Содержание к диссертации
Введение
1. Вариационная постановка задач и основные уравнения нестационарных динамических процессов в упругопластических средах, пластинах и оболочках
1.1.Задачи динамики упругопластических сред 32
1.2.3адачи динамики оболочек. Модель Тимошенко 37
1.3. Дисперсионные свойства уравнений теории пластин Тимошенко 49
2. Вариационно-разностный метод 55
3. Преобразование вариационно-разностных и конечно-элементных численных схем к виду конечно-разностных
3.1. Сеточный аналог формул интегрирования по частям. Конечно-разностное представление вариационно-разностных схем.
3.2. Конечно-разностное представление схем МКЭ 78
3.3.Примеры преобразования схем МКЭ в конечно-разностные 90
3.4. Автоматическое построение конечно-разностного представления схем МКЭ. Алгоритм преобразования и программная реализация
3.5.Результаты работы программы построения конечно-разностного представления схем МКЭ "
4. Анализ аппроксимации задач теории пластин типа Тимошенко по пространственным переменным» Проблема малого параметра и крупных сеток
4.1.Вывод сеточных уравнений вариационно-разностных и конечно-элементных схем теории пластин типа Тимошенко
4.2. Анализ численных схем решения одномерных задач теории пластин
4.3.Индексная коммутативность численного дифференцирования
4.4.Эквивалентные преобразования разностных схем 127
4.5.Анализ и тестирование численных схем решения двумерных задач теории пластин и оболочек
4.6.«Ажурные» схемы метода конечного элемента 137
5. Устойчивость численных схем 146
5.1.Оценки устойчивости вариационно-разностных схем решения плоской задачи теории упругости
5.2. Оценки устойчивости разностных схем решения трехмерной задачи теории упругости
5.3.Оценки устойчивости одномерных схем теории пластин Тимошенко
5 АОценки устойчивости двумерных схем теории пластин Тимошенко
5.5.Неустойчивость типа «песочные часы» 173
5.6.Граничная неустойчивость численных схем решения задач трехмерной теории упругости
6. Повышение эффективности численных схем решения задач динамики конструкций. Явно-неявные схемы со стабилизирующим оператором
6.1. Регуляризация численных схем теории пластин и оболочек 187
6.2. Разностная схема решения плоской задачи теории упругости с неявным стабилизирующим оператором
6.3.Схемы со стабилизирующим оператором с точки зрения МКЭ 195
6.4.Регуляризация численных схем решения трехмерной задачи теории упругости
6.5 .Численные результаты 198
7. Численный анализ нелинейных процессов деформирования тонкостенных конструкций при импульсных воздействиях
7.1 .Выпучивание цилиндрической оболочки при неосесимметричном продольном ударе
7.2,Осесимметричное выпучивание сферических куполов под действием импульса давления:
7.3.Выпучивание пологих сферических куполов, квадратных в плане, под действием импульса давления
Заключение 237
Список литературы 239
- Дисперсионные свойства уравнений теории пластин Тимошенко
- Конечно-разностное представление схем МКЭ
- Анализ численных схем решения одномерных задач теории пластин
- Оценки устойчивости разностных схем решения трехмерной задачи теории упругости
Дисперсионные свойства уравнений теории пластин Тимошенко
Дисперсионные и спектральные свойства уравнений имеют большое значение при численном решении волновых задач, так как связаны с аппроксимацией и устойчивостью численных схем. Исходя из этого, рассмотрим особенности и асимптотику волновых решений теории оболочек Тимошенко. В- целом свойства решений систем уравнений Ламе и теории пластин Тимошенко достаточно хорошо изучены [203]. .Для системы уравнений Ламе в случае безграничной среды общее решение представляется как линейная комбинация плоских монохроматических волн вида и = uo_sinf x &t± 0};: --:/ ,. j)j :- волновой вектор, причем возможны два вида монохроматических волн - при коллинеарных векторах Мо и (волны растяжения - сжатия) и при ортогональных векторах и о и (волны сдвига).
При наличии свободной границы возможны также решения с экспоненциальным убыванием амплитуды типа рэлеевских- волн. Так, в полуплоскости Xі 0 появляются дополнительные монохроматические решения вида u = uosm( X + cot + g)0)e fix . Здесь - вектор, ортогональный оси ОХ1.
Рассмотрим волновые решения линейной однородной задачи теории пластин типа Тимошенко. Легко видеть, что система (1.29) распадается на две системы. Первые два уравнения представляют из себя систему уравнений плоской задачи теории упругости (плоское напряженное состояние). Соответственно их дисперсионные свойства те же, что и у трехмерной задачи. Три последних уравнения описывают поперечные колебания теории оболочек Тимошенко. Рассмотрим их свойства подробно.
