Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Состояние вопроса. Цель и задачи исследования 11
1.1. Основные тенденции совершенствования станков с ЧПУ в интегриро-ванном производстве 11
1.2. Анализ факторов, влияющих на отклонение траекторий исполнительных элементов от траекторий формообразующих движений 17
1.3. Цель и задачи исследования 24
Глава 2. Исследование особенностей эволюционных преобразований динамической системы резания на основе цифрового моделирования 26
2.1. Постановка задач 26
2.2. Математическая модель эволюционирующей динамической системы резания 31
2.3. разработка программного комплекса для исследования эволюции динамической системы точения
2.3.1. Уточнение уравнения динамики с учетом эволюции его параметров 41
2.3.2. Особенности анализа устойчивости эволюционной траектории 47
2.3.3. Математические алгоритмы и программный комплекс для анализа эволюционных траекторий
2.4. Динамическая перестройка системы за счёт эволюции матрицы жесткости процесса резания 71
2.5. Общий случай динамической перестройки системы за счет эволюции ее параметров 95
2.6. Устойчивость эволюционной траектории 106
2.7. Выводы 116
Глава 3. Экспериментальное изучение эволюционной перестройки динамической системы резания при точении 120
3.1. Экспериментальная установка. Условия проведения экспериментов 120
3.2. Основные алгоритмы обработки экспериментальной информации 136
3.3. Экспериментальное изучение эволюции корней характеристического полинома динамической системы резания и параметров динамической характеристики процесса резания 155
3.4. Идентификация параметров и ядер интегрального оператора 175
3.5. Вывод... 185
Глава 4. Пути управления точностью процесса обработки деталей на стан ках токарной группы с учетом эволюции процесса резания 188
4.1. Связь эволюционных преобразований системы с точностью обработки приточений 188
4.2. Повышение точности обработки на основе использования имитационной модели эволюции системы при точении на основе управления траекториями движения суппорта 204
4.3. Повышение точности обработки на основе использования дополнительной рабочей информации о состоянии процесса резания и технологиче ской системы 219
4.3.1. Повышение точности обработки на основе дополнительного оцени вания сил резания 220
4.3.1. Повышение точности обработки на основе дополнительного оцени вания смещения корней характеристического полинома АР модели 229
4.4. Выводы 237
5. Заключение. Общие выводы 239
6. Список использованной литературы
- Анализ факторов, влияющих на отклонение траекторий исполнительных элементов от траекторий формообразующих движений
- Математические алгоритмы и программный комплекс для анализа эволюционных траекторий
- Экспериментальное изучение эволюции корней характеристического полинома динамической системы резания и параметров динамической характеристики процесса резания
- Повышение точности обработки на основе использования дополнительной рабочей информации о состоянии процесса резания и технологиче ской системы
Введение к работе
Актуальность работы. Всякая механическая система как составная часть машины в ходе своего функционирования взаимодействует со средой- технологической, трибологической, гидродинамической, аэродинамической и пр. В результате этого взаимодействия формируется динамическая связь, принципиально изменяющая динамические свойства системы в целом, и влияющая на функциональные свойства машины Свойства этой связи не остаются неизменными в ходе функционирования системы Особенно заметно это проявляется в системах взаимодействующих через узел трения, а также в системах, связь в которых формируется процессом резания. В результате функциональные характеристики машины не остаются неизменными. Например, в процессах обработки резанием на металлорежущих станках изменяется размер детали, показатели качества ее поверхности, развивается износ инструмента и пр В результате возникает задача подстройки технологических режимов, направленная на обеспечение выходных характеристик станка- изготовления деталей с заданной точностью Как следствие формируются различные способы управления, направленные на компенсацию влияния эволюции на выходные характеристики станка. При этом в известных работах природа эволюционных изменений свойств системы практически не раскрывается, а эволюция рассматривается как некоторый процесс, заданный во времени и не связанный с координатами пространства состояния Изучение функциональных свойств системы во времени, в том числе, на основе вероятностного подхода, рассматривается и при анализе надежности системы Вместе с тем, изменение функциональных свойств машины связано с различными эволюционными преобразованиями в системе.
