Содержание к диссертации
Введение
1 Определение оптимальной системы штрафов при расторжении договора 12
1.1 Основные характеристики рассматриваемой модели 12
1.2 Определение оптимальной системы штрафов без учета возможности незаключения договора и без учета смертности 17
1.3 Определение оптимальной системы штрафов с учетом возможности незаключения договора и с учетом смертности 40
2 Построение оптимального комиссионного вознаграждения в страховании жизни 54
2.1 Основные характеристики рассматриваемой модели 54
2.2 Построение оптимальной комиссии при фиксированных параметрах договора смешанного страхования жизни 58
2.3 Построение оптимальной комиссии при возможности изменения параметров пенсионного договора страхования 69
3 Исследование влияния льготы по налогообложению 74
3.1 Основные характеристики рассматриваемой модели 74
3.2 Определение оптимального уменьшения налогооблагаемой базы для единого социального налога 81
Заключение 132
- Определение оптимальной системы штрафов без учета возможности незаключения договора и без учета смертности
- Определение оптимальной системы штрафов с учетом возможности незаключения договора и с учетом смертности
- Построение оптимальной комиссии при фиксированных параметрах договора смешанного страхования жизни
- Определение оптимального уменьшения налогооблагаемой базы для единого социального налога
Введение к работе
Традиционно при решении задач в области страхования используются методы актуарной математики, базирующиеся на математической статистике. Модели и методы теории игр, которые применяются при исследовании различных проблем экономического регулирования, не получили широкого распространения при решении страховых задач. В работах ряда исследователей рассматривается применение теоретико-игровых моделей для определения размера премий. При этом в современной литературе мало внимания уделяется использованию теории игр для определения характеристик страхового договора, отличных от премии.
В работе Ворча (см. [7]) теория игр была использована для определения распределения риска неразорения страховой компании между группами застрахованных лиц с разными вероятностями возникновения страхового случая. Риск неразорения страховой компании учитывается в страховых премиях и влияет на их размер. Определение оптимального размера данной надбавки к премии для разных групп застрахованных лиц было сведено к поиску ситуации равновесия для игры многих лиц.
В работах Лемера (см. [16], [26], [27]) теория игр применяется при рассмотрении системы бонус-малус1 в автомобильном страховании. Выстраивается оптимальное изменение страховой премии (система бонус-малус) в зависимости от истории наступления страховых случаев. Решение задачи сводится к повторяющейся игре с полной информацией.
Одной из актуальных проблем для страховых компаний является возможность определять не только размер премии, но и другие характеристики, влияющие на договор страхования. Традиционно ряд параметров договора страхования жизни, такие как порядок определения выкупной суммы (штраф за досрочное расторжение) и размер комиссионного вознаграждения, определяются исходя из общепринятых на страховом рынке значений.
В данной диссертационной работе рассмотрен страховой рынок и его функционирование. В страховании часто возникают вопросы управления в иерархических игровых системах, т.к. в этой области деятельности один субъект нередко диктует линию поведения другому субъекту - управляет им в условиях полного или частичного несовпадения интересов.
1 Система скидок и надбавок к страховой премии в зависимости от истории страховых случаев. Бонус -система скидок к базовой страховой премии, если в отношении объекта страхования не наблюдалась реализация страхового риска. Малус - система надбавок к базовой страховой премии, если в отношении объекта страхования обнаружилась реализация страхового риска. В основном применяется в автомобильном страховании. Наличие этой системы стимулирует страхователя к более безопасному поведению на дорогах.
Целью работы является построение и исследование теоретико-игровых моделей взаимодействий, возникающих при заключении и в процессе действия договоров долгосрочного страхования жизни, определение оптимального поведения субъектов, участвующих в данных взаимодействиях.
При этом особое внимание уделено следующим классическим типам договоров долгосрочного страхования жизни:
• Договор долгосрочного смешанного страхования жизни2
• Договор пенсионного страхования3
При рассмотрении договоров долгосрочного страхования жизни можно выделить следующие субъекты, участвующие во взаимодействии: страховая компания4 (страховщик), страхователь5, агент6, государство, банк.
При заключении и в процессе действия договора долгосрочного страхования жизни между страховщиком, страхователем, агентом, государством и банком возникают взаимоотношения, указанные на рис. 1 и описанные ниже.
Страхователь принимает решение о заключении и расторжении договора со страховщиком, а также периодически выплачивает ему премии по договору страхования. Страховщик делает выплаты страхователю при наступлении страхового случая и при расторжении страхователем договора страхования.
Страховщик платит государству налог на прибыль. Страхователь выплачивает государству налог на доходы физических лиц, а также единый социальный налог. При этом государство может предоставлять страхователю льготы по данным видам налогов.
2Смешанное страхование жизни - вид личного страхования, при котором страховая сумма выплачивается по окончании срока действия договора страхования, но может быть выплачена и ранее в случае смерти застрахованного лица. Таким образом, данный договор страхования одновременно покрывает два риска: смерть и дожитие до оговоренного в договоре срока.
3Пенсионное страхование - вид личного страхования, при котором страховая сумма выплачивается регулярно в течение установленного договором периода по достижении застрахованным лицом определенного в договоре возраста.
4Юридическое лицо, имеющие лицензии на осуществление страхования соответствующего вида.
53десь: под страхователем (лицом, производящим выплаты по договору страхования) подразумевается в том числе и застрахованное лицо (лицо, чьи имущественные интересы являются объектом страхования) и выгодоприобретатель (лицо, являющиеся получателем страховой выплаты).
6Страховой агент, агентская сеть или страховой брокер (организация, осуществляющая поиск клиентов за комиссию).
Агент информирует страхователя о договоре страхования и заключает с ним данный договор, при этом страховщик выплачивает агенту комиссию за заключение договора страхования.
