Содержание к диссертации
Введение
1. Линейные модели микромеханического вибрационного гироскопа с торсионным подвесом чувствительного элемента 42
1.1. Уравнения движения чувствительного элемента микромеханического гироскопа 42
1.2. Режим свободных малых колебаний чувствительного элемента микромеханического гироскопа 46
1.3. Режим вынужденных малых колебаний чувствительного элемента в случае медленно изменяющейся угловой скорости основания 52
2. Нелинейные модели микромеханического вибрационного гироскопа 63
2.1. Уравнения движения гироскопа с учетом нелинейных эффектов, связанных с геометрией подвеса чувствительного элемента 64
2.2. Влияние демпфирования на свободные нелинейные колебания чувствительного элемента 78
2.3. Режим вынужденных колебаний на подвижном основании 81
2.4. Управление колебаниями чувствительного элемента в виде обратной связи по вектору состояния 97
3. Динамика кольцевого резонатора волнового твердотельного гироскопа с учетом нелинейных упругих свойств материала 104
3.1. Разработка математической модели движения тонкого кольцевого резонатора с системой поддерживающих торсионов 105
3.2. Динамика свободных колебаний системы без учета демпфирования . 112
3.3. Динамика свободных колебаний системы с учетом демпфирования .119
3.4. Режим вынужденных нелинейных колебаний резонатора 122
3.5. Управление колебаниями резонатора в виде обратной связи по измерению вектора состояния 129
4. Динамика волнового твердотельного гироскопа с резонатором переменной толщины 139
4.1. Уравнения малых колебаний резонатора в виде тонкой оболочки вращения 140
4.2. Определение собственных форм колебаний цилиндрического резонатора на неподвижном основании 147
4.3. Влияние неравномерной толщины осесимметричного резонатора на точностные характеристики ВТГ 154
4.4. Динамика волнового твердотельного гироскопа с резонатором переменной толщины при поступательной вибрации основания 176
5. Влияние упругой анизотропии материала резонатора на динамику волнового твердотельного гироскопа 183
5.1. Влияние упругой анизотропии типа гексагонального кристалла на динамику волнового твердотельного гироскопа 183
5.2. Расчетный случай совпадения оси симметрии резонатора и оси симметрии кристалла 187
5.3. Влияние инструментальной погрешности изготовления анизотропного резонатора гироскопа 194
5.4. Влияние упругой анизотропии типа кубического кристалла на собственные частоты и уходы волнового твердотельного гироскопа 203
6. Свободные нелинейные колебания волнового твердотельного гироскопа на подвижном основании ... 210
6.1. Динамика нелинейных колебаний осесимметричного резонатора на подвижном основании 210
6.2. Влияние диссипации на динамику нелинейных колебаний осесимметричного резонатора 219
7. Динамика электростатического гироскопа на подвижном основании при учете возмущающих моментов от несферичности ротора и остаточных магнитных полей 226
7.1. Уходы электростатического гироскопа при угловой вибрации кожуха прибора 226
7.2. Уходы бесплатформенного электростатического гироскопа при поступательной вибрации кожуха прибора 232
7.3. Идентификация параметров модели движения электростатического гироскопа 235
8. Разработка алгоритмического и программного обеспечения навигационной системы малого космического аппарата 241
8.1. Разработка алгоритмов обработки первичных видеоданных оптико-электронного звездного датчика 242
8.2. Калибровка инструментальных погрешностей звездного датчика на точностном измерительном стенде 247
8.3. Результаты натурных испытаний астронавигационной системы космических аппаратов 263
Заключение 270
Литература 272
- Режим вынужденных малых колебаний чувствительного элемента в случае медленно изменяющейся угловой скорости основания
- Режим вынужденных колебаний на подвижном основании
- Динамика свободных колебаний системы без учета демпфирования
- Определение собственных форм колебаний цилиндрического резонатора на неподвижном основании
Введение к работе
Актуальность проблемы. Работы по созданию и развитию космических аппаратов (КА) в целях обеспечения связи, телевизионного вещания, получения данных дистанционного зондирования Земли проводятся уже длительное время, но по-прежнему являются актуальными. Анализ тенденций развития космических технологий показывает, что важным направлением их развития является применение малых космических аппаратов (МКА).
