Содержание к диссертации
Введение
1. Анализ методов расчёта контакта автомобильных шин с опорной поверхностью 10
1.1. Краткое описание конструкции автомобильных шин 10
1.1.1. Основные силовые факторы и характеристики автомобильных шин 13
1.1.2. Типы контактных задач механики шип 14
1.2. Расчётные модели автомобильных шин 15
1.3. Моделирование свойств композитного материала 22
1.4. Обзор подходов к решению контактных задач 26
1.4.1. Задача статического контакта 26
1.4.2. Задачи контакта с трением 32
1.4.3. Задача прямолинейного стационарного качения . 35
1.4.4. Задача стационарного качения с боковым уводом . 36
1.5. Контактные задачи как задачи нелинейного программирования 44
1.5.1. Метод множителей Лагранжа 46
1.5.2. Метод штрафа 47
1.5.3. Расширенный метод Лагранжа 48
1.5.4. Сравнение алгоритмов решения контактных задач . 49
1.6. Методы решения задачи теории упругости для автомобильных шин 50
1.7. Заключение о состоянии проблемы расчёта автомобильных шин в контактных задачах стационарного качения 57
1.8. Цель и задачи диссертации 60
1.9. Научное содержание диссертации 60
3 стр.
2. Математическая модель радиальной шины как трёхслойной оболочки 62
2.1. Определение деформаций 65
2.2. Матрица коэффициентов упругости резинокордного слоя . 68
2.3. Уравнение принципа возможных перемещений 70
2.4. Конечный элемент трёхслойной оболочки 77
2.4.1. Общие характеристики конечного элемента 77
2.4.2. Схема устранения сдвигового и мембранного заклинивания 82
2.4.3. Использование улучшенной аппроксимации деформаций в конечном элементе 87
2.4.4. Матрица тангенциальных жесткостей 89
2.4.5. Дискретизация внешней нагрузки 93
2.5. Возможные упрощения модели трёхслойной оболочки и конечного элемента 96
2.6. Выводы 100
3. Контактные задачи стационарного качения шины 102
3.1. Задача обжатия неподвижной шины на недеформируемое основание 102
3.2. Контактная задача при действии тягово-тормозных сил . 112
3.3. Контакт шины с плоской опорной поверхностью при качении с боковым уводом 118
3.4. Задача обкатки шины на беговом барабане с боковым уводом 126
3.5. Учёт рисунка протектора в контактных задачах 134
3.5.1. Формирование карты толщин протектора 136
3.5.2. Пример расчёта 137
3.6. Выводы 139
4. Алгоритмы и процедуры решения задач
4.1. Метод пошагового нагружсния 141
4.2. Алгоритм решения контактных задач с трением 142
4.3. Алгоритм дробления шага в методе Ньютона 146
4.4. Регуляризация матрицы тангенциальных жесткостей . 148
4.5. Общий алгоритм решения контактных задач 150
4.6. Выводы 151
5. Программный комплекс для анализа контакта автомобильных шин 153
5.1. Общая архитектура программного комплекса 153
5.2. Модули программного комплекса 154
5.3. Описание работы с программным комплексом 159
5.4. Выводы 160
Выводы по работе 161
Список литературы 163
Приложения
- Основные силовые факторы и характеристики автомобильных шин
- Методы решения задачи теории упругости для автомобильных шин
- Матрица коэффициентов упругости резинокордного слоя
- Контактная задача при действии тягово-тормозных сил
Введение к работе
Актуальность проблемы. Радиальные шины, завоевавшие прочные позиции в оснащении современных автомобилей, непрерывно совершенствуются, давая почву новым научным исследованиям. Важная роль на пути повышения качества современных шин принадлежит математическому моделированию и прогнозированию эксплуатационных свойств на ранних стадиях разработки конструкции. Судя по многочисленным публикациям по механике шин, моделирование особенностей нагружения шины и условий работы ее конструктивных элементов представляется не окончательно решенной задачей.
