Содержание к диссертации
Введение
Глава I. Замкнутость и компактность пучка траекторий динамической системы 13
I. Предварительные сведения 14
2. Замкнутость пучка траекторий 18
3. Необходимые условия замкнутости пучка траекторий 34
4. Линейные системы 50
Глава II. Динамические системы с заданными свойствами 57
1. Когда многозначная функция является интегралом Аумана или теорема Радона-Никодима для многозначных мер 59
2. Реализация многозначных функций линейными управляемыми системами 71
Литература 88
- Замкнутость пучка траекторий
- Линейные системы
- Когда многозначная функция является интегралом Аумана или теорема Радона-Никодима для многозначных мер
- Реализация многозначных функций линейными управляемыми системами
Введение к работе
І. В последние годы большое развитие, как в теоретическом, так и в практическом плане, получила теория оптимального управления, основы которой были заложены А.С.Понтрягиным, В.Г.Болтянским, Р.В.Гамкрелидзе и Е.Ф.Мищенко в 1959 году в их фундаментальной работе Гб] . В іб] впервые в монографической литературе в явном виде была сформулирована ставшая с тех пор стандартной математическая постановка общей задачи оптимального управления: - поведение объекта на временном отрезке Т- 10,1]описывается системой обыкновенных дифференциальных уравнений с параметром
Ш = {(t,№), «-CVJ , x(Q) - о ; (0.1) в каждый момент времени ^ 7" параметр и. it) , называемый управлением, можно менять в пределах некоторого замкнутого ограниченного множества U(t) ; на множестве пар (и-,Х(Щ) , где и - управление на отрезке / , а Х(СС) - соответсвующая ему траектория, т.е. решение системы (0.1), задан функционал J со значениями в - требуется найти такое управление и* , что для любого управления и справедливо
3(и*х(іЄ)) б D(u,xw)4 (0.2)
Обозначая множество через F(t, X) , получаем задачу в близкой постановке с привлечением дифференциальных включений x(Ve F(t,x(t)) (0#3)
7^ -* ""'* (0.4)
Работа [б 1 посвящена получению необходимых условий оптимальности управления - наиболее важному с точки зрения приложений разделу теории. Однако в общей теории немаловажное место занимает и вопрос существования оптимального решения, который в конечном счете сводится к тому, достигает ли функционал своего экстремума на области определения. Ответ на этот вопрос зависит от двух факторов: свойств функционала и свойств его области определения. Б задачах оптимального управления областью определения функционала, как правило, является пучок траекторий, т.е. совокупность всех траекторий исходящих из начальной точки, или область достижимости за некоторое время ^6Т , т.е. сечение пучка траекторий в этот момент времени ttT .в предлагаемой диссертации предпринимается изучение этих объектов для динамических систем вида (0.1) (0.3) в различных пространствах.
В первой главе изучаются такие их топологические свойства, как замкнутость и компактность, а в случае линейных систем - также и их экстремальная структура.
Во второй главе ставится в некотором смысле обратная задача: построить линейную систему с заданными областями достижимости. Дается ее приближенное решение для любых заданных областей достижимости в R , а также условия точной разреши- мости для простейшего случая в пространстве Фреше.
Основные результаты диссертации опубликованы в работах [9-12] .
2. Впервые системы типа (0.3) были рассмотрены, по-видимому, Марию Г 56, 57 J и Зарембой f68j в 30-е годы нашего столетия. Для непрерывной функции X они определяли в точке to контингенциальную производную йХ(ч) , как совокупность точек, представимых в виде предела *Н~* to для некоторой последовательности точек tK tQ . Траекториями считались непрерывные функции, удовлетворяющие на отрезке Т соотношениям Dx(t)c= F(t,xtt))f xco)=q . {0mb)
Основным объектом изучения был не пучок траекторий, и так называемая зона достижимости, которая представляет собой график этого пучка. Однако, после того, как Важевский [66, 67JBI96I году показал, что условия: X - непрерывная функция, Dx(t)cz F(t,X(t)) всюду на Т , при некоторых естественных предположениях эквивалентны условиям X - абсолютно непрерывная функция, X(t) 6 F(t,X(t)) почти всюду на Т , систему (0.5) стали рассматривать в более удобной форме (0.3), а решения выбирать из класса абсолютно непрерывных функций.
Дальнейшее развитие теории по части существования решений системы (0.3) шло по пути ослабления ограничений на правую часть, см. (15,17,18,20,22,30] и др. В диссертации изучены теоремы существования для нового класса систем (0.3) - систем с невыпуклой слабокомпактной правой частью. Их доказательство ~ 6 - использует идеи работ fl5, 22J и существенно опирается на доказанный автором новый признак слабой компактности в пространстве L1 (/, л) интегрируемых по Бохнеру функций со значениями в банаховом пространстве X (теорема I.3.I).