В Федеральной космической программе на период 2006-2015 гг. на первый план выдвигаются задачи технического переоснащения и внедрения новых наукоемких технологий. Подраздел программы «Системные исследования и прикладные научно-исследовательские работы» предусматривает разработку новых технологий решения целевых задач; поиск путей повышения уровня технических и эксплуатационных характеристик датчиков и систем космических аппаратов, обеспечения их надежности и эффективности; разработки и внедрения передовых информационных технологий при создании космических средств.
Применение новых технологий микроэлектромеханических систем (МЭМС) позволило значительно уменьшить массово-геометрические характеристики, энергопотребление и стоимость элементов систем управления и навигации малого спутника.
Опыт создания малых спутников (массой до 1000 кг), накопленный ведущими отечественными и зарубежными компаниями, показывает, что разработка интегрированной системы управления спутника требует тщательного учета динамических эффектов, возникающих из-за особенностей технологии изготовления, конструктивного исполнения и условий функционирования датчиков первичной информации. В целях прогнозирования точностных характеристик спутника и отладки бортового программного обеспечения на предприятиях разрабатываются стенды математического и полунатурного моделирования измерений и взаимодействия подсистем, позволяющие оценить эффективность и точность системы в целом в условиях эксплуатации.
В целях создания МКА нового поколения на базе перспективных датчиков системы ориентации и навигации - микромеханических, волновых твердотельных и электростатических гироскопов, звездных оптико-электронных приборов ставятся задачи поиска путей повышения уровня тех-
нических и эксплуатационных характеристик датчиков и систем малого спутника.
Целью работы является
- исследование влияния конечных деформаций чувствительных элементов,
нелинейных, либо анизотропных упругих свойств материала конструкции
микромеханического и волнового твердотельного гироскопа на динамику и
точность приборов;
планирование и научное обеспечение комплексных испытаний микромеханического, волнового твердотельного, электростатического гироскопов и звездных датчиков, применяемых в составе навигационного оборудования МКА для оценки параметров математических моделей.
учет влияния условий функционирования и погрешностей изготовления на точность измерений датчиков первичной информации для аналитической компенсации погрешностей приборов, управления движением и состоянием.
Научная новизна работы заключается в том, что в ней
исследовано влияние условий функционирования и технологии изготовления на точность измерений гироскопических и оптикоэлектронных датчиков;
найдены новые аналитические решения задач нелинейной динамики микромеханического и волнового твердотельного гироскопов, которые позволили существенно повысить точность приборов путем аналитической компенсации погрешностей (уходов) гироскопов и управления колебаниями;
предложены методики идентификации параметров моделей микромеханического, волнового твердотельного, электростатического гироскопов и звездных датчиков, опробованные и внедренные в разработку нового перспективного малого космического аппарата.
Прикладная ценность полученных результатов состоит в том, что
- разработан программный комплекс для расчета динамики микромеханиче
ского, волнового твердотельного и электростатического гироскопов с учетом
условий функционирования, инструментальных погрешностей изготовления,
предложены методики расчета точностных характеристик гироскопов и оп-
тическо-электронных звездных датчиков. Полученные научно-технические
результаты внедрены в разработку элементов алгоритмического и программ-
ного обеспечения интегрированной системы управления новых космических аппаратов.
разработано алгоритмическое и программное обеспечение для нового поколения бесплатформенных инерциальных навигационных систем на электростатических гироскопах с повышенным ресурсом работы для сверхпрецизионных систем ориентации и стабилизации космических аппаратов. Результаты разработок внедрены в Государственном научном центре РФ «ЦНИИ Электроприбор» (г. С.Петербург).
разработано алгоритмическое и программное обеспечения для целей стендовых испытаний и калибровки инерциальной навигационной системы в системе управления разгонного блока «Бриз-М» ракеты носителя «Протон», внедренное на комплексных стендах в ФГУП «Московском опытно-конструкторском бюро «Марс».
разработано алгоритмическое и бортовое программное обеспечение звездного датчика разработки ФГУП «Московского опытно-конструкторского бюро «Марс», внедренное в интегрированной системе управления спутников дистанционного зондирования Земли и телекоммуникаций «Монитор-Э» (запуск в 2005 г.), «КазСат» (2006 г.).
разработана методика стендовых калибровочных испытаний оптикоэлек-тронного звездного датчика, алгоритмическое и программное обеспечение для комплексной обработки бортовой телеметрии навигационной системы спутника, внедренное на комплексных стендах в ФГУП «Московском опытно-конструкторском бюро «Марс».
