Содержание к диссертации
Введение
1. Обзор литературы 11
1.1. Экспериментальные исследования процессов ударного воздействия 11
1.2. Аналитические и численно-аналитические методы моделирования процессов удара и проникания 14
1.3. Методы численного решения задач контактного взаимодействия жестких тел с грунтовыми средами 20
1.4. Выводы из обзора. 22
2. Постановка задачи моделирования процессов удара и проникания в грунтовые среды 23
2.1. Математическая модель грунтовой среды 23
2.2. Численное моделирование контактного взаимодействия ударника с грунтом 30
3. Модели и методы на основе теории локального взаимодействия 36
3.1. Модель на основе решения задачи о расширении сферической полости 38
3.2. Постановка задачи, допускающей аналитическое решение 44
3.3. Определение параметров МЛВ на основе данных обращенных экспериментов 61
4. Анализ применимости млв к решению задач проникания 69
4.1. Проникание в грунт конических ударников с различными углами раствора 69
4.2 Проникание в грунт цилиндрического ударника с полусферическим оголовком 74
4.3. Критерий применимости МЛВ к решению задач проникания 78
5. Анализ моделей и методов расчета форм минимального сопротивления движению в грунтовых средах 87
5.1. Модификация метода локальных вариаций 87
5.2. Модификация метода покоординатного спуска 98
5.3. Алгоритм расчета в двумерной осесимметричной постановке 107
5.4. Сравнительный анализ результатов расчетов оптимальных форм 123
Заключение 131
Список литературы 133
- Аналитические и численно-аналитические методы моделирования процессов удара и проникания
- Численное моделирование контактного взаимодействия ударника с грунтом
- Постановка задачи, допускающей аналитическое решение
- Критерий применимости МЛВ к решению задач проникания
Аналитические и численно-аналитические методы моделирования процессов удара и проникания
Значительное внимание при решении проблемы динамики удара уделяется экспериментальным методам изучения. Исследования процессов ударного взаимодействия требуют наличия нестандартных методик, современного оборудования и приборов для проведения ударных экспериментов и регистрации параметров быстропротекающих процессов. В зависимости от регистрируемых в процессе эксперимента параметров, существующие методы измерений разделяются на динамические и кинематические [164]. Методом динамической регистрации непосредственно фиксируют силы, действующие на тело при ударе и проникании. При кинематическом методе регистрируется положение тела во времени, т.е. фиксируется кривая «путь-время», которая после математической обработки позволяет определить нагрузки.
В зависимости от постановки экспериментальные методы изучения взаимодействия ударника и мишени делятся на прямые и обращенные [78]. В прямых экспериментах для регистрации основных параметров используется высокоскоростная фото- и рентгеноимпульсная съемка [92]. Так как в большинстве подобных методов основной измеряемой величиной является глубина проникания, то для определения ускорений и сил необходимо дважды дифференцировать экспериментальные зависимости, что снижает точность полученных результатов. Указанные недостатки отсутствуют при применении обращенных экспериментов. В этом случае мишень и ударник меняются местами. Исследуемая среда, заключенная в контейнер, разгоняется до необходимых скоростей с помощью газовой пушки и наносит удар по неподвижному ударнику.
В результате выполнения испытаний в полевых условиях была накоплена обширная база данных [13] и изучены свойства среды. Главным итогом этих испытаний является прогнозирование глубины проникания, а в некоторых случаях, определение времени замедления и силы сопротивления внедрению. Тем не менее, полномасштабные тесты достаточно дорогостоящи для проведения, поэтому многие исследователи прибегают к проведению лабораторных испытаний, что позволяет больше контролировать свойства грунтов. В результате эмпирических исследований были установлены подобные законы в лабораторном масштабе и при проведении в полных полевых условиях, что свидетельствует о существовании некоторых универсальных физических процессов независимо от масштаба. Тем не менее, для экстраполяции относительно небольших лабораторных испытаний необходимо учитывать некоторые экспериментальные параметры. Скорость удара, механические свойства, геометрия бойка и размеры плиты – все эти факторы могут значительно изменять картину процесса или результат взаимодействия.
Например, в идеале, границы испытательной камеры должны поглощать волны напряжений без каких-либо отражений [10]. Однако, существенные взаимодействия на границе были обнаружены в тестах при проникании с высокой скоростью, а в некоторых случаях передающие волны напряжений приводят к выходу из тестового контейнера [42]. Краевые эффекты наблюдались также при низкой скорости удара. Таким образом, при проведении экспериментов в лабораторных условиях важно учитывать граничные эффекты, сравнивая с имеющимися результатами испытаний.