Важнейшие эксплуатационные характеристики шины выявляются в условиях контактного взаимодействия с дорожным полотном, поэтому задача моделирования поведения шины должна ставиться как контактная. До недавнего времени задачи о контакте шины с опорной поверхностью вынуждено рассматривались в заметно упрощенных постановках: сначала с использованием простейшей одномерной модели кольца, затем с применением более детальной двумерной модели оболочки, но на основе линеаризованной теории малых перемещений. Как правило, изучался контакт неподвижной шины с опорой.
Развитие методов расчета и совершенствование вычислительной техники дают возможность рассмотреть более полные расчетные схемы контактных задач и уточненные модели шины, основанные на геометрически нелинейных соотношениях теории оболочек. Построение таких моделей, разработка алгоритмов решения контактных задач качения шин и создание программного комплекса расчета автомобильных радиальных шин являются актуальными проблемами, решение которых имеет важное значение для обеспечения эффективной теоретической поддержки процесса проектирования.
Целью диссертации является разработка математической модели, метода и программного обеспечения для расчета напряженного состояния автомобильной радиальной шины в условиях стационарного качения в контактной постановке.
Для достижения поставленной цели в работе решаются следующие задачи.
Создание расчетной модели шины на основе геометрически нелинейной теории оболочек, учитывающей особенности ее конструкции, и предназначенной для реализации методом конечных элементов.
Разработка метода решения нелинейных контактных задач качения автомобильных шин.
3. Создание комплекса вычислительных программ, реализующего расчет напряженного состояния шин и предназначенного для применения при их проектировании.
Научная новизна заключается в развитии метода решения нелинейных контактных задач как для неподвижных, так и для стационарно катящихся шин с учетом трения в пятне контакта и особенностей рисунка протектора.
Построена общая схема решения нелинейных контактных задач для автомобильных шин. Ранее отдельные контактные задачи решались в упрощенных постановках (одномерных, без учета боковых сил, либо с априорно задаваемыми параметрами пятна контакта). Предложенный метод решения задач может быть использован не только применительно к обо-лочечным моделям, но также к трехмерным моделям конструкции. Эффективность разработанных алгоритмов подтверждена созданием на их основе компьютерной программы решения контактных задач.
На базе геометрически нелинейной модели трехслойной оболочки построены билинейный и биквадратичный конечные элементы, предназначенные для расчета автомобильных шин.
Разработан эффективный способ оценки влияния рисунка протектора на контактные напряжения.
Впервые получено решение задачи бокового увода на основе оболочечной модели шины.
Достоверность полученных результатов подтверждается
экспериментальной проверкой моделей, заключающейся в сравнении результатов расчетов для ряда легковых шин с данными испытаний, накопленными в НИИШП и на Московском шинном заводе;
сопоставлением решений контактных задач с решениями других авторов, полученными интегрированием линеаризованных дифференциальных уравнений теории оболочек;
положительным опытом использования разработанных методов в практике конструкторских отделов ряда шинных заводов при прогнозировании эксплуатационных характеристик проектных образцов.
Практическая ценность работы заключается в реализации разработанных моделей и алгоритмов в виде комплекса программ для решения контактных задач механики шин, внедренного на двух предприятиях шинной отрасли.
Апробация работы. Основные положения и результаты диссертации докладывались на XII, XVI, XVII Международных конференциях «Проблемы шин и резинокордных композитов» (М., НИИШП, 2001, 2005, 2006 гг.), XXI, XXII Международных конференциях «Математическое моделирование в механике сплошных сред. Методы граничных и конечных элементов» (СПб., 2005, 2007 гг.), научных семинарах кафедр «Теоретическая механика» и «Прикладная механика» МГТУ им. Н.Э. Баумана (М., 2007, 2008 гг.), Всероссийской научно-практической конференции «Российский автопром: теоретические и прикладные проблемы машиноведения» (2007 г., М., ИМАШ им. А.А. Бла-гонравова РАН), Международном научном семинаре «Актуальные проблемы нелинейной механики оболочек» (2008 г., Казань, КГУ).