Достоверность полученных результатов обусловлена корректным использованием соответствующих математических методов, а также сопоставлением полученных результатов с математическим моделированием, экспериментальными данными и с результатами, полученными другими авторами.
Апробация работы. Результаты исследований докладывались и обсуждались на конференциях: Всеросс. конф. «Современные проблемы механики и технологии машиностроения», Москва,1992; Конф., посвященной памяти Н.Н.Острякова, С.-Петербург, 1993,2004; Межд. конф. «Математика в индустрии», Таганрог, 1998; Межд. конф. «Информационные средства и технологии», Москва, 1999-2007; Конф. «Транспорт. Научные исследования высшей школы по приоритетным направлениям науки и техники», Москва -
Звенигород, 2002; Санкт-Петербургская межд. конф. по интегрированным навигационным системам, 1998,2004-2008 г.; Межд. конф. «Проблемы и перспективы развития прецизионной механики и управления в машиностроении», Саратов, 2002; Межд. Конф. «Современные проблемы математики, механики и информатики», Тула, 2004-2006; IX Всероссийский съезд по теоретической и прикладной механике, Нижний Новгород, 2006; XXXI(II) Академические чтения по космонавтике, Москва, 2007,2008; Ломоносовские чтения, Москва 2008.
Результаты работы обсуждались на научном семинаре Института механики им. А.Ю. Ишлинского РАН, 2008 (руководители семинара акад. Д.М.Климов, акад. В.Ф.Журавлев); на семинаре им. А.Ю. Ишлинского по прикладной механике и управлению Института механики МГУ им. М.В.Ломоносова, 2008; кафедры теоретической механики и мехатроники МЭИ (ТУ), 1992-2008 (рук. проф. ЮГ. Мартыненко, проф. А.И. Кобрин).
Публикации. По теме диссертации опубликовано 51 печатная работа, в том числе 15 научных статей в ведущих научных журналах, рекомендованных ВАК Минобрнауки РФ по специальности 01.02.06 [1-15], статьи и тезисы докладов в трудах конференций [16-51]. Полученные в диссертационной работе результаты используются в учебном процессе [49].
Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований, коды инициативных проектов 03-01-00637, 06-01-00550, 06-08-01618; государственной поддержке исследований ведущих научных школ (научная школа акад. РАН Д.Е. Охоцимского и проф. Ю.Г. Мартыненко, код проекта НШ-1835.2003.1);
Объем работы. Диссертация состоит из введения, восьми глав, заключения и списка литературы из 254 источников. Объем работы - 297 стр.
Режим вынужденных малых колебаний чувствительного элемента в случае медленно изменяющейся угловой скорости основания
В монографии Ю.Г. Мартыненко [144] разработана теория движения твердого тела в электрических и магнитных полях, определен возмущающий и управляющий момент пондеромоторных сил, действующих на проводящее тело. Уравнение деформированной поверхности ротора разлагается в ряд по полиномам Лежандра и рассматривается зависимость величины возмущающего момента от любой гармоники ряда. В [144,138] получены выражения для силовой функции возмущающих моментов и определены уходы гироскопа, обусловленные различными гармониками в форме осесимметричного ротора.
В работе [140] рассматривается ротор ЭСГ, выполненный в виде сферической оболочки с кольцевым утолщением в экваториальной плоскости. Уходы такого ротора в ЭСГ с шестиэлектродным подвесом при произвольных положениях оси вращения относительно электродов подвеса могут доходить до 2 градусов в час, если не проводить дополнительной обработки поверхности ротора, придавая ему специальную форму с тем, чтобы после раскрутки поверхность ротора становилась сферической. Заметим, что в шестиэлектродном подвесе основной вклад в уходы ЭСГ вносят четвертая и в меньшей степени восьмая «гармоники» разложения поверхности ротора в ряд по полиномам Лежандра.
Влияние нелинейности неконтактного подвеса на движение несбалансированного шара изучалось Ю.Г. Мартыненко, В.А.Медведевым [139]. В работе обнаружено явление ухода вектора кинетического момента ротора гироскопа, вызванного нелинейностью подвеса. Числовые оценки показывают, что уходы ЭСГ из-за нелинейности подвеса имеют порядок 10-2 -10 3 град./ч., в случае, когда нелинейная часть силы составляет 0.5% от ее линейной части.