Естественное развитие знаний об эволюционных изменениях заключается в изучении взаимосвязи эволюции с координатами пространства состояния динамической системы Математическое моделирование динамической системы, в которой параметры связи, формируемой средой, становятся зависимыми от координат пространства состояния, приводит к тому, что эволюция становится естественным свойством системы не инвариантным к параметрам и структуре динамической системы. Построение математических моделей эволюционизирующей системы, а также раскрытие механизмов эволюционных преобразований позволяет решить задачу адаптации динамической системы к изменяющимся условиям. Применительно к анализу процессов обработки на станках это решение задачи диагностирования и управления качеством изделий с целью прогнозирования изменения и обеспечения требуемых характеристик качества изготовления Именно решению указанных проблем посвящена кандидатская
диссертация, что указывает на научное и практическое ее значение. Целью исследования диссертации является изучение динамической перестройки механической системы, взаимодействующей со средой, заданной уравнениями связи, имеющими эволюционные параметры, на примере токарной обработки на металлорежущих станках, и разработка на этой основе принципов управления системой по функциональным характеристикам.
Для достижения указанной цели в диссертационной работе решены следующие задачи*
1 Разработана обобщенная математическая модель динамики механической системы, взаимодействующей со средой, заданной уравнениями связи с эволюционирующими параметрами. Причем, параметры связи зависят от траекторий мощности по совершенной работе необратимых преобразований в сопряжении система - среда, то есть представляются в виде интегральных операторов Вольтера второго рода.
Предложена методика анализа и алгоритмы получения асимптотических решений функциональных интегро-дифференциальных уравнений эволюционной системы.
Конкретизирована на примере динамической системы точения методика построения эволюционных уравнений и их анализа. Выполнено всестороннее цифровое моделирование изменения выходных характеристик динамической системы точения в процессе эволюционной перестройки, в том числе изучены свойства смещений точки равновесия системы, ее динамической перестройки на основе анализа годографов корней характеристического полинома, анализа точки бифуркации, в которой система теряет свойство асимптотической устойчивости Проанализированы механизмы потери устойчивости
На примере процесса точения выполнено экспериментальное изучение динамической перестройки системы в ходе ее эволюции. Для этого создано соответствующее программно-аппаратное обеспечение и экспериментальное оборудование
Разработана методика идентификации параметров интегральных операторов эволюции и их ядер, которая проиллюстрирована на примере процесса точения. Предложены аппроксимации изменения параметров при варьировании технологических режимов.
Проиллюстрировано использование предложенной методики анализа эволюционной перестройки динамики механической системы для целей прогнозирования изменения точности обработки стадии проектирования
Предложены алгоритмы управления динамикой механической системой в ходе ее эволюции по выходным характеристикам Они проиллюстрированы алгоритмами управления точностью токарной обработки
Методы и средства исследований. Теоретические исследования выполнены с использованием соответствующих разделов теорий нелинейных колебаний механических систем, заданных пространственными дискретными структурами, теории вероятностей, математической статистики и авторегрессионного спектрального анализа, теории резания металлов, асимптотических методов нелинейной динамики, динамики станков, а также математического моделирования на ЭВМ Экспериментальные исследования проводились по методикам и программам, разработанным на кафедре «Автоматизация производственных процессов» ДГТУ Обработка данных и реализация алгоритмов идентификации, а также цифровое моделирование осуществлены с помощью программ, разработанных автором. Научная новизна диссертационной работы
Предложена обобщенная математическая модель механической системы, отдельные элементы которой взаимодействуют между собой через динамическую связь, формируемую средой, имеющей эволюционно изменяющиеся параметры В отличие от известных моделей эволюционные параметры связи представляются в виде интегральных операторов относительно траекторий мощности необратимых преобразований в зависимости от совершенной работы Тем самым учитывается эволюционная наследственность системы.
Разработана методика анализа асимптотического поведения функциональных интегро-дифференциальных уравнений эволюционной системы на основе вычисления стационарной эволюционной траектории и анализа ее асимптотической устойчивости Выявлены механизмы потери устойчивости
Конкретизирована методика анализа и построения эволюционных систем на примере динамической системы токарной обработки на металлорежущем станке. Выполненное системное цифровое моделирование такой системы позволило выяснить особенности эволюционных преобразований динамической системы точения В частности, показано, что закономерности изменения точности не инвариантны к параметрам динамических подсистем инструмента и заготовки, а также к параметрам формируемой процессом резания связи
Предложены методика и алгоритмы идентификации параметров интегрального оператора, определяющего эволюционные свойства механической системы. Использование методики проиллюстрировано на примере управляемой механической системы, формируемой при обработке на токарных станках.
