Многомерные когерентные меры риска и их применение к решению задач финансовой математики Куликов Александр Владимирович

Диссертация - 480 руб., доставка 10 минут, круглосуточно, без выходных и праздников

Автореферат - бесплатно, доставка 10 минут, круглосуточно, без выходных и праздников

Куликов Александр Владимирович. Многомерные когерентные меры риска и их применение к решению задач финансовой математики : диссертация ... кандидата физико-математических наук : 01.01.05 / Куликов Александр Владимирович; [Место защиты: Московский государственный университет].- Москва, 2009.- 136 с.: ил.

Содержание к диссертации

Введение

Глава 1. Определение многомерных когерентных и выпуклых мер риска 25

1.1. Основные определения 25

1.2. Теоремы о представлении 30

1.3. Экстремальные элементы 35

1.4. Примеры многомерных когерентных мер риска 37

1.5. Задача распределения капитала 41

1.6. Риск-вклад 51

1.7. Технические результаты 55

Глава 2. Ценообразование с использованием многомерных когерентных мер риска 58

2.1. Ценообразование 59

2.1.1. Основные определения 59

2.1.2. Ценообразование, основанное на многомерных когерентных функциях полезности 60

2.1.3. Основанное на RAROC ценообразование 64

2.2. Динамическая модель обменных курсов 67

2.3. Хеджирование с использованием NGD 71

2.3.1. Верхняя и нижняя цены вдоль направления 71

2.3.2. Хеджирование в одношаговой модели с использованием обмена валют 73

2.3.3. Различные способы для нахождения верхних и нижних цен, а также суб- и суперхеджирующих стратегий и их использование 81

Глава 3. Многомерные определения хвостового V@R и взвешенного V@ R 93

3.1. Определения 94

3.1.1. Многомерные когерентные меры риска 94

3.1.2. Различные определения V@R и хвостового V@R в многомерном случае 95

3.2. Примеры 103

3.2.1. Связь между различными обобщениями хвостового V@R 103

3.2.2. Случай случайного конуса 105

3.3. Согласованность с пространством 112

3.4. Различные обобщения взвешенного V@R 119

3.5. Инвариантность по распределению 124

3.6. Двумерный случай 128

Список литературы 130

Указатель обозначений 137

Указатель терминов 139

Примеры многомерных когерентных мер риска
Ценообразование, основанное на многомерных когерентных функциях полезности
Различные способы для нахождения верхних и нижних цен, а также суб- и суперхеджирующих стратегий и их использование
Различные определения V@R и хвостового V@R в многомерном случае

Введение к работе

1. Аксиомы когерентных и выпуклых мер риска. В работе [10] Ф. Артцнера, Ф. Делбаена, Ж.-М. Эбера и М. Хиса было введено понятие когерентной функции полезности.

Определение 1. когерентная функция полезности определяется

как функция и : L —> R, обладающая следующими свойствами:

(диверсификация) и(Х + Y) > и{Х) + u{Y);
(отношение частичного порядка) если X < Y, то и(Х) < u(Y);
(неотрицательная однородность) и{\Х) = Хи(Х) для любого А>0;
(инвариантность относительно сдвига) и(Х + т) = и(Х) + т для любого mGl;

(e) (свойство Фату) если \Х_п\ < с и Х_п —> X, то и{Х) > lim_n и(Х_п).
Соответствующая когерентная мера риска определяется как

р(Х) = -и{Х).

Класс когерентных мер риска был введен, чтобы устранить недостатки V@R (Value at Risk, "стоимость под риском") — меры, наиболее активно используемой на практике, но имеющей ряд недостатков (например, см. [Ю]).

Введение

когда в конечный момент времени все финансовые позиции ликвидируются, т. е. превращаются в некоторое количество единиц базового актива. Помимо когерентных функций полезности были рассмотрены вогнутые функции полезности (см. работы [17], [34], [37]).

Определение 2. вогнутая функция полезности определяется как функция и : Ь —» R, обладающая свойствами (b), (d), (е), а также свойством

(а') (вогнутость) и(аХ + (1 — a)Y) > аи(Х) + (1 — a)u(Y) для любого а Є [0,1].

Соответствующая выпуклая мера риска определяется как р(Х) = -и(Х).

Однако подход с использованием одномерных когерентных мер риска неудобен, например, при описании портфеля, состоящего из нескольких валют, когда нет единой "канонической" валюты, к которой должен приводиться портфель. В этом случае гораздо естественнее пользоваться подходом, предложенным Ю. М. Кабановым [50] (см. также [52]), при котором портфель описывается не как число, а как вектор, і-я компонента которого имеет смысл количества в портфеле активов г -го типа.

Если описывать портфели как векторы, то возникает необходимость рассмотрения многомерных мер риска. Понятие многомерной когерентной меры риска было введено в работе Э. Жуини, М. Меддеба, Н. Тузи [48] (см. также [20], [40]). Их подход нацелен на то, чтобы учесть операционные издержки при обмене одной валюты на другую. Однако в их модели операционные издержки являются неслучайными. Таким образом, не учитывается риск, связанный с изменением обменных курсов, являющийся на сегодняшний день одним из важнейших финансовых рисков.

В диссертации вводится понятие многомерных когерентных мер риска, учитывающее риск обменных курсов. Наш подход аналогичен под-

Введение

ходу [48], однако, в отличие от указанной работы, матрица обменных курсов считается случайной. Также рассматриваются и многомерные выпуклые меры риска. Пусть (Г2, Т', Р) — вероятностное пространство, К : Г2 —> /С — измеримое отображение, где /С — множество непустых замкнутых конусов С таких, что С ^ K^d, С + ffil! = С. С финансовой точки зрения, 7^ — конус обменных курсов в момент времени 1 для d различных валют (т. е. К (и) — множество портфелей, которые мы можем получить в момент времени 1 из нулевого при элементарном исходе и). Пусть С — множество непустых выпуклых замкнутых множеств на R^d, векторы X = (X^і,..., X^d) Є (L)^d имеют смысл портфелей в момент времени 1, т. е. Х^г — количество единиц г-й валюты в портфеле в момент времени 1. Зададим частичное отношение порядка на множестве портфелей по формуле: X < Y, если Х(и) — Y(u) Є К (си) для п.в. ш. Введем следующее определение.

Определение 3. (і) Многомерная когерентная функция полезности — функция и : (L)^d -> С \ {R^d}, удовлетворяющая следующим аксиомам:

(диверсификация) и(Х + Y) 2 и(Х) + u{Y);
(отношение частичного порядка) если X -< Y, то и(Х) С u{Y);
(положительная однородность) и(\Х) — Хи(Х) VA > 0;
(инвариантность относительно сдвига) и(Х + т) — и(Х) + т для любого т Є M.^d;

(e) (свойство Фату) если \\Х_п\\ < с и Х_п А X, то w(X) Э
lim_n w(X_n), т. е. если х принадлежит бесконечно многим и(Х_п), то
х принадлежит и(Х).

