Содержание к диссертации
Введение
Глава I. Состояние вопроса, цель и задачи исследования 9
1.1. Модели динамики механических систем с многовариантным взаимодействием звеньев в кинематических парах 9
1.2. Удары в динамике механических систем, моделирование контактных взаимодействий 23
1.2.1. Решение задач об ударе в динамике систем абсолютно твёрдых тел. Дискретные контактные модели 25
1.2.2. Моделирование контактных взаимодействий методами МДТТ. Контактные задачи 29
1.3. Цель и задачи исследования 36
Глава II. Разработка математической модели динамики плоских механических систем 38
2.1. Разработка математического описания контактной пары типа «ТОЧКА-ПОВЕРХНОСТЬ» 38
2.2. Разработка математического описания контактной пары типа «ПОВЕРХНОСТЬ-ПОВЕРХНОСТЬ» 49
2.2.1. Установление функциональной зависимости т2 (ix ) 51
2.2.2. Определение глубины взаимного проникания профилей тел 54
2.2.3. Определение величины нормального контактного напряжения итеративным процессом 60
2.2.4. Определение величины нормального контактного напряжения через кинематику относительного движения 63
2.2.4.1. Определение нормальной компоненты относительной скорости точек тел в области пятна контакта. 63
2.2.4.2. Определение касательной компоненты относительной скорости точек тел в области пятна контакта 71
2.2.4.3. Определение относительных деформаций и контактных напряжений на основе кинематических соотношений относительного движения 72
2.2.5. Определение интегральной силы и интегрального момента реакции опорной поверхности 79
2.2.5.1. Вычисление длины ls линии сопряжения профилей сегментов в области пятна контакта 79
2.2.6. Определение толщин деформируемых слоев на основе решения контактной задачи Герца 84
Глава III. Численное моделирование. Анализ динамики функционирования и оптимальное проектирование патроноподающего узла 89
3.1. Анализ чувствительности узла с динамической моделью на основе дискретных контактных элементов к изменению коэффициента трения 91
3.2. Анализ чувствительности узла с комбинированной динамической моделью к изменению коэффициента трения при однократном и циклическом нагружении 111
3.3. Установление оптимального значения зазора S1 139
3.4. Установление оптимального значения угла а наклона паза... 148
3.5. Общий анализ результатов исследования. Выработка практических рекомендаций 164
Заключение 168
Библиографический список 170
- Решение задач об ударе в динамике систем абсолютно твёрдых тел. Дискретные контактные модели
- Определение величины нормального контактного напряжения итеративным процессом
- Определение относительных деформаций и контактных напряжений на основе кинематических соотношений относительного движения
- Анализ чувствительности узла с динамической моделью на основе дискретных контактных элементов к изменению коэффициента трения
Введение к работе
ХХІ-й век — век больших перемен, и главным образом благодаря стремительному развитию вычислительной техники. При этом соперничество между державами в области вооружения не прекращается, что вынуждает специалистов из различных технических областей искать пути совершенствования стоящих на вооружении образцов военной техники, искать новые конструктивные решения, разрабатывать более эффективные методы и средства проектирования, более точные модели отдельных процессов и комплексные модели функционирования боевых систем. И всё это при непрерывном росте требований, предъявляемых к проектируемым изделиям, по показателям ТТХ при условии обеспечения экономической эффективности их производства.
Интенсивный рост требований во многом обусловлен активным внедрением в технику вооружения электронных систем, благодаря которым достигаются современные показатели тактико-технических характеристик. Однако значимость адекватного моделирования механической части изделия при проектировании по-прежнему безусловна: например, изменения в динамике машины, вызванные увеличением зазоров вследствие пластических деформаций поверхностей звеньев в отдельных узлах, не могут быть скомпенсированы электроникой; рост динамических нагрузок снижает показатели ТТХ.
Изменения же условий эксплуатации усиливают это влияние, что зачастую может приводить к нестабильности или даже к возникновению отказов в работе хорошо спроектированного изделия, особенно, если конструктивное решение схемы автоматики таково, что наблюдается повышенная чувствительность к этим факторам [3, 43, 107, 117].