Практическая ценность диссертационного исследования заключается в следующем:
1. Предложены алгоритмы и разработаны программы для определения эволюционных изменений динамической системы, взаимодействующей со средой на стадии проектирования. Они проиллюстрированы на примере прогнозирования изменения точности обработки на токарном станке. Эти алгоритмы позволяют оценивать функциональную надежность динамической системы, имеющей эволюционно изменяющиеся параметры, на стадии проектирования Предложенные модели позволяют предсказать изменения функциональных свойств динамической системы в ходе эксплуатации на основе использования априорной информации, а также дополнительной рабочей информации о некоторых траекториях состояния системы
2. Разработаны новые алгоритмы управления точностью обработки на станках токарной группы с учетом эволюционной перестройки динамичен ской системы резания. При этом рассмотрены принципы управления на основе использования имитационной модели эволюции и дополнительном определении рабочей информации о силах резания и смещениях корней характеристического полинома системы, идентифицируемых на основе наблюдаемых вибрационных последовательностей по алгоритмам авторегрессионного спектрального анализа. Проанализированная эффективность этих алгоритмов показала возможность снижения разброса диаметров обрабатываемой детали в три - четыре раза.
Апробация работы. Основные результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на международных научно-технических конференциях1 «Проблемы трибоэлектрохимии» в Новочеркасске в 2006г., «Металлургия, машиностроение, станкоинструмент» в Ростове-на-Дону, ВЦ "ВЕРТОЛЭКСПО" 2006., «Динамика технологических систем» в Ростове-на-Дону в 2007г., на VIII- всевьетнамской конференции по механике в Ханое в 2007г., и ряде других.
Объем работы. Содержание диссертационной работы изложено на 255 страницах и включает в себя 146 рисунков и 50 таблиц Диссертация состоит из введения, четырех глав, списка используемой литературы и приложений.
Анализ факторов, влияющих на отклонение траекторий исполнительных элементов от траекторий формообразующих движений
Обе эти задачи часто вызывают тревогу у цехового руководства, а вместе с тем их решение сегодня не требует ни больших капиталовложений, ни дорогостоящего обучения. Достаточно добавить программную опцию в каждую из систем ЧПУ и протянуть между станками стандартный сетевой кабель (для сети типа ETHERNET) и решается задача архивирования программ ЧПУ и всех связанных с ней данных в едином центральном архиве.
На деле это позволяет не только загружать программы, необходимые для выполнения заказа, одновременно на все станки, участвующие в заказе, но и исключить несанкционированный доступ к архиву. Кроме того, можно хранить в архиве множество вариантов одной и той же программы, разрешив, однако, доступ только к одному из них.
С программой всегда связан набор инструмента, необходимый для её выполнения. Система ЧПУ в состоянии сегодня рассчитать потребность в инструменте для данной программы. При этом учитывается тот инструмент, который находится в данный момент на станке в магазине, не забывая о его износе. Определив, какой инструмент, находящийся в магазине, потребуется для обработки данной детали, а какой следует отправить на склад, подобрав инструмент, который необходимо получить со склада, система ЧПУ составляет список, который затем передаёт по сети на склад или на рабочее место подготовки инструмента, в случае если там существуют автоматизированные рабочие места.
Важнейшим этапом обеспечения функционирования интегрированного автоматизированного производства является создание программы ЧПУ для обеспечения заданных формообразующих движений. Отметим главные особенности создания программы ЧПУ, влияющие на идеологию построения самих станочных систем [8-16]. В основу программы положены два основных набора данных: - геометрический образ детали, но не его динамические характеристики, например, изменение матриц жёсткости в контакте инструмента с деталью; — технологические требования, которые определяют диапазоны режимов резания, но не учитывают эволюционные преобразования системы резания, например, связанные с развитием износа режущего инструмента.