(ii) Многомерная вогнутая функция полезности — функция и : (L)^d —» С \ {R^d}, удовлетворяющая аксиомам (b), (d), (е) и аксиоме

(а') (вогнутость) и(аХ + (1 — a)Y) Э аи(Х) + (1 — a)u(Y) для любого а Є [О,1].

Введение

С финансовой точки зрения, и(Х) — множество неслучайных портфелей, которые "не лучше" портфеля X. Соответствующая многомерная когерентная (соответственно, выпуклая) мера риска определяется как р{Х) = —и(Х). С финансовой точки зрения, р(Х) — множество неслучайных портфелей х Є R^d, которые делают позицию X + х безрисковой.

Очевидно, что если и — одномерная когерентная (соответственно, вогнутая) функция полезности, то отображение v(X) = (~оо,и(Х)] будет многомерной когерентной (соответственно,, вогнутой) функцией полезности в смысле определения 3 с d = 1 и К {и) = R_. Обратно, если d — 1, К(ш) — R_ и и — когерентная (соответственно, вогнутая) функция полезности в смысле определения 3, то функция v(X) = sup{x Є R : x Є u(X)} является одномерной когерентной (соответственно, вогнутой) функцией полезности. Таким образом, данное выше определение является многомерным обобщением одномерного.

2. Представление когерентных и выпуклых мер риска. В

работе [11] Ф. Артцнер, Ф. Делбаен, Ж.-М. Эбер и М. Хис доказали базовую теорему о представлении когерентных функций полезности (теорема о представлении вогнутых функций полезности была доказана в работах [34], [37]).

Предложение 4. (і) Функция и : (L)^d —> R является когерентной функцией полезности тогда и только тогда, когда существует непустое множество V С V такое, что

и(Х) = inf E_QX,

где V = {Q : Q < P}.

(ii) Функция и : (L)^d —> R является вогнутой функцией полезности тогда и только тогда, когда существуют непустое множество

Введение

V С V и функция а : V —> R такие, что

и{Х)= inf (E_QX + a(Q)). (2)

В диссертации доказана следующая теорема о представлении для многомерных когерентных и вогнутых функций полезности.

Теорема 5. (і) Функция и : (L)^d — С является многомерной когерентной функцией полезности тогда и только тогда, когда существует непустое множество V С (L^l)^d такое, что для любого Z Є V выполнено свойство Z{u) Є К*{иі) Р-п.и. и

/ d d ч

u(X) = \х Є R^d : VZ Є X> ^ Ez'Z* < ^ ЕХ*^г' I, (3)

^ г=1 г=1 '

где X*(w) — отрицательная поляра к конусу К(ш), т. е. К*(и) = {х Є R^d : Vz Є К (и) (х, z) < 0} .

(гг,) Функция и : (L)^d —> С является многомерной вогнутой функцией полезности тогда и только тогда, когда существуют непустое множество V Q {L^l)^d такое, что для любого Z Є V выполнено свойство Z(u) Є К*{и) Р-п.н., и функция а : V —» Ж такие, что

⁽

d d >>

х Є R^d : VZ Є V ]Г ttZ¹ < ]Г ^ExiZ^l + ol{Z) \. (4)
г'=1 г'=1 ^

Поскольку во многих моделях, рассматриваемых в финансовой математике, активы не являются ограниченными случайными векторами, то следует расширить класс случайных векторов, для которых применима теория когерентных и выпуклых мер риска. А именно, используя представления (3) и (4), аналогично [5; п. 2.2] можно продолжить многомерные когерентные и вогнутые функции полезности на пространство (L)^d всех случайных векторов.

Введение

Определение 6. (і) Многомерная когерентная функция полезности на (L)^d — отображение и : (L)^d —> Си{0}, заданное следующим образом:

xel^d:V^eD^ Еж** < ]Г EX'Z* I.

г=1 г=1 ^

где X? — множество, состоящее из некоторых с?-мерных случайных векторов Z Є (Ь¹) таких, что Z(u) Є К*{ш) Р-п.н. Сумма J2ti ^EX*^ziпонимается следующим образом: EX^lZ^l = E(.X*Z*)⁺ — E{X^lZ^l)~ с соглашением: +со — со = —со, и если в общей сумме есть хоть одно слагаемое, равное —со, то вся сумма равна —со.

(ii) Многомерная вогнутая функция полезности на (L)^d — отображение и : (L)^d — С U {0}, заданное следующим образом:

d d -ч

xeR^d :Уг EV^2 ^Exizi ^ 5Z ^EX'^Z* + ^a(^Z) f > (⁶)
г=1 г=1 '

где X> — множество, состоящее из некоторых d -мерных случайных векторов Z Є {L¹^ таких, что Z(u) Є К*{ш) Р-п.н., а — отображение из V в R, a Y2 ^-X^lZ^l понимается таким же образом как и в пункте (і).

Видно, что множество Т> из представлений (3) и (5) не единственно. Однако существует наибольшее множество

d d >.

Z Є {L^l)^d : ^2 ^E^^Z* ^ X^ ^ЕХІ^ ^для ^любых ^X ^e i^L)^d,xe u{X) \.
i=l i=\ )

Также видно, что штрафная функция из представления (4) и (6) не единственна. Однако существует наименьшая из них

a{Z) = sup ^Ге(-Х^), xeA_u^t

где А_и = {X е {L)^d : и{Х) Э 0}.

Введение

Определение 7. (і) Назовем наибольшее множество, для которого выполнено (3) (соответственно, (5)), определяющим множеством для когерентной функции полезности и.

(іі) Назовем минимальную функцию, для которой выполнено (4) (соответственно, (6)), минимальной штрафной функцией для вогнутой функции полезности и.

Важное замечание. Пусть Т> — (L¹)^-замкнутый выпуклый конус. Определим многомерную когерентную функцию полезности по формуле (3) или (5). Тогда V будет определяющим множеством для и. Таким образом, если мы вводим многомерную когерентную функцию полезности посредством множества >, являющегося (L¹)^-замкнутым выпуклым конусом, то мы знаем определяющее множество этой многомерной когерентной функции полезности.

3. Экстремальные элементы. Теперь рассмотрим применение мер риска к задачам финансовой математики. При этом когерентные меры риска оказываются более удобными, чем выпуклые, поэтому будем иметь дело с многомерными когерентными функциями полезности, определенными на (L)^d.

Для решения некоторых задач с помощью многомерных когерентных функций полезности введем понятие экстремального элемента, которое в одномерном случае было предложено в [5].

Определение 8. Пусть и — многомерная когерентная функция полезности с определяющим множеством V. Пусть X Є (L)^d, X Є ди(Х), где ди(Х) — граница множества и(Х). Назовем ненулевой случайный вектор Z Є V экстремальным элементом для X в точке х для когерентной функции полезности и, если

d d

г=1 г=1

Введение

Множество всех экстремальных элементов для X в точке х обозначим через Хх>{Х,х).

