Неравенства колмогоровского типа на прямой, полупрямой, отрезке и окружности и задачи восстановления Михалин Дмитрий Александрович

Применение принципа Лагранжа в задаче о неравенствах для производных

Рассмотрим задачу (1.2) в случае q = 00. Тогда пространство W T) (W T) = {х(-) Є Cb(T)\x(n V(-) Є АС(Т),х (-) Є А«(Т)}, где АС(Т) - пространство локально абсолютно непрерывных функций на Т) вкладывается в СЬ(Т) (пространство непрерывных ограниченных функций на Т) и задача (1.2) оказывается равносильной задаче #)(0) - max, ІкОІксг) , \\х(п)(-)\\ьг{т) 1- (1-5) Здесь мы заменили я )(-)11сь(т) н& х к\0), так как при Т = R VT задачи максимизации функционалов х(к\т) и х(к\0) совпадают с точностью до сдвига; а при Т = Ж+ решение задачи х к\т) —» max при т 0 и тех же условиях, что и в (1.5), не превосходит решения задачи (1.5), так как иначе с помощью сдвига экстремальной функции на —т мы бы пришли к противоречию, и, следовательно, снова решения задач максимизации функционалов я )(-)сь(т) и гс (0) совпадают. Вместо двух произвольных констант 7ь72 в (1.2) мы здесь пишем константы 8 и 1, так как задача (1.2) равносильна задаче z(fc)(0) max, () 1± х (-) 1, то есть решение задачи (1.2) совпадает с решением задачи (1.5) при 5 — , умноженным на 72 Кроме того, с константами 71 = и 72 = 1 мы увидим более наглядную связь экстремальных задач вида (1.2) с задачами оптимального восстановления в 1.4. Для случая классического вариационного исчисления (то есть при р,г со) функция Лагранжа имеет вид где А = (—l,Ai,A2). Вообще говоря, согласно принципу Лагранжа, при функционале должен стоять множитель А0 0 (так как задача не на минимум, как в нашей формулировке принципа, а на максимум), но в наших задачах Ао ф 0 и мы полагаем А0 = — 1.

Мы имеем право не проверять отличие от нуля множителя Ао, так как, как уже было сказано, мы применяем метод Лагранжа эвристически. Согласно принципу Лагранжа, если х(-) — решение задачи (1.5), то найдутся такие Аі, Аг 0, что функция Лагранжа достигает своего минимума на х(-), и, следовательно, ее производная в этой точке равна нулю в силу теоремы Ферма: Сх (х(-), А) = О (условие стационарности). Отсюда следует соотношение, которое мы будем называть основным тождеством: справедливое для всех допустимых х(-). Также должны выполняться условия дополняющей нежесткости: Если q = р = со, то, применяя теорему Ферма и теорему Моро-Рокафеллара, получаем, что найдется такая мера р, на Г, что должно быть справедливо основное тождество где мера /2 сосредоточена с точках максимума нормы функции х. При q = г = оо задача (1.5) относится к теории оптимального управления, и ее можно записать в следующем виде: Поскольку ограничение типа равенства в этой задаче можно рассматривать как континуум числовых равенств, функцию Лагранжа мы запишем следующим образом: Ц(х(.),и(-)), -1, А,р(.)) = - (0) + A (jf \х(і)Г dt - Р) + JTP(t)(x (t) - «( )) dt. Если (5:(-), (-)) — решение задачи (1.6), то х(-) — решение задачи (1.5). И обратно, если 5:(-) — решение задачи (1.5), то (5:(-),5 (-)) — решение задачи (1.6). Для того, чтобы были выполнены достаточные условия принципа Лагранжа, должны найтись число А и функция р(-), такие, что функция Лагранжа достигает своего минимума в точке (5:(-), м(-)) на множестве ІШОІкооСГ) 1. Из условия стационарности получаем основное тождество: а из условия минимальности функции Лагранжа по и(-) получаем задачу решая которую, приходим к равенству и(-) = sgnp(-). Во второй главе из этих соотношений будут получены решения поставленных задач. Пусть X и Y — векторные пространства, находящиеся в двойственности, Г и У -сопряженные к ним (то есть пространства линейных непрерывных фунционалов на X и Y соответственно), х — линейный функционал на X, который требуется восстановить возможно лучшим образом на элементах х из некоторого класса С С X по информации у = F(x), где F : X — Y — некоторое, вообще говоря, многозначное отображение, называемое информационным оператором. Методом восстановления функционала х на классе С по информации F назовем любую функцию ip : F(C) — R.