Страхователь может вкладывает деньги в банк, рассматривая это как альтернативу накопительной составляющей в договорах долгосрочного страхования жизни.
В работе подробно рассмотрены следующие аспекты взаимодействия субъектов:
1. Взаимодействие страховщик-страхователь-банк, возникающее при заключении и в ходе действия договора смешанного страхования жизни. Данное взаимодействие рассмотрено на примере определения оптимальной системы штрафов за расторжение договора смешанного страхования жизни.
2. Взаимодействие агент-страховщик-страхователь, возникающее при заключении договора долгосрочного страхования жизни. Данное взаимодействие рассмотрено на примере построения оптимального комиссионного вознаграждения для договоров долгосрочного страхования жизни.
3. Взаимодействие государство-страховщик-страхователь-банк, возникающее при заключении и в ходе действия договора пенсионного страхования. Данное взаимодействие рассмотрено на примере определения оптимального уменьшения налогооблагаемой базы для единого социального налога.
В первой главе рассматривается игровая постановка задачи взаимодействия трех субъектов:
страховой компании, страхователя и банка. Страхователь и страховщик являются активными субъектами, которые могут изменять стратегии своего поведения, - игроками.
Страховая компания управляет поведением страхователя - принятием решения о годе расторжении договора страхования, посредством установления размеров штрафов за досрочное расторжение договора страхования.
Взаимодействие рассматривается на примере договора долгосрочного смешанного страхования жизни.
Если договор страхования долгосрочный, то в него обычно заложена возможность расторгнуть его в любой момент, т.к. страхователь не может связывать себя обязательствами на до-стачно большой промежуток времени (например: ежегодная уплата премии по договору страхования), поэтому, возможно, он предпочтет заключить краткосрочный договор страхования, даже более дорогостоящий. Рассматриваемый в работе договор смешанного страхования жизни страхователь может расторгнуть в любой момент.
Страхователи расторгают договоры страхования в зависимости от различных обстоятельств. В работе рассматривается только экономическая причина расторжения договора: неудовлетворенность страхователя текущей доходностью по полису и возможность получения дохода за счет расторжения договора и более выгодного инвестирования выкупной суммы (части накопленных средств страхователя, возвращенных ему страховой компанией при расторжении договора) в банке, при этом страхователь заключает договор страхования жизни на случай смерти для покрытия риска смерти на оставшийся период.
Штраф за досрочное расторжение договора определяется, как часть накопленных средств страхователя, которая удерживается страховой компанией (страховщиком). Штраф за расторжение договора страхования может различаться в зависимости от года расторжения договора. Оптимальная система штрафов позволяет страховой компании управлять поведением страхователя и стимулировать продолжение/расторжение договора страхования.
Стратегией страхователя является год расторжения договора.
Стратегией страховщика является штраф за расторжение договора в зависимости от года расторжения.
Банк является альтернативой страховщику: размещение денег в банке может заставить страхователя отказаться от заключения договора смешанного страхования жизни - договора с накопительной составляющей. Заметим, что банк в отличие от страховщика не гарантирует фиксированной ставки доходности на длительный срок: банковский процент может изменяться банком из года в год в зависимости от рыночных условий.
В рамках данной задачи происходит поиск такой системы штрафов, которая управляет поведением страхователя для максимизации прибыли страховщика.
В работе показано, что страховщику выгодно удерживать страхователя до окончания срока действия договора, выплачивая ему для этого дополнительную сумму при дожитии до окончания срока действия договора. При этом данную сумму7 страховщик должен указывать до заключения договора со страхователем, и именно эта сумма побуждает страхователя заключить договор смешанного страхования жизни, а в последствии и не расторгать его.
Во второй главе рассматривается игровая постановка задачи взаимодействия трех субъектов: страховой компании, ее агентов (агентской сети, страхового брокера) и страхователей. Активными субъектами являются агент и страховщик.
Размер комиссионных выплат всегда являлся предметом спора между агентом и страховой компанией. Страховщику не всегда выгодно повышать комиссионные выплаты агенту, т.к. это уменьшает его прибыль с одного полиса. Агент же старается получить максимальную комиссию за заключение договора страхования, т.к. она является основным источником его дохода.
Размер комиссионных выплат агентам при заключении договоров страхования может оказывать значительное влияние на количество застрахованных данной компанией лиц, и, как следствие, на доход и обороты страховой компании.
Благодаря оптимальному выбору размера комиссионных выплат агентам можно в несколько раз увеличить прибыль от данного вида страхования, а также увеличить долю присутствия компании на рынке.
В ряде страховых компаний существует прогрессивная шкала ставок комиссионных, зависящая от таких факторов, как объем принесенной в компанию страховой премии, отсутствие убытков по договорам, заключенным агентом, и т.д. Часто размер комиссионных зависит и от вида страхования, по которому заключен договор.
Страховая компания может напрямую привлекать часть страхователей, заинтересованных в договоре страхования. Оставшуюся часть страхователей, заинтересованных в договоре страхования, страховщик может привлечь через агентов (агенты могут быть представлены как подразделением страховой компании, так и отдельной компанией, специализирующейся на заключении договоров страхования).
7Эта сумма известна в страховой теории под названием терминальный бонус.
Процесс работы с клиентом (страхователем) является затратным для агентов, в первую очередь с точки зрения времени. Считается, что число лиц, застрахованных агентами, зависит как от комиссии за заключение договора, выплачиваемой агентам страховщиком, так и от затрат самих агентов на предложение лицам договора страхования.
В работе рассматриваются игровые постановки задачи на примере договоров смешанного страхования жизни и пенсионного страхования. При этом считается, что размер комиссионных не зависит от индивидуальных показателей работы агента, а является общим в заданных условиях для всех агентов.