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, пяти глав, раздела с общими выводами по работе, списка литературы (76 наименований) и пяти приложений. Основная часть работы изложена на 162 страницах. Диссертация содержит 86 иллюстраций и 9 таблиц.
Основные силовые факторы и характеристики автомобильных шин
На шину, находящуюся в контакте с опорной поверхностью, действуют следующие силовые факторы (рис. 1.4): продольная сила Qx, боковая сила Qy, вертикальная нагрузка Qz, опрокидывающий момент Мх, крутящий момент Му, стабилизирующий момент Mz. Среди других характеристик, представляющих интерес при решении контактных задач шин, можно выделить следующие: 1. Свободный радиус гаины Rce — радиус шины в ненагружеином состоянии. 2. Статический радиус шины Rcm. Определяется как высота оси нагруженной шины над поверхностью основания. 3. Прогиб шины hz определяется как разность между свободным и статическим радиусом. 4. Нагрузочная характеристика — зависимость между вертикальной нагрузкой Qz и прогибом hz. 5. Динамический радиус R$ — расстояние от оси колеса до опорной поверхности при качении. 6. Скорость движения оси колеса при качении V. 7. Угловая скорость вращения колеса вокруг своей оси при качении 1. 8. Радиус качения RK — путь, проходимый шиной за один оборот, отнесённый к величине 27г; RK — V/Ct. 9. Угол бокового увода 5 — угол между направлением движения шины и плоскостью её качения. 10. Коэффициент сопротивления боковому уводу (коэффициент бокового увода) Ку — отношение боковой силы Qy к углу бокового увода 5. 11. Удельный коэффициент бокового увода — отношение коэффициента бокового увода Ку к вертикальной нагрузки Qz.
Среди задач внутренней механики шин одними из наиболее важных являются контактные задачи. Причина, по которой эти задачи занимают такое место, определяется основным предназначением объекта исследования: шина должна обеспечивать надёжный контакт автомобиля с дорожным покрытием, передавать на дорогу тяговые и тормозные усилия и защищать подвеску автомобиля от вредных факторов взаимодействия автомобиля с дорогой. Группа контактных задач включает в себя следующие основные задачи, предназначенные для исследования характеристик шины в различных режимах её эксплуатации. 1. Задача контакта неподвижной шины с опорной поверхностью под действием вертикальной нагрузки, приложенной к оси колеса. 2. Задача стационарного качения по гладкой поверхности. В этой задаче [1, стр. 91] рассматривается качение обжатой шины по недеформируемой поверхности с учётом центробежных сил в объёме шины и нормальных сил в области контакта. 3. Задача стационарного качения шины по шероховатой поверхности. Контактные силы дополняются продольной тангенци&чьной составляющей. В пятне контакта для случая модели трения Кулона возникают области сцепления и скольжения [1, стр. 106]. 4. Задача бокового увода. В этой задаче направление вектор скорости движения шины выходит из плоскости её вращения, образуя угол увода. Тангенциальные силы в пятне контакта имеют как продольную, так и боковую составляющие [1, стр. 116].
Для решения задач внутренней механики шин могут быть использованы различные по степени детальности и точности модели. Наиболее важные в практическом отношении результаты были получены с использованием двух моделей шины: кольца на упругом основании и пневматической оболочки вращения. Решение задачи стационарного качения для модели кольца на упругом основании описано в работе [8]. В этой работе рассматривается задача качения шины по беговому барабану с учётом сил трения в пятне контакта (рис. 1.5). Рис. 1.5. Одномерная модель кольца на упругом основании [8] Колесо с шиной моделируется растяжимым в окружном направлении кольцом, соединенным с жёстким ободом системой пружин, и наружной системой пружин, имитирующих протектор шины.
