Содержание к диссертации
Введение
1. Основные понятия теории надёжности и математической статистики
1.1. История развития теории надёжности, основные понятия и модели 8
1.2. Методы математической статистики 25
1.3. Основные положения метода статистического моделирования 40
1.4. Цель диссертации 43
2. Применение метода статистического моделирования для оценки показателей надёжности узла приварки «горячего» коллектора ПГВ-ЮООМ из расчёта на статическую прочность и трещиностойкость
2.1. Анализ отказов, повреждений и напряжённо - деформированного состояния узла приварки «горячего» коллектора в районе сварного шва №111/1 44
2.2. Статистический анализ истории нагружения 58
2.3. Применение вероятностных методов для расчёта на статическую прочность g2
2.4. Вероятностный расчёт на статическую трещино стойкость 66
3. Оценка показателей надёжности узла приварки горячего коллектора ПГВ-ЮООМ из расчёта на циклическую прочность и трещиностойкость
3.1. Разработка модели циклического нагружения 73
3.2. Обработка нормативной кривой усталости 81
3.3. Детерминистический и вероятностный расчёты на циклическую прочность OQ
3.4. Применение метода статистического моделирования для вероятностных расчётов на циклическую трещиностойкость
4. Описание программного комплекса оценки показателей надёжности 109
Сводка результатов и выводы 115
Литература 110
Приложение 1
Приложение 2
Приложение 3
- Методы математической статистики
- Статистический анализ истории нагружения
- Обработка нормативной кривой усталости
- Описание программного комплекса оценки показателей надёжности
Введение к работе
Оценка технического состояния и прогнозирование остаточного ресурса элементов энергетического оборудования приобретает в настоящее время всё большую актуальность. Это вызвано рядом обстоятельств, главными из которых являются:
наличие большого количества энергетических объектов, время эксплуатации которых приближается к проектному ресурсу, или даже превышает его;
как правило, элементы энергетического оборудования находятся в условиях повышенной силовой и температурной нагруженности и* их отказ может представлять высокую опасность для людей и окружающей среды. В значительной степени это относится к оборудованию атомных энергоустановок;
развитие приборной базы для проведения дефектоскопии и разработка новых методов для обнаружения различного рода дефектов и отклонений в характеристиках нагружения и сопротивления элементов энергетического оборудования от проектных значений.
Проектные и проверочные расчёты на прочность энергетического оборудования, в частности оборудования и трубопроводов атомных энергетических установок, основываются на нормативных документах и ориентированы на детерминистический подход. Случайный характер параметров нагружения и сопротивления учитывается косвенно посредством соответствующих коэффициентов или расчётных кривых, заданных с определённой обеспеченностью. В то же время, объективная оценка показателей надёжности оборудования, учитывающая случайную природу действующих нагрузок, разброс свойств материалов, разнообразие режимов работы и т. д. возможна лишь с непосредственным привлечением методов теории вероятностей и математической статистики.
Современное состояние теории надёжности механических систем со--вместно с накопленным статистическим материалом, полученным в резуль-
7 тате многолетнего периода эксплуатации энергоустановок, дают широкую возможность оценивать показатели надёжности энергетического оборудования с достаточно высокой точностью. Что касается возможных способов оценки показателей надёжности уникальных или малосерийных изделий, к которым относится- оборудование атомных энергетических установок, то наиболее эффективным, а в ряде случаев, пожалуй, и единственно возможным является метод статистического моделирования (метод Монте — Карло). Целесообразность применения этого метода обусловлена рядом объективных факторов. Во-первых, в настоящее время существует большое количество методов и алгоритмов статистического анализа и моделирования случайных величин, случайных процессов и полей. Во-вторых, история строительства и эксплуатации атомных энергоустановок составляет уже полувековой период. За это время накоплен и, в некоторых случаях, частично систематизирован статистический материал по* отказам, дефектам, напряженно-деформированному состоянию несущих элементов, трубопроводов и различных узлов АЭС Третье обстоятельство определяется наличием мощных быстродействующих компьютеров и соответствующего программного обеспечения, позволяющих, с одной стороны, с необходимой точностью рассчитывать напряжённо - деформированное состояние элементов конструкций, а с другой - многократно воспроизводить (моделировать) весьма сложную историю нагружения.