Данная система, как и система уравнений Ламе, имеет решения в виде монохроматических плоских поперечных волн с волновым вектором \ - (%i \г) Без ограничения общности можно положить волновой вектор коллинеарным оси ОХ1 и для анализа дисперсионных свойств рассмотреть одномерный аналог системы (1.32) (при этом полагаем =0, = ), = /,( )).
Поскольку в задаче осталась одна пространственная координата, для упрощения обозначений в системе (1.33) и ниже, отброшены индексы, обозначающие номер данной координаты.
При стремлении волнового числа к нулю получаем два вида колебаний. Первый из них - низкочастотные изгибные колебания, в которых преобладают поперечные смещения W, а по сравнению с ними сдвиги малы. Второй вид-высокочастотные сдвиговые колебания, в которых преобладают углы поворота цг при малых поперечных смещениях W. Эффективная длина волн таких колебаний близка к 2h. Фактически - это колебания верхнего и нижнего слоев оболочки относительно срединной поверхности. Данные колебания не имеют реальной физической основы, а обусловлены приближенным характером теории оболочек типа Тимошенко. Реально же модель Тимошенко адекватно описывает волновые процессы с длинами волн в несколько толщин оболочки и данный вид колебаний лежит за границей ее рамок применимости.
Сформулируем некоторые выводы о дисперсионных свойствах системы уравнений теории пластин типа Тимошенко. 1. При стремлении длины волны к бесконечности отношение частот собственных колебаний (соответственно - и собственных чисел эллиптического оператора) стремится к бесконечности. Следовательно, задачи теории оболочек Тимошенко являются жесткими. 2. Пластины Тимошенко имеют две собственных частоты, соответствующих каждому волновому числу. Исходя из анализа асимптотики, высокочастотное решение является нефизическим и не играет заметной роли в общем процессе деформирования.; Важнейшими являются низкочастотные колебания (отметим, что асимптотически низшая собственная частота теории пластин Тимошенко совпадает с частотой классической теории пластин Кирхгофа - Лява). 3. Собственные частоты являются корнями биквадратного уравнения. При этом важнейшая низшая частота получается как разность двух близких величин. Отсюда следует, что малые ошибки при аппроксимации отдельных членов системы уравнений могут приводить к большим погрешностям спектра, а следовательно, и решения задачи в целом. Следовательно, свойства системы таковы, что необходима особая тщательность при построении численных методов ее решения.
Конечно-разностное представление схем МКЭ
Данный подход допускает обобщение на схемы МКЭ. Рассмотрим его для наиболее типичного случая метода конечного элемента, основанного на вариационной постановке задачи минимизации функционала в виде интеграла.
Метод применим к численным схемам МКЭ, основанным на вариационной постановке задачи, при следующих ограничениях: 1) сетка регулярная; 2) сетка равномерная; 3) подынтегральная функция в функционале за исключени- ем своей линейной части явно не зависит от координат. При этом только первое ограничение является принципиальным для применения данного метода. Два других принятые целью уменьшения технических трудностей при преобразованиях и получения сеточных уравнений с постоянными коэффициентами, что является обычным для теории разностных схем. Изложение метода в общем я-мерном случае сопряжено с определенными техническими трудностями, поэтому ограничимся двумерным случаем, обобщение которого на общий случай очевидно.
Примеры равномерных сеток приведены на рис.6.1, где жирными точками выделены узлы основной сетки. Под (/,У)-й ячейкой основной сетки будем понимать параллелограмм с вершинами в узлах х»,хM:tхjj+l,хі+]:+і. В некоторых случаях (например, рис. 1в) под ячейкой удобнее понимать фигуру, равную по площади указанному параллелограмму. Согласно определению и примерам, ячейка может содержать один или несколько конечных элементов. Для, узлов конечных элементов, совпадающих с узлами основной сетки, будем использовать целые индексы, для остальных - дробные.
Пусть в R2 определена вещественная функция fix1, х2) eC4\R2). Шаблоном Ш назовем некоторое подмножество множества целочисленных векторов/ 0), (0, 1), (I, 0), (1, 1)}. Значение функции/ в узлах сетки f(xtj) обозначим /ц. Определим разностные операторы, аппроксимирующие функцию и ее производные на сетке (3.19). Количество разностных операторов возьмем равным числу узлов шаблона.
Рассмотрим схемы МКЭ, для которых сохраняется непрерывность первых частных производных на границах элементов (элементы с более высокой степенью гладкости могут быть рассмотрены аналогично). Данный случай отличается от предыдущего необходимостью введения дополнительных сеточных функций - значений первых частных производных в узлах сетки. Общая схема вывода при этом сохраняется. Функционал (3.26) записывается в виде (3.28).