Проведённый далее анализ говорит о недостаточном развитии методов расчёта, которые позволяли бы эффективно учитывать специфику СПВ при моделировании, а также, согласно полученным результатам, оптимальным образом спроектировать конструкцию и разработать технологию производства конкретного образца. Наиболее широко распространённые в инженерной практике методы проектирования и расчёта элементов и схем механических устройств, получившие применение в современных системах автоматизированного проектирования (pro/Engineer, mscNastran, ADAMS, Autodesk Mechanical Desktop), распадаются на два класса: методы для систем абсолютно твёрдых тел и конечноэлементное моделирование. В первом случае математические модели, как правило, разработаны при следующих допущениях: допущение об отсутствие зазоров в кинематических парах и допущение об абсолютной твёрдости звеньев механической системы.
Решение задачи динамики в рамках указанных допущений налагает требование по статической определимости при составлении систем уравнений динамики, что во многих случаях приводит к существенно упрощённому отражению в математической модели истинного характера взаимодействия элементов механизма [3, 46, 116, 117], по-существу, - к игнорированию факта многовариантного характера распределения сил реакций по поверхностям взаимодействующих тел, и, как следствие, - к невозможности корректно отразить динамику проектируемого устройства.
Помимо этого, условия и характер взаимодействия элементов автоматики СПВ таковы [3, 43, 106, 107], что одним из обязательных требований, предъявляемых к математической модели, следует считать возможность достоверного моделирования ударов и сопровождающих их колебательных явлений в КП с зазорами. Исходя из этого, введение указанных выше допущений неприемлемо. К тому же, влияние даже локальных деформаций отдельных звеньев и связанные с этим колебательные явления, несмотря на принятие гипотезы отсутствия зазоров, достаточно существенны, чтобы учитываться при проектировании.
В современных САПР в качестве инструмента для разрешения описанных трудностей предлагается использовать МКЭ, который стал уже стандартным компонентом каждой системы проектирования. Однако -7-зачастую этот метод не даёт ожидаемого эффекта в силу его характерных особенностей: чрезвычайно высокая вычислительная ресурсоёмкость; накопление значительных погрешностей из-за ошибок округления; трудности моделирования взаимодействия элементов КП при посадке с малыми зазорами в силу дискретного представления поверхности.
Альтернативой применению МКЭ здесь вполне могут служить традиционные подходы к решению контактных задач МДТТ о взаимодействии, например, жёсткого индентора и упругого полупространства [16, 34, 35, 47, 56, 85, 134]. Сохранение гипотезы об абсолютной твёрдости тел при наличии некоторой локальной податливости -по-существу использование принципа Сен-Венана — позволяет сократить время вычислений без существенных потерь в точности решения контактных задач.
Необходимо отметить, что ряд автоматизированных систем моделирования динамики механических систем, например, mscNastran и ADAMS, всё же используют нелинейную контактную модель Герца, но в её простейшей формулировке, что тем самым указывает на достаточную и подтверждённую практикой эффективность такого подхода.
Таким образом, комбинирование двух различных подходов: моделирование динамики легко нагруженных узлов МС на основе модели с сосредоточенными силами, и представление высоконагруженных узлов моделями, учитывающими распределение контактных напряжений по поверхностям соприкасания, представляется оптимальным сочетанием для решения перечисленного круга задач. Предпочтительной моделью динамики машины с сосредоточенными реакциями является модель на основе дискретных контактных элементов, позволяющих избежать затруднений со статической неопределимостью, учитывать нелинейные эффекты при динамическом нагружении опорных поверхностей звеньев, моделировать колебательные явления в КП.
Применение контаїсгной модели, учитывающей распределение контактных напряжений по опорным поверхностям, позволяет, например, точнее моделировать динамику узлов преобразования силовых и кинематических параметров, учитывать локальные изменения геометрии звеньев при циклическом нагружении, приводящие к росту зазоров в КП и, как следствие, - к значительным переменам в режиме работы системы.
Суперпозиция этих двух подходов к описанию динамики позволяет оптимально с точки зрения затрат вычислительных ресурсов и достоверности получаемых результатов решать качественно иную, безусловно важную задачу - задачу оптимизации параметров машины с учётом их изменений в процессе работы.
Методы и средства построения таких прогнозов уже на этапе проектирования являются крайне востребованным сегодня инструментом для инженера-механика, однако, современные системы проектирования при их весьма высокой стоимости не обеспечивают эффективного решения подобных задач, в связи с чем возникает необходимость разработки собственных методов и средств оптимального проектирования.
Настоящая работа посвящена решению некоторых из перечисленных выше задач проектирования автоматики СПВ на примере патроноподающего механизма с прямоугольным законом перемещения рабочего звена. В соответствии с проведённым анализом литературы по вопросам моделирования динамики механических систем, в том числе и систем СПВ, с учётом многовариантного характера взаимодействия звеньев, зазоров в КП, общей и локальной податливостей звеньев, необходимо отметить достаточную новизну и эффективность изложенного в работе подхода, наличие возможности его дальнейшего распространения на более общий случай - пространственные механические системы.