Таким образом, главное направление совершенствования станков связано с уменьшением неопределённости формирования траекторий, то есть совершенствование направлено на обеспечение однозначного соответствия программы (образа детали на стороне УЭВМ) реальной; траектории формообразующих движений. Именно под углом зрения уменьшения неопределённости траекторий исполнительных элементов, по отношению к программе ЧПУ идёт в настоящее время совершенствование металлорежущих станков; Оно включает в себя совершенствование управляемых приводов, точности направляющих в направлении их подвижности, совершенствование конструктивных элементов под углом зрения обеспечения асимптотической устойчивости траекторий в большом диапазоне скоростей и внешних силовых нагрузок, повышение жёсткости несущих систем станков и пр.
Однако при анализе точности изготовления деталей на станках с ЧПУ приходится считаться с тем, что погрешность её изготовления существенно (на порядок, иногда и более) превышает погрешность траекторий исполнительных элементов станка. Это связано, прежде всего, с тем, что траектории исполнительных элементов станка отличаются от траекторий формообразующих движений инструмента относительно заготовки. Рассмотрим основные факторы, вызывающие отличие траекторий; исполнительных элементов от траекторий. формообразующих движений; Заметим, что здесь и далее по тексту под траекториями формообразующих движений мы понимаем непосредственные движения поверхности инструмента относительно поверхности заготовки. Применительно к станкам токарной группы - это траектории движения вершины инструмента относительно точки на заготовке, в которой осуществляется во время резания контакт инструментом. 1.2. Анализ факторов, влияющих на отклонение траекторий исполнительных элементов от траекторий формообразующих движений
Выяснению причин отклонения точности изготовления деталей от характеристик точности, определяемых траекториями исполнительных элементов станка, посвящены значительные исследования [17-33].
Во всех отраслях промышленности связанных с механической обработкой металлов, повышение производительности, обеспечение требуемых показателей качества и снижение себестоимости на изготовление детали с заданными эксплуатационными свойствами в значительной мере определяются повышением эффективности самого процесса механической обработки, т.е. процесса резания металлов. Процесс обработки деталей на металлорежущих станках представляет собой исключительно сложный, сочетающий в себе механические взаимодействия между всеми подсистемами станка, обрабатываемой детали, и физико-химические, тепловые процессы, процессы обмена энергией протекающие в зоне резания, а также релаксационные процессы, имеющие место в обрабатываемой детали. Более того, динамические связи, формируемые процессом обработки, не являются линейными детерминированными, а характеризуются нелинейностью, самоорганизацией, хаотичностью, эволюционными изменениями и др. Вся совокупность процессов, и факторов составляющая процесс обработки на станке вносит вклад в формирование обрабатываемой детали, и влияя на ее качество, также на надежность, долговечность металлорежущих станков (МРС).
Обобщённая таблица факторов, влияющих на точность обработки, многие из которых определяются отклонениями траекторий формообразующих движений от траекторий исполнительных элементов приведена на рис. 1.2.
Математические алгоритмы и программный комплекс для анализа эволюционных траекторий
Пусть матицы параметров подсистем инструмента и заготовки остаются неизменными вдоль траектории движения инструмента относительно заготовки. Тогда изменение диаметра детали определяется эволюционными преобразованиями геометрии инструмента, которые обусловлены развитием износа инструмента и изменениями динамической характеристики процесса резания. Практика показывает, что размерный износ инструмента непосредственно практически не влияет на текущие значения диаметра обрабатываемой детали. Здесь главное значение имеет изменение силовой функции процесса резания и связанные с этими изменениями значения упругих деформаций инструмента относительно заготовки. В данном параграфе ограничимся случаем, когда жёсткость подсистемы детали на порядок превышает жёсткость инструмента. Этот случай соответствует обработке деталей маложёстким инструментом. Кроме этого будем считать скорость резания и подачи величиной постоянной. Тогда эволюционное уравнение динамики можно представить в виде: d2x(t) dx(t) dt2 + dt m l + h L + cx{f) = F{t). \ t 0 / A p \A) = plfi+ PlA + a,\wPi{A-g)N(g)dgJ \,2...s; о (2.11) где X(t) = {x1(t),X2(t),X3(t)}T — вектор положения вершины инструмента в независимой системе координат без учёта упругих деформаций инструмента, то есть реакции со стороны процесса резания; x(t) = {xl(t),x2(t),x2(t)}T - вектор упругих отклонений вершины инструмента относительно координат X(t) = {X1(t),X2(t),X3(t)}T; V2(t), V3(t) - соответственно скорости движения суппорта в поперечном и продольном направлениях; v3(/) - скорость упругих деформаций инструмента в продольном направлении; г - текущее значение радиуса обрабатываемой заготовки; р, - эволюционные параметры системы которые будут уточнены ниже. Очевидно, что пересечение инструмента с заготов кой существует, если [г - \v2 (t)dt])0. Кроме этого при традиционной компоновке токарного станка XY=0, X2(t)= jV2 (/) #, X3{t) = jV3(/) #.