Для следующей теоремы нам понадобится еще одно определение.

Определение 9. Пусть и — многомерная когерентная функция полезности на (L)^d, V — ее определяющее множество. Положим

^ г=1 ^

Тогда сильное L¹ -пространство, ассоциированное с и, задается следующим образом:

L](V) = \х Є (L)^d : lim sup ]Г Е|^Х<|/{ l^'l > n}= o).

В диссертации доказана следующая теорема.

Теорема 10. Если V П С слабо компактно, X Є L\{V) и х Є <9u(X), mo Л^Х, ж) ф 0 .

4. Распределение капитала и риск-вклад. Помимо задачи измерения собственного риска портфеля, важной является задача распределения риска между несколькими частями портфеля (например, распределение риска портфеля большой фирмы между портфелями различных отделов этой фирмы). В одномерном случае эта задача была введена в работе [30], а также рассматривалась в работах [5], [31], [33], [55], [61], [66]. Пусть Х_и...,Х_п Є L\{V), р -одномерная когерентная мера риска. Соответствующая когерентная функция полезности определяется как и = —р. С финансовой точки зрения, Хі — прибыль г-го отдела фирмы за единичный период времени.

Введение

Определение 11. Назовем х\,..., х_п Є Ж распределением капитала между Х\,..., X_n, если

0) Е?=і^жг = р(Е?=і^);

(іі) для любых hi,... h_n > О верно, что ЕГ=і ^і^і < р(Е7=і ^г^і),

С финансовой точки зрения, #$ — вклад г'-го отдела фирмы в общий риск фирмы, или, другими словами, капитал, который должен быть выделен г-й компоненте фирмы. Переформулируем задачу в терминах когерентной функции полезности.

Определение 12. Назовем х\,...,х_п 6 Ж распределением полезности между Х\,..., Х_п, если

О) ЕГ=і^жг = u{J2l=i^xi);

(іі) для любых /її,..., /г_п > 0 верно, что ЕГ=1 ^*^ч7;г — ^и(ЕГ=1 ^іХі).

В работе [5] доказана теорема, которая дает вероятностное решение задачи распределения полезности.

Предложение 13. (г) Пусть Х\,..., Х_п Є -^(D) ^w ^ сла^о ?ссш-пактно. Тогда существует набор (х\,..., ж„) такой, что

3QeX_v(Y^Xi) :x_k = E_QX_k, k =1,...,п.

i=l

Любой набор такого вида является распределением полезности меж-ду Хі,...,Х_п.

(И) Все решения задачи о распределении полезности между Х\,..., Х_п представляются в вышеуказанном виде.

В диссертация рассмотрена задача о распределении капитала в многомерном случае (см. определения 1.17, 1.18).

Используя понятие экстремального элемента и теорему о непустоте множества экстремальных элементов, в работе приводится геометрическое и вероятностное решения задачи распределения капитала (см. теорему 1.19).

Введение

Задача распределения риска тесно связана с проблемой определения риск-вклада (см. [5], [30]). Пусть Y — случайная величина, имеющая смысл прибыли за единицу времени некоторого портфеля, например, портфеля компании (т. е. Y — это разность между стоимостью портфеля в момент времени 1 и в момент времени 0). Пусть X имеет смысл прибыли некоторого другого портфеля. Пусть и — одномерная когерентная функция полезности. Вкладом полезности X в Y называется число

u^c{X;Y)= inf E_QX (7)

QeX_v{Y)

(см. [5; п.2.5]), где A-p(Y) — множество экстремальных элементов для Y для одномерной когерентной функции полезности и. Финансовый смысл этого выражения становится ясен из следующего соотношения, справедливого при некоторых интегральных ограничениях на X, Y:

и^с{Х] Y) = lim e-\u{Y + єХ) - u(Y)\ (8)

ej.0

(см. [5; п.2.5], [30]), которое неформально означает следующее: если X мала по сравнению с Y то и^с(Х; Y) « и(Х + У) — u(Y).

В данной работе вводится определение риск-вклада для многомерных когерентных мер риска. Полученные результаты являются многомерными аналогами одномерных результатов из [5] (см. определение 1.23 и теорему 1.24).

5. Ценообразование и хеджирование с использованием NGD. Одной из основных задач финансовой математики является нахождение справедливых цен платежных поручений. Основным результатом в этой области является фундаментальная теорема теории арбитража. В одномерном случае было введено условие отсутствия арбитража (NA) и доказана соответствующая теорема (см. работы [28], [42], [51]). Этот подход оправдан в том случае, когда имеется базовый актив, а стоимость портфеля выражается в единицах этого

Введение

базового актива. Однако в случае рынка валют с операционными издержками данный подход оказывается неудобным, так как нет базовой валюты, в которой выражается стоимость портфеля. В этом случае гораздо естественнее пользоваться многомерным NA подходом, предложенным Ю.М. Кабановым [50] и рассмотренным в работах [52], [53], [54], [62].

Уже в одномерном случае одной из главных задач современной финансовой математики является нахождение адекватных интервалов справедливых цен в неполных моделях. Известно, что интервал NA-справедливых цен является обычно слишком широким, поэтому появились новые подходы к ценообразованию, ставящие своей целью добиться сужения границ. Новый подход к ценообразованию (NGD (No Good Deals, отсутствие "хороших сделок")) был рассмотрен в работах [16], [26]. Поясним идею этого подхода. Рассмотрим платежное поручение, которое с вероятностью 1/2 ничего не приносит своему владельцу, а с вероятностью 1/2 приносит 1000 долларов. Тогда интервал NA-справедливых цен для данного платежного поручения будет (0,1000). Но если, например, цена такого платежного поручения будет 15 долларов, то каждый будет стремиться купить такое платежное поручение, и никто не будет стремиться его продать. Таким образом, 15 долларов будет нереалистичной ценой для данного платежного поручения, т. е. покупка ее будет являться "хорошей сделкой" для всех участников рынка. Техника NGD основана на том факте, что "хороших сделок" нет. В работах [5], [13], [18], [25], [27], [30], [46], [60], [64], [65] было рассмотрено условие NGD, основанное на одномерных когерентных мерах риска.

Пусть А — выпуклое замкнутое подмножество в L. С финансовой точки зрения, А — множество дисконтированных прибылей, которые могут быть получены в данной модели с помощью различных стра-

Введение

тегий. Это множество будет называться множеством достиэюимых прибылей.

Определение 14. Модель удовлетворяет условию NGD (No Good Deals), если не существует X є А такого, что и(Х) > 0.

В работе [21] было введено понятие риск-нейтральной меры.

Определение 15. Назовем риск-нейтральной мерой меру Q « Р такую, что EqX ^ 0 для любого X Є А.

Множество риск-нейтральных мер будем обозначать через 7Z или 7(А), если это важно подчеркнуть.