В работах Б.Е.Ландау, С.Л.Левина, Емельянцева Г.И. и др. [115,116, 117] рассматривается алгоритм решения задачи коррекции углового положе ния и калибровки коэффициентов модели ухода ЭСГ в составе БИНС с использованием информации астровизирующего устройства в условиях орбитального космического аппарата. Предложены алгоритмы совместной обработки данных ЭСГ и астровизирующего устройства с использованием обобщенного фильтра Калмана 23-го порядка с обратной связью по вектору состояния системы. Особенностью рассматриваемого решения задачи коррекции положения является учет нелинейности ряда коэффициентов модели, а также учет погрешностей привязки измерительных осей навигационной системы.
В [117] отмечается, что результаты начальных этапов летных испытаний КА «Ресурс-ДК» с БИНС на ЭСГ позволили выявить источники основных погрешностей. Нестабильность привязки установочных баз БИНС-ЭСГ и астровизирующего устройства не позволяет с необходимой точностью провести калибровку дрейфов ЭСГ. В связи с этим на вновь разрабатываемых КА предусмотрена установка БИНС-ЭСГ и звездных датчиков на единое стабильное основание. Для повышения точности системы предложена методика автоматической полетной калибровки БИНС-ЭСГ в составе КА [8].
Тенденции развития датчиков внешней информации и комплексирова-ния навигационных систем по первичным данным.
В работах [5,20,132] дан обзор развития методов ориентации по звездному полю. Отмечается, что оптико-электронные приборы ориентации по звездам, Солнцу и планетам способны решать задачу ориентации при произвольном первоначальном положении МКА с погрешностью угловых измерений 8...13".
В настоящее время все большее применение находят широкопольные звездные приборы на базе матричных фотоприемников - приборов с зарядовой связью (ПЗС) и электронных схем высокой степени интеграции [210]. Наряду с минимизацией объемно- массовых характеристик и энергопотребления, применение ПЗС позволило увеличить угловое поле зрения и, как следствие, обеспечить возможность одновременного визирования нескольких (8-16) навигационных звезд. Основные характеристики звездного датчика (такие как чувствительность, точность измерения координат) являются комплексными и определяются совокупностью параметров, в том числе, количеством визируемых звезд и их расположением в поле зрения прибора.
В интегрированной навигационной системе для микроспутников разра-ботки лаборатории «Дрейпер»" (США) применена технология «прогонка назад» для обработки изображений и обнаружения слабых и нечетких звезд при угловой скорости КА 20 об./мин.
В ИКИ РАН накоплен большой опыт разработки и эксплуатации ас-троприборов. Датчики звездной ориентации, разработанные в ИКИ РАН, функционируют на КА «Ямал-100» с 1999 г., на Международной космической станции с 2000 г., на КА «Ямал-200» с 2003г, на «Ресурс-ДК» с 2006г. В [7] отмечается, при создании звездных и солнечных приборов важнейшими являются повышение помехозащищенности, т.е. способности приборов нормально функционировать при наличии неблагоприятных факторов внешней среды.
Задача обработки информации в астроприборах на первых этапах развития космонавтики решалась только с помощью аппаратных средств. Постепенно при ее решении начали использоваться вычислительные устройства. На современном уровне космической техники она решается при помощи спецпроцессоров. Поэтому от математического обеспечения прибора зависит точность, помехоустойчивость и надежность решения задачи. В связи с непрерывно растущими требованиями к параметрам астроприборов совершенствуются методы и алгоритмы математического обеспечения. Для анализа работы математического обеспечения проводится его верификация в условиях, максимально приближенных к условиям реальной эксплуатации прибора. Для создания таких условий разрабатываются специальные испытательные стенды [211,222].
Режим вынужденных колебаний на подвижном основании
Изучим динамику свободных колебаний системы (2.6) на подвижном основании при отсутствии демпфирования (у = 0): дН . дН . It = Т Pi = є ( 1 = 1 2) (2.10) Используя скобки Пуассона (2.11) { #} = дЕ дН дЕ дН j dqt dpt dp І dqt можно показать, что функция E = q2+p2+q2+p2 (2.12) является еще одним независимым первым интегралом консервативной системы (2.10). По теореме Лиувилля об интегрируемости [133], гамильтонова система четвертого порядка, имеющая два первых интеграла в инволюции, т.е. {Е,Н } - 0, сводится к квадратурам.