В работах [9, 10], посвященных уточнению модели [11], анализируется эффект бокового увода при качении также с использованием модели кольца на упругом основании. Анализ работ, использующих модель кольца на упругом основании, показывает, что несмотря на очевидную простоту и экономичность такой модели, её точность и детальность не позволяют получать весь необходимый для проектирования набор характеристик шины, кроме того, определение некоторых входящих в уравнения параметров (например, жесткостей упругого слоя) может вызвать затруднение при практическом использовании в задачах проектирования шин.
Более детальными являются двумерные модели оболочки. Эти модели естественным образом соответствуют объекту, поскольку автомобильная шина, толщина которой, как правило, невелика по сравнению с генеральными размерами, весьма хорошо соответствует такому определению. Однако при этом нельзя игнорировать тот существенный факт, что шина имеет сложную внутреннюю структуру, в частности, набор анизотропных резинокордных слоев, жёсткости которых могут отличаться на порядки друг от друга (слои каркаса и брокера) и от жесткостей резиновых деталей протектора п боковины.
Ввиду этого, существует несколько оболочечных моделей шины, учитывающих те или иные особенности внутренней структуры. Первой и наиболее простой из таких моделей была модель сетчатой оболочки, предложенная независимо друг от друга J.F.Purdy (США), J.Hanus (Франция), R.Hadekel (Великобритания), R.S.Rivlin (США), W.Hof-ferberth (Германия), а также А.А. Лапиным и В.Л. Бидсрманом в 1946-52 гг. В этой теории оболочка рассматривается как система взаимно перекрещивающихся абсолютно гибких и упругих нитей, моделирующих корд диагональной шины, с фиксированными узлами. Исследования показали, что использование такой модели для расчёта легковых шин приводило к занижению радиальной жёсткости. Этот факт, по-видимому, объясняется тем, что для легковых диагональных шин, которые работают при сравнительно низком внутреннем давлении, существенную роль в обеспечении несущей способности играет изгпбная жёсткость каркаса, не учитываемая в безмоментной теории.
Более детальной является модель трёхслойной оболочки [12]. В этой модели отдельно рассматриваются слои каркаса и брекера в бозмоментном состоянии, между которыми располагается несжимаемый в радиальном направлении слой резиновой прослойки, работающей на сдвиг.
Методы решения задачи теории упругости для автомобильных шин
Методы решения задачи теории упругости, в том или ином виде возникающей при решении контактных задач для автомобильных шин, развиваются параллельно с моделями шин и моделями используемых в них материалов.
Если для решения контактных задач в простейших постановках при использовании в качестве моделей шины модели нити или модели криволинейной балки можно ограничиться методами сопротивления материалов и получить решение в аналитическом виде, то для решения более сложных задач, как правило, используются численные методы. Поскольку задача определения напряжённо-деформированного состояния шины при заданных внешних нагрузках может быть сформулирована в двух эквивалентных формулировках, дифференциальной и вариационной, методы решения этой задачи также разделяются на две группы.
Дифференциальная постановка задачи, использованная, например, в работах [8], [12], сводит решение задачи к решению системы дифференциальных уравнений, основанных на изучении равновесия бесконечно малого элемента конструкции. В ряде случаев размерность задачи может быть понижена путём разложения нагрузок и искомых неизвестных в ряды Фурье. Получившаяся совокупность независимых одномерных задач (для двумерной модели оболочки) может быть решена численным интегрированием. В случаях, когда такой подход невозможен, система может быть приведена к конечно-разностному виду и решена одним из сеточных методов [53].
В основе вариационных принципов теории упругости лежит принцип возможной работы, из которого следуют принцип возможных перемещении и принцип возможных сил. Известно [54], что каждому вариационному уравнению может быть поставлена в соответствие система дифференциальных уравнений Эйлера.