Замкнутость и компактность пучка траекторий систем (0.1), (0.3) исследовалась многими авторами, см., например, fl4,I9, 28,29,47j . Однако, по-видимому, впервые компактность пучка была получена Филипповым [l9J . Существенную роль в его доказательстве сыграла так называемая лемма Филиппова об измеримом выборе. Дальнейшее развитие теории измеримого выбора f34,53, 58,66j позволило осознать эквивалентность систем (0.1)и(0.3) и, следовательно, эквивалентность изучения пучков их траекторий . В 1972 году Берковиц f27J предложил довольно общий и простой метод доказательства замкнутости пучка траекторий в ко -нечномерном пространстве, который позволял получить большинство известных в этой области результатов. Напомним суть этого метода. Из сходимости последовательности [^,/1^/ траекторий системы (0.3) к некоторой функции X получают слабую сходимость последовательности [Xh,nA/J их производных к X . Затем, используя теорему Мазура, выбирают последовательность l^Ki^-t^j , элементами которой являются выпуклые комбинации элементов из [XA,tif-Afj , такую, что она сходится к X в пространстве Ц(Т}Х) . В силу требуемой непрерывности функции F(ttX) в метрике Хаусдорфа и требуемой выпуклости ее значении получают, что X(t)( F(t,X(t)) f В() почти всюду на / для любого Є > О . Здесь & () ~ шар радиуса 6 с центром в нуле. Теперь остается только перейти к пределу по . В бесконечномерном случае из сходимости траекторий слабая сходимость их производных, вообще говоря, не вытекает. Поэтому схема Берковица не проходит. В диссертации предлагается другой подход. Он основан на одном результате из теории измеримых многозначных функций (леммы I.2.I и 1.2.4), который позволяет получить включение x(t)eF(t,x(t)) для
ВЫПуКЛОЗНаЧНОЙ фуНКЦИИ Г ИЗ ИМеЮЩеЙСЯ СХОДИМОСТИ Jfi Хк —+ $д X для любого измеримого множества А с=: Т .
В бесконечномерном случае мы сталкиваемся с еще одной трудностью. Дело в том, что в этом случае не всякая абсолютно непрерывная функция почти всюду дифференцируема. В диссерта -ции эта трудность обходится двумя путями, позволяющими получить почти всюду дифференцируемость абсолютно непрерывной функции: сужается класс рассматриваемых пространств, а именно, берутся только банаховы пространства со свойством Радона - Ни-кодима; накладываются дополнительные ограничения на правую часть, а именно, требуется слабая компактность множеств F(t,X) (см. 2 гл. I). Второй подход с более жесткими ограничениями на функцию F предпринят также в [14 J .
Известные автору результаты о замкнутости пучка траекторий, в том числе и доказываемые в диссертации, получены при предположении выпуклости правой части системы (0.3). Интересно выяснить, насколько условие выпуклости необходимо для замкнутости пучка траекторий. По-видимому, первый результат такого сорта был получен Бруновским f3lj : выпуклость значений непрерывной функции г необходима для замкнутости пучка траекторий системы (0.3), рассматриваемой в R . Толстоногов fl6j показал, что для замкнутости пучка траекторий системы (0.3) с непрерывной компактнозначной функцией F$ рассматриваемой в банаховом пространстве, необходима выпуклость множеств F(i,X(t)) почти всюду на Т вдоль всякой траектории X . В диссертации с помощью полученных теорем существования доказан аналогичный результат, который кратко можно сформулировать так: для слабой замкнутости пучка траекторий системы (0.3) с непрерывной слабокомпактнозначной функцией F необходима выпуклость множеств F(t,X).
В бесконечномерном и конечномерном случаях для линейных систем вида (0.1) (слабую) компактность пучка траекторий обычно получают как следствие (слабой) компактности множества управлений [29, 47J , которое является множеством измеримых селекторов некоторой многозначной измеримой функции. Поэтому здесь на первый план выходит получение (слабой) компактности множества измеримых селекторов таких функций в пространстве L1(T,X) . Первые такие результаты о слабой компактности были получены Дистелем [42] и затем улучшены Бирном [32j . Как уже отмечалось выше, в диссертации (теорема I.3.I) получен довольно общий результат подобного сорта: требуется только слабая компактность значений измеримой многозначной функции. Доказательство опирается на критерий Джеймса слабой компактности множеств в банаховом пространстве Г 54 J (см. также стр.30), а также существенно использует теорию измеримых многозначных отображений [36, Ы, 64, 65j .
Исследование экстремальной структуры пучка траекторий линейной системы вида (0.1) опирается на описание крайних точек множества измеримых селекторов измеримой многозначной функции (лемма 1.4.2). Полученный результат кратко можно сформулиро -вать так: при некоторых условиях крайние и сильно выступающие точки замыкания пучка траекторий системы являются ее траекториями.
3. В [46] Хермс поставил два вопроса: когда для системы (0.3) существует линейная система вида (0.3) с такими же (с точностью до выпуклой оболочки) областями достижимости; когда многозначная функция F является интегралом на Т , т.е. когда существует другая многозначная функция G такая, что F(t)= X 6 Для всех ttT , где интеграл понимается в смысле Аумана [2b] . Эти вопросы тесно связаны, так как хорошо известно f46j , что функция достижимости линейной системы является неопределенным интегралом Аумана с точностью до семейства линейных преобразований.