В работе [5] было доказано следующее предложение (в некоторых технических условиях).

Предложение 16. Модель удовлетворяет условию NGD тогда и только тогда, когда Т>Г\71 Ф" 0, где V — определяющее мноэюество для одномерной когерентной функции полезности и.

Перейдем к понятию справедливой цены для платежных поручений. Пусть F Є L — дисконтированная прибыль платежного поручения.

Определение 17. NGD-справедливой ценой для платежного поручения F назовем такое число х Є К, что расширенная модель (П, Т, Р, V, A + {h{F - х) : h Є R}) удовлетворяет условию NGD.

Интервал NGD-справедливых цен для платежного поручения F обозначим через Ingd(F) .

Следствие 18. Для F Є L\{V),

I_NGD{F) = {E_QX:QeVniZ}.

Введение

Целью этой части работы является введение условия NGD, доказательство теоремы об эквивалентности этого условия и введение множества справедливых цен для платежных поручений в многомерном случае. Для этого нам нужны многомерные когерентные меры риска. Предложенная нами техника является обобщением рассмотренной в работе [5], а множества справедливых цен оказываются меньше, чем при ценообразовании, использующим различные условия NA (см. [50], [52], [54], [62]).

Пусть определяющее множество V многомерной когерентной функции полезности и такое, что Т> П С — слабо компактно. Пусть А — выпуклое замкнутое подмножество в (L)^d. С финансовой точки зрения, А — множество дисконтированных прибылей, которые могут быть получены в данной модели с помощью различных стратегий, выраженных d-мерным случайным портфелем валют. Это множество будет называться множеством достиоісимих прибылей.

Предположим, что множество достижимых прибылей А является V-согласованным (см. определение 2.3). Это предположение автоматически выполняется для естественных моделей.

Теперь введем понятие риск-нейтрального вектора.

Определение 19. Назовем риск-нейтральным вектором ненулевой вектор Z Є {L^l₊)^d такой, что

Е Eti ^zixi < о для любого X Є А.

Множество риск-нейтральных векторов будем обозначать через ТІ или TZ(A), если это важно подчеркнуть.

Теперь введем условие отсутствия "хороших сделок" (NGD, No Good Deals).

Определение 20. Модель удовлетворяет условию NGD (No Good Deals), если не существует X Є А такого, что и{Х) П (R+ \ {0}) ф 0.

В диссертации доказана следующая теорема.

Введение

Теорема 21. Модель удовлетворяет условию NGD тогда и только тогда, когда V Г) 71 ф 0 .

Данные выше определение и теорема являются многомерными аналогами результатов, полученных в [5; п. 3.1]. В случае d = 1 они совпадают.

Перейдем к понятию справедливой цены для платежных поручений. Пусть F Є (L)^d — дисконтированная прибыль платежного поручения, выраженная d-мерным портфелем валют.

Определение 22. NGD-справедливой ценой для платежного поручения F назовем такой вектор х Є M^d, что расширенная модель (П, Т, Р, V, A + {h(F -x):heR}) удовлетворяет условию NGD.

Множество NGD-справедливых цен для платежного поручения F обозначим через Ingd{F)

Следствие 23. Для F Є L\{V)

Ingd{F) = {х : E(Z, х) = E(Z, F) для некоторого Z Є V П It].

Приведен пример применения техники NGD к динамической модели обменных курсов (см. параграф 2.2). Рассмотренный подход во многом аналогичен работам [50], [52], [54], [62], однако полученные нами результаты применимы не только в случае дискретного, но и в случае непрерывного времени. Множества справедливых цен оказываются меньше, при этом не требуется накладывать никакие технические условия типа замкнутости на множество стратегий А, как это было в указанных выше работах,

Также введены понятия верхних и нижних цен, суб- и суперхеджи-рующих стратегий вдоль направления (см. определение 2.19), доказаны теоремы об их нахождении (см. теоремы 2.20, 2.21, 2.27, 2.29), а также приведены примеры для их нахождения в некоторых моделях (см. примеры 2.23, 2.24, 2.28, 2.30).

Введение

6. Обобщение V@R, хвостового V@R, взвешенного V@R на многомерный случай, согласованность с пространством и инвариантность по распределению. В работе [10] был введен первый пример одномерной когерентной меры риска (худшее условное математическое ожидание (WCE)). Данная мера риска является первым когерентным аналогом V@R. В работе [11] был введен хвостовой V@R (называемый еще средним V@R или ожидаемым убытком). Эта когерентная мера риска совпадает с худшим условным математическим ожиданием при выполнении некоторых простых условий. Важность хвостового V@R видна из результата С. Кусуоки [58], который доказал, что хвостовой V@R является наименьшей инвариантной по распределению когерентной мерой риска, доминирующей V@R.

Описывая портфель как вектор и рассматривая многомерные меры риска, рассмотрим различные многомерные аналоги V@R, хвостового V@R, взвешенного V@R. Ранее в работах, где предлагались разные примеры многомерных мер риска, конус был неслучайным. Поэтому мы сначала рассматриваем обобщения на этот случай, а затем исследуем возможности определения меры и для случайного конуса. Оказывается, что естественные обобщения на случайный конус, с одной стороны, не всегда возможны, а с другой стороны, иногда можно предложить несколько обобщений.

Введение

ной V@R (V@R^HD). Это понятие можно также ввести, основываясь на областях скопления меры (в частности, на монотонных гиперполуплоскостях скопления меры), рассмотренных в [20; раздел 5]. Однако с финансовой точки зрения, V@R^HD является неудобной мерой риска (см. подробнее параграф 3.1.2). Также V@R^HD может быть построен двумя путями (сильный и слабый V@R^HD), когда конус обменных курсов случаен. Заметим, что все приведенные выше многомерные аналоги совпадают с V@R в случае, когда d = 1 (на рынке только одна валюта). Следовательно, они не удовлетворяют свойству диверсификации, т. е. не являются многомерными когерентными мерами риска.

Теперь рассмотрим класс многомерных когерентных мер риска. Отметим, что этот класс весьма широк. Чтобы его сузить, введем еще одно очень важное свойство "согласованности с пространством" (см. определение 3.23). Оно означает, что результат многомерной когерентной меры риска не меняется при изменении базовой единицы вдоль каждой из осей координат (к примеру, если мы берем центы вместо долларов в качестве базовой единицы). В диссертации приводятся необходимые и достаточные условия согласованности с пространством для многомерных когерентных мер риска (см. лемму 3.24 и теорему 3.28).

Одним из наиболее важных классов когерентных мер риска в одномерном случае является класс мер р, инвариантных по распределению, т. е. если X = Y, то p(x) = p(Y). В одномерном случае базовыми элементами этого класса являются хвостовой V@R и взвешенный V@R. Точное представление инвариантных по распределению когерентных мер риска было установлено С. Кусуокой в [58] и обобщено на случай выпуклых мер риска в работе [57] и независимо в работе [38] (см. также [34; теорема 1.57] или [49; теорема 2.1]). Здесь мы вводим понятие инвариантности по распределению в многомерном случае.