В настоящей диссертации на примере узла врезки «горячего» коллектора парогенератора ПГВ-1000М была разработана методология и проведена оценка показателей надёжности с применением статистического моделирования. Для этого был разработан единый подход к анализу показателей надёжности элементов энергетического оборудования, который был применён к следующим видам нормативных расчётов, проводимых при оценке прочности: к расчёту на статическую прочность и статическую трещиностойкость, к расчёту на циклическую прочность и циклическую трещиностойкость. В результате, в рамках обозначенных расчётов, были получены оценки показателей надёжности, в частности, вероятность безотказной работы.
Методы математической статистики
Статистика имеет дело с данными, подверженными случайной изменчивости. Только в больших выборках случайности сглажены и видны в полной мере присущие явлению закономерности. На практике часто решается вопрос о том, как подобрать для статистического распределения аналитическую формулу, выражающую лишь существенные черты статистического материала, а не случайности, связанные с недостатками данных.
Задача о подборе наилучшей функции, аппроксимирующей выборку, в, значительной мере неопределённая, как и любая задача об аналитическом представлении эмпирических функций. Если статистические данные расположены на плоскости приблизительно на прямой, то возникает идея заменить эту зависимость линейной функцией-. Если зависимость явно нелинейная, в1 качестве аппроксимирующей кривой выбирают параболу и т. д. При сглаживании эмпирических зависимостей часто применяется «принцип наименьших квадратов»: считается, что наилучшим приближением в, данном классе функций является то, для которого сумма квадратов отклонений обращается в минимум. Вопрос о том, в каком классе функций следует искать наилучшее приближение, решается не только математически, но и исходя из физики решаемой задачи с учетом характера эмпирической кривой.
Так же применяется глазомерный метод проверки соответствия теоретического и статистического распределений. По сути, данный метод это перестроение статистической функции распределения на вероятностной бумаге, соответствующей выбранному теоретическому распределению [76]. После перестроения теоретическая функция распределения превращается в линейную зависимость. Чем лучше статистические данные «ложатся» на прямую линию, тем уверенней можно судить о соответствии теоретического и статистического распределений. В основе этого графического метода лежит нетривиальное свойство человеческого глаза обнаруживать сходство геометрического образа с прямой линией. И хотя метод не даёт четкого критерия со 26 ответствий распределений, он позволяет сделать, предварительные выводы. Для более полной проверки качества соответствия статистической выборки и аналитической функции служат критерии согласия.
В ряде задач требуется дополнительно определить некоторые численные параметры, входящие в выражение аппроксимирующих функции. Параметрами распределения вероятностей 6 называют набор чисел, значения которых полностью определяют это распределение как конкретный элемент некоторого семейства распределений. В силу случайности исходных данных однозначно вычислить значения параметров не представляется-возможным, приходится использовать «оценки». Пусть 0п - оценка характеристики распределения в, полученная по выборке объёмом п. Методов оценивания разработано достаточно много. Поэтому при построении оценок и их выборе для практического применения к оценкам предъявляются определённые требования. Например, требование точности (близость к истинному значению параметра), несмещённости (математическое ожидание оценки равно истинному значению параметра М(9п) — в), состоятельности (при увеличении числа наблюдений оценка сходится по вероятности к истинному значению параметра: вп— в при п— оо) и т. д.
Единого способа сравнения оценок не существует - приходится использовать различные подходы. Чаще всего в качестве критерия качества оценки 9п параметра 9 выбирают малость величины М(9п-9) , а наилучшей оценкой считают такую, для которой эта величина минимальна. Более общий подход состоит в том, что вместо величины (9п-9) выбирают другую неотрицательную функцию «штрафа» W(9n, 9) за отклонение 9п от 9. Наилучшей оценкой считают такую, для которой математическое ожидание величины «штрафа» M(W(9„, 9)) минимально. Оценки, для которых минимальна некоторая функция потерь, часто называют оптимальными или эффективными. Наилучших во всех отношения оценок не бывает. Так выборочное среднее, широко распространённая оценка среднего распределения по выборке, обладает многими свойствами оптимальности для нормально распределенных выборок, но очень плохо реагирует на наличие в выборке выбросов. Поэтому желательно использовать методы устойчивого (робастного) оценивания.