Поведение страхователей (среднее количество страхователей, заключивших договора страхования) считается фиксированным и зависит от "привлекательности"договора страхования. При этом "привлекательность"договора страхования зависит от "прибыли", которую страхователь может получить от договора страхования, с точки зрения страхователя. В данной работе эта "прибыль"считается равной полученным от страховщика выплатам по страховым случаям за вычетом премий, выплаченных страховщику, и отражает упрощенное представление страхователя - физического лица, о договоре страхования.
Стратегией страховщика является размер комиссии агентам за привлечение одного страхователя.
Стратегией агентов является эффективность работы по продаже договоров страхования, выражаемая как число лиц, которым агенты предложили договор страхования.
В данной задаче определяется оптимальный размер комиссионных выплат агентам, при котором прибыль страховой компании максимальна.
В работе получено решение данной задачи и показано, что оно не сильно отличается от реальных комиссий, указываемых страховыми компаниями. Также было доказано, что при фиксированных параметрах договора всегда существует аналитическое решение задачи максимизации размера прибыли страховой компании, и для получения максимальной прибыли (за вычетом затрат) агентам выгодно заключать договора страхования с большим периодом уплаты взносов страхователем. Был разработан численный метод решения задачи поиска оптимального комиссионного вознаграждения в случае, когда первоначальные расходы страховщика, заложенные в премии, равны комиссии. Показано, что данный метод определения комиссии агентам может применяться не только для договоров страхования жизни.
В третьей главе рассматривается игровая постановка задачи взаимодействия четырех субъектов: страховщика, страхователя (налогоплательщика и его работодателя), государства и бан ка. В данной задаче игроками являются страхователь и государство.
Государство управляет поведением страхователя - принятием решения о заключении договора страхования, посредством введения налоговой льготы на премии, выплачиваемые страхователем в страховую компанию.
Модель исследуется на примере договора пенсионного страхования.
Дополнительное пенсионное страхование является сложной финансовой и социальной услугой, заключающейся в обеспечении материального благополучия страхователя в будущем. Государству выгодно стимулировать заключение договоров пенсионного страхования со страховыми компаниями, поскольку страховая компания может обеспечить более высокий доход по сравнению с Пенсионным Фондом Российской Федерации.
В работе рассматривается возможность снижения налоговой базы ЕСН (см. [31]) в рамках налога на финансирование страховой и накопительной части трудовой пенсии (см. [35]) для стимулирования заключения договоров пенсионного страхования со страховыми компаниями. При этом снижение налоговой базы ЕСН возможно на сумму пенсионных взносов (выплат) по договору пенсионного страхования, заключенному со страховой компанией. Снижение выплат на финансирование страховой и накопительной части трудовой пенсии уменьшает итоговую страховую и накопительную части трудовой пенсии.
Рекомендации по заключению договоров пенсионного страхования жизни, а так же само заключение договоров производят работодатели. Данные рекомендации работодателя должны быть направлены на достижение двух целей: максимизация совокупного дохода налогоплательщика и удовлетворенность налогоплательщика своей итоговой пенсией. Пенсия налогоплательщика должна обеспечить ему "достойную старость"8, т.е. пенсия не должна быть намного меньше заработной платы. При этом считается, что получение налоговой льготы по выплатам по договору пенсионного страхования оформляется работодателем на этапе уплаты налогов, 8Согласно [38] отношение государства в развитых странах к пенсионному обеспечению можно разбить на три уровня:
1. Защита от бедности - гарантия некоторого прожиточного минимума.
2. Достойная старость - стимулирование работающих для формирования дополнительной пенсии. Стандартными стимулами являются налоговые льготы, предоставляемые участникам пенсионных систем.
3. Частная инициатива - человек за счет своих собственных средств осуществляет свое пенсионное обеспечение.
таким образом можно автоматически увеличивать сумму выплат налогоплательщиком страховщику на полученные им налоговые льготы.
Несмотря на то, что Пенсионный Фонд Российской Федерации является отдельным юридическим лицом (см. [37]), в данной работе он рассматривается как часть государства, т.к. за управление им отвечает правление Фонда, назначаемое Президентом и Правительством Российской Федерации (подробнее, см. [37]), а базовая часть пенсии формируется за счет средств федерального бюджета (см. [35]).
В математической модели принимается во внимание, что при определении налоговой базы для налога на доходы физических лиц не учитываются суммы пенсионных (страховых) взносов по договорам пенсионного страхования, заключенным с российскими страховыми организациями (см. [30], статья 213).
Стратегией государства является решение по введению налоговой льготы по ЕСН для премий, уплаченных в страховые компании.
Стратегией страхователя является размер выплат в страховую компанию и банк.
Поведение страховщика (договор пенсионного страхования) и банка (банковский "пенсион-ный"договор) фиксированы. При этом банковский "пенсионный"договор является альтернативой договору пенсионного страхования страховщика: налогоплательщик (по рекомендации работодателя) выберет более доходный договор, или выберет оба договора и разделит между ними выплаты.
В рамках данной задачи найдено оптимальное поведение государства, максимизирующее его прибыль.
В работе построен алгоритм поиска оптимальной стратегии государства - определения выгодно или нет государству вводить налоговую льготу по ЕСН. Также найден диапазон значений банковской ставки, при котором ввод льготы по ЕСН выгоден государству. Показано, что для обеспечения достойной старости налогоплательщику с большими доходами необходимо откладывать больший процент от ежегодной заработной платы на пенсию.
Методы исследования, используемые в работе, базируются на теории игр, математическом аппарате исследования операций, теории оптимизации и теории вероятностей.
