Содержание к диссертации
Введение
1. Проблема управления спуском капсулы на поверхность земли при помощи троса 9
1.1 Перспективы и проблемы применения тросовых систем в космосе 9
1.2 Международный проект YES2 15
1.3 Обзор существующих законов управления развертыванием 17
1.3.1 Динамические законы 18
1.3.2 Кинематический закон управления 21
1.4 Постановка задачи о спуске капсулы на тросе 21
2 Математическая модель развертывания ОТС 25
2.1 Модель с весомым тросом 25
2.2 Модель с невесомым тросом 27
2.3 Линеаризация уравнений движения 32
2.4 Проверка наблюдаемости и управляемости линейной системы 33
2.5 Учет растяжимости троса 35
3. Номинальная программа размотки троса 37
3.1 Закон развертывания для первого участка траектории 37
3.2 Программа развертывания для второго участка,траектории 46
3.2.1 Оптимальная программа 46
3.2.2 Вид траектории свободного относительного движения КА и субспутника 48
3.2.3 Решение оптимизационной задачи 52
3.2.4 Параметризация решения 55
3.3 Определение параметров входа спускаемой капсулы в атмосферу 59
3.4 Моделирование всего процесса размотки. Учет растяжимости троса 66
4. Система программного регулирования и контур обратной связи при действии возмущений 69
4.1 Использование «классического» подхода 69
4.2 Использование матричного метода 77
4.3 Влияние управления на параметры входа в атмосферу 84
4.4 Сравнение классического и матричного подходов 88
4.5 Учет влияния массы троса 88
Заключение 92
Литература 94
- Обзор существующих законов управления развертыванием
- Проверка наблюдаемости и управляемости линейной системы
- Вид траектории свободного относительного движения КА и субспутника
- Влияние управления на параметры входа в атмосферу
Введение к работе
Актуальность темы. Современное состояние космонавтики требует повышения эффективности созданной и разрабатываемой космической техники. Одним из возможных путей решения этой задачи является использование для космических маневров и транспортных операций орбитальных тросовых систем (ОТС). С помощью таких систем можно решать широкий спектр задач в космосе. Создание искусственной гравитации на борту космического аппарата состоящего из связки двух тел, создание малой электродинамической тяги при помощи взаимодействия длинного токопроводящего троса с магнитным полем Земли, получение с низколетящего привязного спутника-зонда снимков земной поверхности с заметно лучшим разрешением, чем с обыкновенного спутника и т.д. Первая космическая тросовая системы была описана более 100 лет назад, в 1895 году, К.Э. Циолковским в «Грезах о Земле и небе». Там была высказана идея о создании искусственной тяжести на космическом корабле, соединенном цепью с противовесом равной массы и приведенном во вращение вокруг общего центра масс.
Важным для практики представляется использование тросов для спуска грузов с орбиты на землю. Например, использование троса для доставки грузов с международной космической станции заметно расширило бы ее возможности в плане оперативного получения результатов научных экспериментов или доставки продуктов производства (сверхчистых материалов и т.д.). В настоящее время готовится к реализации проект YES2 (Young Engineer Satellite - 2). YES2 - это молодежный проект, объединяющий студентов, аспирантов и молодых ученых из разных стран Европы. Данная работа тесно соприкасается с проектом YES2 и имеет целью осуществить независимую проверку результатов исследований, проведенных зарубежными специалистами, и предложить альтернативные законы управления развертыванием тросовой системы.
Усилиями отечественных и зарубежных исследователей (В.В. Белецкий, Е.М. Левин, С.С. Rupp, F. Zimmermann и т.д.) создан новый раздел механики космического полета - механика орбитальных тросовых систем. Разработаны методы исследования развертывания ОТС и движения связки спутников соединенных тросом. Получены законы развертывания троса, позволяющие осуществить различные виды транспортных операций в космосе.
В диссертации под ОТС понимается связка базового космического аппарата (КА), находящегося на околоземной орбите, и соединенного с ним при помощи троса субспутника (спускаемой капсулы - СК).
Спуск малой СК на тросе с КА, находящегося на околоземной орбите, позволяет доставлять на Землю грузы с высокой экономической эффективностью. Для этого не требуется создание сложной капсулы с двигательной установкой. Использование троса позволяет осуществить спуск груза в заданную точку планеты, используя лишь управление натяжением троса.