Для определения погрешности гироскопа из-за нелинейных слагаемых в модели движения, вычислим производные по времени т скалярных функций X,Y,Z (2.8) в силу уравнений системы (2.10): ( Ъ \ ( \ X = --sjYZ, Y = s -v + -jXJZ, Z = s v--jX Можно проверить, что функции X2+Y2+Z2 =Е2, 16v X + 4XZ+2YA + ZA =С, J Y (2.13) (2.14) (2.15) являются независимыми первыми интегралами системы (2.13), здесь С - постоянная. Таким образом, решение задачи (2.13) о нелинейных колебаниях гироскопа сводится к квадратурам. Как отмечалось ранее, значение малого параметра є определяется начальными условиями и может быть выбрано так, чтобы Е = 1.
Фазовые траектории системы (2.13) в трехмерном пространстве X,Y,Z являются пересечением интегральных поверхностей: сферы (2.14) и эллипсоида (2.15) (рис. 10). Действительно, уравнение (2.15) можно представить следующим образом:
Фазовые траектории системы (2.13) на подвижном основании, образованные пересечением сферы с эллипсоидом (2.16) построены на рис. 11. Учитывая симметрию задачи, фазовые траектории построены на половине сферы (Z 0). На подвижном основании эллипсоид (2.16) увеличивается в размерах и смещается вдоль координаты X прямо пропорционально угловой скорости основания (рис. 11). При увеличении угловой скорости основания фазовые траектории системы становятся близкими к окружностям, охватывающим ось X.
Отметим, что задача построения решения системы вида (2.13) возникает при анализе прецессионных уравнений движения проводящего твердого тела в электрических и магнитных полях под действием момента, обусловленного наличием второй гармоники в форме осесимметричного тела, а также неравножесткостью неконтактного подвеса тела [144].
Уравнения (2.13) в случае неподвижного основания (v = 0) имеют вид: = -±e/7Z, Y = zjXZ, Z = zjXY. (2.17) В этом случае первые интегралы (2.14), (2.15) представим следующим образом X2 + Y2 + Z2 = 1, 4Х2 + 2Y2 + Z2 = С. 69 Z Рис. 10. Фазовые траектории системы (2.13) на неподвижном основании Рис. 11. Фазовые траектории системы (2.13) на подвижном основании Выражая из этих интегралов Z и X через Y : Z2 =U-2Y2-C + 4), X2 = U-Y2 + C-\), (2.18) и подставляя полученные соотношения во второе уравнение (2.17), приходим к дифференциальному уравнению с разделяющимися переменными Y = ±\zjyl-2Y2 - С + 4л/-Г2 + С -1. (2.19) Из соотношений (2.18),(2.19) вытекает, что 1 С 4. Рассмотрим случай, когда 1 С 2. Случай 2 С 4 исследуется аналогично. Полагая Y = uJ(C [), к2 = z , (0 к2 1) (2.20) запишем уравнение (2.19) в виде й = гіуІ(і-и2)(і-к2и2), n = ejy/4-C. (2.21) Из уравнения (2.21) определим время т как функцию переменной и при помощи эллиптического интеграла и du п(т-Х) - I 1 (\-и2)(\-к2и2) Здесь X произвольная постоянная. Обращение этого эллиптического интеграла приводит к выражению u-snx , т =п(т-\), с помощью которого из (2.20), (2.18) найдем X = s3j(C-1)/4 спт , Y = s2 C-l snx , (2.22) Z = 51Л/(4-С)/2 Й?«Т , здесь sm ,cm ,dm - эллиптические функции Якоби, каждая из трех величин sl,s2,s3 в зависимости от начальных условий равна +1 или -1. Таким образом, полученное решение зависит от двух произвольных постоянных С и X.
Анализ решения (2.22) и фазового портрета системы (2.13) на неподвижном основании (рис. 10) показывает, что сепаратрисы Z-±\flX (С = 2 ) отделяют траектории системы, охватывающие ось Z, для которых имеет место неравенство С 2 от траекторий, охватывающих ось X (С 2).