Метод моментов состоит в том, что важнейшие моменты (математическое ожидание, дисперсия и т. д.) статистического и аналитического распределений совпадают. Реже используется метод квантилей. При его применении надо предварительно решить, какие квантили будут использоваться. Обычно это медиана, мода, а также верхний и нижний квартили. Метод оценивания, основанный на оптимальном использовании имеющейся в выборке информации о параметрах распределения - метод наибольшего (максимального) правдоподобия. Оценки максимального правдоподобия (ОМП) вычисляются в результате максимизации некоторой функции правдоподобия или её логарифма. Оценки максимального правдоподобия, при достаточно общих условиях, являются асимптотически несмещёнными и асимптотически эффективными, однако они не всегда являются, устойчивыми к наличию аномальных наблюдений в выборке. В [76] применительно к нормальному распределению показано что метод, наибольшего правдоподобия даёт оценки тх=тх, DX=DX. При вычислении MD - оценок (оценок минимального- расстояния,..[40]) минимизируется, некоторая мера близости, за-дающая;расстояние:между статистической;функцией,распределения F (х) и заданной теоретической функцией распределения F(x).
Во многих статистических задачах мы; предполагаем, чтоз случайные величины имеют заданное распределение с известными или? неизвестными параметрами этого распределения-. Чем лучше известен закон изменчивости наблюденных данных,.их распределение вероятности, тем точнее и надёжней наши статистический выводы. В связи с этим возникает важный вопрос: насколько выбранное теоретическое распределение соответствует имеющимся статистическим данным (статистическому распределению). Факт близости двух кривых сам по себе является недостаточным для того, чтобы делать вывод об удачном представлении эмпирического распределения: Для проверки; гипотезы о соответствии (несоответствии) распределений используются критерии согласия. Критериями, согласия называют статистические критерии, предназначенные для обнаружения расхождений между гипотетической теоретической моделью и реальными статистическими данными, которые эта модель описывает. Возникает новый вопрос: можно ли считать полученное различие недопустимым или наоборот приемлемым? Необходимо выбрать границу допустимых отклонений, т. е. назначить такое «критическое» отклонение, превышение которого при нашей гипотезе настолько маловероятно, что его можно считать практически невозможным, и потому, если оно фак 29 тически наблюдалось, то это указывает на несовместимость теоретического и статистического законов распределения. И обратно, если фактическое отклонение меньше критической границы, мы вправе считать, что опыт не противоречит нашей гипотезе и наблюденное отклонение можно объяснить случайными причинами. Обычно в качестве практически невозможных отклонений принимаются такие, вероятность которых не превышает 0,05 или 0,01 и т. п. Такую вероятность называют уровнем значимости q, а отвечающую ей область больших отклонений - критической областью.
Статистический анализ истории нагружения
В качестве расчётной нагрузки для оценки показателей надежности была использована история нагружения, составленная из следующей последовательности нагружений: 1 год эксплуатации - расчетный случай 1 (рис. 2.7, приложение 1), 2-10 годы эксплуатации - расчетный случай 2 (рис. 2.8, приложение 2). Отметим, что реализации напряжений не содержат значений, по модулю превышающие более чем на 20% математическое ожидание предела текучести i?/,_0,2 Будем рассматривать напряжения как выборку, соответствующую некоторой случайной величине а. На рис. 2.9 представлена гистограмма для. выборки напряжений расчётной истории нагружения, усеченной снизу значением, равным 50 МПа. Усечение призвано исключить из рассмотрения невысокие значения напряжений, не представляющие большого расчётного интереса, а так же позволяет более адекватно описать и смоделировать высокие напряжения, вносящие основной вклад в повреждаемость. Кривая на рис. 2.9 аппроксимирует эмпирическую плотность распределения а теоретическим распределением, соответствующим нормальному (гаусовскому) закону. Правомерность применения указанного закона подтверждена критериями согласия для сложной гипотезы. При аппроксимации использовались совместимые с критериями согласия оценки параметров. Моделирование случайной величины а было проведено методом Мон-те - Карло. Этот метод сводится к генерированию реализаций равномерно распределенной на единичном отрезке случайной величины. Величина а моделировалась многократно (порядка 700 раз). По итогам моделирования была сформирована выборка максимальных значений ermax.