При выполнении работы автор пользовался консультациями докт, техн. наук, профессора Ю.П. Смирнова, за что выражает ему искреннюю благодарность.
Решение задач об ударе в динамике систем абсолютно твёрдых тел. Дискретные контактные модели
Для множества реальных механических систем характерным видом взаимодействия составляющих их элементов является удар, вызывающий значительные динамические нагрузки и вибрации, приводящие к локальному изменению профилей контактирующих тел и механических свойств материалов деталей в приповерхностном слое [3, 13, 29, 37, 79, 84, 126].
Причины возникновения ударов различны: это могут быть кинематические удары [5, 82, 83], обусловленные особенностями геометрии тел; удары, возникающие вследствие изменения набора наложенных связей (классификация ударов в МС по этому признаку была предложена П. Аппелем, выделившим 4 категории [5, 83]); удары могут иметь фрикционную причину, являясь следствием резкого изменения сил трения на рабочих поверхностях [71, 72, 110, 128]; как результат резкого изменения передаточных отношений и, следовательно, всплесков приведённых упругих характеристик (т.н. «параметрические импульсы»), возбуждающих колебания в МС [22-24, 29-31, 38, 104], а также возникать вследствие мгновенного останова элементов системы при самоторможении [40, 72, 123].
При проектировании, как правило, стремятся избежать возникновения ударов, однако, для некоторых классов машин [17, 30, 43, 79, 99, 109], к которым относятся и системы СПВ, такой режим функционирования отдельных узлов является нормой и, напротив, закладывается разработчиками. При этом развиваемые контактные напряжения могут быть достаточны для возникновения локального упруго-пластического деформирования поверхностей звеньев, приводящего к изменению передаточных отношений, свойств материалов и схем опирання.
Указанные факторы обусловливают существенное расхождения результатов расчётов, выполненных на основе моделей динамики МС, разработанных в рамках допущений об абсолютной твёрдости тел и независимости расположения опорных точек (или площадок контакта) от интенсивности нагружения [70, 80, 90-92, 98, 116-118], и практикой, особенно, если речь идёт о передаточных механизмах - механизмах подачи, соответствующих схем узлов запирания и т.д. Таким образом, удар и явления, сопровождающие процесс соударения, оказывают значительное влияние на работу машины в целом, в связи с чем необходимость учета и более точного моделирования ударного контактного взаимодействия звеньев очевидна.
Существуют несколько подходов к моделированию ударных взаимодействий при решении задач об ударе в динамике механических систем: 1) использование гипотезы И. Ньютона; 2) применение дискретных контактных элементов; 3) решение контактных задач методами ЬЩТТ. Анализ некоторых работ в рамках указанных подходов проводится далее в соответствующих подразделах для каждого из направлений. Отдельную, не рассматриваемую в работе, подгруппу составляют контактные задачи, решаемые в рамках моделей дискретного представления сплошной среды -многомассовые и конечно-элементные модели твёрдых тел [33,48, 96, 97].
Уже в XVII-м веке было замечено, что соударение двух тел сопровождается не просто изменением их скоростей, а потерей кинетической энергии или, по крайней мере, её перераспределением. Так, Валлисом (1668г.) было предложено считать, что после удара скорости обоих тел становятся равными. Марци и Гюйгенс, напротив, вводили допущение о том, что при соударении кинетическая энергия не изменяется.
Наибольшее практическое значение среди предлагаемых механиками того времени моделей удара получила модель И. Ньютона [5, 96], в основе которой лежит гипотеза о том, что коэффициент восстановления kR не зависит от скорости соударения. Это позволило, во-первых, «замкнуть» систему уравнений для количеств движения, а во-вторых, - учесть, пусть даже самым элементарным образом, влияние свойств материалов тел на значения параметров их движения после соударения. Предложенная гипотеза, в силу своей простоты и удовлетворительного согласования с экспериментом, получила широкое применение в инженерной практике при проектировании обширного класса машин [3, 7, 22-24, 27, 98, 99].
Однако необходимо отметить, что достаточно часто её применение приводит к существенному расхождению между расчётом и практикой, чему даётся аналитическое обоснование в [27, 96]. Помимо этого, такое решение задачи об ударе не позволяет определять параметры процесса соударения, а следовательно, - учитывать при проектировании так называемую контактную прочность звеньев.