В случае неподвижного основания угол 9, введенный ранее в (1.16), (2.9) для определения интеграла угловой скорости основания 1 (УЛ e = -arc -J, (2.23) будет соответствовать систематической погрешности гироскопа, неограниченно нарастающей со временем, если фазовая точка движется по траекториям, охватывающим ось X, и изменяющейся в ограниченных пределах, зависящих от начальных условий, при движении по замкнутым фазовым траекториям, охватывающим ось Z (рис. 14).
Угловая скорость прецессии 0 в силу уравнений (2.17), (2.23) имеет вид: 16 (Y2+Z2) С учетом (1.16) угловая скорость прецессии (2.24) характеризует уход гироскопа из-за нелинейных слагаемых в модели движения чувствительных элементов. В исходном масштабе времени имеем уход гироскопа Q : d і (2Y2 + 3Z2) dt 16К (Y2 + Z2) На сфере (рис. 10) имеются две особые точки X = Y - 0, Z = ±1 типа центр, при этом, если начальные условия соответствуют одной из этих точек, то в соответствии с (2.25), уход гироскопа будет равен нулю. В остальных случаях происходит медленное изменение переменных X,Y,Z, и в зависи 72 мости от начальных условий появится уход гироскопа, пропорциональный функции X, характеризующей эллиптичность колебаний. На сфере (рис. 10) также имеются две особые точки X = 0,Y = ±1, Z = 0 типа седла. Если в начальный момент времени возбуждены колебания чувствительного элемента в окрестности одной из этих особых точек, то уход гироскопа в режиме свободных колебаний на неподвижном основании будет максимальным.
Числовой пример. Рассмотрим ММГ с числовыми параметрами (1.23). Пусть є =8.46 10 6, что соответствует амплитуде колебаний чувствительного элемента 10 . Нарис. 12 представлены зависимости функций X,Y,Z от размерного времени t = т / со в случае неподвижного основания при начальных условиях Х(0) = -10"2,Г(0) = л/і-X(0)2,Z = 0. При этом траектория (2.22) будет близка к сепаратрисам Z = ±4lX. На рис. 12 б) построены две траектории системы (2.17) в пространстве состояний X,Y,Z с начальными условиями Х(0) = ±10_2,7(0) = л/1 -X(0)2,Z = 0, близкими к сепаратрисам Z = ±4lX.
Динамика свободных колебаний системы без учета демпфирования
Анализ построенных зависимостей показывает, что угловая скорость основания приводит к изменению амплитуд и фаз стационарных колебаний и увеличению числа устойчивых стационарных режимов колебаний чувствительного элемента ММГ. Влияние демпфирования на пространственные стационарные колебания
Для определения стационарных колебаний чувствительного элемента на подвижном основании приравняем нулю правую часть системы (2.46) и разрешим ее относительно функций sincp, coscp,sin2((p -1/), cos2((p - \/) Y(A2+B2) 2\X(B2-A2) smcp = -, coscp A A sin2((p - ці) = -"— » v„ (258) 4{yB + Av cos((p - \/)) 7BJ 4(2Д + Avs m((p - if/)) cos2(ro-\iy) = 2 A2Bj Из первых двух выражений в (2.58) получим первое алгебраическое уравнение для определения искомых амплитудно-частотных характеристик Л(ц),Я((і): (А2 + В2)2 у2 +4(В2 - A2)2 v2 = А2 . (2.59)
Для составления второго уравнения, связывающего искомые амплитуды колебаний А, В, выпишем правые части уравнений (2.46) с учетом выражений для sincp, coscp в (2.58): - - jAB2 sin 25 + 4vB cos 5 = 0, A r,2 .„і „ 8СШ2 4v5sin5 Л 2jB2 - JB2 cos25 -- = 0, (2.60) І А2 В sin 25 - 4 vA cos 5 - 4yB = 0, -2jA2B + jА2В cos 25 + 4v sin5 + 8ДВ = 0, где 5 — ф — \j/. Из последних двух уравнений (2.60) выразим функцию (З/Л4 + 16у2 )В2 + 32(jA2 -2\х)\хВ2 + \6v2A2 sin 5 = $A3Bjv и учитывая тождество cos 25 = 1-2 sin2 5, получим искомое второе уравнение для амплитуд А, В: \6A2v2(j2A4 - 16j A2 + 16у2 + 64Д2 ) 2 (2-61) - В2 ( 3j2A4 - 32y fL42 +16у2 + 64Д2 ) = 0 На рис. 29 представлены амплитудно-частотные характеристики А(\х),В(\х), построенные по результатам численного решения системы уравнений (2.59),(2.61) при значениях параметров у = 0.32, j - 1, v = 1. Темным фоном выделены асимптотически устойчивые стационарные колебания.