Ориентация осей в (2.11) соответствует схеме, приведённой на рис. 2.2. При раскрытии (2.11) принципиальное значение имеет выражение, связывающее внешние управления (в данном случае величина подачи на оборот SP ), упругие деформации инструмента относительно заготовки и силы резания (вектор F(t)). При определении работы А и мощности N в (2.11) принято во внимание, что их значения при перемещениях в направлении Х2 при продольном точении есть величина малая. Таким образом, текущие координаты перемещения вершины инструмента Хип определяются вектором (рис. 2.3) X(H)(t) = {[0-x1(ty\,[X2(t)-x2(t)],[X3(t)-x3(t)]}T. При этом принято во внимание, что перемещение суппорта по оси Хх невозможно. Если считать, что без процесса резания вершина инструмента по оси Хх = 0, то значение координаты вершины инструмента по оси, совпадающей со скоростью резания, определяется исключительно упругими его деформациями х,. Заготовка X, х = {х1(0,х2(0,х3(0У X = {0,X2(t),X3(t)} Инструмент
Схема формирования координат перемещения вершины инструмента с учётом их упругих деформаций При анализе эволюции динамической системы резания принципиальное значение имеет закономерность формирования сил резания, то есть значение вектор функции F(X1X,X2X,X ) = FL,{ )[V3(t)-v3(t)W,{r- )v2(t)dt-x2(t)}\. (2.12)
Для раскрытия вектор - функции (2.12) примем во внимание следующие особенности формирования сил резания [30, 59]. 1. Силы, действующие на инструмент, пропорциональны площади срезаемого слоя, то есть F0 =p yp,Xl)S, (2.13) где p(Vp,xx) - коэффициент пропорциональности между силами и площадью срезаемого слоя, имеющий смысл давления, действующего стружкой на переднюю поверхность инструмента. Этот коэффициент зависит от усадки стружки, следовательно, от скорости резания и величины переднего угла. В свою очередь, текущее значение переднего угла зависит от величины деформаций инструмента по направлению хх. Эти деформации являются изгибными, то есть влияющими на текущее значение переднего угла инструмента (рис. 2.4). Поэтому при увеличении деформаций хх возрастает р. Таким образом, если рассматривается точение с постоянной скоростью резания, то р = р(хх).
Строго говоря, при полном учёте сил резания необходимо дополнительно анализировать силы, действующие на заднюю поверхность инструмента. Эти силы зависят от величины подачи на оборот. Однако при раскрытии влияния эволюционных преобразований эти силы можно не принимать во внимание.
Схема формирования площади срезаемого слоя и коэффициента р при деформациях инструмента относительно заготовки
Представим (2.13) в функции скоростей исполнительных элементов станка V2(t) и F3(0, которые на данном этапе будем считать заданными. Вначале вычислим значение площади срезаемого слоя S(t) = SP(t)tP(t)-S2P(t), (2.14) tgcptgif/ . где = —ШШ_. sP(t)= \\y3(t)-v3(t)]A - путь, пройденный вершиной инстру 2tg(p + tgy/ 4 мента за время одного оборота Т с учётом упругих деформаций в направлении хг, (v3(0 " скорость упругих деформаций); tP(t) = r(X3)- JV2 (t)dt - текущее зна о чение величины припуска, зависящее от положения вершины инструмента по отношению к оси вращения заготовки ( \v2 (t)dt) и функции изменения радиуса заготовки по оси вращения инструмента. Если в момент врезания и далее V2(t) = 0,TOtP(t) = r(X3)-X2(0).