Продвигаясь в решении первого вопроса, Хермс с помощью леммы Цорна показал, что всегда существует линейная система с минимальными в смысле порядка по включению областями достижимости, содержащими области достижимости первоначальной системы. В диссертации ставится чуть измененная задача: когда существует линейная система с заранее заданными областями достижимости? Показывается, что в R задача всегда имеет приближенное решение, т.е. для любого >0 существует линейная система с областями достижимости, отличающимися в метрике Хаусдорфа от заданных множеств не более чем на . Основное место в доказательстве занимает построение абсолютно непре -рывной многограннозначной функции, приближающей заданную абсолютно непрерывную выпуклозначную функцию.
На второй вопрос ответ был дан Хермсом в той же работе [4б] . В более удобной форме, предложенной Артштайном [Z3] , он выглядит так: выпуклозначная функция г" является неопре деленным интегралом Аумана тогда и только тогда, когда она абсолютно непрерывна и для любых точек S< t существует та кой выпуклый компакт K(S,t) , что h(S)+K(5,t)= F(t) .Абсолютная непрерывность здесь понимается в обычном смысле, только под расстоянием имеется ввиду метрика Хаусдорфа. Легко видеть, что этот результат можно сформулировать как теорему Радона - Никодима для многозначной меры. Действительно, для любого отрезка [s,t]^T положим №.([S.iTi)=K($,t) .Допус- тим, что меру /Л можно продолжить на борелевскую сґ -алгебру отрезка / . Тогда результат Артштайна выглядит так: мера с выпуклыми компактными значениями абсолютно непрерывная относи-тельно меры Лебега на отрезке ' имеет производную Радона -Никодима, т.е. существует такая многозначная функция & , что А1А = Sf\ 0 для любого борелевского множества Л — Т . Таким образом, мы приходим к дифференцированию многозначных мер. В этой области развитие идет в основном по пути ослабления условий на значения меры. Различные случаи были рассмотрены в [13,24,35,38-40,45,48] . В диссертации рассматриваются меры со значениями во множестве всех выпуклых ограниченных подмножеств сепарабельного пространства Іреше, обладающего свойст -вом Радона - Никодима. Полученные результаты улучшают подобные результаты работы [4В] в случае банаховых пространств и обобщают их на случай пространства Фреше. В доказательстве используется мартингальный подход. С каждой мерой А1 связывается многозначный мартингал (Гп,Ке"]* где = Z (HA/fA)-pcA, а возрастающая последовательность конечных измеримых разбиений ІХь.ле//] порождает б'-алгебру измеримых подмножеств. Основной шаг - доказательство существования "замыкающей" этот мартингал многозначной функции, которая и является производной Радона - Никодима меры At .
4. Ь диссертации в основном используются методы функционального анализа и теории измеримых многозначных функций. В качестве источника для ссылок по функциональному анализу используется хорошо известная книга Данфорда и Шварца [і] . По теории измеримых многозначных функций нет столь же известного - II - и доступного источника. Поэтому в диссертации (см. I гл. I) приводятся основные понятия и необходимые результаты этой теории, которые можно найти, например в [51, 64] .
Система ссылок в работе такова: формулы, леммы и теоремы внутри каждой главы имеют автономную двойную нумерацию: первое число обозначает номер параграфа, второе - номер формулы (леммы, теоремы) внутри этого параграфа, фи ссылках на результаты другой главы используется тройная нумерация, где первая цифра обозначает номер главы.
Цитированная литература приводится в алфавитном порядке. В работе используются следующие обозначения: 1*1 - норма точки Л банахова пространства X ; |Л[ - Sup/IXL- Xf А} ; cf\(Krd/\) _ (слабое) замыкание множества А ; со Н(ыН) _ (замкнутая) выпуклая оболочка множества А ; TntА - внутренность множества А ; dio.m/\~ диаметр множества А ; &% А - множество крайних (extreme ) точек множества А ; S&t А - множество сильно выступающих (strongly exposed ) точек множества А ; X А - характеристическая функция множества А ; 0 - ноль линейного пространства; X - топологически сопряжённое к X пространство; (х*Х)~ значение функционала Х*~(- X на элементе ХЄ X ; - расстояние от точки X до множест ва А в метрическом пространстве (Х,1) ;и(г\,)=- [Х(л: а(Х,Д) tj _ замкнутая
Х(Х, Y) - пространство линейных непрерывных отображений
А--Х-+Х с нормой \А\- Sicpl ІЛх} XtB(X)} . - ІЗ -
Замкнутость пучка траекторий
Напомним еще раз, что здесь и в дальнейшем, если специ -ально не оговорено, мы считаем измеримое пространство с конечной мерой С T,A,fi) отрезком СО, 1J с борелевской Г-олгеб-рой и мерой Лебега.
Как уже отмечалось во введении, при переходе в изучении системы (2.1) от конечномерного к бесконечномерному случаю возникают определенные трудности. Абсолютно непрерывные функции, среди которых выбирают решение в конечномерном случае, не всегда почти всюду дифференцируемы в бесконечномерном случае. Это, во-первых, приводит к изменениям в постановке задачи, а, во-вторых, усложняет получение почти всюду дифференцируемости предела траекторий, для чего раньше было достаточно показать его абсолютную непрерывность.