Однако для численного решения вариационных уравнений чаще всего применяются прямые методы вариационного исчисления. В основе этих методов лежит рассмотрение вспомогательной системы, содержащей в отличие от исходной конечное число степеней свободы. В таком случае функционалы задачи могут быть заменены функциями степеней свободы системы, и для решения вариационной задачи могут быть применены алгебраические подходы.
Метод конечных элементов (МКЭ). Анализируя работы, посвященные расчётам автомобильных шин, можно прийти к выводу, что в настоящее время наиболее распространённым методом, применяемым для решения задач в этой области, является метод конечных элементов. Этот факт, по видимому, объясняется тем, что шина представляет собой достаточно сложный объект, как геометрически, так и физически, что порождает значительные сложности при составлении и решении систем дифференциальных уравнении, однако эти сложности могут быть существенно уменьшены при использовании энергетического подхода МКЭ.
Метод конечных элементов является развитием метода Ритца; первые упоминания этого метода в исследовательских работах датируются 50-ми годами XX века одновременно с развитием матричных методов и появлением быстродействующих вычислительных систем. После того, как на многих задачах была показана пригодность метода конечных элементов, и была обнаружена ясная связь этого метода с классическим методом Ритца, метод получил строгое математическое и механическое обоснование.
В книге [55] рассмотрены основы метода конечных элементов, а также приведены примеры его использования для решения различных прикладных задач. Более подробное описание метода с учётом современного состояния науки в этой области изложено в пятом издании книги (на английском языке) [56].
При использовании метода конечных элементов для решения той или иной задачи, для получения корректных результатов наиболее существенным является правильный выбор используемого конечного элемента.
Существует большое количество конечных элементов, предназначенных для расчёта оболочечных конструкций. Проанализировав работы, посвященные этой теме, можно попытаться сгруппировать оболочечные элементы, опираясь на признаки, наиболее существенно влияющие на точность и корректность результатов расчёта.
Одним из наиболее очевидных признаков конечных элементов является использование той или иной теории оболочек при выводе определяющих соотношений. Наиболее часто в методе конечных элементов используются две теории: теория, основанная на гипотезах Кирхгофа-Л ява, и теория, основанная на гипотезах Тимошенко-Рейсснсра-Миндлина. Обе эти группы гипотез предполагают сохранение прямой нормали в оболочке при деформировании, что достаточно хорошо согласуется с результатами экспериментов для однородных тел. Однако теории типа Тимошенко, в отличие от первой, допускают наличие поперечных сдвигов в оболочке. Каждая из указанных теорий в применении к методу конечных элементов имеет свои преимущества и недостатки: теория Кирхгофа-Лява асимптотически точно описывает п.д.с. тонких оболочек, но накладывает весьма жёсткие требования на порядок аппроксимации перемещений по элементу. Теории типа Тимошенко позволяют смягчить требования непрерывности аппроксимирующих функций, однако во многих работах, посвященных этой тематике, указывается на наличие проблем с обусловленностью систем уравнений и дефектов представления н.д.с, приводящих к возникновению ложных членов в выражениях полной потенциальной энергии системы. Возможно также использование других теории оболочек, например, теорий высокого порядка [57] или теорий, основанных на гипотезах ломаной нормали [18].
По типу аппроксимации базовой поверхности оболочки конечные элементы оболочек можно разделить на криволинейные и плоские (фасетные) (рис. 1.20). С позиций геометрии кажется очевидным, что криволинейные элементы должны давать наиболее точные результаты. Однако можно показать, что для таких элементов в ряде случаев является достаточно сложным описание перемещений элемента как жёсткого целого, что оказывает существенное влияние на корректность результатов анализа. Поэтому зачастую сгущение сетки, и использование более простых фасетных элементов дает результаты более точные, чем при использовании криволинейных элементов. Подробная информация о способах построения криволинейных конечных элементов оболочек, анализе их свойств приведена в [58]. Фасетные элементы, как правило, строятся путём суперпозиции мембранных элементов и соответствующих им по числу узловых точек изгибных элементов теории пластин. В книге [59] подробно описано построение наиболее распространённых плоских конечных элементов, которые могут быть использованы как для расчёта пластин, так и для расчёта оболочек.