Особое внимание в работе уделено аналитическому решению рассматриваемых задач.
Научная новизна работы состоит в определении характеристик страхового договора, отличных от размера премий, посредством рассмотрения иерархических игровых систем. В работе впервые применен теоретико-множественный подход для определения возможности снижения налоговой базы единого социального налога (ЕСН) на сумму пенсионных взносов по договору добровольного пенсионного страхования.
Полученные в работе результаты представляют ценность для страховых компаний, работающих с долгосрочными договорами жизни, и могут быть использованы ими для определения размера штрафов за досрочное расторжение договора страхования и размера комиссионного вознаграждения агентам за заключение договора страхования.
Определение оптимальной системы штрафов без учета возможности незаключения договора и без учета смертности
Общая постановка задачи построения оптимальной системы штрафов для договоров смешанного страхования жизни описана в п.1.1.1. Общие обозначения даны в п.1.1.2. В данной постановке задачи страхователь не принимает решения заключать или нет договор страхования жизни, он может только расторгнуть его. Решение задачи рассматривается без учета смерти застрахованного лица (более подробно, см. п.1.2.2). Считается, что расходы на ведение дела страховщика равны нулю (см. 1.1.1), т.е. размер ежегодных административных расходов страховщика на 1 застрахованного человека равен нулю (/? = 0) и размер первоначальных расходов страховщика на 1 застрахованного человека равен нулю (а = 0). ГоДОВЫе Процентные СТаВКИ igUar,ibank,4nr фиксированы, Причем: Ііпг ІЬапк Ідиаг- Соответственно: 1 vguar vbank vinr 0 (1-Ю) Дополнительные обозначения xt - часть страхового резерва за t-ый год, выплачиваемая страхователю в виде выкупной суммы в случае расторжения договора в t-ом году, t = 1,п. При этом получение выплаты по дожитию считается эквивалентным расторжению договора в n-ый год. Заметим, что хп - включает в себя не только выплату по дожитию, но и надбавку (терминальный бонус), выплачиваемую страхователю по дожитию до конца срока действия договора. т ЄТ = 1,... ,п - год расторжения договора страхователем. Введем следующие сокращения для записи формул: P - брутто-премия по договору смешанного страхования без учета смерти, см. (1.14) tV - резерв по данному договору страхования, см. (1.15) 1.2.2 Выделение инвестиционной составляющей смешанного страхования жизни Ежегодная брутто-премия по договору смешанного страхования без учета смерти согласно (1.5) равна: Резерв по данному договору согласно (1.2), (1.3) и (1.6) равен: P - премия, определенная в (1.14) и включающая в себя только инвестиционную составляющую договора смешанного страхования жизни GP - премия, определенная в (1.5) и включающая в себя как страховую, так и инвестиционную составляющую договора смешанного страхования жизни Покажем, что GP не сильно отличается от Р, а, следовательно, страховой составляющей договора смешанного страхования жизни можно пренебречь.
Согласно данным Государственного комитета по статистике Российской Федерации за 1995 год (см. Приложение I) вероятность смерти женщины 35 лет в течение года составляет 0,2204%, а средняя вероятность смерти в течение года женщин возраста от 25 до 45 лет составляет 0,1966%. На графике (см. рис.3) приведена зависимость отношения премии в инвестиционной составляющей договора к премии договора смешанного страхования жизни от вероятности смерти в течение одного года, т.е. зависимость —— от q. Из графика следует, что Р, при вероятности смерти в течение года равной 0.2% и сроке действия договора страхования жизни 10 лет, составляет 99% от GP, а при сроке действия договора 20 лет - 97%. Заметим, что если рассмотреть договор страхования жизни со сроком действия 20 лет и при расчете GP использовать данные Государственного комитета по статистике Российской Федерации за 1995 год по смертности женщин возраста от 25 до 45 лет (см. Приложение I), то Р составляет 97,58% от GP при гарантированной годовой норме доходности равной 2%. Таким образом большая часть премии по договору смешанного страхования жизни направлена на покрытие инвестиционной составляющей договора страхования, а рисковая часть, свя- занная с выплатой в случае смерти застрахованного, относительно невелика. Поэтому в данном пункте будет рассмотрена только инвестиционная составляющая договора. Рис. 3: Отношение премии в инвестиционной составляющей договора к премии договора смешанного страхования жизни в зависимости от вероятности смерти в течение одного года. Гарантированная норма доходности (iguaT) равна 2%. 1.2.3 Игровой подход к решению задачи Игра Гі Рассмотрим игровой подход к решению задачи максимизации прибыли страховщика. Будем решать задачу используя иерархическую игру Гі (см. [28], [24]). Страховщик - первый игрок игры IV Страхователь - второй игрок игры Гі. Стратегия страховщика - штраф за расторжение договора (1 — х). Стратегия страхователя - год расторжения договора (г). Заметим, что если г = п, то страхователь не собирается расторгать договор. По условию иерархической игры Гі первый игрок (страховщик) сообщает второму игроку (страхователю) свою стратегию (штраф за расторжение договора - (1 — х) ). Затем, второй игрок (страхователь) выбирает свою стратегию (год расторжения договора - г). Функция выигрыша страховщика Функция выигрыша страховщика является математическим ожиданием дисконтированного дохода страховщика с одного страхователя и равна приведенным на начальное время потокам (на 1 страхователя): Ежегодных платежей страхователя в страховую компанию Выплат страхователю от страховой компании по расторжению договора Функция выигрыша страхователя Функция выигрыша страхователя является математическим ожиданием дисконтированного дохода страхователя и равна приведенным на начальное время потокам: Ежегодных платежей страхователя в страховую компанию Выплат страхователю от страховой компании по расторжению договора Заметим, что т.к. альтернативой смешанному страхованию жизни является банковский договор, то дисконтирующий коэффициент страхователя равен дисконтирующему коэффициенту банка. Сведение задачи к игре Тг Все обозначения, используемые при описании решения иерархической игры Гі, взяты из [28].