Погрешность, которую производит данный метод восстановления р, будем оценивать величиной е(х , С, F, (р) := sup \(х,х ) -ip(y)\, хЄС, yeF(x) где (x, x ) — значение линейного функционала х на элементе х. Оптимальной погрешностью восстановления назовем величину где нижняя грань берется по всем методам восстановления ip : F(C) —» R, а метод (р, на котором эта нижняя грань достигается, назовем оптимальным методом восстановления, и мы пишем {х,х ) и ф(у), где у Є і ж). Задачу нахождения величины E(x ,C,F) мы будем называть задачей оптимального восстановления и обозначать (x ,C,F). Свяжем с этой задачей следующую экстремальную задачу, которую будем называть ассоциированной (с задачей оптимального восстановления (x ,C,F)): Эту задачу можно переписать в следующем виде: где -%) = {о;єС?/Пг)}. Если множество С и функция F выпуклы, то и (1.9) — выпуклая задача. Функция Лагранжа задачи (1.9) такова: Двойственная задача к (1.9) относительно стандартного возмущения (см. [24, с. 61]) имеет вид sup ((у, у ) + (х, х )) - min, у Є Y . (1.10) хЄС, yF(.x) Связь между выписанными задачами и их решениями дается в следующей теореме (доказательство см. в [24, с. 127]):

Теорема 1.6 (двойственности для задачи восстановления) Пусть в задаче (1.8) множества С и grF выпуклы и уравновешены. Тогда допустимая в (1.9) точка (ж(0),0) является решением этой задачи в том и только в том случае, когда найдется такой множитель Лагранжа А Є У, что min ((ж,м),-1,А) = ((, 0),-1, А). (1.11) ueF(x) При этом (а) —А — решение задачи (1.10) и значения задач (1.9) и (1.10) совпадают; (б) А — оптимальный метод восстановления в задаче (1.7) и E(x ,C,F) = (х,х ). Мы будем рассматривать задачи оптимального восстановления, в которых многозначное отображение F : X —» Y имеет вид F(x) — їх + {у Є Y \\у\\у і}, где / : X —» Y — некоторый линейный оператор. Таким образом, информационный оператор F сопоставляет функции х(-) функцию у(-) Є Y, такую, что /ж(-) — у(-)\\у 7- В этом случае включение х Є F_1(0) в ассоциированной задаче (1.8) равносильно тому, что ІІ ІІУ 7 Покажем, как решается задача оптимального восстановления для такого информационного оператора. Пусть ассоциированная задача записывается в виде (х,х ) - max, \\Iix\\Yl 7ь у2 72, (1.12) где 1г : X — У, і = 1,2 — линейные операторы, и 7ь г = 1,2. Мы рассматриваем эту проблему как ассоциированную с задачей оптимального восстановления (х1, С, F), где С = {х Є X /2 у2 ъ} и / : X — Yi, F(x) = їх + {у Є Yi I IMk 7i} Если x — решение задачи (1.12), то, в соответствии с принципом Лагранжа, найдутся такие числа А 0, г — 1, 2, что функция Лагранжа задачи (1.12) Цх, Ai, А2) = -(ж, я/) + Аа(/іггУі - 7i) + A2(/2a;r2 - j2)

