Введение к работе
Актуальность темы. Тонкостенные оболочечные конструкции представляют собой обширный класс механических объектов, широко использующихся в современном машиностроении (корпуса машин, агрегаты турбин, химические резервуары), авиастроении (фюзеляжи, нервюры, стрингеры, подвесные топливные баки), а также в кораблестроении, железнодорожном транспорте, промышленном и гражданском строительстве. Условия их эксплуатации, как правило, предъявляют жесткие требования функциональности, надежности, экологии, экономичности и т.д. В частности, для решения подобного комплекса проблем необходим достоверный прогноз напряженно-дефомрированного динамического состояния конструкции в различных режимах нагружения. Опыт показывает, что при динамических испытаниях тонкостенных оболочечных конструкций часто возникают нелинейные явления: пространственно локализованные бегущие волны, нестационарный обмен энергии между различными формами колебаний, взаимодействия между короткими и длинными волнами, хаотизация движения и т.д. Подобные эффекты до настоящего времени систематически не изучены в рамках классической теории нелинейных колебании оболочек, В настоящей работе разрабатывается методика решения подобных задач с позиций теоретико-волнового подхода, обеспечивающего ясную трактовку и внутреннее единство результатов, полученных при исследовании нелинейных многоволновых процессов в типичных тонкостенных элементах конструкций (стержне, круговом кольце, пластинке и цилиндрической оболочке).
Состояние вопроса. В середине двадцатого века в связи с бурным прогрессом в технике возникла неизбежность развития теории нелинейных колебаний тонкостенных оболочечных конструкций. Начало теоретическим и экспериментальным исследованиям положено Григолюком Э.И и Рейсснером (1955). В качестве уравнений движения использовались геометрически нелинейные уравнения пологих оболочек типа Кармана (1910). Динамический прогиб и функция напряжений в срединной поверхности оболочки аппроксимировались "одночленными" разложениями в ряд Фурье с неизвестными коэффициентами, зависящими от времени. В результате исследования такой математической модели была найдена зависимость между частотой и амплитудой колебаний и был обнаружен эффект несимметричности динамических прогибов оболочки относительно ее недеформированной срединной поверхности, что, по существу, явилось первым свидетельством об ограниченности теории линейных колебаний.
Дальнейшее развитие различные аспекты теории нелинейной динамики тонкостенных конструкций (вопросы динамической устойчивости, взаимодействия оболочек с жидкостью и упругим заполнителем, флатгерные задачи) получи-
fuC. НАЦИОНАЛЬНАЯ
3 БИБЛИОТЕКА
СПетерІт-г? 03 1007»«*) О
*
ли в 60 — 70 годы благодаря трудам видных отечественных и зарубежных ученых — Болотина В.В., Челомея В.Н., Лаврентьева МА, Ишлинского А.Ю., Новожилова В.В., Колесникова К.С., Образцова И.Ф., Каудерера Г., Вольмира А.С., Амбарцумяна С А., Гузя А.Н., Кильчевского НА., Филиппова А.П., Шмидта, Довелла Е.Г., Эвенсена Д.А., Мацузаки Е., Новински Дж. Н. и многих других. Основные результаты были получены при исследовании собственных и вынужденных колебаний нелинейных систем, сводимых к простейшим моделям с од-ной-двумя степенями свободы. Такие модели позволили установить ряд важнейших закономерностей нелинейного поведения, которые затем нашли экспериментальное подтверждение — явления колебательного гистерезиса, срыва колебаний в резонансной области и т.д. Основные результаты этого этапа отражены в монографиях Болотина В.В. (Неконсервативные задачи теорииупругойустойчивости. М- Физматгиз, 1961) и Вольмира А.С. (Нелинейная динамика пластинок и оболочек. М.: Наука, 1972).
Ряд экспериментальных исследований, проведенный в 70 — 80 годы прошлого столетия, показал, что упрощенные модели оказались неприемлемыми для описания нелинейных процессов, в основе которых лежит взаимодействие различных форм колебаний, например:
динамической неустойчивости осесимметричных форм колебаний колец и цилиндрических оболочек, приводящей к возбуждению стационарных и нестационарных изгибных волн (ЛиндбергГ.Е. (1974), ГинсбергДж. Г. (1974));
циклических "биений" сопряженных форм колебаний в цилиндрических оболочках (Чен И.С. и БабкокК.Д. (1975), Кубенко В.Д. и др. (1984));
нестационарного возбуждения изгибных колебаний оболочек на частотах в целое число меньших собственной (Солодилов В.Е. (1980)) и т.д.
