Введение к работе
1. Актуальность темы. Многие задачи, имеющие суг>бо практическое значение, такие как задачи классификации, медицинская и техническая диагностика, анализ экспериментальных данных, идентификация, задача распознавания образов давно известны и представляют широкий практический интерес Несмотря на большое разнообразие средств для решения этих задач ц обширный опыт их успешной практической реализации, интерес к данной тематике не угасает, тк появляются все новые, более сложные реальные задачи, требующие усовершенствования как математических моделей, их описывающих, так и инструментов для их решения
В области решения указанных задач существует несколько различных подходов статистический подход Р Фишера, получивший развитие в начале 60-х годов прошлого столетия, метод опорных градиентов, предложенный В Вапником, метод машинного обучения, метод обработки данных с помощью линейного программирования, кластерный анализ и другие, а также так называемый «оптимизационный подход», основоположниками которого были И М Гельфанд, Ю И Журавлев, Б Н Козинец, О Л Ман-гасарян, Б Т Поляк, Дж Б Розен, В Н Фомин, В А Якубович и другие В 60-е - 80-е годы XX века наиболее развитыми и популярными инструментами оптимизации были линейное и квадратичное программирование Поэтому до сих пор оптимизационные элементы, которые являются ключевыми во всевозможных методах, основаны или сводятся к линейному
или, по большей части, квадратичному программированию Тем не менее, в последние десятилетия прогресс в математическом программировании и компьютерных науках, возникновение и развитие негладкого анализа и недифференцируемой оптимизации дали новые усовершенствованные и усложненные инструменты Теперь, используя эти инструменты, стало возможным создавать математические модели, обеспечивающие более высокое качество идентификации Кроме того, современная вычислительная техника позволяет обрабатывать огромные массивы экспериментальных данных в различных областях (в медицине, биологии, химии)
Целью работы является проведение исследований, направленных на развитие методов негладкого анализа для решения задач математической диагностики, а также улучшение существующих методик идентификации точек многомерного пространства и построение новых РП
Методы исследования. Для построения и исследования новых РП используется современный аппарат негладкого математического анализа, а также математическое программирование, включая методы недифференцируемой оптимизации и квазидифференциального исчисления
Научная новизна.
1 В диссертационной работе предложены новые методы оптимального разделения двух и трех множеств многомерного пространства Для решения задачи разделения двух множеств в n-мерном пространстве при помощи (п-І)-мерной гиперплоскости вводятся два новых суррогатных оценочных функционала значение одного из них есть
сумма расстояний от неверно идентифицированных точек до разделяющей гиперплоскости, а значение другого - почовина суммы квадратов этих расстояний На основе исследования данных функционалов выводится алгоритм построения оптимального (в смысле указанных функционалов) РП, доказывается сходимость данного алгоритма Решение задачи идентификации трех множеств в п-мерном пространстве предлагается искать методом построения двух параллельных (п-1)-мерных гиперплоскостей, разделяющих данные множества Аналогично случаю двух множеств вводятся два оценочных функционала, на основе исследования которых выводится алгоритм построения оптимального РП (сходимость алгоритма также доказывается)
Построены численные методы для минимизации четырех рассматриваемых суррогатных функционалов с использованием метода наискорейшего спуска и метода проекции градиента
Разработано программное обеспечение, реализующее предложенные методы идентификации, проведено тестирование на базе данных Wisconsin Prognostic Breast Cancer Chemotherapy Database (база данных пациентов с РМЖ), а также сравнение полученных данных с известными статистическими медицинскими показателями эффективности применения метода дополнительной химиотерапии при лечении РМЖ
5. Практическая и теоретическая значимость работы. Теоретическая значимость диссертационной работы определяется тем, что в ней
предложены новые математические методы и вычислительные алгоритмы дня решения задач идентификации двух и трех множеств многомерного пространства
Практическая значимость разработанных методов и алгоритмов за-ключается в создании программного обеспечения, которое может послужить достаточно простым и удобным инструментом для решения различных задач математической диагностики, возникающих на практике
6 Апробация работы. Диссертация в целом, а также ее отдельные положения и полученные результаты докладывались и обсуждались на XXXVI, XXXVII и XXXIX научных конференциях <Процессы управления и устойчивость> факультета прикладной математики и процессов управления (г Санкт-Петербург, 2005, 2006, 2008), Международной математической конференции <Еругинские чтения - ХХ> (г Могилев, 2005), Международной математической конференции <Математические методы в технике и технологиях> (г Воронеж, 2006), а также на семинарах кафедры математической теории моделирования систем управления СПбГУ
Публикации По результатам выполненных исследований опубликовано двенадцать печатных работ, в том числе две в журналах, входящих в список ВАК Перечень публикаций приведен в конце автореферата
7. Структура и объем диссертации. Диссертационная работа включает в себя данное введение, список основных обозначений, четыре главы, содержащих основные результаты работы, заключение и перечень исполь-