Доказательство единственности чебышевских сплайнов методом Малоземова и Певного

Проведем доказательство единственности чебышевских сплайнов еще одним методом. В работе [26] Малоземовым и Певным было доказано существование и единственность чебышевских (птГоо)- и (птГпГ1)-сплайнов. Мы здесь распространим примененный ими метод на случай (гтгГиг,)-сплайнов. Лемма 2.3 (Малоземов, Певный) Пусть S{t) — отличный от тождественного нуля сплайн вида где t\ іг hN, Xj = ±1 м 5 71-1 ) = 0 при t t2N- Тогда для числа нулей и нуль-интервалов сплайна S(-) с учетом их кратности справедлива оценка Z(S) = n-1 + N. Теорема 2.3 Чебышевский (nmYuv)-сплайн единственный с точностью до знака. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Предположим, что существует два различных чебышевских (птГии)-сплайна Х\{-) и ж2(-) знак п-й производной которых в окрестности нуля положителен, и пусть i(-)] 11 2(-)11- Пусть {,3}=i узлы сплайна Xi(-), a {TJ}J 1 — его точки альтернанса (как и выше, мы обозначили к = п + т— (u + v)). Рассмотрим функцию x(-) — у(жі(-)— (-))- Это сплайн вида (2.2), и () на отрезке [0,1] тождественно не равен нулю. Предположим, что х(-) имеет q нуль-интервалов (щ,/5,), j = 1,...,q, причем среди них ш бесконечных, ш Є {0,1, 2}, и 9j = О, j Є {1, q}, если j-& нуль-интервал конечный, и 9j = 1, если бесконечный. Введем обозначения: Kj — количество узлов сплайна Xi(-), содержащихся в (ay,fy); Aj — замыкание (о,,/3j); Dk, k— 1,...,q+l—u) — промежутки, на которые распадается множество [0,1] \ Uj=i А? № количество точек альтернанса сплайна х\(-), попавших в Dk Узлы сплайна жі(-), принадлежащие нуль-интервалу (aj,f3j), являются также узлами х2(-). Соответствующие слагаемые у Xi(-) и х2(-) равны и при вычитании взаимно уничтожаются. Поэтому реально в представлении вида (2.2) для х(-) величина iV не превосходит т — ХЛ=і Kj- По лемме 2.3 Оценим Z(x) снизу. Из того, что Tj, j = 1,..., к + 1, являются точками альтернанса сплайна Xi(-), следует, что знаки сплайна х(-) в точках {T J}J11 чередуются: X(TJ)X(TJ+I) 0, j = 1,..., к. Учитывая определение / , заключаем, что х(-) имеет на Dk не менее изолированных нулей с учетом их кратности. Далее, у сплайна ii(-) на Aj, j = 2,..., q — 1 не более п — 1 + к0 нулей (х\(-) является (п — 1, шГооА О-сплайном). Значит, в Aj, j = 2,..., q — 1 попадает не более п — 1 + к3 точек альтернанса Tj. В Aj попадает не более п 1 + Кі — 9\(и — Ї) точек альтернанса, а в Aq — не более п — 1 + кя — 9q(v — 1) точек альтернанса. На все Dk остается не менее точек Tj. Отсюда следует, что х(-) имеет на [0,1] не менее изолированных нулей с учетом их кратности. Прибавляя суммарную кратность нуль-интервалов, которая не менее qn, а также кратность концов отрезка, не попавших в нуль-интервалы, которая равна (1 — 9г)и+ (1 — 9qv), получаем что противоречит неравенству (2.3). Таким образом, единственность чебышевского (пшГиг,)-сплайна доказана. В работе [45] при доказательстве существования и единственности чебышевских и золотаревских сплайнов без граничных условий Карлин использовал аппарат обобщенных перфектных сплайнов. Воспользуемся этим методом для доказательства второй части теоремы 2.1. Возьмем некоторое є 0. Рассмотрим систему функций и ядро Для каждого набора {tj}o+m, удовлетворяющего неравенствам to ti ... = tn+m, рассмотрим функции щ() = u(,tj,s) и величины Aji = Ai(tj,e) (мы будем опускать є, если это не приведет к неоднозначности), причем будем считать, что если некоторые tj совпадают (і,-0_і tj0 = tJ0+i = ... = ij0+P-i tj0+P), то для каждого I = 0,1,... ,р — 1 выполнены равенства ujo+i(,e) = - u( ,tjo,e) и Ajo+i = Aj{tio).