Эта трудность обходится двумя путями. Сначала мы сужаем класс банаховых пространств, рассматривая только пространства со свойством Радона - Никодима. Это дает нам почти всюду дифференцируемо сть абсолютно непрерывных функций. Затем мы сужаем класс систем (2.1), рассматривая только системы со слабо -компактной правой частью. Это позволяет непосредственно получить почти всюду дифференцируемость предела траекторий через доказываемую компактность в определенной топологии множества производных этих траекторий.
Для получения соотношений (2.1) для предела траекторий схема Берковица [27J (см. введение) в бесконечномерном случае, к сожалению, не проходит. Дело в том, что в этом случае, вообще говоря, из сходимости траекторий не следует слабая сходи -мость их производных. Поэтому теорема Мазура ["I, C.457J становится, вообще говря, неприменима. Однако, из сходимости последовательности траекторий ХЛ к почти всюду дифференцируемой функции X следует при определенных условиях сходимость последовательности { {д Хц} к fa X Для всех А(-Л . Как мы увидим в дальнейшем этого оказывается достаточно для того, чтобы функция X удовлетворяла соотношениям (2.1).
Определим теперь пространства со свойством Радона - Нико дима (НЮ . Банахово пространство X обладает свойством , если для любого измеримого пространства с конечной мерой (f, ri,yte) и любой векторной меры fn: Г" Л ограни ченной вариации, абсолютно непрервыной относительно у - , су ществует функция такая, что fnA=/д для всех . Разнообразные результаты о свойстве Л/ , а также очерк истории вопроса, можно найти в обзоре f44j .В частнос ти, банахово пространство со свойством К/у характеризуется тем, что абсолютно непрерывные функции X I л почти всю ду дифференцируемы и восстанавливаются по своей производной X , т.е. X(t) = J0 X . Именно это свойство банаховых прост ранств со свойством К/У используется в дальнейшем. Прежде чем перейти к основной теореме этого параграфа, отметим, что мы не стремимся к наибольшей общности в формулировках. Наша цель - продемонстрировать метод доказательства замкнутости пучка траекторий через применение леммы 2.1. Более общие утверждения без труда можно получить, ослабляя требования на правую часть системы (2.1) так, чтобы можно было по-прежнему пользоваться леммой 2.1. Например, в [9] вместо непрерывности правой части по Л в метрике Хаусдорфа (см. ниже) требуется полунепрерывность.
Отметим также, что в этом параграфе мы не интересуемся вопросом существования решений дифференциального включения, заранее предполагая, что пучок траекторий всегда не пуст.
Отметим, что все известные автору теоремы о замкнутости пучка траекторий, так или иначе содержат условие а). Так, например, в /60J рассматривается непрерывная функция F , в [14]-компактнозначная. Причём методы доказательства в этих работах также различны: в [60 ] неявно используется аналог леммы 2.1 для неперерывных фикций, в [14] применяется схема Берковица (см. введение). Теорема 2.1 таким образом предлагает единый и довольно общий подход к доказательству замкнутости пучка траекторий при наличии условия а). Однако, на наш взгляд, основное значение теоремы 2.1 состоит в том, что она даёт условие внешнего характера, а именно, условие б), которое позволяет доказывать замкнутость пучка траекторий при минимальных предположениях о функции г , при которых измеримые функции -/--- F( , X(t)) не обязательно сильно измеримы. Следующие две леммы - аналоги леммы 2.1 - также позволят нам получить замкнутость пучка траекторий системы (2.1) без использования уело -вия а).
Линейные системы
В этом параграфе исследуется пучок траекторий f/ (C/) линейной системы - 51 X(i) 6 AC+)x(t) t ІГ(іг), X(0)= 0, (4.1) рассматриваемой на отрезке I = LO,iJ . Предполагается, что измеримая и интегрально ограниченная функция t/ /— / принимает замкнутые значения, а сильно измеримая функция А / — Х(Х,Х) такова, что функция і IAWI суммируема на 7 . Напомним еще раз, что X - сепарабельное банахово пространство. В отличие от нелинейных систем, для систем вида (4.1) мы получаем достаточные условия не замкнутости пучка траекторий в пространстве С(Г,Х) , а его слабой компактности. При этом главную роль играет теорема 3.1. Кроме того, в этом параграфе мы доказываем также, что при некоторых условиях крайние и сильно выступающие (определение см. ниже) точки замыкания пучка траекторий в пространстве С (7 ,Х) сами являются траекториями. Здесь существенно используется описание крайних точек множества 3(1/) . Отметим, что