Введение к работе
Актуальность темн. Граничные задачи для различных классов случайных процессов являются одним из наиболее важных разделов теории вероятностей. Они находят широкой применение в математической статистике, теории обслуживания, теории надежности и т.д. Большое влияние на развитие и становление теории граничных задач для случайных блукданий оказали работы А.Я.Хинчияа, А.Н.Колмогорова, А.А.Боровкова, В.С.Королюка, А.В.Скорохода, Ф.Спитцера, Л.їакача я др. Но сущботву^в этих работах бій заложен фундамент современной теории граничных задач для широкого класса марковских и полумарнов-оких процессов. Существенный вклад был также сделай в работах Б.Л.Рогозина, Д.В.Гусака, В.М.Щуренкова, А.А.Могульокого, Н.С.Бра-тийчука, З.Л.Пресмака, Кешермана, Й.Ншгхема и др» В исследований1 аоиштотичеокиа свойств граничных функционалов,помимо уже перзчис-ленных авторов,оущзственяпй вклад внесли Ю,В.Боровских, В.И.Лотов, 'А.А.Новиков, В.Р.Хаджибаев. Расширение класса изучаемых процессов требует привлечения новых идей и методов. Исследование какого-либо граничного функционала часто выполняется по слсдупщей схеме; получение представления для распределения (идя характеристической функции) данного функционала, исследование полученного представления разнообразными аиатигйчвокшя нагодами. Такая схем активно разрабатывается в настоящие время в работах Н.С.Братийчука, В.И.Лотова и некоторых других авторов. Сюда жо относится й наотсящэя диссерта-1 ция. В пей исследуются граничные функционалы» связанные о пересече' нием уровня суммами случайных величин, задании на счетной цепи Маркова. Если цепь нойечна» то задачи такого типа изучались в работах Э.Л.Нресмапа, х.Миллера, Д.В.гусака (для Процессов о незави< екмнмй приращениями йа конечной цэпи Маркова). Н.С.Братпйчуком эти результаты бши перенесена на случай счетной цепи Г/їаркова. При этом возникла необходимость создания нового аппарата исследования,поскольку переход от конечной и счетной цепи Маркова овязай с принципиальными трудностями .
Йастоякэя работа является продолжением Исследований Н.С.Вра-тийчуйа. В ней рассмотрен случай, когда отдельные слагаемые принимают целочисленные значения, тогда как в упомянутых исследованиях ,Н.С.Братийчука основные результаты в Исследовании свойств функцио-
налов были получена в предположении, что распределение отдельных слагаемых непрерывно. Предположение о диокретном распределении слагаемых поаволило ослабить некоторые из ранее известных условий.
Кроме того, в настоящей работе больше внимания уделено граничным функционалам, связанным о блужданием на интервале, т.е. при наличии двух границ. Отметим, что "-'ранее такие задачи практически не рассматривались.
Таким образом, тема диссертации непосредственно Примыкает к исследованиям По теории граничных задач для случайных процессов и, следовательно, является актуальной.
Целью работы является: а) изучение граничных задач, связанных о достижением уровня целочисленным случайным блужданием на счетной цепи Маркова) б) изучение двугранных задач для непрерывных снизу блужданий на счетное Цепи Маркова.
Методика исследования. Решение интегральных матричнозначных уравнений на полуоси, факторнзационные тождества для блувданий на счетнозначной цепи Маркова^ при изучении асимптотических свойств распределений широко используется метод перевала.
Научная новизна. Получены локальные предельные теоремы для распределений граничных функционалов,связанных с достижением уровня. Впервые рассмотрены случайные блуждания, заданные на счетной цепи Маркова при наличии двух границ. Для таких блужданий проведен асимптотический анализ изучаемых распределений.
Теоретическая и практическая значимость. Работа является составной частью широкой программы исследований по теории граничных задач для случайных процессов. Задачи, рассмотренные в ней, могут найти применение при изучении случайных блужданий на счетнозначной цепи Маркова в схеме "серий". Результаты для граничных функционалов при наличии двух границ могут быть использованы при решении задач в теории надежности и контроля.
Апробация работы. Основные результаты работы докладывались на семинарах по теории вероятностей и математической статистике Грузинского техуниверситета и Ин-та математики АН Украины и опубликованы в 3 работах.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, содержащих 6 параграфов, и списка литературы из 30 наименований.