Гистограмма выборки напряжений. Кривая — теоретическая плотность распределения напряжений а специальные функции распределения [24]. Использование критериев согласия для сложной гипотезы (поскольку параметры распределения оцениваются по той же выборке, с которой проверяется согласие) позволяет определить вид теоретической функции распределения, так и корректно получить значения параметров, входящих в неё.
При расчёте на статическую прочность проверяют выполнение условия прочности применительно к расчетным нагрузкам (кроме сейсмических и вибрационных) и ко всем эксплуатационным режимам согласно [58]. Напряжения, определённые при расчёте на статическую прочность, не должны превышать обозначенных нормативных значений.
Здесь в зависимость от методики расчёта S - нагрузка, действующая на конструкцию, усилие или напряжение в элементе конструкции; R - несущая способность (сопротивление), измеряемая в тех же единицах, что и величина S.
Рассмотрим напряжения как выборку, соответствующую некоторой случайной величине ст. Для оценки параметров надежности используем историю нагружения, принятую в п. 2.2. Сопротивление материала, характеризующееся пределом текучести Rp_o,2 также полагаем случайной величиной с заданными характеристиками распределения (см. табл. 2.2, сварной шов). На рис. 2.11 кривая 1 аппроксимирует эмпирическую плотность распределения а теоретическим нормальным распределением. Адекватность статистического и теоретического распределений подтверждена критериями согласия для сложной гипотезы. Кривая 2 - плотность распределения для предела текучести стали 10ГН2МФА. Плотность вероятности принята согласно данным завода-изготовителя нормальной распределённой, с известными параметрами распределения (математическим ожиданием и дисперсией), которые приведены в табл. 2.2 (см. сварной шов). СТ?МПа Л,МПа
Гистограмма выборки напряжений. Кривая 1 — теоретическая плотность распределения напряжений а, кривая 2 — плотность распределения предела текучести R На рис. 2.12 построены теоретическая функция распределения максимальных значений напряжений F( rmax) - кривая 1, и плотность распределения предела текучести p(R) — кривая 2. Кривые 1-2 могут рассматриваться как условная вероятность безотказной работы при некотором фиксированном значении предела текучести, т. е. F{aiaa) = Р{сгИ13Х R).
Для принятой истории нагружения патрубка и свойств материала вычисления дали Q = 0,848. Значение вероятности нарушения статической прочности достаточно велико. Это говорит о том, что в истории нагружения наличие значений напряжения близких к пределу текучести скорее правило, чем исключение (достоверность данного утверждения 84,8%). В свою очередь вероятность выполнения условия статической прочности Р = 1 — 0,848 = 0,152 не может считаться достаточной для ответственного оборудования и необходимы меры по снижению нагруженности узла, в частности снижение общего уровня эксплуатационных напряжений.
Обработка нормативной кривой усталости
Расчёт на циклическую прочность подразумевает определение допускаемого числа циклов по заданным амплитудам напряжений или допускаемых амплитуд напряжений для заданного числа циклов. Иными словами, амплитуда эксплуатационного напряжения не должна превышать допускаемую амплитуду напряжений [ та], получаемую для заданного числа циклов N. Если задана амплитуда напряжения, то эксплуатационное число циклов N не должно превышать допускаемое число циклов [No]. Определение допускаемого числа циклов по заданным амплитудам напряжений или допускаемых амплитуд напряжений для заданного числа циклов производиться по расчётным кривым усталости или по формулам, связывающим означенные амплитуды напряжений и числа циклов. Формулы применяются в случаях уточнения расчёта допускаемого числа циклов или амплитуды напряжений или когда расчётные кривые не могут быть применены [33, 49, 58].