мы не случайно используем для обозначения многозначной функции в правой части системы (4.1) символ U , который в теории оптимального управления традиционно обозна -чает область изменения управления. Система (4.1) на самом деле эквивалентна управляемой (параметром-управлением Ц. ) системе xl h А (О х(0 +ь(0. хсо) = о, исо е If(t-)- (4.2) Действительно понятно, что всякое решение системы (4.2) является решением системы (4.1). Обратное включение следует из того, что, если X - решение системы (4.1), то y(i) - A (t)X(t) ( U(с) . А для системы (4.2) уже понятно, как доказывать компактность пучка траекторий; получить компактность множества - 52 управлений с ( О) % а затем воспользоваться непрерывностью отображения Z". & ( &/ J (C7J , переводящего управление в соответствующую ему в силу системы (4.2) траекторию. Осуществление этой программы нашем с доказательства непрерывности отображения Z" . ЛЕММА 4.1. Если / и.А -» / (р при П- = равномерно по ieT t то Г((СЛ) - Г((с,) при /г— = в пространстве С(Т,Х). ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Для любого ь 0 определим оператор : С (ГX) — С/ /X) следующим образом (в, x)(t) - J С A (S) X(S) + д csjj, пусть сШЧАШІ %С(4) /о с МС(1)% ,Хг С(Г,Х) . Тогда IfotfXO (А xz )(01 ± IJfc(sjix7(s;- г (5)1 CCVIt-Klc Vк І (РЛ W- ( PfXtHVl ± І г г Іс Ufccsj C(S)\ і « / ( РД - (РЛМОІ4 / CttJI 1- іх хг\с/т!± Мм- 11-Хг/с /п! , УпїО Следовательно, по принципу сжимающих отображений І №&) является единственной неподвижной точкой оператора / . Но, по построению й/?г \Рц Ро1 0у откуда получаем, что h —? его im 11(ч )-ТС )1с ft_»crO ТЕОРЕМА 4.1 fl07 . Пусть функция U принимает выпук - 53 лые значения. Тогда для того, чтобы пучок траекторий J(&) системы (4.1) был слабокомпактным в пространстве С(Г,Х) достаточно, чтобы множества были слабокомпактны почти всюду на / . ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. По лемме 4.1 отображение Т непрерывно в сильных топологиях пространств LJTJ) и С(Т,Х). Следовательно [і, с.4581, оно непрерывно и в слабых топологиях этих пространств. Остается заметить, что слабокомпактно по теореме 3.1. Перейдем теперь к изучению экстремальной структуры пучка траекторий. Напомним, что точка Х6 А называется крайней точкой выпуклого множества /fc/i , если не существует таких точек у,(:П , (/= 2L , что Х= 2 (yfJ, и сильно выступающей, jf. J/ Х jf. fit если существует такой функционал X 6 Л % что Х, у (Х,Х) для всех у А , и, кроме того, из сходимости (Х у,г) — (Х ,Х) следует, что I Х-(/ (-+0 для любой последовательности fit, tit A/J . Множества крайних и сильно выступающих точек множества А мы обозначаем, соответственно, через Щ А и SVKA (от англ. ІУІШС , Stwntffy VjLf 0bcd). Следующая лемма описывает крайние точки множества o(U) . ЛЕММА. 4.2 f9, 36 7 . Пусть функция U принимает выпуклые значения. Тогда -f 6 Vy. Ь(ЄОі если и только если f е (utU) , где ъ%СГ;- е С/(0. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Достаточность очевидна. Возьмем теперь /f ьц %(U) и определим многозначные функции //и К следующим образом НМ-l2f(V X: Хб U(V], KW = 0(i) о H(t). По теореме I.I имеем Следовательно, Q/C Kt Тогда по теоремам I.I и 1.3 найдется последова - 54 тельность измеримых относительно лебеговой 5 -алгебры функций [к , tie A/J такая, что для всех (-Т Для каждого tit/ возьмем борелевскую функцию нл , которая отличается от А. на борелевском множестве меры ноль. Тогда K(t) == сhh(0, ti(-A/j почти всюду на Т и /а и ti A/fcz S(0 Предположим, что некоторый (- f fi , п& A/J отличен от f на множестве положительной меры. Тогда что противоречит выбору функции f . Таким образом, t (fj = = {fWj почти всюду на 7" , что означает, что Для доказательства основной теоремы нам понадобится еще ЛЕММА 4.3. Для любой функции J( ((#(/J существует та кая последовательность /A , IM-/Vj ( (J) , что J Jn —? j0 / при ti-" равномерно по 6&7 , где со ІУ: t - со V(V. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Возьмем ft(d?tf) и 0. В силу интегральной ограниченности функции V существует такое о?0% что Jj Iff - / для любого (/ д(СО (У/ как только lt 5)- О . Так как лебегова мера неатомична, то по теореме 1.6 имеем ct )д (У= cf f/) С& v для любого п с . Следовательно, для разбиения 0іг4 t7... с /„ = / такого, что l tt tf-4l о » L-h , можно выбрать функции JC с) (и) такие, что / J . Я SJ C f I й /Я.?1 Аля всех (й Положим теперь gt = 2ЇІ Q" %(L tt-7) . Очевидно, что /f (&) и / / /- ffo/ для всех / , что заканчивает доказательство.
