Содержание к диссертации
Введение
1. Аналитический обзор литературы и постановка задачи исследования 7
1.1. Обзор литературы по методам автоматизированного формирования систем дифференциальных уравнений динамики механизмов 7
1.2. Обзор литературы по численным методам решения систем обыкновенных дифференциальных уравнений динамики механизмов 26
1.3. Выводы по обзору и постановка задачи исследования . 41
2. Алгоритм формирования неявных СДАУ движения механизмов 44
2.1. Вывод основного уравнения 44
2.2. Кодирование механизмов со структурой дерева .51
2.3. Уравнения движения систем со структурой дерева 55
2.4. Вычисление матрицы инерции 60
2.5. Автоматическое формирование уравнений дополнительных связей 62
3. Численные методы решения неявно заданных СДАУ второго порядка 73
3.1. Вывод формул обобщенных ЛММ 73
3.2. Абсолютная устойчивость обобщенных ЛММ 80
3.3. Устойчивость обобщенных ЛММ при решении СДАУ 85
3.4. Обобщенные ЛММ специального вида 87
3.5. Реализация обобщенных ЛММ при решении СДАУ 95
3.6. Учет неидеальных связей 100
4. Проверка эффективности алгоритмов и численные примеры моделирования 104
4.1. Краткое описание пакета программ автоматического моделирования динамики механизмов 104
4.2. Численные примеры моделирования 109
4.2.1. Поворот рычага манипулятором 110
4.2.2. Крупногабаритный манипулятор 118
4.2.3. Двурукий манипулятор 125
4.2.4. Платформа Стюарта 133
4.2.5. Моделирование сборочной операции 138
4.3. Выводы 143
Заключение 144
Литература 147
Приложение. Сведения о внедрении 166
- Обзор литературы по численным методам решения систем обыкновенных дифференциальных уравнений динамики механизмов
- Уравнения движения систем со структурой дерева
- Реализация обобщенных ЛММ при решении СДАУ
- Краткое описание пакета программ автоматического моделирования динамики механизмов
Введение к работе
Актуальность темы
Основным направлением развития современной техники является автоматизация всех видов производства с целью облегчить труд людей, повысить производительность труда и качество изделий. В материалах XXVI съезда КПСС и в "Основных направлениях экономического и социального развития СССР на I98I-I985 годы и на период до 1990 года" особо отмечена важность создания и увеличения производства высокоэффективных машин автоматического действия, автоматических манипуляторов и промышленных роботов, позволяющих исключить применение малоквалифицированного труда, особенно в тяжелых и вредных для человека условиях.
Современные автоматические машины отличаются сложной кинематикой, высоким быстродействием,наличием сложных систем приводов и управления. Роботы-манипуляторы и другие машины, выполняющие операции при взаимодействии с внешной средой, имеют переменную структуру - изменяющееся во время движения число степеней свободы.
Повышение энергетических, силовых и скоростных характеристик машин автоматического действия, высокие требования к их надежности и точности обуславливают необходимость развития методов динамического исследования и расчета машин с применением ЭЦВМ. В первую очередь должны быть развиты работы по динамическому анализу на ЭЦВМ машин-автоматов, роботов, манипуляторов, входящих в состав гибких переналаживаемых производств, а также исполнительных механизмов шагающих, подъемных и землеройных машин. Однако широкому использованию ЭЦВМ при анализе динамики пространственных механизмов в совокупности с приводами и систе-
мой управления препятствует необходимость предварительного формирования математической модели в виде сложной системы дифференциальных и алгебраических уравнений. Поэтому особо актуальной является задача создания методов, алгоритмов и программ, позволяющих произвести прямое моделирование динамики пространственных механизмов на ЭЦВМ без предварительного "ручного" формирования соответствующей системы уравнений. Имеющиеся в настоящее время методы и программы для автоматического моделирования динамики механизмов не обладают достаточной универсальностью и быстродействием, область их применения ограничивается сравнительно простыми плоскими механизмами или неразветвленными незамкнутыми кинематическими цепями.