Кривая усталости является основной характеристикой материала при расчёте на циклическую прочность. Под кривой усталости понимают график зависимости числа циклов до разрушения N от амплитуды действующих напряжений а. Характерной особенностью этой кривой является наличие асимптоты при N—+CO. Соответствующее ей напряжение при симметричных циклах нагружения называется пределом выносливости и обозначается ал. При расчётах часто используют условный предел выносливости, при котором образец материала (или натурный элемент конструкций) выдержит заданное число циклов нагружения [N0]. Обычно [N0] = (2...10)105 циклов. В «Нормах расчета на прочность...» [58] приведены расчётные кривые усталости в зависимости от класса стали, интервала рабочих температур, а так же значений коэффициента концентрации приведённых напряжений. На рис. 3.6 приведена кривая усталости, соответствующая рис. 5.5 из [58]. В кривой заложены коэффициент запаса: по напряжениям п„ - 2, по числу циклов nN = 10.
В основу последующих вычислений на циклическую прочность, была положена расчетная кривая усталости углеродистых и легированных сталей (см. рис. 3.6, аналогичный рис. 5:5 из [58]). Для удобства вычислений-кривая-усталости была аппроксимирована кусочно-линейной- зависимостью (см. рис. 3.7, где звездочками отмечены-контрольные вычисления с использованием параметров аппроксимации). Суждение о прочностных характеристиках элементов, в основном строится по экспериментальным результатам изу-чения механических характеристик материалов, из которых эти элементы выполнены. При натурных испытаниях наблюдается некоторое рассеяние результатов, что было отражено в нормах [58] в.виде коэффициентов запаса. Так в расчётной кривой усталости заложены фиксированные коэффициенты запаса: по напряжениям пв — 2, по числу циклов п = 10.
«Истинная» кривая? усталости (без введения коэффициентов запаса) может быть восстановлена следующим образом. На-графике.помимо расчётной кривой усталости [ та] [No] (см. рис. 3.8) достраиваются- ещё две: 2[ 7а] [No] и [cra] 10[N0]. Обе кривые расположены выше расчётной и име-ют точку пересечения [N ]. «Истинная» кривая усталости проходит «по вер-ху» обеих кривых и, по сути, состоит из 2-х частей: при [No] [N ] описыва-ется кривой [(Та] 10[No], а при [No] [N ] имеет место 2[аа] [No].
С другой стороны, «истинная» кривая усталости строится по статистически обработанным результатам испытаний заданного числа образцов. В опыте фиксируется амплитуда напряжений и определяется количество циклов до разрушения. На основе полученных данных составляется статистическая выборка «амплитуда напряжений - число циклов до разрушения». Срез выборки при фиксированном параметре после соответствующей статистической обработки даёт точку на «истинной» кривой усталости. Срез производится- по фиксированной амплитуде, если разброс значений чисел циклов до разрушения небольшой (т. е. в зоне больших амплитуд, см. рис. 3.9), и при фиксированном числе циклов, если разброс данных о циклах нагружения до разрушения значительный (т. е. в зоне пологости кривой усталости, где од ной и той же достаточно низкой амплитуде напряжений соответствует широкий диапазон циклов разрушения).
Описание программного комплекса оценки показателей надёжности
Программа расчёта параметров надёжности составлена с применением средств графического интерфейса пользователя. Программа содержит пять стандартных окон (панелей) системы Windows и оценивает вероятности отказа патрубка коллектора из расчёта на статическую прочность, на циклическую прочность, на циклическую и статическую трещиностойкость (на сопротивление хрупкому разрушению). Первая панель (рис. 4.1) содержит пять командных кнопок и пять текстовых окон. Наименование командных кнопок указывает на вид расчёта и щелчок по ним открывает соответствующую панель (рис. 4.2-4.5). На рис. 4.2 изображена панель расчёта на статическую прочность. Здесь имеется окно выбора необходимого файла с данными по истории нагружения, редактируемые текстовые файлы для задания исходных данных. При щелчке мышью по кнопке с надписью «Загрузка данных» в память компьютера вводятся исходные данные, строится график истории нагружения, гистограмма напряжений и её аппроксимация теоретическим распределением. Нажатие на кнопку с надписью «Статистическое моделирование» инициирует блок многократного моделирования истории нагружения и предела текучести. После вычисления строятся статистические функции распределения максимальных напряжений и разности предела текучести и действующих напряжений. В текстовом окне этой панели и первой главной панели появляется вычисленная вероятность отказа. Аналогичную структуру, закомментированную многочисленными надписями, имеют остальные панели расчёта на циклическую прочность и на сопротивление хрупкому разрушению.