Определение 2.5 Обобщенным перфектным сплайном на отрезке [0,1] называется функция вида п x(t) = Y ajAjW+c (u(l,t) - 2u(Vl,t) + 2u(ri2,t) -... + 2(-l)mu(Vm,t) + (-l)m+1u(0,t)) , (2.4) где {а,-} и с — некоторые константы, а {%} — узлы сплайна, причем 1 щ щ В работе Карлина [45] доказаны три следующие леммы: Лемма 2.4 Для каждого набора точек {t,}o+m такого, что t0 = — 1 и 0 ti 2 ... tn+m, существует единственный обобщенный перфектный сплайн х(-) вида (2-4), удовлетворяющий условиям х(—1) = 1 и x(tj) — 0 при j = 1,2,..., п + т. Лемма 2.5 Каждый нетривиальный обобщенный перфектный сплайн степени п, имеющий т узлов, имеет не более п + т нулей с учетом кратности. Лемма 2.6 Пусть t = {t/}o+m удовлетворяет условию — 1 = to 0 tx 2 = tn+m 1 ux{-,t) — единственный обобщенный перфектный сплайн такой, 4mox(t0) = 1 и x(tj) = О при j — 1,2,..., п+т, в соответствии с утверждением Леммы 2.4- Тогда координаты {%(ї)}ї, c(t) и узлы {r]j(t)} непрерывно зависят от переменной Ї. Также Карлиным доказана следующая Теорема 2.4 Пусть д(-) и —h(-) — непрерывные положительные функции на отрезке [0,1], п 1 и т 0 — целые числа. Тогда существуют два обобщенных перфектных

Формула Домара-Буслаева и восстановление значений производных функций из соболевского класса по неточной информации

Рассмотрим задачу восстановления (х(0), W (M), F5Cb( ) (восстановление производной в нуле функции х(-) из класса И (М) по заданной функции у(-) Є C&(R) такой, что \\у(-) — х(-)\\сь(д) S). Эта задача была сформулирована А. П. Буслаевым в депонированной работе [8]. Приведем здесь с небольшими изменениями полученный результат. Формализуем и решим ассоциированную задачу. Определение 3.1 Перфектный сплайн х(-) степени п называется эйлеровым, если x n\t) = sgn sin і, t Є 1 и его интеграл по отрезку [—7г, 7г] равен нулю. При этом эйлеров сплайн степени п является производной от эйлерова сплайна степени п + 1. Для определенности пусть далее п кратно 4. Предположим, что решением этой задачи является эйлеров сплайн xg(-), то есть эйлеров сплайн, по норме равный S (\Ы-)\\сь(щ = 5). Если х(-) — эйлеров сплайн, тг-я производная которого равна sgn sin і, то его норма равна Значит xs{t) = Asx(Bst), где А = --, а В$ = v/j ; х$ (t) = sgn sin JE? . При n кратных 4 x(-) ведет себя так же, как и синус: sgnS (i) = sgn sin Bst. При нашем предположении при всех х(-) из И (М) должно быть выполнено следующее основное тождество, называемое формулой Домара: причем sgnp(t) = sgnx n (t) = sgn sin Bst. А. П. Буслаев нашел явные формулы для fj,j и р(-). Он рассуждал следующим образом. Пусть формула (3.13) доказана. Подставим в (3.13) функцию eiaBst: Положим Тогда из (3.14) следует, что zez Вычислим коэффициенты этого разложения: Pi = \ [ Р{)е-Ыа do=\ f p( r + 2s)e M(T da = Jo Jo seZ = \ S+1) Р(т)е- - ) dr = \ JRKr)e-MT dr = тгр () = 0, s6Z откуда следует, что p(a) = 0. Из (3.15) и (3.16) следует, что о=РМ - Е (ів(((,+2s))n-. - w Е №й 2.)). Поскольку в правой части этого равенства стоят известные ряды, отсюда находится функция (с): Ko) = {n-l)iB5{ g{ Zu- (3-18) Функция р(-) (являющаяся преобразованием Фурье для р{-)) в свою очередь находится из равенства (3.15). Множители fj,j, являющиеся коэффициентами Фурье функции V( J), находятся по формуле 1 f2Bs Н = 1 u{a)e i T{ )) (3.19) 4 J-2BS Таким образом, мы нашли множители Лагранжа fij и р(-), для которых равенство (3.13) справедливо при всех х(і) Є W (M).