Работы этого направления координированы Координационным планом АН СССР на I98I-I985 годы, направление I.II.4. "Механика и управление движением роботов, манипуляторов и шагающих машин". Среди важнейших задач, выполняемых по теме I.II.4.9. "Проблемы моделирования и создания систем автоматизированного проектирования роботов и робототехнических систем" названа "Разработка методов математического моделирования роботов и среды для получения оптимальных конструкций и систем управления".
Научная новизна диссертационной работы
Автором показано, что метод формирования математической модели динамики механизмов в виде системы дифференциальных уравнений и метод решения полученных дифференциальных уравнений должны быть взаимосвязанными. Исходя из этого, предложен новый подход к исследованию динамики механизмов, заключающийся в автоматическом формировании и решении уравнений движения в виде системы дифференциальных и алгебраических уравнений (СДАУ), не разрешенной относительно производных, и в объединении процесса формирования и решения систем уравнений динамики.
Предложен простой метод формального описания и кодирования структуры пространственных механизмов с низшими кинематическими парами и парами, сводящимися к низшим.
Предложена форма записи уравнений динамики механизмов, учитывающая неидеальные, неголономные, односторонние и импульсивные связи.
Предложен алгоритм рекурсивного расчета левых частей неявно заданных систем дифференциально-алгебраических уравнений динамики механизмов, дающий существенную экономию вычислительных затрат при решении прямых и обратных задач динамики.
Предложен класс обобщенных линейных многошаговых численных методов решения неявно заданных СДАУ второго и первого порядка. Получены критерии устойчивости численных методов для решения СДАУ с геометрическими и кинематическими дополнительными связями.
_ 7 -
Обзор литературы по численным методам решения систем обыкновенных дифференциальных уравнений динамики механизмов
Моделирование динамики механизмов в широком смысле включает решение нескольких различных задач. Из-за неустановившейся терминологии в определении прямой и обратной задач динамики ( ср.например [23І и [9 J ) определим их в соответствии с [23] (и более ранним определением Аппеля): 1. Прямая задача динамики механизмов: определение движения механизма по заданным силам. 2. Обратная задача динамики механизмов: определение сил по заданному движению. Обе задачи требуют составления систем дифференциальных уравнений (СДУ) движения, прямая задача при этом требует их решения (интегрирования). При моделировании управляемых механизмов, например, роботов, возникает необходимость одновременного решения прямой и обратной задачи _I54J. Обратную задачу при этом решает моделируемая вместе с механической частью система управления робота. При использовании вычислительной техники для решения обеих задач требуется алгоритм вычисления численных значений величин, фигурующих в СДУ - сил, скоростей, ускорений и др. Обычный путь для этого - вывод аналитических выражений дифференциальных уравнений с последующим программированием для вычислений на ЭЦВМ.
Однако вывод СДУ движения для пространственных механизмов с числом звеньев больше трех является весьма сложной и трудоемкой задачей, требующей большого объема скрупулезных выкладок. Трудоемкость этой работы резко возрастает с ростом числа звеньев и числа степеней свободы я механизма. При п 4 составление аналитических выражений СДУ практически возможно только в исключительных случаях. "Ручной" вывод СДУ является также источником трудно обнаруживаемых ошибок. Трудоемко и программирование полученных выражений, где также почти неизбежны ошибки. Как вывод, так и программирование СДУ требует высокой квалификации в области теоретической механики, теории машин и механизмов, программирования и численных методов. Само решение СДУ на ЭВМ обычно занимает несколько минут и обходится значительно дешевле, чем их вывод и программирование.