Определение 24. Многомерная когерентная функция полезности

Введение

и на (L)^d является инвариантной по распределению, если для всех X, Y таких, что (X, К) = (У, К), верно, что

u{X)=u(Y).

Если конус обменных курсов К является случайным, то важно, что не только X = Y, но и (X, К) = (У, К) (см. пример 3.22).

Приводятся некоторые необходимые и достаточные условия инвариантности по распределению для многомерных когерентных мер риска (см. теоремы 3.36, 3.37). Также мы проверяем различные многомерные обобщения хвостового V@R на предмет того, являются ли они инвариантными по распределению.

Многомерный аналог худшего условного математического ожидания (WCE) был введен в [48]. Эта мера не является инвариантной по распределению даже в одномерном случае (пример рассмотрен в параграфе 3.1.2), но она согласована с пространством. В работе рассмотрены условия, при которых она становится инвариантной по распределению, а также введен ее инвариантный по распределению аналог (инвариантное по распределению худшее условное математическое ожидание (LIWCE)). В работе показано, что LIWCE совпадает с многомерной когерентной мерой риска, основанной на областях скопления меры (в частности, на зонных областях скопления меры), рассмотренной в работах [20; раздел 5], [56]. Приведены примеры, когда в естественных ситуациях WCE и LIWCE дают неудовлетворительный результат с финансовой точки зрения. Для случайного конуса обменных курсов эти меры могут быть построены двумя путями (сильное и слабое WCE и LIWCE).

Введение

Она инвариантна по распределению, но не является согласованной с пространством (см. пример 3.27). Очень часто эта мера может быть обобщена на случай недетерминированного конуса.

Другой многомерный аналог хвостового V@R введен в диссертации для случайного конуса обменных курсов и назван хвостовым V@R (см. определение 1.13). Эта мера риска инвариантна по распределению и согласована с пространством (см. следствие 3.25).

Таблица 1. Многомерные аналоги V@R и хвостового V@R и свойства, которыми они обладают.

Введение

В диссертации также рассматриваются ситуации, при которых различные многомерные аналоги хвостового V@R совпадают. Свойства многомерных аналогов V@R и хвостового V@R приведены в таблице 1. Суммируя все выше перечисленное, можно сделать вывод, что лучшим кандидатом для многомерного аналога хвостового V@R является хвостовой V@R, введенный в данной работе.

Однако даже в одномерном случае хвостовой V@R имеет ряд существенных недостатков (см. [22]). Например, он зависит только от хвоста распределения. Чтобы устранить этот недостаток, С. Кусуокой в работе [58] был введен взвешенный V@R. Многомерный аналог этой меры риска введен в диссертации, основываясь на хвостовом V@R (см. определение 1.14). Другое обобщение взвешенного V@R (взвешенный базовый V@R), основанное на среднем V@R из [40], введено в данной работе. Также в работе введено еще одно обобщение взвешенного V@R (взвешенное инвариантное по распределению худшее условное математическое ожидание (взвешенное LIWCE)), основанное на LIWCE. Доказано, что если конус обменных курсов не случаен и нет предпочтений в обменных курсах, то любая инвариантная по распределению многомерная когерентная мера риска имеет следующее представление:

р(Х) = П^ешР^

где рц — взвешенный V@R, а 9Л — множество вероятностных мер на [0,1] (точные формулировки даны в параграфах 3.4, 3.5). В одномерном случае одним из представителей класса взвешенных V@R является alpha V@R, введенный в [23] (см. также [24]). Его многомерный аналог можно ввести, основываясь на областях скопления меры (в частности, на ожидаемых средних выпуклых оболочках скопления меры), рассмотренных в работах [19], [20; раздел 5], [59; раздел 2.1]. В работе показано, что данная многомерная когерентная мера риска принадлежит классу взвешенных LIWCE. Однако меры, принадлежащие этому классу име-

Введение

ют те же недостатки, что и сам LIWCE. В работе введен многомерный alpha V@R, основанный на введенном взвешенном V@R. Соответственно, он лишен всех тех недостатков, которыми обладает LIWCE.

7. Структура работы. Диссертация построена следующим обра
зом.

В главе 1 введены многомерные когерентные и выпуклые меры риска, доказаны теоремы об их представлении, а также рассмотрены два применения: к решению задач распределения капитала и определения риск-вклада в многомерном случае.

В главе 2 рассмотрено ценообразование и хеджирование с использованием многомерных когерентных мер риска, а также приведены примеры для нахождения справедливых цен и суб- и суперхеджирующих стратегий в некоторых моделях.

В главе 3 рассматриваются многомерные обобщения одной из наиболее важных мер риска — хвостового V@R. Рассмотрено три различных подхода. Для введенных мер рассмотрены свойства инвариантности по распределению и согласованности с пространством. Также предложено три многомерных аналога взвешенного V@R.

Цитируемые утверждения носят название предложений, собственные результаты работы называются теоремами (вспомогательные утверждения — леммами).

Нумерация определений и утверждений сплошная внутри каждой главы. При этом принята двойная система нумерации: предложение 2.1 означает первое предложение второй главы. То же самое касается нумерации формул и рисунков.

8. Апробация диссертации. Результаты, относящиеся к диссер
тации, были изложены автором на следующих конференциях.

1. XIV Международная научная конференция студентов, аспирантов и молодых ученых "Ломоносов". Конференция проводилась

Введение

в апреле 2007 года. Название доклада: "Определение и теоремы представления многомерных когерентных и выпуклых мер риска."

Workshop and Mid-Term Conference on Advanced Mathematical Methods for Finance. Конференция проводилась в сентябре 2007 года в г. Вене (Австрия). Название доклада: "Multidimensional Coherent and Convex Risk Measures."
XV Всероссийская школа-коллоквиум no стохастическим методам. Конференция проводилась в октябре 2008 года в г. Волжском. Название доклада: "Согласованность с пространством, инвариантность по распределению многомерных мер риска и многомерные аналоги хвостового V@R."

По теме диссертации был сделан доклад на Большом Семинаре кафедры теории вероятностей механико-математического факультета МГУ и на семинаре "Вероятностные проблемы управления и стохастические модели в экономике, финансах и страховании" в ЦЭМИ РАН.

К теме диссертации относятся следующие статьи автора: [68], [69].

Работа выполнена под руководством члена-корреспондента РАН, профессора А. Н. Ширяева, д.ф.-м.н. А. С. Черного, помощь в организации изложения была оказана к.ф.-м.н. А. В. Селивановым, которым автор выражает глубокую благодарность.