Следовательно, в соответствии с принципом Лагранжа, эйлеров перфектный сплайн х$(-) действительно является решением задачи (3.12). Формулу (3.13), где множители fij находятся из равенств (3.18) и (3.19), a p(t) из формулы Р( ) = - / p( r)e icTBst do (3.20) (где р(а) задается формулой (3.15)) мы называем формулой Домара-Буслаева. Итак, значение задачи равно х5(0) = \\х5(-)\\сь(ш) = AsBsKn-x = Оптимальный метод восстановления имеет вид Кп Кп-г jez Решение ассоциированной задачи — эйлеров перфектный сплайн xsn{ )-fl — дискретная мера на прямой, сосредоточенная в точках альтернанса xsn( ) с чередующимися знаками. Приведем значения fXj при 5 = Кп и некоторых п: Рассмотрим теперь задачу на окружности: требуется определить величину E(x (0),W (T),FSmC{T)) при к=1, где 5т, т Є N — норма m-го эйлерова перфектного сплайна степени п на окружности. Предположим, что этот сплайн и является решением ассоциированной задачи о;(0) тах, \\х(-)\\с{т) 5т, я(.) Є W(T), т Є N. (3.21) Снова рассмотрим случай п:4. Основное тождество имеет следующий вид: т - ( ( ) - (- 1)) + /_ № " м . (3.22) Подставим в него функцию e ist: -is = J2 Pi (е- - ) + (-ізГ [ P(t)e-ist dt. (3.23) Положим /7Г P(ty 7Г л і т 1 1 -V / (2j-l)ia7T (23-1)ізтг \ У (-is)"-1 (-is)n 3\ J ра:= [ p(t)e-istdt. Тогда (3.24) Эти числа являются коэффициентами Фурье функции p(t), то есть для них справедливо равенство Но в силу того, что sgn p(t) = sgn sinmi, Таким образом, из (3.24) и (3.26) получаем систему уравнений из которой находятся числа /Xj. Числа ps находятся из равенства (3.24), а функция р() - из (3.25). 3.4.1 Постановка задачи и формулировка теоремы об экстраполяции Пусть п Є N, к Є Z+, 0 к п, 5 О, Т = М+ или R. Исследуется вопрос о восстановлении значения к-й производной в точке т функции х(-), если про нее известно, с одной стороны, что она принадлежит

Соболевскому классу W(T,r) = {ж(-)к(п_1)( ) Є ССО, ж(п-1)( ) - (n_1)( )l \t - Л, и выполнено краевое условие Г}, а с другой стороны, что на некотором отрезке ACT известна функция у(-) Є С (А) такая, что .т(-) — у(-)с(д) = 5. Если г Е Т \ Д, то мы говорим о задаче экстраполяции (функции х (т)). Многозначный оператор, сопоставляющий функции х(-) функцию у(-) Є С(А), обозначим -Рдс(д). Требуется найти величину Е(х (т), W T, Г), і с(д)) и оптимальный метод восстановления. Исследуются два типа задач экстраполяции, в которых А — отрезок [—1,1] или [0,1], а (Т, Г) — это, соответственно, либо а) (Ж, Гоо) (т. е. рассматривается класс W ,(R) при отсутствии граничных условий), либо б) (М+,Гп0) (когда рассматриваются функции из W(R+) такие, что z(s)(0) = 0, 0 s тг), т 1. Сформулируем теперь основную теорему. Теорема 3.1 (об оптимальном методе в задаче экстраполяции) Пусть х$ — чебышевский или золотаревский сплайн (хптг00(-), хпт$г00{-), хптгп0(-) или хпт5тп0( )), имеющий норму S; {TJ}TJ=1 — его точки алътернанса. Тогда E{x (r),W (T,r),Fsc{A)) = \xf\r)\ и оптимальный метод восстановления имеет вид х (г) и Х =і/А?2/(г.?); г е t j

Формулы оптимального восстановления функций из соболевского класса на отрезке по неточной информации