Основной этап теоретического исследования подобных нелинейных явлений состоял в выборе базисных функций задачи для последующего применения метода Бубнова-Галёркина. Решение задачи аппроксимировалось различными "многочленными" разложениями. К примеру, в монографии Кубенко ВД. и др. (Нелинейное взаимодействие форм изгибных колебаний цилиндрических оболочек, Киев: Наукова думка, 1984) можно найти четыре различные версии аппроксимации прогибов оболочки, предложенные различными авторами при постановке практически одной и той же задачи. Оказалось, что при одних значениях параметров системы может быть предпочтительнее одна из таких аппроксимаций и получаются результаты, согласующиеся с экспериментом, но при других значениях параметров ситуация может измениться. Поэтому никаких строгих доводов в пользу выбора той или иной модели не было. Подобное положение вещей сохраняется и по сей день. Примеры тому можно найти в сравнительно
недавних работах по нелинейным взаимодействиям осесимметричных и неосе-симметричных форм изгибных колебаний в оболочках с жидкостью (Амабили М. идр. (1998,1999)).
Существенный прогресс в понимании природы нелинейного взаимодействия различных форм колебаний упругой системы был достигнут в рамках теоретико-волнового подхода, который развивался в 70 — 90 годы в следующих направлениях:
— волны конечной амплитуды в прямолинейных стержнях (Карнаухов В.Г.
(1973); Островский ЛА., Сугин AM. (1977); Березовский АЛ., Жерновой Ю.В.
(1981); Милосердою ИЛ., Потапов А И. (1983); Дрейден Г.В., Soerensen М.Р.
(1984); Островский Ю.И., Самсонов AM., Семенова И.В., Сокуринская Е.В.
(1988); Самсонов AM. (1988));
— трехволновые резонансные процессы в стержнях (Ерофеев В.И., Потапов АИ.
(1985); Ковригин ДА., Потапов АЛ. (1996, 1997); Ковригин ДА. (1997)); в тон
ких кольцах и оболочках (Белостоцкая И А, Ковригин ДА., Потапов АИ.
(1990); Ковригин ДА., Потапов АЛ. (1996, 1997)); в пластинках (Ковригин ДА.
(2001));
самомодуляция волн в стержнях и оболочках (Багдоев АГ., Мовсисян ЛА. (1980, 1988)); в стержнях (Ковригин ДА. (1997)); в кольцах и оболочках (Wu J., WheatlyJ., Putterman S., Rudnickl. (1987); Ковригин ДА (1998));
"взрывная неустойчивость" цилиндрических оболочек (Новиков В.В. (1988));
волны конечной амплитуды в пластинах (Шенявский ЛА. (1979); Потапов АИ. (1985); Вакуленко СА., Молотков (1988); Потапов АИ., Солдатов И.Н. (1984));
—волны в средах с микроструктурой (Крёнер (1986); Эделен, Лагудас (1988, 1989); Попов ВЛ. (1992); Ерофеев В.И. (1996); Потапов АИ., Павлов И.С, Мо-жен (1999); Можен (1999)).
Проведенные исследования позволили выявить нелинейные резонансные многоволновые процессы, описывающие обмен энергии между различными формами колебаний, объединенными в так называемые резонансные волновые ансамбли, которые возникают при выполнении условий фазового синхронизма. Изучение нелинейных многоволновых процессов требует строгого, последовательного анализа резонансных свойств конструкций, на основе которого можно судить об адекватности выбора математической модели и о достоверности полученных теоретических результатов. Успех в этом направлении достигается при использовании метода нормальных форм уравнений. Математические аспекты теории нелинейных многоволновых взаимодействий тесно связаны идеей нормализующих преобразований уравнений движения к эквивалентной наипростейшей
форме. Впервые такая задача была сформулирована в работах Пуанкаре и была развита Биркгоффом, а затем Брюно Л.Д., Арнольдом В.И. В прикладных задачах нелинейной механики эта теория нашла применение для роторных и волновых гироскопических систем (Кубышкин Е.П. [1991], Кубышкин Е.П, Федотов Н.Б. [1995]); в задачах флаттера цилиндрической оболочки в потоке жидкости (Пелликано, Амабили, Вакакис [2000]). Большой интерес также представляют и общетеоретические разработки (Новиков А.А. [1979]; Климов А.Д., Журавлёв В.Ф. [1988]; Ламарк, Жезекюль [1991]). Сильная сторона метода нормальных форм состоит в его легкой формализации для символьных вычислений на компьютере.
Для решения инженерных задач нелинейной динамики оболочечных конструкций, где требуется заданная техническая степень точности вычислений, достаточно воспользоваться лишь только первыми нелинейными приближениями метода нормальных форм, полученными с помощью асимптотических методов исследования. В настоящей работе предлагается следующий алгоритм исследования:
сначала изучается спектральный состав линеаризованной подсистемы;
в первом нелинейном приближении, при анализе полученной информации о спектре колебаний, выявляются трехволновые резонансы;
во втором приближении, с учетом поправок первого нелинейного приближения, учитываются четырехволновые резонансы, эффекты кросс-модуляции и самовоздействия волн, группового синхронизма;
при необходимости изучаются высшие приближения.
Применение этого алгоритма к задачам нелинейной динамики стержней, колец, пластинок и цилиндрических оболочек, позволило получить ряд основных моделей нелинейной многоволнового взаимодействия, имеющих точные аналитические решения. Такие решения могут служить в качестве "эталонных" для проверки достоверности результатов, полученных при исследовании задач нелинейной динамики более сложных конструкций.