Все это является препятствием широкому внедрению моделирования в практику конструирования и исследования механизмов. Поэтому в последние годы ведутся исследования с целью поручить ЭВМ также этап формирования СДУ по заданной структуре и параметрам механизма. Здесь наметились два направления. Первое - получение аналитических выражений СДУ на ЭЦВМ с последующем "ручным" или автоматическим программированием. Такой путь является автоматизацией исторически сложившегося способа динамического анализа [_25,14б_[ . Второе направление - разработка алгоритмов вычисления численных значений требуемых величин сразу, минуя этап аналитических записей СДУ. В этом случае СДУ существует только в виде алгоритма вычислений , и ЭВМ оперирует только числами, а не аналитическими алфавитно-цифровыми выражениями l7j . По обоим направлениям разработаны алгоритмы с различной степенью универсальности и автоматизации, которые будем называть методами автоматизированного формирования СДУ динамики механизмов. Методы автоматизированного формирования СДУ динамики механизмов, предлагаемые различными авторами, отличаются по классам рассматриваемых механизмов, по использованным в их основе принципам и уравнениям аналитической механики, по способам выбора параметров, определяющих положение механизма, по степени автоматизации. Методы довольно четко соответствуют следующим классам механизмов: а) механизмы с одной степенью свободы [89] б) плоские неразветвленные незамкнутые кинематические цепи [70, 92] ; в) плоские механизмы с кинематическими контурами, содержа щими неподвижное основание [87J; г) произвольные плоские механизмы с низшими кинематическими парами [53J ; д) пространственные кинематические цепи с низшими кинемати ческими парами (рука робота) [_I6,2I,4b,6lJ ; е) пространственные механизмы со структурой дерева [18 ; ж) пространственные механизмы с низшими парами и кинемати ческими контурами, содержащими основание [%] ; з) пространственные механизмы с произвольной кинематической схемой с кинематическими парами, сводящимися к низшим [62« Большинство рассматриваемых методов не учитывает упругость звеньев и зазоры в кинематических парах. Наибольшее число работ посвящено динамике механизмов со схемой типа простой незамкнутой кинематической цепи. Такие схемы имеют роботы - манипуляторы, анализ динамики которых является очень важной задачей современной механики [37_] . Как показывают экспериментальные данные [3J , силы инерции существенно влияют на качество управления манипуляторами. Немаловажно и то, что описание динамики таких механизмов проще по сравнению с классами е), ж), з), к которым относятся многорукие роботы, исполнительные механизмы трикотажных, полиграфических и др. машин - автоматов, подвески автомашин и самолетов, подъемно - транспортные машины, биомеханические и антропоморфные системы. В основе алгоритмов формирования СДУ положены уравнения Ла-гранжа II рода [47] , общее уравнение динамики [19, 61] » Уравнения Нютона-Эйлера [I38J ,принцип наименьшего принуждения Гаусса [іб[ , уравнения Аппеля I5oJ , теоремы кинетостатики 20, 50J Для описания положения механизма используются обобщенные коор динаты, координаты центров масс и углы Эйлера звеньев, параметры Эйлера (дуальные кватернионы), однородные координаты (4x4 матрицы) и др. Программы ЭВМ, реализирующие различные алгоритмы могут требовать различного объема "ручной" работы,например, составления пользователем программы для вычисления кинетической энергии _100, 128,129,16IJ .Следуя установившейся традиции [20] , более подробно рассмотрим алгоритмы, группируя их по исходным уравнениям аналитической механики, весьма полно изложенных в трудах А.И.Лурье [бі] и Л. Парса [бв] .
Уравнения движения систем со структурой дерева
Проекция /14 на ось С -го соединения дает фактический момент в шарнире (/с проекция / на ось і -го соединения - сшц в паре скольжения ( . Трудоемкость рассчета пропорциональна п , и, по видимому, в случае обратной задачи динамики простой кинематической цепи алгоритм является оптимальным. Сильвер [І64І показал, что этот алгоритм совпадает с рекурсивным алгоритмом уравнений Лагранжа, Лу и Лин ( C.S.Lin ) для управления в реальном масштабе времени еще упростили этот алгоритм, отбрасывая некоторые члены [l5lj .
Первая задача динамики, однако ничем не упрощается но сравнению с другими алгоритмами. Валкер и Орин [К ] анализировали трудоемкость расчета обобщенных ускорений кинематической цепи, которая зависит от п , так как этого требует решение системы линейных алгебраических уравнений (I.12)
Если все соединения цепи - сферические шарниры, то (1.28) вместе с уравнениями связей образуют систему линейных алгебраических уравнений относительно 12а неизвестных- компонент 2г, СОс, /с » / Нетрудно видеть, что все уравнения связывают только соседние значения -/ -го, і -го и і +4 -го векторов - система алгебраических уравнений имеет ленточную структуру, что дает возможность ее решения с трудоемкостью, пропорциональной tv .Это использовано в работе Армстронга [_II3J . Метод не универсален, к тому же приходится интегрировать со для получения конечного поворота и ,следовательно, пересчета углов Эйлера, так как не использованы обобщенные координаты. В принципе возможно получение ленточных матриц и в случае, если связи записываются через обобщенные координаты (избыточные координаты см._54_), однако число операций, хоть и пропорционально гь , будет неприемлемо большим, так как система линейных алгебраических уравнений вида (1.25) имеет большую размерность. В случае замкнутых контуров алгоритм Армстронга неприменим.