Использование простейших реологических моделей материалов в качестве дискретных контактных элементов [4, 27, 56, 96] для моделирования контактных взаимодействий при решении задач динамики систем абсолютно твёрдых тел позволяет частично решить эту задачу. Помимо этого, на основе использования дискретных контактных элементов разработаны методы аналитического определения коэффициента восстановления — например, один из них описан в статье И.Г. Кадомцева [59]. Метод основан на решении контактной задачи в квазистатической постановке по известным соотношениям нелинейной контактной модели Г. Герца [27, 96] (модели, учитывающей и геометрию тел в области пятна контакта).
В сходной постановке задача определения коэффициента восстановления решается и С.Д. Гарцманом [39] - на основе нелинейной упруго-пластической модели выполнен анализ влияния упругой и пластической составляющих на параметры процесса соударения и значение коэффициента восстановления; показано существенное влияние пластического деформирования на динамику процесса. Тем не менее, необходимо отметить, что этими и большинством других авторов рассматривается процесс соударения цилиндрических или сферических в области пятна контакта тел, что не позволяет говорить о достаточной общности предлагаемых ими моделей и методов.
Определение величины нормального контактного напряжения итеративным процессом
Исследованию контактных взаимодействий тел посвящено большое количество работ. Прежде всего, это труды таких известных учёных, как Г. Герц, А.Н. Динник, И.Я. Штаерман, Н.А. Кильчевский, А.И. Лурье, Л.А. Галин, Н.И. Мусхелишвили, работы В.М. Александрова и Д.А. Пожарского, С.Г. Михлина, публикации большого числа авторов, рассматривающих частные случаи контактного взаимодействия тел и т.д.
Условно контактные задачи можно разделить на следующие группы: задачи о взаимодействии жёсткого штампа с деформируемым полупространством, задачи о взаимодействии двух деформируемых тел, задачи о взаимодействии твёрдых тел, покрытых деформируемыми оболочками (под оболочками в данном случае для пространственных задач понимается деформируемый слой материала, а для плоских - полоса). При этом спектр используемых моделей материалов широк - от моделей с чисто упругими деформациями до комплекса упруго-вязко-пластических свойств, находящихся в зависимости от различных физических параметров и истории нагружения.
Тем не менее, наиболее часто рассматривается решение различных прикладных контактных задач в упругой, реже - упруго-пластической, постановке для штампа и деформируемого полупространства, иногда — полосы. Например, в книге А.И. Лурье [85] рассматривается несколько контактных задач для случая внедрения жёсткого штампа в упругое полупространство. Трение на площадке контакта не учитывается; считается, что штамп движется только поступательно по нормали к границе полупространства; поверхность штампа в области пятна контакта с целью упрощения соотношений аппроксимирована параболоидом.
В книге К.Н. Шевченко [134] рассматриваются вопросы контактного взаимодействия валков и упруго-пластически деформируемых листов проката в рамках гипотезы жёстко-пластического тела.
В монографии А.Ю. Ишлинского и Д.Д. Ивлева [56] рассмотрен ряд контактных задач о вдавливании шарика в полупространство. Задачи также сформулированы в жёстко-пластической постановке.
Более глубокий анализ контактного взаимодействия для условий, близких, в частности, к условиям функционирования СПВ, выполнен в работе [35] авторами М.А. Галаховым и А.Н. Бурмистровым. В упругой постановке решены задачи контактного взаимодействия опорного кольца с шариком (суть - контактная задача Г. Герца) и кольца с роликом. Решение второй задачи имеет большее практическое значение, так как позволяет определять давления в контакте деталей сложной формы, которую вблизи точки первоначального контакта нельзя описать полиномом второй степени.
Помимо этого, исследовано микропроскальзывание тел в области пятна контакта. В публикации Б.А. Галанова [34] описан метод приближённого решения статических задач упругого контакта тел, поверхность которых задана выпуклыми положительно однородными функциями степени т (автор статьи подчёркивает практическую значимость именно таких функций при решении различных контактных задач). Б.А. Галановым получено общее решение относительно сближения тел и распределения давления: которое при т = 2 переходит в решение Г. Герца.
Авторами М.С. Дрозд и А.Н. Волыновым в публикации [47] приводится методика определения параметров площадки упруго-пластического контакта тел двоякой кривизны. Сопоставлением аналитически и экспериментально полученных данных показано, что пластическая твёрдость (контактный модуль упрочнения) является обобщённой характеристикой сопротивления материала для тел произвольной кривизны.