Пусть п Є N, к Є Z+, 0 к п, 5 О, Т = М+ или R. Исследуется вопрос о восстановлении значения к-й производной в точке т функции х(-), если про нее известно, с одной стороны, что она принадлежит Соболевскому классу W(T,r) = {ж(-)к(п_1)( ) Є ССО, ж(п-1)( ) - (n_1)( )l \t - Л, и выполнено краевое условие Г}, а с другой стороны, что на некотором отрезке ACT известна функция у(-) Є С (А) такая, что .т(-) — у(-)с(д) = 5. Если г Е Т \ Д, то мы говорим о задаче экстраполяции (функции х (т)). Многозначный оператор, сопоставляющий функции х(-) функцию у(-) Є С(А), обозначим -Рдс(д). Требуется найти величину Е(х (т), W T, Г), і с(д)) и оптимальный метод восстановления. Исследуются два типа задач экстраполяции, в которых А — отрезок [—1,1] или [0,1], а (Т, Г) — это, соответственно, либо а) (Ж, Гоо) (т. е. рассматривается класс W ,(R) при отсутствии граничных условий), либо б) (М+,Гп0) (когда рассматриваются функции из W(R+) такие, что z(s)(0) = 0, 0 s тг), т 1. Сформулируем теперь основную теорему. Теорема 3.1 (об оптимальном методе в задаче экстраполяции) Пусть х$ — чебышевский или золотаревский сплайн (хптг00(-), хпт$г00{-), хптгп0(-) или хпт5тп0( )), имеющий норму S; {TJ}TJ=1 — его точки алътернанса. Тогда и оптимальный метод восстановления имеет вид х (г) и Х =і/А?2/(г.?); г е t j некоторые величины, зависящие от г, 8, п, к и являющиеся решением некоторой линейной системы, которая будет выписана ниже. Замечание 3.1 Упомянутые чебышевские и золотаревские сплайны являются частными случаями сплайнов xnmpqr(-) и xsnmpqr(-)) при р = q = со, дающих решение в общей задаче оптимального восстановления (ж (т), Wp(T, Г), FSL4(A)) Формализуем и решим ассоциированную задачу: ж (т)-ипах, И-)с(д)0, x(-)eW (T,T), O k n-1. (3.28) (3.28) — выпуклая экстремальная задача (относящаяся к теории оптимального управления с фазовыми ограничениями), решение х(-) которой существует, и к которой можно применить принцип Лагранжа. Задача без граничных условий Рассмотрим случай А = [—1,1], Т = R, Г = Г0о- Перепишем функцию

Лагранжа в виде Г1 С((х(-),и(-)),-1,К-),Р(-)) = -я?( (т) + jT x(t)dfi(t) / оо p(t)(x {t)-u{t))dt, оо где мера /г(-) сосредоточена в точках альтернанса функции х(-). В соответствии с принципом Лагранжа, х(-) — решение задачи (3.28) тогда и только тогда, когда выполнена стационарность по х(-): ХЮ / 1 гоо x(t)dfi(t) + p(t)x (t)dt УггЄИ (М), (3.29) 1 J-oo где точечная мера /2(-) сосредоточена в точках альтернанса функции х(-); а также условие минимума по и(-): / оо p(t)u(t) dt - min, «(-)IUooW 1, (3-30) -оо откуда получаем «() = sgnp(-). (3.31) Предположим, что решением этой задачи являются чебышевские перфектные сплайны жптсаттаоо[_1)1](-) и промежуточные золотаревские xnmsr00[-i,i]{-), существование которых доказано в главе 2. Рассмотрим сначала золотаревский случай. Пусть {т,-} п — точки альтернанса функции х(-). Тогда мера /2(-) сосредоточена в этих точках. Сделаем некоторые предположения относительно вида функции р(-). Во-первых, у х{-) нет особенностей вне отрезка [ті,т], поэтому будем считать, что р(-) отлична от нуля только на этом отрезке. Преобразуем уравнение (3.29) следующим образом: т + ...+ Ті Поскольку это уравнение должно быть выполнено при всех х из W,(R), имеем р (-) = О ир )(т) = ft in) = 0 при 0 j та-2, j n-fc-1, а также (-l)"- -1 "- "1) ) = 1, p(n-k-i) r _ (n-i) _ g Тоща из (3.32) следует, что ступенчатая функция p n_1)(-) должна иметь в точках Tj скачки /J,J при j = 1,..., m + п, и, следовательно, на отрезке [ті,т] функция р(-) имеет следующий вид: При этом уравнение (3.32) будет выполнено при всех допустимых х(-). Для того, чтобы было выполнено условие (3.31), необходимо, чтобы функция р(-) обнулялась в точках { у}! — узлах функции х(-).