Для решения игры Гі (поиска наилучшего гарантированного результата страховщика и его оптимальной стратегии) последовательно выполним следующие действия: 2. Найдем w(x) - оценку эффективности (гарантированный результат) стратегии х: 3. Найдем F - наилучший гарантированный результат (см. [28], [24]) первого игрока: При этом множество е-оптимальных стратегий первого игрока равно: X = (х Є X w{xe) F - Определение множества Y(x) Для определения Y(x) фиксируем х. Вычисление w(x) Рассмотрим множества: Лемма 1.1. Множества Хт (г Є Т) разбивают множество X на набор непересекающихся подмножеств. Доказательство. Очевидно, что: Покажем, что множества Хт не пересекаются. Допустим, что существуют такие ТІ,Т2(ТЇ Гг), что ХГ1 П г2 Ф 0- Рассмотрим х Є ХТ1 П- г2-х Є ХГ1 =$ G(X,T2) G(x,n) х Є ХТ2 = G(x, п) G(x, r2) Следовательно, множества Хт не пересекаются. Лемма 1.2. При фиксированном х Є X функция F(X,T), определенная в (1.16), достигает своего минимума на множестве Y(x) на тт = min т. Доказательство. Если ТІ,Т2 Є Y(x), то из (1.21) следует, что: Доказали, что если фиксировано х, то при rm = min г функция F(x, г) достигает своего минимума на множестве г Є Y(x). Следствие 1.2.1. При фиксированном х Є XTm функция F(X,T), определенная в (1.16), достигает своего минимума на множестве Y(x) на тт. Доказательство. Из (1.22) следует, что если х Є XTm, то тт = min т. Следствие 1.2.2. Оценка эффективности (1.19) равна: Поиск оптимальной стратегии страховщика Наилучший гарантированный результат страховщика равен: F = supw(S) 1. Максимизация w(x) на непересекающихся множествах Хт: 2. Максимизация w(x) на объединении множеств X : Максимизируем w(x) на множестве Хт. Найдем множество оптимальных стратегий первого игрока на множестве Хг - X , определенное в (1.26). Согласно Следствию 1.2.2: Таким образом, задача максимизации w(x) на множестве Хт сводится к задаче минимизации хт на данном множестве. Зафиксируем бесконечно малую - е. При этом є удовлетворяет следующим неравенствам: Будем решать задачу максимизации хт не на открытом множестве Хт, а на закрытом подмножестве данного множества Хт. При этом учтем, что согласно (1.17), (1.12) и Свойству 1.2.1.
Определение оптимальной системы штрафов с учетом возможности незаключения договора и с учетом смертности
Общая постановка задачи построения оптимальной системы штрафов для договоров смешанного страхования жизни описана в п.1.1.1. Общие обозначения даны в п. 1.1.2. В данной постановке задачи страхователь принимает решение заключать или нет договор страхования жизни. При расторжении договора страхователь обязан заключить договор страхования жизни на случай смерти на оставшийся период. Решение задачи рассматривается с учетом смерти застрахованного лица. При этом считается, что вероятность смерти застрахованного лица возраста (у + і) в течение одного года не зависит Заметим, что при данном ограничении выполнено следующее равенство: Считается, что расходы на ведение дела страховщика равны нулю (см. 1.1.1), т.е. размер ежегодных административных расходов страховщика на 1 застрахованного человека равен нулю (/5 = 0) и размер первоначальных расходов страховщика на 1 застрахованного человека равен нулю (а = 0). Заметим, что при данном ограничении ежегодная премия по договору смешанного страхования жизни - (1.5), и ежегодная премия по договору страхования жизни на случай смерти -(1.7), равны: Годовые процентные ставки гдиаг,іЬапк,ііпг фиксированы, причем: iinr гЬапк гдиаг. Соответственно: 1 vguar vbank vinr 0 (1-45) Дополнительные обозначения гєТ = о,...,п- год расторжения договора страхователем. Если т = 0, то страхователь не заключает договор со страховщиком. xt - часть страхового резерва за -ый год, выплачиваемая страхователю в виде выкупной суммы в случае расторжения договора в t-ом году, t Т \ п . хп - часть страхового резерва за тг-ый год, выплачиваемая сверх страховой суммы (терминальный бонус) страхователю в случае дожития. Заметим, что страховой резерв за n-ый год равен страховой сумме. Рассмотрим игровой подход к решению задачи максимизации прибыли страховщика. Будем решать задачу используя иерархическую игру Гг (см. [28], [24]). Страховщик - первый игрок игры Гг. Страхователь - второй игрок игры Гг. Стратегия страховщика - штраф за расторжение договора (1 — х). Стратегия страхователя - год расторжения договора (г). Заметим, что если г = 0, то страхователь не будет заключать договор; если г = п, то страхователь не собирается расторгать договор.
По условию иерархической игры Гг первый игрок (страховщик) сообщает второму игроку (страхователю) свою функцию поведения (выбор стратегии) в зависимости от стратегии второго игрока. Т.е. страховщик сообщает страхователю xt = x(t) - свой штраф за расторжение договора в -ый год (функцию штрафа в зависимости от года расторжения). Затем, второй игрок (страхователь) выбирает год расторжения договора — т. Функция выигрыша страховщика Функция выигрыша страховщика является математическим ожиданием дисконтированного дохода страховщика с одного страхователя и равна приведенным на начальное время потокам (на 1 страхователя): Ежегодных платежей страхователя в страховую компанию по договору смешанного страхования жизни до его расторжения Выплат страхователю от страховой компании по случаю смерти Выплат страхователю от страховой компании по расторжению договора смешанного страхования жизни Если т п, то функция выигрыша страховщика равна: Функция выигрыша страхователя Функция выигрыша страхователя является математическим ожиданием дисконтированного дохода страхователя и равна приведенным на начальное время потокам: Ежегодных платежей страхователя в страховую компанию по договору смешанного страхования жизни до его расторжения.