Для широкого применения ОТС в космических транспортных операциях необходима разработка эффективных программ и законов управления при развертывании, в особенности законов управления относительно номинального движения в условиях возмущений, действующих на связку тел, соединенных тросом.
Одной из наиболее важных является проблема решения задач оптимизации транспортных операций. Построение оптимальных законов развертывания ОТС позволяют оценить границы их применения. Эффективность и точность решения таких задач в значительной мере определяется выбором математической модели движения и методов оптимизации.
В работе основным инструментом поиска оптимального управления является принцип максимума Понтрягина в сочетании с численными методами решения краевых задач. Их применение приводит к необходимости проведения сложных вычислительных процедур. Возникающие вычислительные трудности ограничивают возможность прямого применения получаемых в результате оптимизации результатов для решения задачи управления развертыванием ОТС. В связи с этим важным является параметризация задачи на основе частных оптимальных решений. Это позволяет упростить вычислительные процедуры и повысить эффективность методов решения.
Из всего многообразия возможных областей использования ОТС в диссертации рассматривается задача управления на этапе отделения и развертывания до отрезания троса и начала спуска с орбиты. Рассматривается ОТС с не проводящим электрический ток тросом и механизмом развертывания, позволяющим лишь уменьшать или увеличивать натяжение в тросе. Использование механизма смотки (уменьшения длины выпущенного участка троса) не предполагается. Измеряемыми параметрами движения ОТС являются длина размотанного троса, скорость его размотки и натяжение.
Процесс размотки разбит на три участка. Первый участок предполагает отвод субспутника от базового КА на некоторое расстояние и стабилизацию связки в окрестности линии местной вертикали. На данном этапе важным является безопасность базового аппарата, так как возможно запутывание троса вокруг деталей конструкции КА. На втором участке трос полностью разматывается и субспутник под действием кориолисовой силы отклоняется на максимальный угол от линии местной вертикали в направлении орбитального движения центра масс ОТС. Третий участок - участок маятникового движения в направлении местной вертикали в плоскости орбиты, что обеспечивает дополнительную скорость, которую можно интерпретировать как аналог тормозного импульса, выдаваемого тормозной двигательной установкой при обычном спуске с околоземной орбиты.
Цель работы. Диссертация посвящена решению задач оптимизации управления развертыванием троса и разработки законов управления движением относительно номинального движения в условиях действия внешних возмущений.
Для решения поставленных задач предложен подход, предусматривающий параметризацию законов управления и использованы различные методы теории автоматического управления.
Научная новизна. Научная новизна представленных в диссертации результатов заключается в следующем:
1. Получена оптимальная программа развертывания, обеспечивающая максимальное значение угла отклонения связки от вертикали и максимальный угол входа капсулы в атмосферу.
2. Разработаны и исследованы параметрические законы управления развертыванием ОТС с целью спуска малой капсулы на поверхность Земли, обеспечивающие необходимые условия ее входа в атмосферу.
3. Разработаны и исследованы законы управления относительно номинального движения при действии внешних возмущений и ошибок начальных условий.
Практическая значимость. Тема исследований выбрана с учетом высокой потребности в исследованиях данного характера, обусловленых, В частности, предстоящим осуществлением эксперимента YES2, проводимого Европейским космическим агентством совместно с ГНПРКЦ "ЦСКБ-Прогресс" (г. Самара).
Предложенные способы параметризации задачи позволяют осуществлять оценку альтернативных проектных решений.
Разработанное программное обеспечение позволяет осуществлять оценку различных законов управления и моделировать возникновение нештатных ситуаций в процессе размотки.
Результаты исследования были использованы для независимой оценки программы развертывания ОТС по проекту YES2.
Диссертация состоит из введения, четырех глав и заключения.
В первой главе дана оценка современного состояния проблем разработки математических моделей и методов оптимизации транспортных операции с помощью ОТС. Проанализированы перспективы применения в космосе тросов для осуществления спуска грузов на поверхность планет. Анализируются основные результаты исследований в области тросовых систем, полученные в работах отечественных и зарубежных авторов.