Анализ стационарных режимов колебаний показывает, что демпфирование приводит к уменьшению числа стационарных колебаний и снижению амплитуд колебаний, что отвечает физическим представлениям.
С увеличением угловой скорости основания амплитудно-частотные характеристики стационарных колебаний системы имеют вид, представленный на рис. 30. Учитывая, что рассматриваемая нелинейность системы геометрической природы, амплитудно-частотные характеристики стационарных колебаний характерны для нелинейных систем с жесткой характеристикой.
Амплитудно-частотные характеристики А(\Х),В{\І), построенные по формулам (2.57) при значениях параметров у = 0.32, j = 1, v = 10. Полученные стационарные колебательные режимы имеют существенное значение для объяснения явлений срыва колебаний и скачков амплитуд, наблюдаемых при экспериментальных исследованиях ММГ. Результаты численного анализа стационарных колебаний чувствительного элемента ММГ, показывают, что избежать явлений срыва колебаний и скачков амплитуд можно путем настройки частоты гармонического входного воздействия.
Как показано в [88], задача управления колебаниями гироскопов класса обобщенного маятника Фуко решается в рамках уравнений, общих для всего класса. Основная цель управления задается как достижение предельного равенства: 1шЕ=Е , limX=0, (2.62) где Е - заданное число, характеризующее значение амплитуды колебаний. В этом случае, в конфигурационном пространстве х, у имеется прямолинейный отрезок, симметричный относительно начала координат, прецессирую-щий с угловой скоростью, пропорциональной угловой скорости основания гироскопа.
Представляет практический интерес возможность возбуждения колебаний чувствительного элемента ММГ с учетом ограничений на управляющие воздействия.
На силовые электроды управления, расположенные на промежуточной рамке, подадим переменное во времени напряжение AU = Аит(щ sm( 0t + u2 cosa)0t) максимальной амплитуды AUm и сигналами управления uvu2, ограниченными неравенствами щ 1/У2 (/ = 1,2). (2.63) Как и ранее, в (2.40), будем предполагать, что амплитуда момента управления М0 = 4s0U0AUm, мала по отношению к жесткости упругого подвеса: 3/2 _М0 / Jx+Ix о — у х У z С учетом замены переменных (1.9), (2.1), уравнения движения примут вид: х + х- s( -yx + vy- jxy2 +2jyxy+nlsinixT + ii2cosixT), y + y = z(-yy-vx-jyxz). Отметим, что в режиме вынужденных колебаний, рассмотренном в 2.3, сигналы программного управления щ,и2 являются постоянными.
Поставим задачу выбора управляющих воздействий щ,и2 в виде обратных связей по измерению медленных переменных qi,P\,q2 P2 обеспечивающих достижение заданной цели управления (2.62) при выполнении ограничений (2.63).
Определение собственных форм колебаний цилиндрического резонатора на неподвижном основании
В четвертой главе исследованы свободные изгибные колебания резонатора ВТГ в виде произвольной оболочки вращения переменной толщины. Случай переменных по окружной координате параметров резонатора (плотности и толщины), представляет важный практический интерес, поскольку эти параметры можно изменять в процессе балансировки резонатора для достижения требуемой точности гироскопа.
В 4.1 с использованием технической теории тонких упругих оболочек и формализма Лагранжа получены уравнения низкочастотных изгибных колебаний резонатора ВТГ переменной толщины. В 4.2 определены собственные формы колебаний цилиндрического резонатора для трех видов закрепления резонатора: 1) оба края жестко заделаны; 2) один край жестко заделан, второй свободен; 3) один край заделан, а на втором имеется шарнирное опи-рание. В 4.3 изучена динамика упругой системы в виде тонкого упругого резонатора, полюс которого закреплен на упругой ножке. Получено уравнение, позволяющее определить собственную частоту колебаний системы при заданном числе мод для различных краевых условий для стержня и при различных положениях резонатора на стержне.