ТЕОРМА 4.2 / 97 . Если множества слабокомпактны почти всюду на - 55 Если множество относительно слабокомпактно, то 5&КС?Л(/) T(U). ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Предположим, что множества слабо компактны почти всюду на / . Тогда, по теореме 4.1, множество замкнуто. Следовательно, еГ((7) Тс со C/J. Обратное включение следует из лемм 4.1 и 4.3. Таким образом, cT(V) TCCOU) . %сть хе я.сЄ7(1// . Тогда ХЄ OX J (CO (/J и X-Z(U) для некоторого U (-(r &% о {CO U/ Но, по лемме 4.2, отсюда следует, что . Остаётся заметить, что С с со (/(() — = U(t) для всех (с/ [I, с.477J . Следовательно, ueS([/J и ХЄ 7(1/). Предположим теперь, что множество S(&) относительно слабокомпактно. Тогда го о ((// слабокомпактно и поскольку coS(U)=co Krc((// , то CoS(&/ слабокомпактно Гі, с.471J . Следовательно, слабая топология на со S((// совпадает с топологией (У(/,г (/,Х)у А\(/,Х )) , где /\(1,Х ) обозначает множество простых функций из / в X fl» с 28 J. Отсюда, по лемме 4.3, получаем, что $ (со С/) — Со S(&J Обратное же включение СО S((/)- Sc& (// очевидно. Таким образом, Scca(7hca$((7J и множество SCco(/J является слабым компактом. Кроме того, по лемме 4.1, линейное отображение Т непрерывно в сильных и, следовательно, в сла бых топологиях. Тогда непрерывное в слабых топологиях линей ное взаимнооднозначное отображение Т - и (со и) — J(Сс U) взаимнонепрерывно в слабых и, следовательно, в сильных тополо гиях fl, C.458J . Таким образом, получили непрерывность отоб ражения Т в сильных топологиях. Цусть ХЄ S&X СС J( U/ , а функционал Х ( сильно выделяет точку X . Возьмём такую последовательность /&W, /г6 A/J = ( (/) , что (X , !((/„)/ - (X, X} . Тогда, по определению / Z(Uh) - Х] » 0 . Заметим теперь, что, поскольку J (со ") = СсУ((У) f то Х= Т(С() дЛЯ некоторого U( (СО Uj . В силу непрерывности отображения 7 отсюда получаем, что / ,- / — О . Мы можем считать, выбирая, если нужно, подпоследовательность, что последовательность [( .,№/ j сходится к # поточечно почти всюду на Т [ZI9 с. 5497 . Следовательно, #(Of l/ft J почти всюду на / в силу замкнутости значений функции и . Но это означает, что Xf /((//.
Когда многозначная функция является интегралом Аумана или теорема Радона-Никодима для многозначных мер
Пусть некая многозначная функция р: J - 2 с выпуклыми компактными значениями является функцией достижимости линейной системы X(V fiMxli) + 1/(0, Х(О) 6 F(O), Хорошо известно (см., например, /46 J ), что тогда Fit)- F(o) І- XVJffx (О U(о, где X является решением матричного уравнения X(О /НОМО, Х(0)=Е. Здесь С « единичная матрица. Таким образом, для описания функций достижимости линейных систем необходимо иметь описание неопределенных интегралов Аумана. Такое описание для случая пространства R в наиболее удобной форме было дано Артштайном С 23 J j многозначная функция F с выпуклыми компактными значениями является интегралом Аумана тогда и только тогда, когда она абсолютно непрерывна и для любых 0 S z ( 1 существует выпуклый компакт такой, что Fes)/- fas, ) =-= г (сJ # в терминах многозначных мер это утверждение выгля -дит как теорема Радона - Никодима; мера с выпуклыми компакт -ными значениями (ее значение на отрезке [S, с] равно К С О ) абсолютно непрерывная относительно меры Лебега на Т имеет R/ -производную. В такой постановке задача рассматривалась различными авторами fl3, 24, 35, 38 -40, 45, 48] в различных пространствах.
В диссертации получаются теоремы R/V для многозначных мер со значениями во множестве непустых подмножеств сепарабель-ного пространства Фреше со свойством RN . Для доказательства теоремы R/V используется мартингальный подход. - Q каждой многозначной мерой связывается многозначный мартингал и пока -зывается, что существует "замыкающая" его многозначная функция, которая и является производной Rfv для первоначальной многозначной меры. В построении условного математического ожидания измеримых многозначных функций мы следуем [ 49] . Полученные результаты улучиїают и обобщают на случай пространства Фреше теоремы о "замыкании" мартингалов в [49J и теоремы RN в [48] .