Примеры многомерных когерентных мер риска

С этого момента теория когерентных мер риска стала активно развиваться. Достаточно упомянуть работы [5], [6], [8], [9], [11], [17], [22], [29], [34], [35], [37], [58], а также обзоры [30], [36; Ch. 4], [63]. Во всех этих работах рассматриваются одномерные меры риска, т. е. измеряется риск одномерных случайных величин, имеющих смысл стоимости портфелей, выраженной в единицах некоторой базовой валюты. Такой подход оправдан в том случае, когда имеется базовая валюта, или в том случае, когда в конечный момент времени все финансовые позиции ликвидируются, т. е. превращаются в некоторое количество единиц базового актива. Помимо когерентных функций полезности были рассмотрены вогнутые функции полезности (см. работы [17], [34], [37]).

Определение 2. вогнутая функция полезности определяется как функция и : Ь —» R, обладающая свойствами (b), (d), (е), а также свойством Соответствующая выпуклая мера риска определяется как р(Х) = -и(Х).

Однако подход с использованием одномерных когерентных мер риска неудобен, например, при описании портфеля, состоящего из нескольких валют, когда нет единой "канонической" валюты, к которой должен приводиться портфель. В этом случае гораздо естественнее пользоваться подходом, предложенным Ю. М. Кабановым [50] (см. также [52]), при котором портфель описывается не как число, а как вектор, і-я компонента которого имеет смысл количества в портфеле активов г -го типа.

В диссертации вводится понятие многомерных когерентных мер риска, учитывающее риск обменных курсов. Наш подход аналогичен подходу [48], однако, в отличие от указанной работы, матрица обменных курсов считается случайной. Также рассматриваются и многомерные выпуклые меры риска. Пусть (Г2, Т , Р) — вероятностное пространство, К : Г2 — /С — измеримое отображение, где /С — множество непустых замкнутых конусов С таких, что С Kd, С + ffil! = С. С финансовой точки зрения, 7 — конус обменных курсов в момент времени 1 для d различных валют (т. е. К (и) — множество портфелей, которые мы можем получить в момент времени 1 из нулевого при элементарном исходе и). Пусть С — множество непустых выпуклых замкнутых множеств на Rd, векторы X = (Xі,..., Xd) Є (L)d имеют смысл портфелей в момент времени 1, т. е. Хг — количество единиц г-й валюты в портфеле в момент времени 1. Зададим частичное отношение порядка на множестве портфелей по формуле: X Y, если Х(и) — Y(u) Є К (си) для п.в. ш. Введем следующее определение. Определение 3. (і) Многомерная когерентная функция полезности — функция и : (L)d - С \ {Rd}, удовлетворяющая следующим аксиомам: (a) (диверсификация) и(Х + Y) 2 и(Х) + u{Y); (b) (отношение частичного порядка) если X - Y, то и(Х) С u{Y); (c) (положительная однородность) и(\Х) — Хи(Х) VA 0; (d) (инвариантность относительно сдвига) и(Х + т) — и(Х) + т для любого т Є M.d; (e) (свойство Фату) если \\Хп\\ с и Хп А X, то w(X) Э limn w(Xn), т. е. если х принадлежит бесконечно многим и(Хп), то х принадлежит и(Х). (ii) Многомерная вогнутая функция полезности — функция и : (L)d —» С \ {Rd}, удовлетворяющая аксиомам (b), (d), (е) и аксиоме (а ) (вогнутость) и(аХ + (1 — a)Y) Э аи(Х) + (1 — a)u(Y) для любого а Є [О,1]. С финансовой точки зрения, и(Х) — множество неслучайных портфелей, которые "не лучше" портфеля X. Соответствующая многомерная когерентная (соответственно, выпуклая) мера риска определяется как р{Х) = —и(Х). С финансовой точки зрения, р(Х) — множество неслучайных портфелей х Є Rd, которые делают позицию X + х безрисковой. Очевидно, что если и — одномерная когерентная (соответственно, вогнутая) функция полезности, то отображение v(X) = ( оо,и(Х)] будет многомерной когерентной (соответственно,, вогнутой) функцией полезности в смысле определения 3 с d = 1 и К {и) = R_. Обратно, если d — 1, К(ш) — R_ и и — когерентная (соответственно, вогнутая) функция полезности в смысле определения 3, то функция v(X) = sup{x Є R : x Є u(X)} является одномерной когерентной (соответственно, вогнутой) функцией полезности. Таким образом, данное выше определение является многомерным обобщением одномерного.

Ценообразование, основанное на многомерных когерентных функциях полезности

В работе [10] был введен первый пример одномерной когерентной меры риска (худшее условное математическое ожидание (WCE)). Данная мера риска является первым когерентным аналогом V@R. В работе [11] был введен хвостовой V@R (называемый еще средним V@R или ожидаемым убытком). Эта когерентная мера риска совпадает с худшим условным математическим ожиданием при выполнении некоторых простых условий. Важность хвостового V@R видна из результата С. Кусуоки [58], который доказал, что хвостовой V@R является наименьшей инвариантной по распределению когерентной мерой риска, доминирующей V@R.

Два многомерных аналога V@R (сильный и слабый V@R) были введены в работах [40; раздел 2] и [32; раздел 6.1]. Сильный V@R (соответственно, слабый V@R) считает приемлемыми портфели, которые с вероятностью не больше чем Л не могут быть переведены в нулевой портфель (соответственно, не могут быть получены из нулевого портфеля). Эти многомерные аналоги V@R могут быть легко построены, когда конус обменных курсов случаен. В нашей работе вводится весьма естестественный многомерный аналог V@R — гиперполуплоскостной V@R (V@RHD). Это понятие можно также ввести, основываясь на областях скопления меры (в частности, на монотонных гиперполуплоскостях скопления меры), рассмотренных в [20; раздел 5]. Однако с финансовой точки зрения, V@RHD является неудобной мерой риска (см. подробнее параграф 3.1.2). Также V@RHD может быть построен двумя путями (сильный и слабый V@RHD), когда конус обменных курсов случаен. Заметим, что все приведенные выше многомерные аналоги совпадают с V@R в случае, когда d = 1 (на рынке только одна валюта). Следовательно, они не удовлетворяют свойству диверсификации, т. е. не являются многомерными когерентными мерами риска.

Теперь рассмотрим класс многомерных когерентных мер риска. Отметим, что этот класс весьма широк. Чтобы его сузить, введем еще одно очень важное свойство "согласованности с пространством" (см. определение 3.23). Оно означает, что результат многомерной когерентной меры риска не меняется при изменении базовой единицы вдоль каждой из осей координат (к примеру, если мы берем центы вместо долларов в качестве базовой единицы). В диссертации приводятся необходимые и достаточные условия согласованности с пространством для многомерных когерентных мер риска (см. лемму 3.24 и теорему 3.28).