Цель работы состоит в разработке основ теории нелинейных многоволновых процессов в элементах тонкостенных конструкций для ее последующего применения в практических задачах современного машиностроения. Она включает в себя решение следующих задач:
(і) построения адекватных математических моделей нелинейных многоволновых процессов в типичных элементах тонкостенных конструкций; (ii) выявления основных закономерностей распространения и взаимодействия волн в стержне, кольце, пластинке и цилиндрической оболочке;
(iii) сопоставления полученных результатов с известными экспериментальными и теоретическими данными, полученными другими авторами и другими методами, для проверки непротиворечивости развиваемой теории.
Научная новизна работы состоит в следующем:
(і) разработана методика сведения исходных квазилинейных уравнений движения механических систем с распределенными параметрами к эквивалентным нормальным формам уравнений;
(ii) обнаружены и проклассифицированы трехволновые резонансы в тонком стержне, кольце, пластинке и цилиндрической оболочке, а также выявлены четырехволновые резонансные взаимодействия, эффекты кросс- и самомодуляции;
(iii) предложены новый способ возбуждения незатухающих прецессирующих изгибных волн во вращающемся кольце, и схема идентификации параметра нелинейности осесимметричного резонатора;
(iv) построена модель каскадных процессов резонансного взаимодействия сдвиговых и изгибных волн в тонкой пластинке, и обнаружен эффект двухмерного группового синхронизма коротких изгибных и длинных сдвиговых волн;
(v) показано, что амплитудно-частотная характеристика изгибных волн в тонкостенных элементах конструкций существенно зависит от параметров длинноволновых продольных и сдвиговых смещений, вызванных распространением этих же изгибных волн.
Достоверность результатов работы основывается на использовании апробированного математического аппарата нелинейной динамики, их сравнении с результатами, полученными при использовании других методов, а также сопоставлением с имеющимися экспериментальными данными..
Научная и практическая значимость. Результаты работы могут быть использованы при решении научно-технических задач:
возбуждения незатухающих прецессирующих волн в твердотельном волновом гироскопе;
расчета флатгерной неустойчивости панелей и оболочек в потоке жидкости или газа;
идентификации параметров нелинейности тонкостенных механических объектов по данным динамических испытаний.
Результаты работы использовались в оценках напряженно-деформированного динамического состояния элементов конструкций самолетов марки ТУ.
Диссертационная работа связана с плановыми исследованиями Института Машиноведения им. А.Л. Благонравова Российской Академии Наук и Нижегородского филиала Института Машиноведения. Работа частично поддерживалась международными и отечественными фондами развития научных исследований: ISF (NR9B000), PNTAS (96-2370), РФФИ (95-02-05360, 00-02-16582), ФЦП "Интеграция" (проект А-0046); проект НАТО - PST.CLG.977350 (Nonlinear dynamics of shells with fluid structure interaction).
Результаты работы докладывались на:
— симпозиуме "Активный контроль в инженерном деле", Лион, Франция,
1993 г.,
симпозиуме ШТАМ "Идентификация механических систем", Вупперталь, ФРГ, 1993 г.,
Всероссийском научном семинаре "Проблемы динамики и прочности электро- и энерго машин", СПб, 1993 г.,
симпозиуме "Вибрации в физике", Познань, Польша, 1994 г.,
II международной школе-семинаре по динамике и стохастическим волновым явлениям ННовгород-Москва, 1995 г.,
10 зимней школе по механике сплошных сред, Пермь, 1995 г.,
— симпозиуме "Успехи в модальном синтезе сложных конструкций", Лион,
Франция, 1995 г.,
VIII сессии РАО "Нелинейная акустика твердого тела", Н.Новгород, 1998 г.,
XIII симпозиуме "Динамика виброударньгх (сильно нелинейных) систем", Москва-Звенигород, 2001 г.,
— Первой рабочей встрече по динамике оболочек с жидкостью по проекту
НАТО, Модена, Италия, 2001 г.,
— XX международной конференции по теории оболочек и пластин, Н.Новгород,
2002 г.,
— семинарах ИПФ РАН, (рук. чл.-корр. В.А. Зверев) 1999 г., (рук. проф. В.Д.
Шалфеев, проф. В.И. Некоркин) 2002 г.; ИМАШ РАН, 2001 г. (рук. акад. КЗ.
Фролов); ИПМ РАН, 2001 г. (рук. акад. ДМ. Климов, акад. В.Ф. Журавлёв); Нф
ИМАШ РАН, 2001 г. (рук. проф. Дерендяев Н.В., проф. Потапов А.И., проф. Ут
кин ГЛ.)
Публикации. По теме диссертации опубликовано 26 работ (12 из них в рецензируемых журналах).
Структура и объем диссертации. Работа состоит из введения, шести глав основного текста, заключения и приложения, напечатана на 215 листах, содержит 40 иллюстраций, список литературы из 137 наименований.