Напомним, что пространством Фреше X называется полное локально-выпуклое топологическое пространство, топология которого определяется счетным числом полунорм , (.& A/j и, следовательно, метризуема. Аналогично случаю банахова пространства функция (Т,4. )- X называется интегрируемой, если она сильно измерима и Рс s Jp({/) для всех t Счетное семейство полунорм [Р-, U А ] делает линейное пространство (классов эквивалентности) интегрируемых функций пространством Фреше, которое будет обозначаться через (или просто через L,(I,X) , когда понятно, о каком вероятностном пространстве идет речь). Пусть У является # -подалгеброй (Г -алгебры ж . Функция t Lt( /, - , , X) называется У-измеримой, если feLjZyjuftX). Функция Q6 I, (f,X) называется условным математическим ожиданием (у.м.о.) функции ft LJT,X) относительно 5" -алгебры У , если она У -из -61 мерима и j » /= fcf для всех С Є У . Функция в этом слу чае обозначается через Еу У.м.о. существует для всехфун ций f L1 (Г,Х) , а оператор By является линейной сжимаю щей проекцией в том смысле, что Pi (Eyf) Pt (f) Для всех it А/ . Доказательство этого утверждения в случае банахова пространства см., например, в f43] . В случае пространства Фреше доказательство протекает аналогично. Пусть 1 - направ ленное семейство индексов, [ с ,(6-{} - возрастающее семейст во О" -подалгебр СГ-алгебры . Если семейство -V -измери мых функций // , (.(г 1 , таково, что для - J справедливо Ew. fj = Іі , то оно называется мартингалом относительно [y-,itlj и обозначается через [ ft , К, tfJJ У.м.о. и мартингалы для многозначных функций определим аналогично, только с заменой в определении интеграла Бохнера на интеграл Аумана. Кроме того, если в определении у.м.о. для многозначных функций заменить равенство frF f O на равенство замыканий clLF = ClLG » то будем говорить о слабом у.м.о. и, соответственно, о слабом мартингале. У.м.о. многозначной функции h относительно у будем обозначать также через EyF » а слабое у.м.о. - через /у г . Первый вопрос, который возникает в теории мартингалов для многозначных функций - это вопрос существования у.м.о. в этом случае. Автору известно два подхода к решению этого вопроса. Первый подход, развиваемый в [25, 62, 63j , использует вложение выпуклых замкнутых ограниченных множеств в линейные пространства через их опорные функции. Таким образом, многозначные функции заменяются функциями со значениями в некоторых линейных топологических пространствах, и рассмотрение ведется уже в этих пространствах. Но дело в том, что действуя так мы не всегда получаем хорошие функции, т.е. сильно измеримые, в хороших пространствах, например, в банаховых. Поэтому в этой работе мы используем второй, более широко применимый, подход к построению у.м.о. для многозначных функций. Этот подход предпринят в f49J для банаховых пространств, и использует представление измеримой многозначной функции через её измеримые селекторы. Опишем его кратко для нашего случая, когда X является сепарабельным пространством Фреше. Цусть F - измеримая интегрально ограниченная функция с выпуклыми замкнутыми значениями. В дальнейшем класс таких функций будем обозначать через Н (7 ,Х) .К каждому элементу множества применим оператор у.
Оператор LTy напоминает по своим некоторым свойст вам обычный оператор у.м.о., действующий на пространстве Ц(Т,Х) . Так, если на Н(Г,Х) ввести естественную метрику, то оказывается, что он является сжимающим оператором f49/ . Многозначный же мартингал, порожденный сильно измеримой функцией из , сходится к ней так же, как и в случае точечнозначных мартингалов fl2jf . Мы хотим проверить, выполняется ли для многозначных мартингалов еще одно свойство их обычных прототипов: если пространство л обладает свойством R(V , то равномерно интегрируемый мартингал ///, ft , с (г 1} можно "замкнуть" некоторой функцией / , т.е.существует такая функция f , что fc = fc Д для всех (f 1 /.37J . Оказывается, что это свойство тоже сохраняется.
Ранее (см. 2, гл. I) свойство определялось для банаховых пространств. Для пространств Фреше оно определяется аналогично. Напомним, что мерой Иг называется счетно адди - 65 тивная функция на 5 -алгебре . Для каждой полунормы Pi определим Д -вариацию меры /Ч следующим образом где супремум берется по всем конечным измеримым разбиениям "7Г множества F. Мера Ш называется мерой ограниченной вариации, если V( (tnJ ыэ для всех if/V и абсолютно непрерывной относительно числовой меры yU , если из уК л - О следует ҐП А = / / . Пространство Фреше X обладает свойством если для любого вероятностного пространства (F,Jt,y4cJ и любой меры Пг: st — /( ограниченной вариации и абсолютно непрерывной относительно м существует такая функция J. Z, (FJyX) , что ГпА f f для всех . Свойство для локально-выпуклых пространств рассматривалось в [6l] , где доказано, что рефлексивные пространства Фреше им обладают.