В публикации И.А. Солдатенкова [120] решается задача определения скорости изменения размера области контакта при изнашивании гладкого штампа в упругой постановке. Работа представляет интерес, так как позволяет моделировать процесс, например, фрикционного износа для штампов произвольной формы, но сама постановка задачи ближе к квазистатической об ударе штампа в полупространство.
В статье Ф.М. Бородич [16] решена задача об ударе телом формы эллиптического параболоида по поверхности упругого анизотропного полупространства в динамической постановке на так называемой сверхсейсмической стадии нагружения (скорость распространения границы проекции сечения тела превышает скорость распространения возмущения в среде). Показано, что форма колебаний в среде переменна во времени: определяется анизотропией среды и мгновенными значениями параметров нагружения. Решение для параметров движения индентора получено в элементарных функциях и имеет вид:
Определение относительных деформаций и контактных напряжений на основе кинематических соотношений относительного движения
В статье В.М. Александрова и ДА. Пожарского [2] контактная задача сформулирована в более общей постановке: пространственная контактная задача для упругого слоя с шероховатой поверхностью и трением Кулона в заранее неизвестной области контакта; деформации микровыступов при контакте с жёстким штампом происходят по, нелинейному закону. Численным анализом, в частности, показано, что контактное давление при трении хоть и становиться ассиметричньш, но его интегральная характеристика сохраняется в силу малости членов выражений, отражающих влияние трения. Также отмечено, что для одного и того же усилия нагружения осадка больше для менее отшлифованных поверхностей, что согласуется с практикой.
Интересна работа коллектива авторов: СМ. Айзикович, И.С. Трубчик и Е.В. Шклярова - которыми решается задача о внедрении штампа в упругую неоднородную по глубине полосу без трения [1], причём неоднородность может быть как непрерывной, так и дискретной. Перемещения также заданы в форме интегралов Фурье. Однако такая общая постановка задачи привела к столь сложному с вычислительной и алгоритмической точек зрения методу решения, что его широкое инженерное применение едва ли возможно.
Большой интерес представляет монография авторов А.Н. Подгорного, П.П, Гонтаровского и др. [97], в которой изложены результаты исследования напряжённого и деформированного состояний контактирующих элементов конструкций методами конечных элементов и граничных интегральных уравнений. Выполнено сопоставление результатов и оценка точности решений некоторых задач с известными аналитическими решениями. В частности, показано, что МГЭ (метод граничных элементов), обладая рядом преимуществ перед МКЭ, всё же не обеспечивает выигрыша по объёму вычислений - столь существенному параметру для моделирования систем циклической автоматики СПБ.
В целом, поиск подходов к решению контактных задач для штампов привёл к разработке метода R-функций, на базе которого В.Л. Рвачёвым был создан метод решения задач для областей сложной формы и для сложного характера краевых условий. Тем не менее, необходимо отметить, что и решения, полученные В.Л. Рвачёвым, и решения указанных выше авторов (за исключением решений на основе дискретного представления среды или её границы) всё равно носят достаточно частный характер, поскольку получены для относительно простых областей, реологических свойств материалов и условий контактирования. При этом решение каждой из задач сопряжено со значительными математическими трудностями, в связи с чем широкое инженерное применение разработанных методов представляется либо недостаточно эффективным, либо затруднительным.
Таким образом, на основе проведённого анализа литературных источников по вопросам моделирования динамики МС с учётом многовариантного характера взаимодействия звеньев при наличии зазоров в КП, в том числе и для систем с трением, моделированию ударных процессов в машинах и методам решения контактных задач было установлено, что недостаточно разработанными являются вопросы описания движения МС с учётом многовариантного характера взаимодействия звеньев при наличии зазоров в КП и локальном упруго-пластическом деформировании их рабочих поверхностей.
В качестве механических систем, для которых автором предлагается использование разработанного математического описания в первую очередь, являются «жёсткие» исполнительные узлы автоматики СПВ, допускающие представление расчётной схемой в виде плоской механической системы.
На примере одного из таких узлов — патроноподающего узла ползунного типа с прямоугольным законом перемещения рабочего звена — подтверждается корректность разработанной математической модели и оценивается её эффективность при проведении анализа динамики систем циклической автоматики. В соответствии с этим сформулирована цель настоящей работы.