Наблюдения на квазистатической стадии проникании показали значительное влияние пористости на трактовку экспериментов, при этом отметим, что изучение влияния пористости на краевые эффекты при высокоскоростном проникании невозможно.
Так же различия результатов в лабораторных условиях с полевыми экспериментами могут объясняться размером частиц, т.к. в лабораторных условиях отношение диаметра ударника к размеру частицы обычно меньше, чем в полевых [2].
Хорошо известно, что сопротивление сдвигу сыпучей среды является функцией, зависящей от глубины проникания [28, 44]. Лишь немногие такие исследования были проведены для изучения быстрого проникания в грунтовые среды [43]. Проведение опытов в лабораторных условиях приводит к снижению сопротивления грунта. Кроме того, напряжения под действием нагрузки зависят от размеров камеры и способности грунта к расширению в радиальном направлении. В результате при заданной пористости, граничные эффекты могут быть значительнее при более низких ограничивающих напряжениях, и менее значимы при больших напряжениях, где расширение подавляется [18]. Именно поэтому экспериментальные исследования, как правило, рассматривают весьма конкретные узкие условия взаимодействия.
При изучении процессов проникания в грунтовые среды в практике часто использовались эмпирические формулы Л. Эйлера [17], Вуича, Н.А. Забудского, Н.В. Майевского, Ж.В. Понселе [37], Б. Робинса [39], А. Резаля [38], Л. Петри [36], результаты экспериментов, проведенных на острове Березани, которые получены при некоторых допущениях. Так при определении силы сопротивления внедрению Эйлер предположил, что сопротивление среды постоянно и не зависит от скорости, Ж.В. Понселе принял, что сила сопротивления зависит от статического и динамического сопротивления. Один из эмпирических подходов был разработан в лаборатории Sandia, в которой было проведено более 160 полевых испытаний по определению глубины проникания (в 1960-х и 1970-х годов [47-51]). С учетом экспериментальных данных глубина проникания представлялась в виде произведения нескольких функций, каждая из которых описывает вклад воздействующего фактора при проникании. При неупругом ударе скорость можно определять по эмпирическим формулам Жакоб-де-Марра, Н.А. Слезкина, однако они не удовлетворяют современным материалам. При этом следует отметить, что большинство эмпирических формул были получены при дозвуковых скоростях удара, а далее возникает необходимость в экстраполяции.
Численное моделирование контактного взаимодействия ударника с грунтом
Как было отмечено ранее, проблема решения задач удара и проникания в грунтовые среды является весьма сложной, в связи с их многообразием. Анализ экспериментальных данных по прониканию жесткого ударника в песчаный [1, 87, 93] и глинистый [87, 94, 105] грунты, пористый алюминий [23], известняк [45] и другие среды показывает их нестабильность, что оправдывает развитие упрощенных подходов к моделированию нестационарных процессов проникания в геоматериалы, среди которых можно выделить аналитические и численно-аналитические методы [116, 120]. Эти методы основаны на учете механических свойств среды, которые позволяют получить эффективные результаты, определяющие закон проникания. Отметим, что аналитические и численно-аналитические методы не следует противопоставлять точным (численным). Наряду с точными методами должны существовать экспресс-методы анализа, которые в состоянии дать приближенную картину процесса проникания. Кроме того, решение задач взаимодействия ударника и среды в полной трехмерной постановке на основе моделей грунта трудоемко, в этом случае целесообразно применять численно-аналитические методы [113, 162].
Аналитические методы изучения процессов проникания имеют свое начало от работ R.F. Bishop [9]. Им были исследованы уравнения задачи о расширении сферической и цилиндрической полостей в квази-статической среде, а так же были получены уравнения, определяющие силу сопротивления внедрению конических ударников в металлические мишени. Позднее, J.N. Goodier [27] изучил модель проникания сферических ударников в металлические преграды. Модель проникания включала инерционные эффекты и согласовывалась с результатами, полученными R. Hill и H.G. Hopkins [29].
Решение задачи проникания аналитическими методами осуществляется при некоторых допущениях. Так предположение тонкости тела позволяет свести пространственную задачу к одномерной. В работах Ю.К. Бивина [92, 96], Л.М. Флитмана [170] исследование задачи обтекания тонкого затупленного жесткого тела несжимаемым упругопластическим потоком с использованием пластической модели Сен-Венана – Мизеса осуществлялся методом малого параметра.