Матрица коэффициентов упругости резинокордного слоя
Для получения матрицы упругих постоянных резинокордного слоя при наличии в нём поперечных сдвигов рассмотрим сдвиги в системе координат, ориентированной по нитям корда (рис. 1.11). Обозначим {є} = [єі є2 7і2 7із 72зГ вектор деформаций в этой системе координат. За основу построения матрицы упругих постоянных примем коэффициенты упругости ортотропного материала при плоском напряжённом состоянии (1.2), дополнив их коэффициентами е\ е%& связанными с поперечными сдвигами 7і3 723 соответственно.
Рассмотрим пакет слоев каркаса (рис. 2.4) и выделим в нём один из слоев (заштрихованный на рисунке двойной штриховкой), базовая поверхность которого отстоит на расстояние Q от базовой поверхности пакета. Обозначим толщину слоя ft , Для краткости верхние индексы, обозначающие принадлежность к слоям каркаса, будем опускать.
Из вида этих выражений следует, что при неизменности свойств оболочки по толщине в интеграле возможной работы получается матрица мембранных жесткостей h[E] и матрица цилиндрической жёсткости [D] = [Е] 2, что соответствует обычной теории оболочек.
Уточним смысл внешних нагрузок применительно к решаемым задачам. Для шины нагрузкой, действующей на лицевую поверхность каркаса q(l\ является внутреннее давление, имеющее -«следящий» характер. На лицевую поверхность брекера действует нагрузка (р? в пятне контакта, в остальных точках внешнеїї поверхности оболочки нагрузку примем равной нулю. Кроме того, в задачах стационарного качения с большими скоростями необходимо учитывать объёмные силы инерции рд. Рассмотрим более подробно каждый из типов нагрузки (рис 2.6). В [12, П2] показано, что вектор нагрузки q от внутреннего давления р может быть записан в виде qM = рів ег + 02(1)е2 + (1 + ex + е2) ёЛ, ГДЄ в{ = — W31, #2 = и3 2 и е1 — и\. 1\ 2 — U 2 2 УГЛЫ Поворота ГЄО метрической нормали и линейная часть деформаций базовой поверхности пакета слоев каркаса. Рис. 2.5. Внешние силы, учитываемые в конечном элементе
Аналогично тому, как это делается в работе [12], представим вектор нагрузки от давления в виде суммы двух векторов, вектора «мёртвой» нагрузки рез и вектора «следящей» нагрузки, что в матричной записи будет выглядеть следующим образом.
В выражении для {р} первое слагаемое постоянно и соответствует нормальному давлению в исходной конфигурации оболочки. Второе слагаемое отражает «следящий» характер давления.
Вид контактной нагрузки q определяется типом решаемой задачи и условиями контакта. При рассмотрении контакта без трения вектор контактных сил имеет только составляющую, направленную по нормали п к опорной поверхности, и может быть записан в виде q = qnn, где qn 0 — абсолютная величина контактного давления, действующего со стороны опорной поверхности.
При наличии трения в пятне контакта в задаче качения без бокового увода возникает продольная тангенциальная составляющая, лежащая в плоскости колеса. При рассмотрении качения с боковым уводом возникает вторая тангенциальная составляющая, и вектор контактных сил приобретает наиболее общий вид. Более подробно выражения для вектора контактных сил будут рассмотрены при изложении решения контактных задач в следующей главе.
Для определения объёмных сил рассмотрим точку шины, вращающуюся вокруг оси Оу с постоянной угловой скоростью Q, имеющую до деформации радиус-вектор г и получающую при деформировании перемещение й (рис. 2.7).