Экспериментальное изучение эволюции корней характеристического полинома динамической системы резания и параметров динамической характеристики процесса резания
Уровень математического моделирования системы (2.11) может быть различным. При моделирование всегда возникает проблема компромисса между сложностью моделей и возможностью интерпретаций получаемых результатов. Основные свойства эволюционных преобразований размера обрабатываемой детали можно раскрыть, если положить, что справедливо свойство асимптотической устойчивости эволюционной траектории. Тогда, например, при вычис лении стационарной эволюционной траектории (аттрактора эволюционной системы) Xj (0 можно воспользоваться очевидным соотношением где 0 и / - соответственно нулевая и единичная матрицы размерности 3x3; А{р) - матрица относительно эволюционных параметров с$ и h Замечание. Очевидно, что полученное уравнение динамики (2.38) является функционально - дифференциальным уравнением, так как параметры системы зависят от траекторий координат состояния. Одновременно траектории являются функциями координат состояния. Аналитическое решение этого уравнения представляет существенные сложности. Однако необходимо учитывать, что эволюционные изменения системы происходят достаточно медленно. Поэтому в пределах шага интегрирования параметры системы можно считать неизменными (замороженными) и поэтому поддающимися вычислению. Разработка алгоритма анализа системы (2.38)
Вначале ограничимся случаем, когда осуществляется продольное точение с постоянными режимами, то есть V3 = const и V2 = 0. Тогда \v3(t)dt = SP - величи 1-Т о на подачи на оборот, a tP=r- \v2(t)dt - глубина обработки без учёта упругих о деформаций инструмента относительно заготовки (tQ-момент врезания инструмента в заготовку, после которого V2 == 0). Кроме этого будем считать справедливой гипотезу неизменной ориентации сил.
Рассмотрим наиболее важный случай, когда работа и мощность изменяются настолько медленно, что в пределах одного шага интегрирования уравнения (2.11) их можно считать неизмененными. Это адекватно тому, что систему (2.38) на каждом шаге интегрирования можно рассматривать как стационарную линейную динамическую систему. При этом эволюционный параметр р на каждом шаге интегрирования есть величина постоянная. Тогда вычисление упругих деформаций x(t) осуществляется последовательно от шага к шагу интегрирования уравнения.
Предположим, что нам необходимо исследовать свойства системы (2.38) на интервале времени [0, t]. Это интервал от начала врезания инструмента до текущего времени. Разделим интервал [0, t] на п - частей [ґм, t,], і = 1,2,3,..., п. Тогда At, = t, -/,_, - z -ый шаг интегрирования. В пределах каждого шага интегрирования мощность есть постоянная величина. Тогда работу можно представить в следующей форме: жп)=)щук+ )ww+...+ pv(o +...+ ]щж О 1 ,-1 »-! Таким образом, N(t) в каждом элементарном интервале - неизмененная функция. Её можно вынести за знак интеграла, тогда получим AW=# акіі+N(2xli +...+W- i)ci;;_, +... +Ninx\ ;ni или А(п) = ЩіЩ (2.40) где Л(/), N(i)- работай мощность на z-ом шаге интегрирования. Аналогично, эволюционное преобразование параметра р можно представить в следующей форме: р(и) = р0+/М(л) + аГ )ехр(- )[ехр( -е ( )]. (2.41) =1 LA 1А 1А Алгоритм вычисления смещения точки равновесия и траекторий корней характеристического полинома системы (2.38) при эволюционном изменении параметра р (рис. 2.6) Исходные данные: m;h;c;Vp;tp;Sp;p0;a;fi;TA. Таким образом, все параметры системы остаются неизменными, как и стартовое значение параметра р. Первый шаг. На первоначальном интервале времени (0,/J эволюционное изменение параметра динамической жесткости отсутствует, то есть р(\) = pQ. Вычислить: -точки равновесия х (1) = {х, (1);х (1);х г (Щ : х (1) = с2(р(1)Г FWmzvZvZiY ; -мощность и работу сил резания т)=vPxx \pmsptp + tpX; (о) - spX; ю - tpX; (ш; до=о; -собственныечисла p(\) = {plQ);p2(V);...;peQ)}T: p(l) = solve (\A(p(l)) - ЛЕ\ = 0). Второй шаг Д/2 = [/,;/2] Вычислить: -значение эволюционного параметра р(2) = р0+ 4(1) + аТА N(s) ехр(- )[ехр( - ехр( = )]; s=\ А 1А 1А -точки равновесия х (2) = (х, (2);х 2 (2); . (2)f : х (2) = съ (р(2))"! F, (/7(2)){ , Z2 ,Хз }т; -мощность и работу сил резания N(2) = VpXl\p(2){sptp + Г,д, 0)-Spxl(2)pX;(2)}i Л(2) = 2 (,)Af, ; 5=1 -собственные числа р(2) = {/?, (2); р2 (2);...;р6 (2)}г: /?(2) = solve (\А(р(2)) - ЛЕ)\ = 0). Затем процедура повторяется для отрезка Аг, =[/,_,; ,_2] / = 3,л. В результате получаем траекторий смещения точки равновесия х (0 = {х (Г);х (2);...;х (и)}5 / = 1,2,3,- и траекторий смещения корней характеристического полинома р, (0 = fe 0); л (2);...; А (и)}, / = 1,2,...,б.