Анализ численных схем решения одномерных задач теории пластин
В отличие от схем (4.23), (4.25) схема (4.24) обладает равномерной сходимостью по параметру AX/h, если он принадлежит любому ограниченному отрезку ДА7 h є [0,М]. Следовательно, ограничения на величину пространственного шага сетки определяются не толщиной оболочки, а характером решения, то есть той частью спектра решения, которая является существенной в каждой конкретной задаче.
Недостатки схем (4.23), (4.25) не видны в их исходной записи, но становятся очевидными после преобразования их к одному уравнению (4.26) или (4.28). Их проявлением является наличие в преобразованных схемах дополнительных слагаемых вида cDnDuw.
Само по себе появление таких слагаемых не является недостатком, так как они обладают вторым порядком малости (таким же, как и схемы в целом). Но в силу вырождения решаемой задачи это приводит к фатальным последствиям.
Свойства (4.40) (разностные аналоги тождеств (4.39)) для ряда задач; являются не менее важными, чем, например, свойства консервативности и полной консервативности разностных схем. Если последние устанавливают, что разностная схема может быть записана в дивергентном виде [173,174],то свойства индексной коммутативности позволяют проводить с разностными схемами любые преобразования, аналогичные преобразованиям исходной системы дифференциальных уравнений. Примеры таких преобразований будут приведены ниже..
Система динамических уравнений теории упругости для изотропной срег ды (1.11) может быть преобразована к виду отдельных скалярных волновых уравнений, описывающих распространение волн сжатия и сдвига. Уравнения теории пластин типа Тимошенко (1.29) также могут быть сведены к отдельным скалярным уравнениям.
При выполнении свойств индексной коммутативности (4.40) аналогичные преобразования можно проводить и с разностными схемами. Рассмотрим преобразования систем уравнений и соответствующих им вариационно-разностных схем. Во избежание загромождения изложения несущественными деталями будут рассмотрены однородные уравнения.
Аналогично получаются скалярные сеточные уравнения для компонент ротора: ко второму уравнению системы (4.54) применяется оператор Doi, к третьему - D02 и третье вычитается из второго; к третьему уравнению применяется оператор 0( , к первому - Dw и первое вычитается из третьего; к первому уравнению применяется оператор D02 , ко второму - Dox и второе вычитается из первого.
Здесь Яо =D0lw+D02v, q0=D20u-Di0v, д =D01v/, +D02i/2, q{=D20yf -D10\j/2. Таким образом, разностная схема (4.63) приведена к отдельным сеточным уравнениям» аналогичным дифференциальным уравнениям (4.62). Отметим, что преобразование разностной схемы в данном случае проводится совершенно аналот-гично преобразованию дифференциальной системы с той лишь разницей, что дифференциальные операторы заменяются разностными. При этом существенную роль в данных преобразованиях играют свойства индексной коммутатив-ности (4.40). При отсутствии данных свойств (например, у схемы (4.6)) такие, преобразования становится возможными в исключительных случаях.
На рассмотренном выше примере одномерных задач показано, что из Ш двух разностных схем лучшими свойствами обладает та, которая обладает свойствами индексной коммутативности. Этот вывод можно распространить и на схемы (4.4) и (4.6). Гармонический анализ схемы (4.4), аналогичный рассмотренному выше, провести несложно, поскольку схема (4.4) может быть преобразована к виду отдельных уравнений (4.66). В силу отсутствия свойств индексной коммутативности преобразование схемы (4.6) к виду, аналогичному (4.66), не представляется возможным, а гармонический анализ непосредственно схемы (4.6) существенно сложнее, чем анализ одного уравнения. Поэтому для сопоставления свойств разностных схем ограничимся тестовым примером. Рассмотрим результаты решения тестовой задачи динамического деформирования квадратной пластинки размерами 0.1 0.1 м, толщиной 0.002 м, защемленной по краю. Пластинка имеет начальную скорость У0 =100 м/с, направленную по нормали к срединной поверхности, равномерно распределенную по поверхности пластинки. Характеристики материала: Е-7Г.5 ГПа, р =2700 кг/м,.. v=0.3. Использовались равномерные прямоугольные сетки на квадратных, треугольных и треугольных "через 1" ячейках 11 11 узлов и 21 21 узел.
Приведенный пример показывает, что отказ от сплошного заполнения области элементами позволяет получить ряд новых схем, некоторые из которых представляются весьма перспективными. Это относится как к вариационно-разностным схемам, так и к схемам метода конечного элемента. Возникающий при этом вопрос - что делать с оставшейся площадью или объемом? - решается относительно просто. Функцию в промежутках можно восстановить с помощью интерполяции, а сами промежутки, включая содержащуюся в них массу, приложенные к ним силы и т.д., можно либо распределить между близлежащими элементами, либо вообще не принимать их во внимание. В последнем случае все уравнения как бы умножаются на константу, равную отношению заполненного объема ко всему объему. Очевидно, что последнее обстоятельство в ряде случаев должно быть учтено.