Цель работы: Повышение эффективности проектирования и отработки перспективных конструкций патроноподающих узлов ползунного типа с прямоугольных законом перемещения рабочего звена путём разработки методов прогнозирования динамики функционирования узлов такого типа в системах циклической автоматики с учётом локального упруго-пластического деформирования рабочих поверхностей звеньев.
Анализ чувствительности узла с динамической моделью на основе дискретных контактных элементов к изменению коэффициента трения
При решении значительного числа задач динамики механических систем предпочтительным, а зачастую и необходимым, является учёт распределения контактных напряжений по рабочим поверхностям элементов конструкции, что требует перехода от моделей динамики с сосредоточенными нагрузками, разработанных, например, на базе дискретных контактных моделей, к моделям с распределёнными нагрузками.
Обоснованием необходимости такого перехода являются следующие особенности и различия указанных моделей: 1) представление распределённой нагрузки в контактной паре совокупностью нагруженных дискретных контактных элементов мало эффективно с точки зрения оценки необходимого объема вычислительных операций; 2) параметры дискретных контактных моделей не связаны непосредственно с реальными механическими свойствами материалов г а корректный выбор контактной модели и определение ее параметров представляет значительные трудности ; 3) одну из определяющих ролей играет изменение геометрии в пятне контакта, которое при использовании дискретных контактных моделей не учитывается; 4) модели динамики с сосредоточенными нагрузками малопригодны для моделирования приработки узлов машин: не позволяют достоверно локализовать области наиболее интенсивного износа г определить реальные контактные напряжения, деформации/ 5) моделирование контактного взаимодействия с учётом распределения параметров нагружения и состояния материала основывается на использовании реальных механических и физических свойств материалов, позволяет непосредственно учитывать изменение геометрии тел в пятне контакта. Перечисленные особенности двух типов моделей дают основание считать, что применение контактных моделей с распределёнными параметрами является предпочтительным, когда речь идёт о необходимости моделировании динамики высоконагруженных узлов машин, оставаясь в целом в рамках гипотезы абсолютно твёрдого тела — то есть, не учитывая общие деформации деталей, и, как следствие, с приемлемой точностью решать поставленную задачу, существенно сэкономив вычислительные ресурсы. Особое значение вопрос о затратах вычислительного времени приобретает при моделировании систем циклической автоматики, которые сочетают в себе интенсивные ударные процессы с широким спектром скоростей перемещений элементов исполнительных узлов. Приведённое далее математическое описание для моделирования контактного взаимодействия в парах типа «ПОВЕРХНОСТЬ-ПОВЕРХНОСТЬ» было разработано в соответствии со следующими требованиями: 1) возможно более низкая ресурсоёмкость модели; 2) возможность моделирования упругого и упруго-пластического деформирования зон локального нагружения с использованием реальных физических и механических евойств материалов; 3) возможность моделирования многовариантного характера взаимодействия элементов машины с учётом влияния раопределения контактных напряжений на её динамику. Расчётная схема, отражающая геометрическую формулировку контактной задачи в разработанной модели, представлена на рис. 2.2.1. В соответствии с принятыми ранее для модели с сосредоточенными нагрузками соглашениями о структуре представления звеньев механизма и их элементов в математической модели, будем описывать профили тел алгебраическими полиномами п -го порядк от безразмерного аргумента т, область определения которых задана интервалом т є [ 0, 1 j. Эти функции будем называть функциями профиля, и обозначать Ф Дг . J - функция, задающая профиль /-го вектора j-то тела. Далее индекс j в выражениях будет, как правило, опущен, так как все соотношения приведены для двух абстрактных тел, образующих контактную пару, и индексы этих тел указаны явно.
Необходимо отметить, что в общем случае порядок аппроксимирующих полиномов может быть произвольно большим, но в ходе проведённых численных экспериментов применение полиномов 10 и выше порядка оказалось нецелесообразным ввиду значительного увеличения затрат машинного времени и интенсивным ростом операционных ошибок. Поэтому в качестве функций профиля использовались многочлены не выше 7-9 порядков для протяжённых участков рабочих поверхностей, и 3—7 порядков для представления коротких элементов профилей тел. Для установления функциональной зависимости т2 (тх ) воспользуемся расчётной схемой на рис. 2.2.1 и рассмотрим проекции векторов, образующих замкнутый контур ABCD, на вектор Т2. Для упрощения записи условимся считать, что все векторы, входящие далее в соотношения, уже определены в глобальной системе координат XOY, если только явно не указывается на то, что их компоненты определены в локальных системах координат, или не используется явное преобразование координат этих векторов в соотношениях через матрицы поворота