Структурная схема алгоритма для вычисления траектории точки равновесия и траекторий корней характеристического полинома системы приведена на рис. 2.5. Заметим, что понятие характеристического полинома для исходного уравнения, строго говоря, не существует, так как эта система является функционально-дифференциальной. Однако необходимо ещё раз отметить, что эволюционные изменения системы являются медленными и в рассматриваемый момент система может быть интерпретирована как «замороженная» в смысле Заде [137].
Изучение эволюции точки равновесия и смещения корней характеристического полинома имеет два основания. Первое - траектория равновесия фактически характеризует изменение диаметра обрабатываемой детали. Причём, её изменение зависит не только от эволюционных преобразования параметров динамической системы резания, но и от параметров, которые не эволюционируют в ходе обработки. Например, от матриц жёсткости подвески инструмента. Таким образом, например, изменение матрицы жёсткости подсистемы инструмента приводит и к изменениям эволюционных траекторий диаметра детали. При обработке детали сложной геометрической формы это может иметь принципиальное значение. Второе - изменение диаметра обрабатываемой детали отображается в смещениях корней характеристического полинома. В связи с тем, что имеются алгоритмы оценивания корней характеристического полинома на основе анализа сигнала виброакустической эмиссии, то выяснение траекторий корней открывает путь динамической диагностики точности в процессе обработки без непосредственного измерения диаметра.
Очевидно, если одновременно варьируются матрицы динамической жёсткости и диссипации процесса резания, то программа вычисления точки равновесия остаётся аналогичной (рис. 2.7).
Повышение точности обработки на основе использования дополнительной рабочей информации о состоянии процесса резания и технологиче ской системы
Приведённые диаграммы показывают, что характеристики мощности, упругие смещения вершины инструмента и другие характеристики, в основном зависят от эволюции матрицы жёсткости. Что касается матрицы диссипации, то она принципиально влияет на устойчивость системы и переходные процессы при выходе на стационарный режим эволюции. Об этом свидетельствует диаграмма эволюции корней характеристического полинома в комплексной плоскости (рис. 2.37). Это естественно, так как все приведённые примеры относятся к случаю, когда эволюционные преобразования в системе происходят достаточно медленно и в каждый момент параметры системы можно считать постоянными. Для этих параметров система находится в состоянии равновесия, и оно является в большинстве случаях асимптотически устойчивым. Поэтому d2xldt2 = dx/dt = 0, то есть изменения коэффициентов матрицы hz не влияют на медленно изменяющуюся эволюционную траекторию, но они влияют на установление стационарного эволюционного процесса по мере совершения работы силами резания
Для иллюстрации этого тезиса рассмотрим эволюционную диаграмму упругих смещений вершины режущего инструмента для неизменных значений интенсивности эволюционных преобразований жёсткости (параметра р,) и различных её значениях для эволюционных преобразований матрицы диссипации (параметра р2). Как видно (рис. 2.38), диаграммы упругого смещения вершины режущего инструмента для трёх значений интенсивности эволюционных преобразований матрицы диссипации а2 =1,0-Ю-13, ог2 =1,25-10-13 и сс2 =1,5-Ю-13 практически совпадают до точки «В». В точке «В» третья система теряет устойчивость точки равновесия. В связи с этим график «3» резко отходит от трёх совпадающих диаграмм. Такие диаграммы являются естественными для системы, так как в состоянии квазиравновесия система не является возмущённой. Очевидно, что в реальной системе резания, находящейся в возмущённом состоянии силовым шумом процесса резания изменение интенсивности эволюционных преобразований матрицы диссипации будет также влиять на траектории упругих смещений вершины режущего инструмента.