Рассмотрим пример «ажурной» схемы решения трехмерной теории упругости. Это схема на базе линейного конечного элемента в виде тетраэдра. Известно несколько способов построения регулярных сеток на тетраэдральных ячейках. При одном из них ячейка основной сетки (параллелепипед) разбивается на 5 тетраэдров - 1 в центре и 4 по краям. Если удалить все тетраэдры, кроме центрального, то мы получим искомую схему МКЭ (рис. 4.9). При этом разбиение области на элементы производится следующим образом: область делится, на шестигранники и далее в каждом из них остается по одному тетраэдру.
Оценки устойчивости разностных схем решения трехмерной задачи теории упругости
Получение оценки устойчивости сводится к нахождению максимума первого слагаемого в левой части равенства. Была выдвинута гипотеза о том, что оценка устойчивости совпадает с условием Куранта-Фридрихса-Леви относительно минимального размера ячейки. В качестве минимального размера можно принять либо минимальную высоту, либо минимальное расстояние между парами скрещивающихся ребер тетраэдральной ячейки.
В программе 6 параметров p,,в,a, fi,у изменялись с шагом 0.01 в пределах от 0 до — для первых трех и от 0 до 2 я1 для последних трех. Результаты со поставлялись с оценкой (5.37) и показали, что оценка временного шага нигде не нарушается. Очевидно, что это не может являться доказательством, но служит аргументом в пользу данной оценки. Таким образом, для «ажурной» схемы на тетраэдральных ячейках примем оценку (5.37).
Из оценок задач теории упругости (5.21), (5.34) следует, что можно при. - решении двумерных и трехмерных задач на параллелограммных (параллелепи-педальных) ячейках вести счет с числом Куранта, равным единице, то есть по характеристикам. Это позволяет с высокой точностью описывать разрывные решения, распространяющиеся перпендикулярно наибольшей стороне (грани) ячейки. В этом случае численная дисперсия решения минимальна.
Приведем результаты решения тестовой задачи об ударе упругой полосы о жесткую преграду. Численное решение сравнивается с приведенными в [179] результатами решения этой же задачи по схеме С.К.Годунова и по явной схеме "крест" Л.И.Дятловицкого с усреднением решения по временной координате.
Приведенные результаты показывают преимущества данной методики при числе Куранта, равном I .Во-первых,вариационно-разностная схема позволяет описать не только основной тон колебаний полосы, но и обертона, которые сглаживаются в схеме Л.И.Дятловицкого и еще сильнее -в схеме С.К« Годунова за счет большой схемной вязкости. Во- вторых, точнее описывается распространение разрывов(заднйи фронт на рис.4.2 и фронт на рис.4.3). В то же время отметим, что поведение решения за фронтом несколько искажено (отсутствие плато на рис.4.3),что можно объяснить распространением возмущений по диагоналям прямоугольных ячеек. Численное решение с числом Куранта, равным 0.7,дает типичный пример численной дисперсии на разрывном решении. 5.4 Оценки устойчивости одномерных схем теории пластин Тимошенко Рассмотрим устойчивость следующих численных схем решения одномерной задачи теории оболочек
Таким образом, задача исследования устойчивости схем (4.23), (4.24) сводится к нахождению максимальных собственных частот полудискретных уравнений (4.31),(4.32). или максимального значения корня дисперсионного уравнения.
Графики оценок устойчивости представлены на рис.5.5. Нижняя кривая соответствует оценке устойчивости конечно-разностной схемы, верхняя - вариационно-разностной. Штриховой линией обозначена приближенная оценка, соответствующая (5.51). Области устойчивости схем лежат под кривыми. Из графиков можно сделать вывод, что вариационно-разностная схема имеет несколько лучшую устойчивость по сравнению с конечно-разностной, причем максимальное отличие достигается в области параметров А, » h\ поскольку а 1/3. Устойчивость схемы МКЭ не исследовалась, но, сравнивая дисперсионное уравнение схемы МКЭ (4.33) с уравнениями (4.31) и (4.32), можно сделать вывод, что ее оценка устойчивости занимает промежуточное положение между оценками (4.49) и (4.50).
Анализ оценки (4.50) показывает, что она везде за исключением небольшого интервала изменения параметра сеточной задачи — близка к условию Куранта-Фридрихса-Леви относительно наименьшего из двух геометрических размеров - шага сетки по пространственной координате и толщины пластины. При этом первое условие соответствует оценке устойчивости схемы «крест» для волнового уравнения, второе соответствует устойчивости сдвиговых колебаний, при которых верхняя и нижняя поверхности пластины колеблются относительно срединной поверхности. Такая же структура оценки временного шага сохраняется и для двумерных разностных схем; Пропуская необходимые выкладки, приведем необходимую и достаточную оценку устойчивости для вариационно-разностной схемы на параллелограммных ячейках (4.4).