Одним из наиболее важных классов когерентных мер риска в одномерном случае является класс мер р, инвариантных по распределению, т. е. если X = Y, то p(x) = p(Y). В одномерном случае базовыми элементами этого класса являются хвостовой V@R и взвешенный V@R. Точное представление инвариантных по распределению когерентных мер риска было установлено С. Кусуокой в [58] и обобщено на случай выпуклых мер риска в работе [57] и независимо в работе [38] (см. также [34; теорема 1.57] или [49; теорема 2.1]). Здесь мы вводим понятие инвариантности по распределению в многомерном случае.

Определение 24. Многомерная когерентная функция полезности и на (L)d является инвариантной по распределению, если для всех X, Y таких, что (X, К) = (У, К), верно, что Если конус обменных курсов К является случайным, то важно, что не только X = Y, но и (X, К) = (У, К) (см. пример 3.22).

Один из многомерных аналогов хвостового V@R был введен в [40] посредством множественно-значного математического ожидания в многомерном случае и был назван средним V@R. Эта когерентная мера риска дает достаточно естественные результаты при измерении риска. Она инвариантна по распределению, но не является согласованной с пространством (см. пример 3.27). Очень часто эта мера может быть обобщена на случай недетерминированного конуса.

Различные способы для нахождения верхних и нижних цен, а также суб- и суперхеджирующих стратегий и их использование

А значит, в силу непрерывности по а функций (pz(e + 07) и v.z(5X=i(ei + аі)Хі) получаем, что ipZoo(e) = vZoo(X)- i)- Это означает, что Zoo Є -Wo, о = 0, что противоречит тому, что а 0. Отсюда получаем противоречие. Тем самым, ситуация 2 невозможна, что завершает доказательство п. (ii). (iii) Если же Х\,..., Хп Є L\{V) И VnC слабо компактно, то экви валентность условий (Ь) и (b ) следует из определения XV(YA=I ХІ, XQ) и его непустоты. Рассмотрим вопрос о единственности решения задачи о распределении полезности. Во-первых, рассмотрим условие единственности XQ . Точка XQ не единственна, так как XQ — любая точка границы множества w(XX=i ХІ) , а граница одноточечна только в случае d = 1. Во вторых, при фиксированном XQ Є 5u( "=i -) , рассмотрим условие единственности ZQ Є NXQ{U{ JI=:1 ХІ)) С ТОЧНОСТЬЮ ДО умножения на положительную константу (т. к. если ZQ Є NXQ{u(Jl=lXi)), Л О, то XzQ Є NXQ{u{Y =iXi))). Для этого функция vz(Yd=\Xi) должна быть строго вогнута по z, т. е. для любых /li, /l2 О И Zi 7 A 2, Л О верно, что [J2xi) hivZl l xA+kivJ Xi). Предположим, что существуют Z\ Ф Xz2, принадлежащие NXO(U(YA=I ХІ)) Тогда возьмем z3 = z\ + z2. Так как Uz3(S"=i i) гг(]С?=1-ВД + 2(Z)?=i ). то ( з, жо 3(ЕГ=іхг) значит ж0 u{Y%=iXi), а, следовательно, получаем противоречие. В-третьих, рассмотрим условие одноточечности множества TZo при фиксированных XQ, ZQ . Если Gzo строго выпукло (внутренность не пуста и граница не содержит интервалов), то множество TZQ при фиксированной паре (го, XQ) одноточечно. В-четвертых, при фиксированной точке из TZQ,ZQ,XQ распределение полезности (жі,..., хп) единственно с точностью до сдвига на вектор, перпендикулярный ZQ , т. е. если d\,.. ., ап — векторы, перпендикулярные ZQ и YH=i аг — 0) (жі,...,жп) — распределение полезности, то (xi + ai,..., хп + ап) — распределение полезности. 1.6 Риск-вклад Пусть Y — многомерный случайный вектор, имеющий смысл портфеля валют в момент времени 1, т. е. Уг — количество единиц і -ой валюты в портфеле в момент времени 1. Пусть уо — неслучайный вектор, имеющий смысл портфеля валют в момент времени 0. Пусть также имеется другой портфель, значение которого в момент времени 1 характеризуется случайным вектором X, а в момент времени 0 — неслучайным вектором хо. Пусть и — многомерная когерентная функция полезности с определяющим множеством V. Соответствующая когерентная мера риска определяется как р = —и. Предположим, что уо Є dp(Y), так как только в этом случае можно дать осмысленное определение риск-вклада pcyo{X;Y), являющегося многомерным аналогом для рассмотренного в [5; п. 2.5]. Определение 1.23. Вклад полезности X в Y в точке у Є du(Y) — это множество Риск-вклад от X в Y в точке уо є dp(Y) определяется как plQ{X;Y) = -u Lyo{X\Y) Вклад полезности — многомерная когерентная функция полезности, если Ар (У, у) у 0. Замечание. Если множество Т Г\С слабо компактно, а X, Y є L\{T ), то по теореме 1.19 для Х\ = X, Х2 = Y — X, XQ = у получаем, что для любого z Є Ny(u(Y)) и для любого Z Є Ар (У, у) такого, что EZ — z, верно равенство EJ2i=iXlZl = (z, жі), где ((г,х\), (z,у — х{}) Є Tz. Следовательно, используя (1.13), получаем, что ucy{X-Y) = {xeRd:Vze Ny{u{Y)) (z,x) vcz{X;Y)}, (1.14) где vcz(X\Y) = Ы{х : Зж1 : (x,x1) Є Tz}, где Tz= axgmina;G,(e,a;), a G, = cl{E«Z, X), {Z, Y - X)), Z Є Dz}. Используя эту формулу, можно определить риск-вклад при более слабых чем выше условиях: Т П С замкнуто и равномерно интегрируемо, а X, У Є Llw{V). Напомним, что А — внутренность множества А. Приводимая ниже теорема имеет следующую неформальную интерпретацию: если X мал по сравнению с У, а х$ мал по сравнению с 2/о, то т/о + хо Є р(Х + Y) тогда и только тогда, когда хо Є Ру0(Х; Y). В теореме предполагается, что X, Y Є L\(V), а Х П замкнуто и равномерно интегрируемо (это утверждение является многомерным аналогом утверждения (8)). Теорема 1.24. (і) Если х $. Uy(X;Y), то для любого є 0 выполнено, что у + ex . u(Y + єХ). (И) Если х Є (uy)(X]Y), то существует 6 0 такое, что для любого є Є (0, 8) верно, что у + ех Є ад(У + єХ). Доказательство. Шаг 1. Аналогично [5; теорема 2.16] получаем, что vcz(X;Y) = xz, где xz 1іт-оє-1(,ілг(У+єХ) — vz(Y)), a vz определена в предыдущем параграфе. Отсюда и из (1.14) следует, что ису{Х; Y) = {х Є Rd : Vz Є Л (и(У)) (г, ж) яг}. (1.15) Шаг 2. (і) Пусть з; . uy(X;Y). В силу (1.15) существует z Є Ny(u(Y)) такой, что (z,x) xz. Следовательно, в силу вогнутости функции / н- vz(Y + IX) имеем, что для любого I 0 (z, у + їх) vz(Y + IX). Значит, не существует є 0 такого, что (у + єж) Є u{Y + єХ). (ii) Пусть x Є (wy)(X; У). Предположим, что не существует є 0 такого, что (г/ + era:) є u(Y + єХ). Для любого z из Ny(u(Y)) П L обозначим r(z) = inf{/ 0 : (2:,7/ + їх) vz(Y + ZX)}, где L = {z : 2 zl = 1} , a inf{0} = +00 (см. рис. 1.8). Возьмем г — m{r(z) Л 1 : z Є Nv{u(Y)) П L} .