Ежегодных платежей страхователя в иную страховую компанию по договору страхования жизни на случай смерти после расторжения договора смешанного страхования жизни Выплат страхователю от страховой компании по случаю смерти Выплат страхователю от страховой компании по расторжению договора смешанного страхования жизни Если т п, то функция выигрыша страхователя равна: Если r = n, то функция выигрыша страхователя равна: Заметим, что т.к. альтернативой смешанному страхованию жизни является банковский договор, то дисконтирующий коэффициент страхователя равен дисконтирующему коэффициенту банка. Сведение задачи к игре Г 2 Все обозначения, используемые при описании решения иерархической игры Г2, взяты из [28]. Для решения игры Г2 (поиска наилучшего гарантированного результата страховщика и его оптимальной стратегии) последовательно выполним следующие действия: 1. Найдем С?2 - наилучший гарантированный результат второго игрока, при условии, что первый игрок применяет по отношению к нему стратегию наказания: Go = max min G(x, т) (1.52) 2. Найдем D: 4. Найдем Е - множество максиминных стратегий второго игрока: 6. Найдем fH — стратегию наказания второго игрока первым: Тогда, согласно теореме Гермейера (см. [28], [24]) наилучший гарантированный результат первого игрока равен: Вычисление G2 Лемма 1.10. Пусть G (T) = mmG(x,r) тогда: Доказательство. 1. Найдем G (T) при г = О следовательно G (0) = G(x, 0). Заметим, что разность GP и GPo равна: При этом поиск (?2 можно свести к максимизации G (r), значения которого при разных г были определены в Лемме 1.10. Таким образом, если страховщик применяет по отношению к страхователю стратегию наказания, то наилучший гарантированный результат (G2) страхователь получает, если он не заключает договор страхования жизни (г = 0). Определение множества D Теорема 1.12. Множество D, определенное в (1.53), состоит из пар (х, т), которые удовлетворяют следующим условиям: Доказательство. Разобьем определение множества D = {(яг,г) Є X х TG(:E,T) G2} на три этапа, в зависимости от значении т: Вычисление К Значение К отлично от — оо, т.к. согласно Теореме 1.12 множество D не пусто. Теорема 1.13. Значение К, определенное в (1.54), равно: Из доказательства Теоремы 1.11 следует, что G (0) G (r), 1 г п. Следовательно: Вычисление М Согласно определению М - (1.56).
Построение оптимальной комиссии при фиксированных параметрах договора смешанного страхования жизни
Общая постановка задачи выбора оптимальной структуры комиссионного вознаграждения на рынке страхования жизни описана в п.2.1.1. Общие обозначения даны в п.2.1.2. В данной постановке задачи рассматривается договор смешанного страхования жизни с ненулевыми нагрузками. Договор описан в п.1.1.1. Считаем, что 5, определенное в (2.6), больше нуля, т.е. число лиц, которым данный страховой договор интересен отлично от нуля. При этом рассмотрим решение данной задачи при условии, что amin = 0. При решении задачи считается, что вероятность смерти застрахованного лица возраста (y+t) в течение одного года не зависит от t: q = qy+t, V Є s 0,..., n — 1 . Заметим, что при данном ограничении выполнено следующее равенство: Годовая норма доходности страховщика является константой: гг-„г = цпг, j Є 1,... ,п . Премии и резервы для данного вида страхования описаны в п.1.1.3. Первоначальные расходы страховщика, заложенные в премии, не зависят от комиссии, выплачиваемой страховщиком агентам и равны константе - а\. Следовательно, брутто-премия, определенная в (1.4), зависит от ах (GP = GP{a{)). Дополнительные обозначения Р - размер ежегодной премии, выплачиваемой страхователем по договору смешанного страхования жизни R - размер выплаты страхового обеспечения в случае смерти застрахованного лица или дожития застрахованного лица до окончания действия договора. Заметим, что: Обозначим коэффициент дисконтирования для доходности страховщика: Для сокращения записи формул введем следующие обозначения: В данной постановке задачи характеристика привлекательности договора страхования для страхователя ("прибыли", которую страхователь может получить от договора страхования) равна: Т.е. страхователь рассчитывает дожить до конца действия договора страхования и получить прибыль от выплаченных премий. Iinr ожидаемый доход страховой компании без учета первоначальных расходов от одного застрахованного лица на единицу выплат за страховой случай Доход страховой компании от одного застрахованного лица является математическим ожиданием, приведенных на начальное время потоков: Ежегодных платежей страхователя в страховую компанию по договору смешанного страхования жизни до наступления страхового случая Выплат страхователю от страховой компании по случаю смерти Выплат страхователю от страховой компании по дожитию до конца действия договора смешанного страхования жизни Рассмотрим игровой подход к решению задачи максимизации прибыли страховщика.