А.Ф.Верещагин и.др. [l5,16,17,7з , Л.К.Лилов [l49,15qj , В.Шилен (VSchielen ) ІІбСлдля расчета обобщенных ускорений испол: зовали прямую минимизацию функции Гиббса { &} на основе принципа наименьшего принуждения. Использование избыточных координат приводит к минимизации квадратного функционала с линейными ограничениями. В случае кинематической цепи А.Ф.Верещагину удалось (с использованием методов динамического программирования Р.Беллмана) разработать алгоритм, требующий линейного числа операций от п,. Однако число избыточных координат очень велико, что уменьшает эффективность алгоритма. Линейную трудоемкость можно объяснить также тем, что условия стационарности функции Гиббса - уравнения Аппеля с реакциями (множителями Лагранжа - см.б8[) образуют в этом случае систему линейных алгебраических уравнений с ленточной матрицей и методы динамического программирования эквивалентны ее решению методом прогонки .
В работах [_I49,I50,I60j предложено минимизировать функцию Гиббса методами нелинейного программирования, что очень трудоемко Уравнения Аппеля в общем случае также приводят к системе вида (I.I2) или (1.25) [13,14,20,54,72І и по трудоемкости не имеют никаких преимуществ по сравнению с другими методами. Недостатком методов функции Гиббса и уравнений Аппеля является то, что приходится оперировать с величинами, не имеющими прикладного значения для пользователя - мера принуждения, ее производные.
Для моделирования динамики кинематических цепей М.Вукобрато-вич[so] , А.Г.Лесков, В.С.Медведев [50], В.С.Медведев и др. [бб] , Ю.А.Степаненко, А.В.Синеев [81,88] использовали теоремы о движении центра масс и кинетическом моменте в сочетании с блочными мат рицами. В [81,88] рассмотрены стержневые системы. Метод [бо]хорошо приспособлен для получения линеаризованных уравнений для исследования колебаний. Эти методы не обобщаются на механизмы общего вида.
В работах [146,147] предложены алгоритмы, дающие уравнения в символьном виде. Однако, их требуется потом программировать для численного решения и, таким образом символьноепредставление оказывается лишним. К тому-же методы не достаточно универсальны.
В ГІ44,1451 предложено представлять твердые тела четырьмя или более т.очечньми массами. Такой подход кажется нерациональным, так как увеличивается объем обрабатываемой информации и не используются результаты теоретической механики, касающиеся динамики твердых тел. Запись уравнений СЕЯЗЄЙ как связей между отдельными точками тел J67J не рациональна, так как относительные угловые смещения тогда получаются из сложных выражений.
Применение дуальных кватернионов и винтового исчисления [22,110 173] позволяет более компактно записать уравнения кинематики механизмов (одно уравнение для линейного перемещения и вращения), однако, число арифметических операций по сравнению с обычным векторным исчислением не уменьшается.
Некоторые авторы - Добрянский, Фрейденштейн [34,І0іТ , Казы-ханов [38], Виттенбург [I8J для автоматического топологического анализа механизмов используют методы теории графов.. Это-целесообразно в случае, когда выделение замкнутых контуров в кинематической схеме затруднительно.
При моделировании динамики манипуляторов как стержневых систем иногда необходим учет упругих колебаний звеньев [I09J . Д.Гриневский [ЗО] и Ф.Черноусько [104] учли только податливость в соединениях. В [104] рассмотрен также случай деформации безмассовых звеньев манипулятора с тяжелым грузом. Более точно деформации звеньев учитываются врезанием фиктивных сферических шарниров (Армстронг L.II3J , Келли[і42] ) и методом конечных элементоз (Вукобратович [169] ).