Обратим также внимание на то обстоятельство, что здесь, как и при анализе эволюции системы при изменениях только матрицы жёсткости, траектории корней характеристического полинома являются определёнными (рис. 2.39). Траектории на рис. 2.39 «Ь» фактически являются продолжением траекторий на рис. 2.39 «а». Аналогичная ситуация сохраняется и для других, но неизменных значений параметров ядер интегральных операторов (рис. 2.44).
Наконец рассмотрим случай, когда в ходе эволюции гипотеза неизменной ориентации сил не является справедливой. Ограничимся наиболее важным случаем, когда эволюционно меняются все элементы матрицы динамической жёсткости процесса резания, то есть ориентация позиционных сил в процессе резания меняется, но их изменение подчиняется законам (2.45). Рассмотрим два примера, отличающиеся коэффициентами интенсивности, приведёнными в табл. 2.30 и 2.31. Проиллюстрируем лишь траекторию упругого смещения вершины инструмента и траектории корней характеристического полинома (рис. 2.45, 2.46 для данных табл. 2.30 и рис. 2.47, 2.48 для данных табл. 2.31).
Прежде всего, отметим, что для рассматриваемой конкретной системы траектории корней характеристического полинома являются определёнными. Поэтому по эволюции корней имеется возможность оценивать не только эволюционные преобразования упругих деформаций инструмента относительно заготовки, но и оценивать другие эволюционно изменяющиеся параметры процесса резания, например, шероховатость, износ инструмента и пр.
Ранее было сформулировано понятие устойчивости эволюционной траектории как устойчивости соответствующей замороженной системы с фиксированными параметрами на отрезках их эволюционных изменений. Принципиально уже сама программа расчётов эволюционных траекторий, включающая построение эволюционных диаграмм корней характеристического полинома в комплексной плоскости, позволяет ответить на вопрос устойчивости в рассмотренном выше смысле. В данном параграфе выполненные выше исследования дополним анализом областей устойчивости в плоскости (в общем случае пространстве) варьируемых параметров. Вариации параметров определяются на отрезке их эволюционных изменений. Для этого естественно воспользоваться методом D - разбиения. Ограничимся случаем, когда суммарные матрицы жёсткости и диссипации процесса резания можно представить в виде cz = С\,2 С2,2 + %2SpP\ С3,2 + Хг рР\ Дз с2,з + XiSp Рх с3ъ + х4РР\ для матрицы жёсткости и (2.48) Ъ = Кг Ki-X\SnP2 К\ Х\ рРг Кг K,2-X2SpP2 ka-ZitpPi Къ hi-XiSpP2 Къ-Хъ рРг (2.49) для суммарной матрицы диссипации, где р2 = щ. Вначале рассмотрим случай, когда в (2.49) т -» 0, то есть р2 = 0, h}.=h. Тогда для вычисления областей устойчивости необходимо воспользоваться полученным ранее выражением (2.35). Область устойчивости будем анализировать в плоскости одного комплексного варьируемого параметра р - давления стружки на переднюю поверхность инструмента. Параметры исходной системы приведены в таблицах 2.1 - 2.7.
Рассмотрим области устойчивости для трёх рассмотренных ранее совокупностей матриц подвески инструмента (матрицы с(1)- табл. 2.4, с(2)- табл. 2.5, с(3)- табл. 2.6) в случае, когда силы резания удовлетворяют гипотезе неизменной их ориентации в пространстве (рис. 2.49, 2.51, 2.53). На каждой иллюстрации жирной линией по оси абсцисс выделены допустимые значения эволюци-онно изменяющегося параметра р. Мы видим, что в зависимости от структуры исходной матрицы подвески инструмента диапазон изменения вещественной части параметра р меняется. Более того, для матрицы подвески с(2) при заданных коэффициентах ориентации сил (см. табл. 2.7) при всех эволюционных изменениях параметра р точка равновесия замороженной системы остаётся асимптотически устойчивой (рис. 2.53). Изменяется и характер потери устойчивости. Для системы с матрицей с(1) потеря устойчивости является апериодической, так как изображающая точка в плоскости одного комплексного варьируемого параметра пересекает фигуративную линию с одной штриховкой (на рис.