Будем решать задачу используя иерархическую игру Гі (см. [28], [24]). Страховщик - первый игрок игры IV Агенты - второй игрок игры Гі. Стратегией страховщика является размер комиссии агентам за привлечение одного страхователя (а). Стратегией агентов является число лиц, которым агенты предложили договор страхования (А). По условию иерархической игры Г\ первый игрок (страховщик) сообщает второму игроку (агентам) свою стратегию (комиссию за привлечение одного страхователя - а). Затем, второй игрок (агенты) выбирает свою стратегию (число лиц, которым они предложат договор страхования - А). Функция выигрыша страховщика Функция выигрыша страховщика равна ожидаемому доходу страховой компании от заключенных договоров смешанного страхования жизни без учета первоначальных расходов за вычетом выплат агентам за заключение договоров смешанного страхования жизни. С учетом введенного обозначения для дохода страховой компании без учета первоначальных расходов на одно застрахованное лицо (2.7) функция выигрыша страховщика равна: Функция выигрыша агента Функция выигрыша агентов равна общей комиссии агентов за вычетом затрат па привлечении лиц, застрахованных агентами: Сведение задачи к игре Гі Все обозначения, используемые при описании решения иерархической игры Гі, взяты из [28]. Для решения игры Гі (поиска наилучшего гарантированного результата страховщика и его оптимальной стратегии) последовательно выполним следующие действия: Т.к. согласно п.2.2.1 первоначальные расходы страховщика, заложенные в премии, не зависят от комиссии, выплачиваемой страховщиком агентам и равны константе, то премия (Р), а также привлекательность договора страхования для страхователя (6), не зависят от комиссии, и можно ввести следующие обозначения: Заметим, что согласно п.2.2.1 привлекательность договора страхования для страхователя отлична от нуля (6 0), следовательно: А 0, А(а) 0. Теорема 2.1. Множество Y(a), определенное в (2.10), состоит из одной точки - Х (а), для любого a: Y(a) — Л (а) \. Доказательство.
Для поиска максимума функции G(a, А) по А при фиксированном а вычислим производную данной функции: Т.к. G(a, А) - вогнутая функция ( 2д(а, А) 0), то она достигает своего максимума по А при фиксированном а или в точке A (G x(a, А ) = 0) или на границах множества Л. Найдем А (а) - множество точек, на которых функция G(a, X) достигает своего максимума: В данной постановке задачи первоначальные расходы страховщика, заложенные в премии, равны комиссии, выплачиваемой страховщиком агентам. Общая постановка задачи выбора оптимальной структуры комиссионного вознаграждения на рынке страхования жизни описана в п.2.1.1. Общие обозначения даны в п.2.1.2. Рассматривается п-летний договор пенсионного страхования, лиц возраста у, с ненулевыми нагрузками. Страхователь вносит премию Р в начале каждого года в течение т лет. После дожития страхователя до возраста у + т лет, страховая компания начинает выплачивать ему ежегодную пенсию R в начале каждого года в течение г лет. Смерть страхователя в течении срока действия договора не является страховым случаем. Дополнительные обозначения т - период уплаты взносов (премий) г - период выплаты пенсий п = т + г Р - размер ежегодной премии, выплачиваемой страхователем по договору пенсионного страхования R - размер ежегодной выплаты страхователю (пенсии) в случае дожития застрахованного лица до пенсионного возраста Заметим, что: Брутто-премия {GP), указанная в формуле определена в (2.28). В данной постановке задачи характеристика привлекательности договора страхования для страхователя ("прибыли", которую страхователь может получить от договора страхования) равна.
Определение оптимального уменьшения налогооблагаемой базы для единого социального налога
Обозначения для зарплаты, премий и пенсии налогоплательщика S - размер ежегодной зарплаты, получаемой налогоплательщиком (пока он работает). Зарплата фиксирована, т.к. все доходности рассматриваемые в работе указаны за вычетом инфляционной составляющей (см. 3.1.1). При этом считается, что зарплата налогоплательщика пе изменяется в течение всей его жизни по причине повышения его профессионализма и т.п. Pind - размер ежегодной премии налогоплательщика, выплачиваемой работодателем в страховую компанию по договору добровольного пенсионного страхования жизни Рьапк - размер ежегодной премии налогоплательщика, выплачиваемой работодателем в банк. Saum - размер ежегодной зарплаты налогоплательщика за вычетом выплат в страховую компанию и банк Р = (Pind, Рьапк) Р - множество допустимых значений выплат в страховую компанию и банк Pst - размер ежегодной добавки государства к премии, выплачиваемой в страховую компанию. При расчете ежегодной добавки государства к премии налогоплательщика считается, что при определении налоговой базы для налога на доходы физических лиц не учитываются суммы пенсионных взносов по договорам пенсионного страхования (см. [30]), а также учитывается возможность существования налоговой льготы по ЕСН: Рыт - размер ежегодной премии, получаемой страховщиком (включая налоговые льготы): Rst,b - размеры ежегодной базовой части пенсии, выплачиваемой Пенсионным Фондом Рос- сийской Федерации Rst,in - размеры ежегодной страховой части пенсии, выплачиваемой Пенсионным Фондом Российской Федерации Rst,pf - размеры ежегодной накопительной части пенсии, выплачиваемой Пенсионным Фондом Российской Федерации Rst - размеры ежегодной пенсии, выплачиваемой государством Rinr - размеры ежегодной пенсии, выплачиваемой страховщиком Rbank размеры ежегодной пенсии, выплачиваемой банком Rsum - размер ежегодной пенсии, получаемой налогоплательщиком после выхода на пенсию 3.2 Определение оптимального уменьшения налогооблагаемой базы для единого социального налога Расчет аннуитетов Согласно [9], аннуитет пренумерандо равен: t-i Аннуитет пренумерандо, отсроченный на j лет равен: j+t-i Расчет премий и резервов для договора пенсионного страхования Описанный ниже расчет произведен при условии, что со страхователем заключен договор, описанный в п.3.1.1. При этом считается, что размер первоначальных расходов страховщика на 1 застрахованного человека равен нулю (а = 0). Ежегодная брутто-премия (далее премия) по договору пенсионного страхования вычисляется по формуле: Резерв на t-ый год по данному договору страхования равен: Расчет прибыли страховщика lit - инвестиционный доход страховой компании за t-ый год RCt - изменение резерва страховой компании в конце t-ro года PFt - прибыль страховой компании за t-ый год (на конец года) Расчет пенсионных выплат, получаемых от банка Описанный ниже расчет произведен при условии, что с работодателем налогоплательщика заключен договор, описанный в п.3.1.1. Найдем соотношение между ежегодными выплатами в банк (Рьапк) и ежегодной пенсией, выплачиваемой банком (Rbank)- Для этого рассмотрим потоки премий и пенсий, приведенные на начальный момент времени.
