равенство (1.15) верно для любой фиксированной траектории {tm}. Следовательно, мы можем проинтегрировать (1.15) по пространству всех действительных последовательностей с мерой, соответствующей функции распределения Т. Имеем: Из следствия 1 вытекает, что для случайной последовательности {Yn} и соответствующих dn, кп и а„д выполняются условия леммы 3 (достаточно выбрать 1п — o(dn)). Возводя левую и правую часть (1.16) в степень кп, переходя к пределу по п — оо и применяя к левой части (1.16) лемму 3, мы получаем, что
Вспомогательные леммы
Идея изучения поведения экстремумов случайных процессов в условиях прореживания принадлежит В. И. Питербаргу. В [41] была выведена асимптотика совместного распределения экстремальных значений гауссовского стационарного процесса по непрерывному и дискретному времени относительно друг Друга. Обозначим Мп = тах{,- гI п, і $. {TJ),J Є N}. Для доказательства главного результат настоящей главы нам понадобятся две леммы: Лемма 4 Пусть {ад } и {и } - числовые последовательности, такие что выполняются условия (2.1) и (2.2), и условие 2(« ,«п) справедливо для {„}. Пусть также последовательность натуральных чисел {кп} такова, что верпы соотношения Тогда Доказательство. Приведенное ниже доказательство основано на поочередном группировании случайных величин {„} в "большие" и "малые" блоки. При этом максимумы по "большим" блокам оказываются асимптотически независимыми, в то время как доля элементов "малых" блоков в общем числе наблюдений достаточно быстро убывает с ростом п. Эта идея была реализована Лидбеттером (см. [25] и [26]) для получения аналогичного данной лемме результата отдельно для тах, „ „. Итак, пусть {/„} из определения условия ?2(«J,,« ). Разобьем набор чисел {1,...,п} иа непересекающиеся интервалы: Теперь поочередно оценим каждое из слагаемых в (2.5). Имеем при п — оо по условию (2.3). С Л/ поступим похожим образом при n — оо по условию (2.3). Осталось оценить второе слагаемое в (2.5). Для простоты обозначим Тогда при rc — oo согласно условию (2.4). Итак, (2.6),(2.7) и (2.8) в совокупности дают нам утверждение леммы, а Следствие 5 Пусть {и } и {« } - числовые последоватпелъпости, такие что выполняются условия (2,1) и (2.2), и условия D(un) и D (un) справедливы для {«}, где ип = м Лм . Пусть также последовательность {&„}, такая что верны соотношения (2.3) и (2.4). Тогда Доказательство.
Следствие доказыв идея была реализована Лидбеттером (см. [25] и [26]) для получения аналогичного данной лемме результата отдельно для тах, „ „. Итак, пусть {/„} из определения условия ?2(«J,,« ). Разобьем набор чисел {1,...,п} иа непересекающиеся интервалы: Теперь поочередно оценим каждое из слагаемых в (2.5). Имеем при п — оо по условию (2.3). С Л/ поступим похожим образом при n — оо по условию (2.3). Осталось оценить второе слагаемое в (2.5). Для простоты обозначим Тогда при rc — oo согласно условию (2.4). Итак, (2.6),(2.7) и (2.8) в совокупности дают нам утверждение леммы, а Следствие 5 Пусть {и } и {« } - числовые последоватпелъпости, такие что выполняются условия (2,1) и (2.2), и условия D(un) и D (un) справедливы для {«}, где ип = м Лм . Пусть также последовательность {&„}, такая что верны соотношения (2.3) и (2.4). Тогда Доказательство. Следствие доказывается совершенно аналогично лемме 4 с заменой D{u\,u\) на условия D(uln) и D(u ) соответственно для (2.8) и (2.9). Лемма 5 Пусть {и„} и {и } - числовые последовательности, такие что выполняются условия (2.1) и (2.2), и условия D(un) и D (un) справедливы Заметим еще раз, что процесс {п} стационарный и условия D(un) и D {un) влекут выполнение условий D(u ) и D (u\), следовательно теорема Лидбеттера справедлива для {п} и а значит и при п — со. Далее, согласно следствию из леммы 4 имеем влечет за собой при n — со. Выделяя главный член в левой части (2.10), мы получаем первое утверждение леммы. Второе утверждение вытекает непосредственно из первого: В этом разделе мы формулируем и доказываем основной ается совершенно аналогично лемме 4 с заменой D{u\,u\) на условия D(uln) и D(u ) соответственно для (2.8) и (2.9). Лемма 5 Пусть {и„} и {и } - числовые последовательности, такие что выполняются условия (2.1) и (2.2), и условия D(un) и D (un) справедливы Заметим еще раз, что процесс {п} стационарный и условия D(un) и D {un) влекут выполнение условий D(u ) и D (u\), следовательно теорема Лидбеттера справедлива для {п} и а значит и при п — со. Далее, согласно следствию из леммы 4 имеем влечет за собой при n — со. Выделяя главный член в левой части (2.10), мы получаем первое утверждение леммы. Второе утверждение вытекает непосредственно из первого: В этом разделе мы формулируем и доказываем основной результат второй главы, а также приводим следствие, касающиеся авторегрессионной последовательности, определенной в первой главе. Теорема 3 Пусть {и }, {ul} - числовые последовательности, удовлетворяющие (2.1) и (2.2) соответственно. Предположим, что условия 2(«І,и D (u„) выполнены для стационарной в узком смысле последовательности {„}, где ип = и Л и\. Пусть также Мп = тахг „( , М„ = тахг. „ п. Тогда
Предельная теорема для совместного максимума
Доказательство. Приведенное ниже доказательство основано на поочередном группировании случайных величин {„} в "большие" и "малые" блоки. При этом максимумы по "большим" блокам оказываются асимптотически независимыми, в то время как доля элементов "малых" блоков в общем процесс {п} стационарный и условия D(un) и D {un) влекут выполнение условий D(u ) и D (u\), следовательно теорема Лидбеттера справедлива для {п} и а значит и при п — со. Далее, согласно следствию из леммы 4 имеем влечет за собой при n — со. Выделяя главный член в левой части (2.10), мы получаем первое утверждение леммы. Второе утверждение вытекает непосредственно из первого: В этом разделе мы формулируем и доказываем основной результат второй главы, а также приводим следствие, касающиеся авторегрессионной последовательности, определенной в первой главе. Теорема 3 Пусть {и }, {ul} - числовые последовательности, удовлетворяющие (2.1) и (2.2) соответственно. Предположим, что условия 2(«І,и D (u„) выполнены для стационарной в узком смысле последовательности {„}, где ип = и Л и\. Пусть также Мп = тахг „( , М„ = тахг. „ п. Тогда при п —) оо, г ?е (72 — 7і)+ = тах(72 — 7ь0) a A = l/Ety. Доказательство. Обозначим h — h„ = тах{г : г,- п}. Тогда Рассмотрим сначала случай, когда 71 72- Тогда из (2.1) и (2.2) видно, что ul и\ для всех п, больших некоторого по Є N. Следовательно для всех таких п. Применяя теорему Лидбеттера [25] к правой части (2Л2) получаем в пределе е-71 при п — оо, что дает нам (2.11) в случае 71 72-Пусть теперь 72 7ь Тогда, аналогично, для достаточно больших п справедливо и\ и\ и где Mn = max{& \i n,i {ти..., rh}}. Очевидно, что можно подобрать числа кп — оо, такие что условия (2.3) и (2.4) выполняются (достаточно положить кп — [ х / )] Л [(п/1п)1/2]). Используя такие к„, мы рассмотрим вероятность где dn = [п/к„]. Пользуясь разложением в ряд Тейлора при п - со, получаем, что правая часть (2.14) равна (2.15) В силу леммы 5 и при n — со. Используя стационарность {n}, проведем оценку третьего слагаемого в фигурных скобках (2.15): при n — оо согласно числе наблюдений достаточно быстро убывает с ростом п. Эта идея была реализована Лидбеттером (см. [25] и [26]) для получения аналогичного данной лемме результата отдельно для тах, „ „. Итак, пусть {/„} из определения условия ?2(«J,,« ). Разобьем набор чисел {1,...,п} иа непересекающиеся интервалы: Теперь поочередно оценим каждое из слагаемых в (2.5). Имеем при п — оо по условию (2.3). С Л/ поступим похожим образом при n — оо по условию (2.3). Осталось оценить второе слагаемое в (2.5). Для простоты обозначим
Тогда при rc — oo согласно условию (2.4). Итак, (2.6),(2.7) и (2.8) в совокупности дают нам утверждение леммы, а Следствие 5 Пусть {и } и {« } - числовые последоватпелъпости, такие что выполняются условия (2,1) и (2.2), и условия D(un) и D (un) справедливы для {«}, где ип = м Лм . Пусть также последовательность {&„}, такая что верны соотношения (2.3) и (2.4). Тогда Доказательство. Следствие доказывается совершенно аналогично лемме 4 с заменой D{u\,u\) на условия D(uln) и D(u ) соответственно для (2.8) и (2.9). Лемма 5 Пусть {и„} и {и } - числовые последовательности, такие что выполняются условия (2.1) и (2.2), и условия D(un) и D (un) справедливы Заметим еще раз, что процесс {п} стационарный и условия D(un) и D {un) влекут выполнение условий D(u ) и D (u\), следовательно теорема Лидбеттера справедлива для {п} и а значит и при п — со. Далее, согласно следствию из леммы 4 имеем влечет за собой при n — со. Выделяя главный член в левой части (2.10), мы получаем первое утверждение леммы. Второе утверждение вытекает непосредственно из первого: В этом разделе мы формулируем и доказываем основной результат второй главы, а также приводим следствие, касающиеся авторегрессионной последовательности, определенной в первой главе. Теорема 3 Пусть {и }, {ul} - числовые последовательности, удовлетворяющие (2.1) и (2.2) соответственно. Предположим, что условия 2(«І,и D (u„) выполнены для стационарной в узком смысле последовательности {„}, где ип = и Л и\. Пусть также Мп = тахг „( , М„ = тахг. „ п. Тогда при п —) оо, г ?е (72 — 7і)+ = тах(72 — 7ь0) a A = l/Ety. Доказательство. Обозначим h — h„ = тах{г : г,- п}. Тогда Рассмотрим сначала случай, когда 71 72- Тогда из (2.1) и (2.2) видно, что ul и\ для всех п, больших некоторого по Є N. Следовательно для всех таких п. Применяя теорему Лидбеттера [25] к правой части (2Л2) получаем в пределе е-71 при п — оо, что дает нам (2.11) в случае 71 72-Пусть теперь 72 7ь Тогда, аналогично, для достаточно больших п справедливо и\ и\ и где Mn = max{& \i n,i {ти..., rh}}. Очевидно, что можно подобрать числа кп — оо, такие что условия (2.3) и (2.4) выполняются (достаточно положить кп — [ х / )] Л [(п/1п)1/2]). Используя такие к„, мы рассмотрим вероятность где dn = [п/к„]. Пользуясь разложением в ряд Тейлора при п - со, получаем, что правая часть (2.14) равна (2.15) В силу леммы 5 и при n — со. Используя стационарность {n}, проведем оценку третьего слагаемого в фигурных скобках (2.15): при n — оо согласно условию D {u2n). Следовательно (2.15) влечет соотношение при n — со. После применения леммы 4 к левой части (2.16), мы получаем утверждение теоремы в случае 72 Ті Заметим, что в случае независимых наблюдений &, & — условия теоремы 3 очевидным образом выполняются и результат получается таким же, как и в (2.11).