Реализация обобщенных ЛММ при решении СДАУ
Разработка алгоритмов и программ автоматизации модели рования динамики механизмов актуальна и важна, что подтверж дается большим и возрастающим количеством работ этого направ ления. Важность этой задачи была подчеркнута в материалах П-го Всесоюзного съезда по ТММ (Одесса 1982 г.), в програмных стать ях виднейших ученых-механиков И.И.Артоболевского [5 J , А.Ю.Иш линского [37J , А.Н.Боголюбова [12] . Повышение энергетичес ких, силовых и скоростных характеристик машин, высокие требова ния к их точности и надежности обусловливают дальнейшее разви тие в ближайшие годы методов динамического исследования и рас чета машин. Особо следует развить динамику механизмов перемен ной структуры (И.И.Артоболевский [_5J ,С.Н.Кожевников _I43J ). В первую очередь должны быть развиты работы по динамическому анализу различных схем механизмов роботов, манипуляторов, ша гающих и других машин и систем. 2. Несмотря на большое число работ, нет достаточно быстро действующих и универсальных программ для решения прямой за дачи динамики пространственных механизмов. Наилучшие успехи по быстродействию достигнуты в решении обратной задачи для не-разветвленной кинематической цепи рекурсивным алгоритмом, в то же время моделирование механизмов с разветвленной кине - 42 -матической схемой, с замкнутыми контурами, с переменной структурой с учетом динамики приводов и систем управления по описанным в литературе алгоритмам или невозможно, или громоздко. 3. Эффективность алгоритмов решения прямой задачи динамики можно оценивать только по конечному результату - полному затра ченному машинному времени, а не по времени (или числу операций) вычисления ускорений. Это обусловлено спецификой СДУ динамики механизмов - неявным видом уравнений, большой жесткостью СДУ, наличием алгебраических уравнений геометрических дополнительных связей. 4. Быстродействие алгоритма решения прямой задачи определяется не применением того или другого уравнения аналитической механики, а выбором параметров, описывающих состояние механизма, видом записи кинематических связей, рациональной организацией вычислений и особенно - взаимосоответствием методов формирования и решения СДУ. 5. Большая часть предлженных советскими и зарубежными авторами алгоритмов не воплощена в универсальных программах ЭЦВМ. Работоспособность и эффективность разработанных программ часто демонстрируется моделированием слишком простых (плоских или 2-3 звенных) механизмов. Нет универсальных программ для моделирования динамики механизмов с переменной структурой, взаимодействующих со сложными системами управления. На основе проведенного анализа ставится задача разработки: I) эффективных методов и алгоритмов автоматизированного моделирования динамики пространственных механизмов с переменной структурой; 2)прикладных программ ЭВМ для автоматического моделирования динамики механизмов. Методы и программы должны допускать: а) одновременное решение прямой и обратной задач динамики без предварительного составления СДУ; б) наличие в кинематической схеме механизма соединений различными кинематическими парами, разветвлений и замкнутых ки нематических контуров; в) изменение структуры механизма во время движения,обусловле нное наличием неудерживающих и импульсивных связей; г) учет динамики систем приводов и управления; д) возможность учета упругости звеньев и соединений и сухо го трения в соединениях.
Программы ЭВМ должны быть максимально эффективными и удобными в случае исследования динамики робототехнических систем и других быстродействующих управляемых механизмов. Они не должны требовать от пользователя высокой квалификации в области аналитической механики и вычислительной математики. Все численные величины должны иметь четкий, общепонятный физический смысл. Программы должны обеспечить вывод информации в удобном для пользователя виде.
Программы должны допускать их использование вместе с программами обработки результатов, планирования эксперимента и оптимизации в системах автоматического проектирования. Поставленная цель может быть достигнута разработкой рационального алгоритма формирования СДАУ неявного вида и разработкой численных методов решения неявно заданных СДАУ второго порядка.