Коэффициент дисконтирования - процентная ставка банка. Приравняем потоки премий и пенсий, приведенные на начальный момент времени: Расчет страховой части трудовой пенсии, выплачиваемой государством Т.к. в работе все суммы указаны в ценах начального года, то инфляционная составляющая, влияющая на индексацию страховой части трудовой пенсии не учитывается. Следовательно, коэффициент индексации страховой части трудовой пенсии (см. [36]) равен 1. К началу пенсионного возраста налогоплательщик скопит следующую сумму на расчетном счету страховой части трудовой пенсии в Пенсионном Фонде Российской Федерации: Согласно [36], с учетом вышеполученной суммы на расчетном счету к началу пенсионного возраста, страховая часть трудовой пенсии рассчитывается по следующей формуле: Tin - количество лет ожидаемого периода выплаты трудовой пенсии по старости, применяемого для расчета страховой части пенсии. Тіп = 19, согласно [36]. Расчет накопительной части трудовой пенсии, выплачиваемой государством Будем считать, что накопительная части трудовой пенсии выплачивается Пенсионным Фондом РФ. К началу пенсионного возраста налогоплательщик скопит следующую сумму на расчетном счету накопительной части трудовой пенсии в Пенсионном Фонде Российской Федерации: Согласно [36], с учетом вышеполученной суммы на расчетном счету к началу пенсионного возраста, накопительная часть трудовой пенсии рассчитывается по следующей формуле: Tpf - количество лет ожидаемого периода выплаты трудовой пенсии по старости, применяемого для расчета накопительной части пенсии.
Определяется в порядке, установленном федеральным законом [36]. Сокращения, формулы и обозначения для единого социального налога Представим ставку ЕСН в части финансирования страховой части трудовой пенсии, определенную в (3.2), в виде квазилинейной функции: Sin(S) = Cin{S) + din(S) S Представим ставку ЕСН в части финансирования накопительной части трудовой пенсии, определенную в (3.3), в виде квазилинейной функции: Рис. 14: Сумма средств, направляемая на финансирование страховой и накопительной части трудовой пенсии (согласно ставке ЕСН), в зависимости от еоюегодной зарплаты Представим ставку ЕСН в части финансирования страховой и накопительной части трудовой пенсии, определенную в (3.4), в виде квазилинейной функции (см. рис.14): e(S) = c(S) + d(S) S Заметим, что функции ein(S),epf(S),e(S) возрастают по S. Сокращение записи формулы для вычисления ежегодной пенсии Согласно (3.7), размер ежегодной пенсии, получаемой налогоплательщиком после выхода на пенсию, равен: Следовательно, При 7є = 0 фуНКЦИЯ Raum(Pind, Рьапк) ЯВЛЯЄТСЯ ЛИПЄЙНОЙ. Заметим, что: а%, aind, аЬапк 0 Если 7є — 1, то O,Q{S — Pind), dind(S — Pind) являются константами на интервалах: (S- Следовательно, При % = 1 фуНКЦИЯ R8Um{Pind, Pbank) ЯВЛЯЄТСЯ КВаЗИЛИНеЙНОЙ. Обозначим ao(S — Pind) на вышеуказанных интервалах: Og, UQ, CLQ, CLQ Обозначим a,ind(S — Рш) на вышеуказанных интервалах: a\nd, a?nd, a?nd, ajnd tpf Заметим, что: aind(S — Pind) 0, т.к. rinr ——, — — (страховая компания является более эффективным собственником, по сравнению с Пенсионным Фондом Российской Федерации: на единицу премии страховая компания выдает больше пенсии, чем Пенсионный Фонд Российской Федерации). Определение иерархической игры Рассмотрим игровой подход к решению задачи максимизации прибыли государства. Будем решать задачу используя иерархическую игру. Государство - первый игрок иерархической игры. Страхователь - второй игрок иерархической игры. Заметим, что страхователем является работодатель налогоплательщика, который заключает договор или с банком или со страховой компанией в интересах налогоплательщика. Стратегией государства является определение действует или нет налоговая льгота (7). Стратегией страхователя является размеры ежегодных премий в страховую компанию и Рассмотрим следующую иерархическую игру11: Первый игрок (государство) сообщает второму игроку (страхователю) свою стратегию (действует или нет налоговая льгота). Затем, второй игрок (страхователь) выбирает свою стратегию (ежегодную премию страховщику и банку). Страхователь выбирает свою стратегию таким образом: если существует несколько оптимальных стратегий, то страхователь выбирает ту стратегию, при которой премия страховой компании максимальна. Если после этого остается несколько оптимальных стратегий, то страхователь выбирает ту стратегию, в которой премия банку максимальна. Для решения описанной выше иерархической игры (поиска оптимальной стратегии государства) последовательно выполним следующие действия: 1. Найдем У(7е) _ наилучшее поведение второго игрока, при фиксированном поведении первого игрока: 2. Найдем Р(7є) = (P?nd(le)i Рьапкіїе)) оптимальное поведение второго игрока, при фикси рованном поведении первого игрока.