Доказательство Теоремы
Переписывая уравнение (3.2) в виде выпишем отношение правдоподобия и преобразуем его в соответствии с линейным преобразованием, порожденным (3.G): Для произвольных положительных є и С имеем в условиях гипотезы Второе слагаемое в силу закона больших чисел для стационарных последовательностей авторегрессии стремится к нулю при Т — оо для любого положительно временного ряда et. Таким образом, из леммы следуег, что правая часть цепочки (3.10) растет не быстрее t. Итак, поскольку каждое слагаемое суммы (3.9) стремится к нулю при Т — со, и поскольку то имеет место мажорированная сходимость всей суммы к нулю. Изучим теперь поведение первого слагаемого в правой части (3.8). Заметим, что применим к последовательности лемму 6. Очевидно, для этой последовательности выполнены условия А1, D и А2. Имеем сходится при Т -} оо по распределениям к правому верхнему элементу матрицы является искомым квадратным корнем матрицы из (3.12). Здесь d = а21—1 — определитель матрицы из (3.12), a А г = (J+ о1 ± /(/ — ст2)2 + 4)/2 — её собственные значения. Рассмотрим наконец вторую сумму в правой части (3.8). Перепишем ее в виде 2Т2 то первый член в правой части стремится к нулю, поскольку его математическое ожидание равно нулю, а математическое ожидание модуля слагаемых в силу El и Е2 равномерно ограничены. Второй член сходится к интегралу Пусть п - целое положительное число, обозначим т — Т/п. Будем считать, что т также целое го С. Рассмотрим первое слагаемое. Имеем В силу условия E2 функция F(t) = Е#(е& — t) — д{єк)\ ограничена на каждом компакте, пусть Сі - константа, ограничивающая эту функцию на множестве 7 1 1 5: С- Обозначим через Tt а-алгебру, порожденную случайными величинами {es, s t}. Тогда интеграл под знаком суммы в (3.9) можно оценить следующим образом (3.10) Следующее утверждение легко следует из сходимости ряда корреляций стационарного процесса авторегрессии. Лемма 7 при t —Ь оо, где X(z) - спектральная плотность временного ряда et. Таким образом, из леммы следуег, что правая часть цепочки (3.10) растет не быстрее t. Итак, поскольку каждое слагаемое суммы (3.9) стремится к нулю при Т — со, и поскольку то имеет место мажорированная сходимость всей суммы к нулю. Изучим теперь поведение первого слагаемого в правой части (3.8). Заметим, что применим к последовательности лемму 6. Очевидно, для этой последовательности выполнены условия А1, D и А2. блять как я заебался делать эти образы когда напрочь текст отсутствует Имеем сходится при Т -} оо по распределениям к правому верхнему элементу матрицы является иском временного ряда et. Таким образом, из леммы следуег, что правая часть цепочки (3.10) растет не быстрее t. Итак, поскольку каждое слагаемое суммы (3.9) стремится к нулю при Т — со, и поскольку то имеет место мажорированная сходимость всей суммы к нулю. Изучим теперь поведение первого слагаемого в правой части (3.8). Заметим, что применим к последовательности лемму 6. Очевидно, для этой последовательности выполнены условия А1, D и А2. Имеем сходится при Т -} оо по распределениям к правому верхнему элементу матрицы является искомым квадратным корнем матрицы из (3.12). Здесь d = а21—1 — определитель матрицы из (3.12), a А г = (J+ о1 ± /(/ — ст2)2 + 4)/2 — её собственные значения. Рассмотрим наконец вторую сумму в правой части (3.8). Перепишем ее в виде 2Т2 то первый член в правой части стремится к нулю, поскольку его математическое ожидание равно нулю, а математическое ожидание модуля слагаемых в силу El и Е2 равномерно ограничены. Второй член сходится к интегралу Пусть п - целое положительное число, обозначим т — Т/п. Будем считать, что т также целое ым квадратным корнем матрицы из (3.12). Здесь d = а21—1 — определитель матрицы из (3.12), a А г = (J+ о1 ± /(/ — ст2)2 + 4)/2 — её собственные значения. Рассмотрим наконец вторую сумму в правой части (3.8). Перепишем ее в виде 2Т2 то первый член в правой части стремится к нулю, поскольку его математическое ожидание равно нулю, а математическое ожидание модуля слагаемых в силу El и Е2 равномерно ограничены. Второй член сходится к интегралу Пусть п - целое положительное число, обозначим т — Т/п. Будем считать, что т также целое число, мы далее увидим, что общность при этом не нарушается. Имеем Сначала оценим среднее и дисперсию компонент второй суммы в правой части (3.13). Имеем Поэтому в силу Al если T — oo. Теперь рассмотрим дисперсию (и, [л)-Й компоненты этой суммы. Ковариации См между между к-м и 1-й членами внешней суммы (по к ) в силу стационарности зависят только от разности к — I, используя это, имеем
Похожие диссертации на Некоторые статистические задачи теории временных рядов