1. На основе метода конечных элементов проведён расчёт напряжённо -деформированного состояния узла приварки «горячего» коллектора парогенератора ПГВ11000М при разных последовательностях режимов нагружения. В результате были получены реализации компонент тензора напряжений. Путём анализа напряжённо-деформированного состояния в сечении, расположенном на уровне выявленных трещин, была выявлена наиболее опасная зона, хорошо качественно вписывающаяся в картину реального расположения дефектов.
2. Проведён статистический анализ истории нагружения узла приварки. Предложены алгоритмы и программы для статистического моделирования режимов нагружения при проведении различных видов расчёта на прочность (статическая прочность и трещиностойкость, циклическая прочность и циклическая трещиностойкость) с выбором и обоснование принятых законов распределения.
3. Разработаны методы аппроксимации статистических характеристик экстремальных значений выходных параметров моделирования (максимальных напряжений, меры повреждений, коэффициентов интенсивности напряжений). Показано, что экстремальные значения показателей работоспособности хорошо аппроксимируются распределением Гумбеля. Разработана программа построения статистических выборок на вероятностной «бумаге» Гумбеля.
4. Разработан пакет программ с использованием графического интерфейса пользователя, включающий ввод статистических характеристик нагружения и сопротивления и других необходимых исходных данных, выбор вида расчёта, многократное воспроизведение работы элемента конструкции, статистическую обработку результатов моделирования и вычисление оценок показателей надёжности.
5. Вероятностный расчёт на статическую прочность для известной истории нагружения и свойств материала дал вероятность выполнения условия статической прочности Р = 0,152. Такой низкий показатель однозначно не может считаться достаточным для ответственного оборудования. В связи с этим, необходимы меры по снижению нагруженно-сти узла, в частности, снижение общего уровня эксплуатационных напряжений.
6. Вероятностный расчёт на статическую трещиностойкость показал, что в зависимости от допускаемого коэффициента интенсивности напряжений и размера исходного дефекта (трещины), вероятность безотказной работы сильно варьируется. С помощью представленной методики возможна как оценка текущей вероятности безотказной работы по критерию статической трещиностойкости, так и прогнозирование на будущее. Для большей точности требуются качественные данные о размере имеющихся дефектов (трещин) и условиях нагружения;
7. Вероятность безотказной работы из расчета на циклическую прочность от предельно допустимого значения меры повреждения равного единице в случае принятой истории нагружения и свойств материала Р = 0,9998. Иначе говоря, вероятность набрать предельную повреждаемость равную единице есть Q = 0,0002 - такое значение вероятности может считаться, при определённых обстоятельствах (в частности на новых, не ремонтированных парогенераторах), приемлемым.
8. Вероятностный расчёт на циклическую трещиностойкость при критическом значении коэффициента интенсивности напряжений Ki с = 80 МПал/м, принятой истории нагружения и начальной трещине длиной б мм согласно критерию Ирвина дал вероятность, что разрушение не наступит, 99,7%. Это соответствует обеспеченности 0,997.
9. В результате проведённой работы был разработан единый подход к анализу показателей надёжности энергетического оборудования с применением статистического моделирования. Впервые на примере узла приварки «горячего» коллектора ПГВ-ЮООМ для четырёх видов расчётов (на статическую прочность и трещиностойкость, на циклическую прочность и циклическую трещиностойкость) были получены оценки показателей надёжности, отработаны алгоритмы и программы по их оценке.
Похожие диссертации на Применение статистического моделирования для оценки показателей надежности элементов энергетического оборудования