В 4.4 изучено влияние геометрической неоднородности резонатора на динамику и точность гироскопа в одномодовом и многомодовом приближении. Получены выражения для вычисления масштабного коэффициента, собственной частоты по заданной форме колебаний резонатора, уходов гироскопа при изменении толщины резонатора по окружной и продольной координате. В 4.5 изучено влияние вибраций основания на волновую картину резонатора в виде оболочки вращения переменной толщины.
Рассмотрим резонатор ВТГ в виде оболочки вращения (рис. 46), срединная поверхность которой образована поворотом кривой Г вокруг оси z. Будем предполагать, что резонатор ограничен двумя параллелями или имеет форму купола. Условия на краях резонатора линейные и однородные. В этих предположениях задача исследования свободных колебаний допускает применение метода разделения переменных и сводится к системе обыкновенных дифференциальных уравнений.
С основанием прибора свяжем ортогональную систему координат Oxyz, ось z направим по оси симметрии резонатора. Для описания деформаций резонатора введем ортогональный трехгранник п, связанный с меридианами и параллелями его срединной поверхности.
В качестве криволинейных координат примем угол а (0 oq а а2 ), образованный внешней нормалью к срединной поверх 141 ности и осью симметрии и угол в окружном направлении Р (0 (3 2л). В этом случае коэффициенты Ламе поверхности примут вид: A = Rb B = R2sina, (4.1) где R\,R2 - радиус кривизны меридиана и нормального сечения, проведенного к кривой Г. Введем необходимый в дальнейшем вектор г, перпендикулярный к оси симметрии оболочки, г = В.
При выводе уравнений движения резонатора воспользуемся формализ т мом Лагранжа. Пусть и = ( и, v, w ) - вектор упругого смещения точки срединной поверхности резонатора в осях ,г . Пусть оболочка как целое вращается вокруг оси симметрии с переменной во времени угловой скоростью
Кинетическая энергия резонатора имеет вид: T = jphV2da, (4.2) а здесь р - плотность материала резонатора, h - толщина резонатора, do = ABdadfi, V - вектор абсолютной скорости произвольной точки резонатора: У = й + Пх(г + и), (4.3) где точкой обозначено дифференцирование по времени t, в проекциях на оси г\С,, имеем т т П =(-Qsina, 0, Qcosa) , г = (i? cos а, О, В sin а) , ґ и-Qvcosa V = v -Q[(r + w) sin а + и cos а] . (4.4) v w - Qv sin a j Вектор перемещения u, вызванный упругими деформациями, будем искать в виде: 142 u = 2/,(/)uf(a)p) + ft(0uf)(a,P)], (4.5) k=2 где к- номер формы колебаний; fk(t),gk(t)- искомые функции времени, а uk U = 1э2) — собственные формы свободных колебаний оболочки, При определении векторов перемещений ukj\ (у = 1,2) в (4.5), воспользуемся формулами [207] u =(Uk(a)cos р, Vk(a)sinк$, -Wk(a)cosр f , (2) _ (4.6) и (-Uk(a)sinkfi, FA(a)cos&P, (a)sin&P) Подставляя (4.6)-(4.4) в (4.2) и выполняя интегрирование по окружной координате Р, найдем выражение для кинетической энергии: T = t[ (A2+d) + 2 kQ(gkfk-fkgk) + C 2kQ2(fk2+g2k) 1 к=2 (4.7) где \ік - приведенная масса резонатора, соответствующая к-ой гармонике: «і \ік=п jph (U2k + Vl + W} )BRldat сс0 к = 2п \ oh Vk ( Wk sin a - Uk cos a ) BRxda, (4.8) a0 % =% \ph Vk2 + (t/A cos a-Wk sin a )2 BRxda, a0 Потенциальная энергия деформации резонатора имеет вид [212]: if; Eh 2 J l - v ao 0 Р=9 I J{1 2[(eU+e22)2-2(l-v)(ene22-e22)} + + D[(KU +K22)2 -2(1-V)(KUK22 -K BR da, (4.9) 143 Eh: где D - цилиндрическая жесткость, Е - модуль Юнга, v - коэф 12(1-v2) фициент Пуассона, еп,22 еі2 кіьк22 кі2 компоненты изгибных деформаций срединной поверхности резонатора, которые имеют вид [212]:
Похожие диссертации на Динамика гироскопических чувствительных элементов систем ориентации и навигации малых космических аппаратов