Для упругоидеальнопластической сжимаемой пористой среды (глина, глинистый сланец) предложен [31] метод определения движения и конечной глубины проникания твердого осесимметричного ударника. Согласно методу, величины деформаций и перемещений грунта в выделяемой области остаточных деформаций определялись изменением кинетической энергии ударника на шаге расчетов. Метод был развит [116] для мягкого грунта, характеризуемого нелинейной диаграммой сжимаемости и пределом текучести, линейно зависящим от давления. Предполагалось существование заранее определенных траекторий движения частиц сплошной среды.
Большой класс задач проникания основан на решении задачи о расширении сферической полости в нелинейной среде. Она представляет интерес в связи с возможным применением в прикладных моделях различных процессов механики деформируемого твердого тела. Широкое развитие модели о расширении сферической и цилиндрической полостей для описаниия процесса проникания сферических и конических ударников в водонасыщенные и пористые среды получено в работах M.J. Forrestal [19 - 21]. Он изучил модель расширения сферической полости при проникании ударника со сферической головной частью в металлическую преграду, что хорошо согласуется с результатами расчетов и полевых испытаний [5-8]. В результате исследований было отмечено, что модель расширения цилиндрической полости дает хорошее приближение лишь на начальном этапе, в то время как модель расширения сферической полости дает удовлетворительные результаты во всем временном интервале [14, 15, 25, 119].
Анализ литературы [4] показал, что широкое распространение при изучении процессов удара и проникания в грунт получили модели взаимодействия среды и тела, основанные на гипотезе локальности, предложенные ранее в задачах аэродинамики. Одним из таких приближенных методов является модель локального взаимодействия [3, 52, 56, 98, 156, 162, 167, 172], в соответствии с которой давление в каждой точке боковой поверхности ударника отождествляется с давлением на внутренней поверхности сферической полости, расширяющейся в безграничной среде от нулевого радиуса.
Проблема практического применения модели локального взаимодействия при решении задач проникания в грунтовые среды заключается в отсутствии методов определения параметров, учитывающих нелинейные свойства грунта. При этом решения в основном получены с использованием гипотезы несжимаемости среды [77, 172, 178, 179]. Тем не менее, модели локального взаимодействия активно используются при исследовании движения тел в грунтовых [4, 78] и упругопластических средах [98, 156]. Так же на основе МЛВ решаются задачи оптимизации процессов удара и проникания жесткого тела. Традиционно в качестве целевых функций могут выступать оптимальные характеристики и/или формы преграды, формы ударника минимального сопротивления или максимальной глубины проникания и другие (см., например, [58, 59, 103]). Разработка методов построения форм тел, оптимальных по сопротивлению и/или глубине проникания в грунт в общей постановке возможна лишь при наличии упрощающих предположений о характере взаимодействия тела и среды [7]. Обзоры [4, 7] применяемых методов моделирования свидетельствуют, что большинство из них, и особенно посвященные решению задач оптимизации формы тела, основаны на использовании гипотезы локальности [4-6, 66, 88, 89, 158, 160, 177, 178]. Применение различных модификаций МЛВ позволило выделить [160, 177] класс абсолютно-оптимальных тел (АОТ), содержащий общее решение достаточно широкого круга задач оптимизации формы. Все такие тела являются коническими, то есть, нормаль к поверхности тела составляет с направлением движения постоянный оптимальный угол, определяемый скоростью тела и характеристиками грунта [178].
Постановка задачи, допускающей аналитическое решение
В соотношениях (2.4) р- давление, р -плотность, компоненты скорости по г и z, Srr, srz, szz- компоненты девиатора тензора напряжений Эйлера, G- модуль сдвига.
Первые три уравнения системы представляют собой законы сохранения массы и импульса. Следующие три уравнения - физические соотношения упругости и пластичности с учетом поворота тензора напряжений в эйлеровых координатах (производная Яуманна), записанные в дифференциальной форме. Последнее уравнение есть закон сохранения максимальной плотности.
К системе, состоящей из 8 скалярных уравнений для 8 неизвестных функций, зависящих от р, р ur, vz, srn srz, sZZy p добавляются начальные и краевые условия, которые подразделяются на кинематические, динамические и смешанные, задаваемые в общем случае на различных участках внешней границы области определения задачи.