Реализация многозначных функций линейными управляемыми системами
Пусть в конечномерном евклидовом пространстве л в каждый момент времени tе Т задано множество F() . Мы хотим в классе дифференциальных управляемых систем выбрать достаточно простую систему так, чтобы ее множества достижимости &(tj мало отличались от i(t) в каждый момент времени 1 Т Л Точнее вопрос ставится так: существует ли линейная управляемая система xli) е fid) xW+VW, «» F(OJ, (2л) такая, что при всех L с множества совпадают в метрике Хаусдорфа с точностью до заданного ? Q . В таком случае мы говорим, что система (2.1) реализует множества F(fJ (точное определение см. ниже). Поскольку в непрерывном случае множества достижимости линейной системы выпуклы, то естественно рассматривать только функции / с выпуклыми значениями. В дискретном же случае, который здесь не рассматривается, вопрос можно ставить для произвольных функций г . В работе к исследованию поставленной задачи намечено два подхода. Это отражает тот факт, что существует два класса довольно простых многозначных функций, являющихся функциями достижимости линейных систем: кусочно линейные и многограннико -значные функции (точнее см. ниже). Сначала (теорема 2.1) мы приближаем произвольную многозначную функцию кусочно линейной с точностью до семейства линейных непрерывных отображений. Достоинством этого подхода является то, что линейная система, множества достижимости которой P(i-) приближают множества F(t) , строится в том же пространстве л . Однако остается неизвестным, выполняются ли естественно желаемые соотношения F(t) &(t) всюду на Т или Ю(і) І (ї) всюду на Т . Кроме того, класс реализующих систем может быть очень широким, в том смысле, что, вообще говоря, могут понадобиться системы с произвольными функциями управления С/ . Этих недостатков лишен второй подход, основой которого является приближение многозначной функции многограннозначной. В этом случае реализующая линейная система строится в классе систем с функцией управления U тождественно равной единичному симплексу S = = /V ,--v tn) ( Ftn L X; = 1 , Xt їО /nJ.lio строится она в пространстве R , где tn п , и чем точнее мы хотим приблизить функцию г , тем, вообще говоря, в пространстве большей размерности необходимо работать. Поэтому выполняется не F(t) s S)(t) иди М) F(t) , а ПО Рп (0 или % ( ) F(t) , где / - оператор проектирования на первые И ко ординат. Сначала (теорема 2.2) мы производим приближение сна ружи ( Ftt) Рь S)( )) Основой для такого приблияжения является приближение выпуклого множества пересечением его опорных гиперплоскостей. Затем (теорема 2.4) - приближение изнутри . При этом главную роль играет получаемое представление многозначной абсолютно непрерывной функции через ее абсолютно непрерывные селекторы, аналогичное Кастэновскому представлению многозначной измеримой функции.
Теперь дальнейшая программа ясна; для функции Ff ACf/ F ) надо построить близкую сверху к ней функцию G (- A ( (fj )у значениями которой являются т -угольники с линейно независимыми вершинами. Поскольку для хорошего приближения необходимо, вообще говоря, to ti , то функция & будет строиться в пространстве большей размерности, чем исходное пространство, а функция F будет рассматриваться как лежащая в некотором его подпространстве.
Так как / F{F(V. I) fCfrsj, Є)] , то правая часть систвхмы (2.5) абсолютно непрерывна по t . Следовательно и ее решение обладает тем же свойством. Таким образом, существует совокупность абсолютно непрерывных функций {Х-; ( т] такая, что Gp ft) = ccrfXt- (і): U Пп J . Отсюда получаем, что функции Л абсолютно непрерывны, а функции 1р t - р (Fft)) (fr, Ш) непрерывны для всех р ( Л/ . Хорошо известно, что 7р (1)-+0 для каждого if- F, Но поскольку эта сходимость монотонна, то по теореме .Иини f7, C.I66J она равномерна по ifF , т.е. для любого существует такой номер p?/V , что р (Gp ft), F(t)) ± а для всех t fF ч Включение F ft) — Gp ( t) для всех tt /"очевидно по построению. Доказательство закончено.
Следующая лемма нужна для построения многогранника с линейно независимыми вершинами. ЛЕММА 2.3. [ll] . Предположим, что, используя лемму 2.2, мы приблизили некую многозначную функцию многограннозначной функцией г такой, что Int FW 0 и / ft)e=zF для - 80 всех t( Т . Тогда существуют такие абсолютно непрерывные функции fh ,. (й til , что для всех te Т точки [{ (() і ft j линейно независимы и лежат в Г(і) . ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. По предположению существуют единичные векторы f ft- fnl и абсолютно непрерывные функции [Хс . і к) , { / . . ( & пг} такие, что F(t) = со /х((()t }= П {хе № ft.,x mi VteT с in Тогда функция f s Z. Kr- Х абсолютно непрерывна и лежит в IatF(t) при всех . Действительно, предположим, что для некоторого справедливо Тогда существует линейный функционал ъ такой, что 1,Х; ((о)) — - Ь/((?)) Для всех с-К . Следовательно, 11 К 1-Xt-(y) - (, f do)) » и равенство здесь возможно только тогда, когда (, Х, ((0)) & /(О) для всех / . Но это означает, что множество F((0) лежит в /2- У-мерной гиперплоскости. Получили противоречие.
Определим теперь функции Д у; , і n , J - tb , следующим образом: положим А,у / равным решению уравнения где у - : t faj - база пространства д . Понятно, что функции Х(у абсолютно непрерывны. Следовательно, абсолютно не -прерывны и функции f Ас - ( К} » где \t.(t) tncti [ т.о./. і О, Xcjtt)}: j fb/. Покажем теперь, что функции / = / t X (- Є(- f с- ft , УДО -81 влетворяют условиям лешяы. Их абсолютная непрерывность очевидна. Предположим, что при некотором ї0 7" точки // fa,) ; ( ti} линейно зависимы.
В заключение этого параграфа покажем, что при достаточно общих предположениях функция достижимости управляемой системы в R абсолютно непрерывна и, следовательно, к ней можно применять полученные выше результаты.