Контактная задача при действии тягово-тормозных сил
При решении контактной задачи качения шины алгоритм, изложенный в предыдущем параграфе, должен быть дополнен учётом касательных сил в площади контакта. Рассмотрим качение шины с малой скоростью, при которой можно пренебречь силами инерции. При формулировании задачи будем считать, что ось колеса неподвижна, движется опорная поверхность под шиной, являющаяся либо плоскостью, либо цилиндрической поверхностью бегового барабана. С учётом продольных касательных сил qt полный вектор контактной нагрузки q принимает вид: q = qnn + qtt , где вектор t касательной к недеформируемой опорной поверхности образован как [j, її] и направлен в сторону движения опорной поверхности.
Обозначим радиус-векторы текущих точек протектора и брекера fv, ги соответственно; угловую координату точек брекера обозначим уз. Также введём угловую скорость стационарного качения Г2 и скорость движения основания V. Отношение этих параметров RK = , так называемый радиус качения, определяет режим качения колеса.
Для определения касательных сил в контакте используем концепцию «сцепление — скольжение» [1, стр. 106-108], [35], согласно которой площадка контакта делится на две зоны: зону сцепления в передней части контакта и зону скольжения, прилегающую к выходу из контакта .
Деформации сдвига элементов протектора и касательные напряжения возникают из-за различия скоростей fv fu, с которыми движутся в пятне контакта точки протектора и соответствующие им точки брекера. Будем считать, что при скольжении шашки протектора перемещаются вместе с оболочкой шины в направлении t без дополнительного деформирования. Таким образом, тангенциальные силы qt: совершающие работу на возможных перемещениях 5щ: зависят от нормальных сил qn, и, следовательно, от нормальных перемещений ип, однако не зависят от тангенциальных перемещений. Следует заметить, что матрица контактной жёсткости в области скольжения [Кск\ не является симметричной, что создает дополнительные трудности в численной реализации. Решение системы нелинейных алгебраических уравнений (3.19) строится аналогично представленному выше решению контактной задачи обжатия без трения. Отличие заюпочается в том, что на каждой внешней итерации необходимо определять не только область контакта Sc, но и границу областей сцепления и скольжения, используя неравенство (3.15).
Реализация алгоритма расчёта показала увеличение требуемого числа контактных итераций по сравнению с задачей статического нагружения, объясняемое необходимостью пересмотра границы зон сцепления и скольжения на каждой итерации. Кроме того, наличие кососимметричной составляющей у матрицы тангенциальных жесткостей несколько ухудшило сходимость решения нелинейных уравнений равновесия (3.19).
На рис. 3.9 представлено распределение касательных сил в пятне контакта шины, в котором можно наблюдать области сцепления и скольжения. Расчёт проведён для коэффициента трения /І = 0.7. Сетка конечных элементов имеет размер 80x46 элементов в окружном / меридиональном направлениях соответственно. Каса тел ьные силы, Н/м Рис. 3.9. Распределение касательных сил в пятне контакта Для графика 3 область скольжения распространяется на всю область контакта, что соответствует режиму буксования колеса. График 4 соответствует режиму полного сцепления шины с основанием, в котором область скольжения отсутствует. График 5 иллюстрирует режим качения, в котором присутствуют как область сцепления, так и область скольжения. Приведённое сравнение показывает, что наличие касательных сил в области контакта и режим качения оказывают влияние на распределение деформаций в шине.
При повороте колеса вокруг оси вращения на угол Аір р — іро, где о — угол входа в контакт, перемещение основания относительно оси колеса составит VAt, где At — Aip/Q. Перемещение точек протектора складывается из перемещения за счет поворота колеса как жёсткого целого и перемещения точек протектора v, связанного с деформациями шины.
Для установления связи между перемещениями точек оболочки и боковыми силами в области сцепления,характеризуемой строгим неравенством \qy\ yqn, рассмотрим боковой сдвиг в области протектора. Так же, как и для продольных сдвигов, примем начальный боковой сдвиг в протекторе равным нулю.
Похожие диссертации на Разработка метода решения нелинейных контактных задач стационарного качения автомобильной шины