Различные определения V@R и хвостового V@R в многомерном случае

Будем рассматривать модель из параграфов 1.1 и 1.2 с дополнительным условием конечности обменных курсов. Пусть (Q, JF, Р) — вероятностное пространство. Рассмотрим К : Q — /С — измеримое отображение, где /С — множество непустых замкнутых конусов С таких, что С ф Rd, С+МІ = С (на множестве /С рассматривается борелевская а-алгебра относительно топологии, описанной в 1.7). С финансовой точки зрения, К — конус обменных курсов в момент времени 1 для d различных валют (т. е. К(ш) — множество портфелей, которые мы можем получить в момент времени 1 из нулевого при элементарном исходе и).

Определение 2.1. (см. [62]) Назовем матрицу (TTIJ : 1 i,j d) конечной матрицей обменных курсов между валютами 1,..., d в момент 1, если 7ry(o;) удовлетворяет следующим условиям: (iv) 7Ги со для любых 1 i,j d. С финансовой точки зрения, 7ГУ означает минимальное количество единиц г-й валюты, которое нужно потратить для получения 1 единицы j-й валюты, а условие (iv) означает, что, затратив конечное число единиц одной валюты, можно всегда получить 1 единицу другой валюты. Тогда конус К будет представлять собой множество портфелей, которые можно получить из нулевого портфеля путем обмена валюты и выбрасывания денег, и будет натянут на векторы, имеющие на г-м — 7ГУ , на j-м 1, а на всех остальных местах 0, т. е. К — сопе{е7- — ТТ ЄІ : 1 i,j d} — R+ . Пример конуса К может быть найден в параграфе 1.1. Тогда верна следующая лемма. Лемма 2.2. Если конус обменных курсов К порожден конечной матрицей обменных курсов (7ry)i ij d с условиями (i)-(iv), то для любой многомерной когерентной функции полезности и с конусом обменных курсов К верно, что EZ1 0 для любого Z є V \ {0} и для любого 1 і d, где V — определяющее множество функции и. Доказательство. Согласно (1.3) и определению К (и) имеем, что для любого Z Є V \ {0} выполнено, что с соглашением: jj = 0. Следовательно, если P(Z(co) ф 0) 0, то P(Z1(UJ) 0) 0 для любого 1 і d, откуда получаем требуе мое утверждение. Пусть множество Т П С — слабо компактно, а конус К порожден конечной матрицей обменных курсов. Пусть А — выпуклое замкнутое подмножество в (L)d. С финансовой точки зрения, А — множество дисконтированных прибылей, которые могут быть получены с помощью различных стратегий, выраженных d-мерным случайным портфелем валют (пример будет рассмотрен в параграфе 2.2). Это множество будет называться мноэюеством достижимых прибылей. Определение 2.3. Будем говорить, что А является V -согласованным, если существует множество А С АГ\Ь\(Т ) такое, что VDTZ = V Г) ЩА ). Предположим, что множество достижимых прибылей А является V-согласованным. Как будет показано в параграфе 2.2, это предположение автоматически выполняется для естественных моделей. Теперь введем понятие риск-нейтрального вектора. Это понятие представляет собой классический объект финансовой математики, но нам потребуется определение для случая (L)d, являющееся многомерным аналогом понятия риск-нейтралыюй меры, введенной в работе [21]. Определение 2.4. Назовем риск-нейтральным вектором ненулевой вектор Z Є {L\_)d такой, что Е]Г =1 ZlXl 0 для любого X є А. Множество риск-нейтральных векторов будем обозначать через 1Z или 71(A), если это важно подчеркнуть. Теперь введем условие отсутствия "хороших сделок" (No Good Deals), которое будет рассматриваться на протяжении всей работы. Определение 2.5. Модель удовлетворяет условию NGD (No Good Deals), если не существует X є А такого, что и(Х) П (R \ {0}) ф 0. Теорема 2.6. Модель удовлетворяет условию NGD тогда и только тогда, когда V П 71 ф 0. Доказательство. Докажем импликацию " =". Пусть V П 71 ф 0. Значит, согласно лемме 2.2, существует Z Є V такой, что EZ1 0 для любого 1 і d и Y i=i EZlXl О для любого X Є А. Следовательно, для любого х Є R \ {0} имеем, что Yli=\ EZlx% 0 Х1г=і Е гХг, откуда получаем, что не существует X Є А такого, что u{X)n(Rd+\{O}) 0. Докажем обратную импликацию. Зафиксируем Х\,..., Хм Є А . Из слабой непрерывности отображений Х П э Z н- E i=1 ZlXlm,m = 1,..., М, следует, что множество І \г==1 і=1 / J компактно. Очевидно, что G выпукло. Предположим, что G П (—oo,0]M = 0. По теореме Хана-Банаха существует вектор h Є RM и є 0 такие, что (h, х) є для любого х Є G к (h, х) 0 для любого ж Є (-оо,0]м. Поэтому h Є R?. Без ограничения общности можно считать, что Ylm т = 1 Тогда X = Em hmXm Є А и ЕЕІі "1 для любого Z Є П, откуда u(X)n(R .\{0}) 0. Полученное противоречие показывает, что для любых Х\,..., Хм Є А множество Б(Хь...,Хм) = { ЄРП:Е Х 0Ут=1,...,м непусто. Поскольку для любого m = 1,... , М выполнено, что Хт Є Ьд(ї ), то отображение V П Э Z н- Е Ег=і Х слабо непрерывно, поэтому множество В(Х\,..., Хм) слабо замкнуто. Более того, любое конечное пересечение множеств такой формы непусто. Следовательно, существует Z, принадлежащий каждому В. Значит, Е Ег=і гХг 0 для любого X Є А , что означает, что Z Є Х П 7(А ). Поскольку А является Т -согласованным, то Z ЄТ) C\1Z.

Многомерные когерентные меры риска и их применение к решению задач финансовой математики Куликов Александр Владимирович

Примеры многомерных когерентных мер риска

Ценообразование, основанное на многомерных когерентных функциях полезности

Различные способы для нахождения верхних и нижних цен, а также суб- и суперхеджирующих стратегий и их использование

Различные определения V@R и хвостового V@R в многомерном случае

Похожие диссертации на Многомерные когерентные меры риска и их применение к решению задач финансовой математики