б) Граничные и контактные условия. Система уравнений (2.3), (2.4) динамики грунтовой среды дополняется начальными и краевыми условиями. Условия на поверхностях контакта элементов конструкций и сред с различными физико-механическими свойствами учитывают отрыв, проскальзывание, прилипание. Они формулируются как комбинация условий непроникания (или прилипания) на тех участках поверхностей, которые находятся в контакте, и условий на свободных границах:
Как показывают эксперименты [65, 74, 78, 164], в процессе проникания затупленных (в частности, сферических) тел при скорости удара более 100 м/с происходит разрушение частиц песка. Раздробленные частицы затем компактируются на лобовой части ударников, образуя присоединенный конус. Следы взаимодействия грунта с цилиндрической поверхностью ударника и частью примыкающей к ней полусферы отсутствуют, что свидетельствует о кавитационном характере обтекания используемых ударников сухим песком. В связи с этим, в расчетах используется контактный алгоритм «непроницаемости» по нормали со «скольжением по касательной с сухим трением» в соответствии со смешанной моделью трения [112]: давления в местном координатном базисе (а = s, ), s - направление касательной, \ - нормали; kf- коэффициент трения скольжения; знаки и " обозначают соответствующие величины по разные стороны контакта. На головной части ударника, контактирующей с грунтовой средой, принимается условие (2.5), на свободных поверхностях грунта и ударника нормальные и касательные напряжения задаются равными нулю. Внешние границы расчетной области грунта считаются жесткими и соответствуют геометрии контейнера, используемого в обращенном эксперименте [67, 87, 101]. В начальный момент времени напряжения и скорость частиц грунта равны нулю. Ударник считается жестким, двигающимся с постоянной скоростью, равной скорости удара.
в) Уравнение состояния песчаного грунта. Как отмечалось ранее, задание функций ft и f2 в модели грунтовой среды С.С. Григоряна необходимо конкретизировать. Сжимаемость среды отражается ударной адиабатой, достаточно часто представляемой линейной зависимостью скорости ударной волны с от массовой скорости и за ее фронтом:
Соотношения (2.10) позволяют получить значения давлений, соответствующие известным напряжениям (2.7) и условию текучести (2.8), в свою очередь зависящему от давления. Преобразование (2.10) к виду, аналогичному (2.6) по формулам:
Диаграмма нагружения и разгрузки песчаного грунта (а) и предела текучести от давления (б) в модели грунтовой среды С.С. Григоряна. АВ – упругий участок, ВС – участок «упрочнения» CD –обратимая ветвь
Функция f1 определяет зависимость давления от плотности среды при нагружении и разгрузки, функция f2 описывает условие пластичности типа Мизеса-Шлейхера.
Численное моделирование контактного взаимодействия ударника с грунтом
а) Основные положения метода С.К. Годунова. Полная система уравнений, описывающая адиабатическое нестационарное упругопластическое деформирование сплошной среды в отсутствие вязкости и теплопроводности в эйлеровой системе координат rОz имеет вид, близкий к дивергентному:
Для системы (2.15) строятся конечно-разностные соотношения, при этом область численного решения покрывается регулярной сеткой, состоящей из четырехугольных ячеек. Их искажение в окрестности зоны нестационарного контакта, приводит к уменьшению шага интегрирования и возможной аварийной остановки программы. Этот эффект является особенностью задач импульсного взаимодействия. Метод С.К. Годунова использует эйлерово лагранжев подход, который предусматривает перестройку сетки на каждом дискретном интервале, что обеспечивает возможность ведения счета на достаточные времена без глобальной перестройки структуры разностной сетки и геометрии расчетной области.
Применяемая для решения задач схема базируется на следующих основных предположениях: - интегральные параметры являются постоянными величинами в пределах разностной ячейки на плоскости; - потоковые величины на боковых гранях ячейки в пространстве остаются постоянными в пределах шага по времени и определяются из решения одномерной автомодельной задачи о распаде разрыва между параметрами в соседних ячейках.
Разностные схемы, при суммировании которых по точкам сеточной области остаются только алгебраические суммы значений неизвестных или функций от них вдоль границы области, называются дивергентными или консервативными. Метод, предложенный С.К. Годуновым для расчета одномерных и многомерных задач динамики, представляет собой двухшаговую схему типа «предиктор-корректор». То есть применяемый метод является иллюстрацией понятия дивергентных схем.
При численном моделировании бесконечных полупространств среды область, покрываемая разностной сеткой, берется конечных размеров, при этом граница располагается на достаточно большом удалении от зоны контакта в связи с тем, чтобы частично отражающиеся от нее возмущения не успевали исказить картину взаимодействия сред.
