Введение к работе
Актуальность темы. Граничные задачи для различных классов случайных блужданий являются одним из интенсивно развивающихся, разделов теории вероятностей, что объясняется, о одной стороны, обогащением теории вероятностей новыми методами анализа, с другой стороны,- многочисленными и разнообразным! применениями моделей случайных блувданий в задачах управления запасами, анализа систем, обслуживания, анализа надежности стохастических систем и т.п.
Теория граничных задач, которая возникла первоначально из рассмотрения нроотейших ахом блужданий, описываемых оуммами независимых одинаково распределенных случайные величин, за пос-. ледние тридцать лет развивалась преимущественно в следующих направлениях: расширение класса процессов и увеличение числа изучаемых фушалоналов, развитие новых Методов исследования»
Существенный вклад в развитие и становление этой теории внесли А.ЯіХинчин, А.Н.Колмогоров, А.А,Боровков, В.С.Королюк, . А.В.Скороход, Г» Крамер, Е.А.Андерсен, П.Леш, О.Спитцер, Л.Та-кач, Б.Фзллер, Н.Прабху, Е.А.Рогозин, И.И.Еков, В.Ы.Шуренков» Д.В.Гусак, А.А.Новиков, Л.^Афанасьева» В.М.Золотарев и др, .
Детально исследованы граничные задачи для однородных процессов с независимыми приращениями методами факторизашонных тождеств в работах А.А.ЕоровкоЕа» Е.А.Рогозина, Д.В.Гусака, Н.СіЕратиігчука.
Для блужданий о двумя границами важные результаты получены в работах Ю.В»ЕоровскиХ( А.А.Новикова, В.И.Лотова.
В последнее время возникло новое направление в теории случайных блужданий - полумэрковскиз случайные блуздания, в котором поленты скачков задаются процессом марковского восстановления. Усложнение схемы случайных блужданий, с одной стороны, стимулирует развитие новых аналитических методов',-с другой сторони, - существенно расширяет возмокности применения теории случайных блужданий в анализа прикладних задач теории вероятностей.
Одними из первых граничные задачи для полумарковских блужданий, заданных на процессе восстановления, рассматривали А.А.Ео-рсвкоЕ, Е.А.Рогозин, Д.Е.Гусак, Н.С.Ератпйчук, С.ІІ.Пересшшша, Т.И.Насирова и др.
В настоящей диссертации исследуются граничные функционалы, связанные с достижением уровня следующим классом случайных блужданий - полумарковскими случайный блужданиями, которые описываются оумш/д случайных величин, заданных на однородной цепи Маркова о дискретно-непрерывным фазовым пространством состояний. Изучение граничных функционалов в схеме полумарковоких случайных блужданий на суперпозиций двух процессов восстановления относится к числу Нерешенных или малоисследованных задач - это обусловило привлечение новых идей и методов,
Актуальность и перспективы нового направления в теории случайных блужданий - полумарковоких случайных блужданий -основано на существенном расширении класса случайных процессов, описывающих схемы блуждания» '
Таким образом, тематика диссертации отнооитоя к интенсивно развивающейся в последнее время области теории случайных блужданий - полумарковоких случайных блужданнйі имеющей разнообразные применения, что.и подтверждает ее несомненную актуальность и перспективность.
Целью работы является: а) разработка аналитического аппарата для исследования граничных функционалов в схеме полудар- . ковских случайных блужданий на суперпозиции двух процессов восстановления;
б) исследование и решение специальной паркой системы ин
тегральных уравнений на полуоси для производямх функций гра
ничных функционалов}
в) получение предельных теорем дтя распределений основных
граничных функционалов от полумарковских случайных блужданий;
г) из;.- іние распределения периода занятости одноканальной
системы обслуживания типа 0-t/Bli.
Методика исследования» При решении специальной парной оис-тещ интегральных уравнений на полуоси для производящих функций граничных функционалов систематически применена задача Римана-_Гильберта для парной системы интегральных уравнений. Систематически использовались метод факторизационных тоздеств, асимптотические метода теории функций комплексного переменного.
Научная новизна. Исследована парная система интегральных уравнений на полуоси,для которой в литературе нет алгоритма ре-
шения. Специфика вероятностной задачи позволила преодолеть аналитические трудности при решении системы уравнений для производящих функций граничных функционалов, а также осуществить асимптотический анализ точных аналитических выражений.
Теоретическая и практическая значимость. Работа являетоя составной частью широкой программы исследований по теорші граничных задач для случайных процессов. Оозданіщіі в работе аналитический аппарат можно использовать при изучении полумарковских случаііннх блужданий на однородной цепи Маркова, а также для исследования других граничных функционалов, не рассмотренных в данной диссертации. Предложенный в работе метод изучения граничных функционалов в схеме полумарковских случайных блуждашгй позволил широко использовать аналитические методы теории вероятностей. Результаты диссертации могут бить применены в теории систем обслугЛЕанлл, управлення запасами, надежности и др»
Апробзккя работы. Основные результаты диссертации докладывались ( п опубликованы в тезисах)!
на Всесоюзной конференции по дпф^ерегшиашшм уравнениям и их приложениям ( Ашхабад, 1986 г.);
на У Мелщу народной Еильшосской конференции по теории вероятностей и математической статистике (Вильнюс, 1989 г.);
на УІ советско-японском симпозиуме по теории вероятностей и математической статистике (Киев, 1991 г,);
на семинаре Института кибернетики им.В*М,Глуикова АН Украины (Киев, IS9I г.);
на семинаре "Аналитические задачи теорші эволюции стохастических систем" при отделе теории вероятностей и математической сїатистик;і Института математики АН Украины (Киев, 1990 г;);
на секции теории вероятностен и математической статистики при ученом совете Института математики АН Украины (Киев, 1991 г.).
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [ 1 - 15 2 , из которых одна монография.
Структура н объем работы. Диссертация состоит из р.родэ-ния, грех глав, которые разбиты на. 12 параграфов. Список литературы содеру.пт 82 наименотния
(Содержание работы
Во введении дается обвор исследований по тематике диссертации» обоснование актуальности работы, краткий перечень основных результатов*