Краткое описание пакета программ автоматического моделирования динамики механизмов
Аналогично с помощью линейных дополнительных связей можно образовать и другие замкнутые контуры в кинематических схемах. Матрица связей С для связи 1-го типа состоит из строки длиной п. , все элементы которой равны нулью, кроме і -го, равного единице, и І -го, равного коэфициенту к и . Невязка уравнений дополнительной связи (2.45а) равна левой части (2.45а) в случае использования СДАУ (2.20в) и ф + Ал- 7/ или аІ + КІЇ О: при использовании дифференцированных связей в СДАУ (2.206) и (2.20г) соответственно. Вычисление И -добавление члена СХ к невязке СДУ схемы типа дерева Н соответствует добавлению Л к Qoi и КцХ Qoi . Таким образом, вычисление левых частей СДАУ (2.20) с учетом дополнительной связи можно полностью автоматизировать, задав номера связываемых соединений с и і и величину коэфициента Кс,-. В качестве типовых дополнительных уравнений 11-го вида введем уравнения в которых скалярный коэффициент pL; равен нулью или единице. Уравнения связей П-го вида - это система шести скалярных уравнений. Сначала рассмотрим случай Ду =0. В этом случае (2.46а) выражает неподвижность і -го звена в инерциальной с.к.Если в началї ный момент выполняется (2.46а), то связь в форме (2.466) также обеспечивает неподвижность с -го звена. Дополнительная связь II- типа с нулевым коэфициентом pcj позволяет моделировать динамику механизмов с замкнутьми контурами, содержащими неподвижную стойку (рис.2.4а). Для этого в одном из двух соединений механизма со стойкой вместо стойки добавляется дополнительное і -ое звено (звено 6 на рис.2.46), на которое налагается связь неподвижности (2.46а) или ("2.466) cpcj=0. Масса и размеры добавленного ЗЕена при этом не существенны. Этот способ разрывания контура, содержащего стойку, отличается от предложенного другими авторами (см.Й.Виттенбург18_) способа разрыва шарнира тем, что не возникает затруднений с учетом сил и моментов, действующих в соединении звена со стойкой. Кроме того, этим способом достигается единообразие вводимой информации. Замыкание кинематического контура не требует введения никаких специфических параметров описания схемы, кроме тех, которые требуется для механизмов со структурой дерева. Требуется только задать номер неподвижного звена. В случае, если добавленное звено из-за конструктивных особенностей механизма (например, плоского механизма) не имеет 6 степеней свободы, из системы уравнений связей необходимо удалить лишние уравнения. Это достигается заданием признаков, определяющих какие из шести уравнений (2.46а) или (2.466) действуют.
Связи ІІ-вида с коэффициентомД-у , равным единице, позволяют моделировать динамику механизмов с замкнутыми кинематическими контурами, не содержащими стойку см.рис.2.5а). В этом случае одно из звеньев контура (звено 9 на рис.2.5а) удаляется, а к двум опустевшим местам соединений добавляется по звену (звенья 9 и 10 на рис.2.56), совпадающему по размерам с удаленным звеном. Таким образом, одно из звеньев контура как будто удваивается и разделяется, размыкая контур. Общее число звеньев увеличивается на одно. Если і и і -номера двух добавленных звеньев, то выполнение дополнительных связей (2.46а) или (2.466) с рс{= I обеспечивает совпадение добавленных звеньев, если они совпали в начальный момент движения. При этом сумма масс и тензоров инерции должны совпадать соответственно с массой и тензором инерции удаленного звена. Можно просто задать ҐІ;= 0 и J; - 0. Способ размыкания контура разрывом звена (а не соединения) имеет те же преимущества как и способ учета контуров, содержащих основание. Дополнительно кодированию структуры дерева требуется задать только номера совпадающих звеньевой /
Уравнения связей II типа (2.46а) или (2.466) фактически являются уравнениями относительно обобщенных координат а , скоростей а и ускорений а , так как п к , сОк , Сік , Єк ( К = 1,2,... п ) выражаются через а , а , а с помощью выражений (2.28)-(2.38). Таким образом, для вычисления невязок уравнений дополнительных связей - левых частей (2.46а) или (2.466) практически не требуются дополнительные вычисления, так как фигурирующие в (2.46) величины вычисляются при расчете невязок И .