Таким образом, из всех выписанных условий получаем систему т + п уравнений для т + п неизвестных /J,J: где первое слагаемое в первых к уравнениях (то есть при всех I к) подразумевается равным нулю. В чебышевском случае появляется еще одна точка экстремума — т0 = —1, и, следовательно, лишняя переменная в уравнениях (3.33). При этом число уравнений остается прежним. Эту проблему можно решить, положив /г0 = 0. Тогда чебышевский и золотаревский случай практически не отличаются. Решив линейную систему (3.33), можно найти искомые множители Лагранжа fij и р(-). С этими множителями для функции х(-) выполнены (3.29) — стационарность по х(-) и условие (3.30) минимума по и(-), следовательно, ж(-) действительно является решением ассоциированной задачи (3.28). Поскольку множители Лагранжа являются оптимальным методом восстановления (теорема 1.6), теперь можно выписать и решение задачи оптимального восстановления: т+п аг (т) « J J/fo), І=1 где Tj и /j,j соответствуют сплайну xnmSr00[-i,i](-) Задача с граничными условиями Рассмотрим теперь случай А = [0,1], Т — Е+, Г = Гп0. Аналогично случаю, разобранному в предыдущем параграфе, получаем, что х(-) является решением задачи (3.28) тогда и только тогда, когда выполнена стационарность по х(-): ж )(т) = x{t) d(2(t) + p{t)x {t)dt \fxe W(R+,rn0), (3.34) Jo Jo где точечная мера jJ(-) сосредоточена в точках альтернанса х(-); а также условие минимума по и(-): J / oo f p{t)u(t)dt- nan, 11011 (11+) 1, (3.35) о откуда получаем u(-)=sgnp(-). (3.36) Предположим, что решением этой задачи являются чебышевские перфектные сплайны хппггп0(-) и промежуточные золотаревские хпт5гп0(-), существование которых доказано в главе 2. Рассмотрим сначала золотаревский случай. Пусть {TJ}JL1 — точки альтернанса функции х(-). Тогда мера Д(-) сосредоточена в этих точках. Как и ранее, {&}Li — узлы функции () Сделаем некоторые предположения относительно вида функции р(-). Во-первых, у х(-) нет особенностей вне отрезка [0, т], поэтому будем считать, что р(-) отлична от нуля

Похожие диссертации на Неравенства колмогоровского типа на прямой, полупрямой, отрезке и окружности и задачи восстановления

Восстановление дробных степеней оператора Лапласа функции по ее неточно заданному спектру и неравенства колмогоровского типаСивкова, Елена Олеговна

Метод минимизации эмпирического риска в задачах восстановления регрессии и обучения распознаванию образовОльшевская, Ольга Викторовна

Обобщенные интегралы и задача восстановления коэффициентов некоторых всюду сходящихся ортогональных рядовБайгожин, Ерлан Серикович

Приближение функций двух переменных и задачи восстановления значений линейных операторов и функционалов Шабозов Мирганд Шабозович

Решение задачи восстановления волнового фронта с помощью модифицированного метода фазовых шаговСажин, Антон Владимирович

Интерполяционные L-сплайны и задачи оптимального восстановленияСазанов Анатолий Анатольевич

Экстремальные задачи интерполяционного типа и восстановление решений эллиптических уравненийБалова Елена Александровна

Динамическая обратная задача для системы Максвелла: восстановление скорости в регулярной зонеГласман Александр Константинович

ВОССТАНОВЛЕНИЕ ГРАНИЧНОЙ ФУНКЦИИ В ЗАДАЧЕ РАСПРОСТРАНЕНИЯ ПОВЕРХНОСТНЫХ ВОЛН В ОТКРЫТОЙ АКВАТОРИИДементьева Екатерина Васильевна

Обратная граничная задача рассеяния звука и интерационные алгоритмы восстановления формы рассеивателяПрудникова, Инесса Петровна