Критерий применимости МЛВ к решению задач проникания
Кривые 1 и 2 получены численно и соответствуют распределению нормальных напряжений в моменты времени, при которых сила сопротивления достигает своего максимума и некоторого квазистационарного значения, устанавливающегося после отрыва потока грунта с боковой поверхности сферы. Штриховые кривые 3, 4 на рис. 3.17 получены в рамках МЛВ–І и МЛВ-II соответственно. Видно, что МЛВ-I удовлетворительно качественно и количественно описывает распределение напряжений, нормальных к смоченной поверхности сферы в момент достижения силой сопротивления максимального значения. Распределение нормальных напряжений на квазистационарной стадии развитого проникания в рамках МЛВ-II описывается лишь в среднем, с возрастанием ошибки к лобовой точке ударника и точке отрыва потока, в связи с этим, для дальнейших вычислений используется МЛВ-I. Штрих-пунктирная кривая 5 отвечает модификации МЛВ-І.
Для удовлетворительной аппроксимации функции распределений нормального напряжения на квазистационарной стадии внедрения сферы в модель I добавляется постоянное слагаемое (с обратным знаком), равное напряжению в точке отрыва потока tp-cos 2 р )+0Го( хп р- хп р \ (3.32) угол р отсчитывается от вершины сферы (рис. 3.15). В соотношениях (3.32) (р является свободным параметром, который подбирается из условия наилучшего соответствия численным результатам – значениям силы сопротивления на квазистационарной стадии внедрения.
Результаты расчетов показали, что при фиксированных параметрах среды изменение скорости удара в диапазоне 0,5 V0IА 1,5 незначительно влияет на угол срыва потока. Изменение коэффициента внутреннего трения в диапазоне 0 - 1,5 приводит к увеличению угла срыва от 60 до 70. Зависимости угла отрыва и подгоночного параметра качественно и количественно близки, что, с учетом слабой зависимости силы сопротивления от угла отрыва, позволяет для оценочных расчетов воспользоваться некоторым постоянным средним значением параметра (ранее в качестве угла отрыва потока был выбран угол р«Н 0).
б) Определение параметров МЛВ при моделировании процесса проникания конического ударника. Параметры модели локального взаимодействия так же были получены при моделировании процессов удара и проникания конических ударников с углом раствора 277 в грунтовую среду. Этот способ основан на использовании экспериментальной зависимости силы сопротивления внедрению от скорости удара. Исследуемая схема внедрения представлена на рис. 3.19.
В ходе обращенных экспериментов определяются максимальные значения силы сопротивления внедрению со скоростью, близкой к постоянной и равной скорости удара.
На рис. 3.20 представлены полученные в обращенных экспериментах [66] безразмерные зависимости максимума силы сопротивления от скорости удара, отнесенные к величинам FQ = PQVQAS и А/3 соответственно (А - параметр ударной адиабаты, близкий к скорости распространения плоской волны сжатия при малых давлениях, S - площадь миделя поперечного сечения).
Рис. 3.20. Безразмерные максимальные значения силы сопротивления внедрению конических ударников в песчаный грунт в зависимости от скорости удара, полученные в обращенном эксперименте Используемые ударники имели угол раствора при вершине конической части 2/7= 40, 60, 80, 100, 140 и 180 градусов и показаны на рис. 3.20 темными ромбами, светлыми квадратами, темными и светлыми треугольниками, темными квадратами и сплошной линией соответственно. Последние данные получены для ударника с плоским торцем и определялись на основе известной ударной адиабаты [100]. Штриховые линии на рис. 3.20 соответствуют линейной аппроксимации результатов экспериментов, полученных для конических ударников с углом раствора 2rj= 60, 80 и 100 градусов. Таким образом, полученные зависимости для песчаного грунта оказываются близки к квадратичному закону проникания в форме
На рис. 3.21 приведены нормированные силы сопротивления внедрению конических ударников в песчаный грунт в зависимости от нормальной скорости удара, F = (і + к fctgTj)p0uAS (обозначения маркеров как на
Из рисунка видно, что для конических ударников с углом раствора менее 80 градусов зависимость силы сопротивления может быть представлена единой кривой (штриховая линия) с погрешностью, не превосходящей разброс экспериментальных данных. Рис. 3.21. Нормированные максимальные силы сопротивления внедрению конических ударников в песчаный грунт в зависимости от нормальной компоненты скорости, отнесенной к А/3
Таким образом, представленные результаты можно использовать для определения параметров квадратичной модели локального взаимодействия. В диапазоне изменения нормальных компонент вектора скорости и=40 250 м/с получены значения а=1,21, /?=182 м/с, что достаточно близко к значениям, полученным при решении задачи о расширении сферической полости с учетом нелинейных свойств грунта (штрих-пунктирная кривая на рис. 3.21). Этот факт свидетельствует также о применимости разработанной МЛВ к определению максимального значения силы сопротивления внедрению в песчаный грунт конических ударников с углом раствора менее 80 градусов.