Дано описание концепции развертывания ОТС и разбиения процесса размотки троса на стадии.
Во второй главе описана используемая в работе математическая модель движения ОТС в процессе развертывания. Приведены линеаризованные относительно номинальной траектории уравнения движения, используемые для синтеза системы программного регулирования. Исследованы управляемость и наблюдаемость линейной системы. Приведена расширенная математическая модель, позволяющая моделировать растяжимость троса.
В третьей главе описан закон развертывания, используемый на первой стадии. Проведена параметризация известного из литературы закона с целью обеспечить выполнение ограничений, накладываемых на механизм размотки. Проведен анализ предлагаемого закона развертывания.
Дана математическая постановка задачи оптимального развертывания ОТС с точки зрения максимизации угла отклонения субспутника от линии местной вертикали в плоскости орбиты. Применен метод максимума Понтрягина для получения оптимального закона развертывания на второй стадии.
Представлены результаты численного моделирования процесса развертывания и траектория движения субспутника относительно базового КА.
Представлены результаты расчета параметров входа в атмосферу Земли для невозмущенного движения.
В четвертой главе рассмотрены вопросы управления параметрами состояния системы при действии внешних возмущений, оценены возможные ошибки в процессе развертывания. Исследования проведены методами «классической» и «современной» (матричной) теории управления. Приведены результаты численного моделирования процесса развертывания при возмущении начальных параметров движения.
Обзор существующих законов управления развертыванием
Существующие в настоящее время законы управления развертыванием и свертыванием ОТС подразделяются на кинематические и динамические. Первые задают зависимость длины выпущенного участка троса от времени
движения. Ко второй группе относятся законы, задающие функцию управляющего натяжения по времени.
Динамические законы имеют ряд преимуществ перед кинематическими. Они позволяют избежать ослабления троса в процессе развертывания и свертывания, а также позволяют контролировать натяжение троса в процессе размотки, чтобы предотвратить его обрыв.
Далее в главе используются следующие обозначения: (о - угловая скорость обращения центра масс ОТС по орбите; г - длина выпущенного троса; 9 - угол отклонения субспутника в плоскости орбиты; ср - угол отклонения субспутника от плоскости орбиты; Е - эксцентрическая аномалия; v - истинная аномалия центра масс ОТС; Близкое к равномерному движение. Использование управляющего натяжения позволяет обеспечить постоянное и не зависящее от ориентации связки уравновешивание вертикальной составляющей разности гравитационных и центробежных сил. В этом случае вертикальный дрейф субспутника будет происходить без постоянно направленного ускорения. Закон изменения натяжения для такого движения имеет вид /13/: Движение по такому закону будет носить колебательный характер близкий к равномерному движению. Равноускоренное и равномерное движение. Исходя из предположения равноускоренного движения, положив что r = c = const, формула для натяжения примет вид: Равноускоренный режим может использоваться для разгона малой спускаемой капсулы на начальных этапах развертывания и свертывания, а так же для гашения рывка при полном развертывании троса. Частным случаем равноускоренного движения является равномерное при с = О. Натяжение для него положительно при и О. В начальный момент времени развертывания, когда ф = О и в = О, условие и О выполняется при cos#cos p 1/л/З, т.е. при отклонении связки от вертикали на угол не более 55 градусов. Для осуществления равномерного движения требуется отличная от нуля начальная скорость, которая может быть достигнута, например, комбинацией равномерного и равноускоренного режимов. К недостаткам рассматриваемых режимов следует отнести значительные колебания в плоскости орбиты, особенно на начальном этапе развертывания и при завершении свертывания, что может привести к запутыванию троса в выступающих частях КА. Экспоненциальное движение. Этот закон был найден в /5/, как решение системы дифференциальных уравнений (2.4) для некоторого угла 9 = 9 = const. В этом случае решение имеет вид: Данный закон соответствует развертыванию или свертыванию связки в плоскости орбиты при постоянном угле отклонения от вертикали 0 = 0 . Направление развертывания - вниз и вперед по движению КА при ж/2 0 я или вверх и назад при Ък/2 0 2ж. В предельных случаях (0 = О,я) удерживается радиальная ориентация связки. Рассматриваемый режим имеет существенные недостатки, делающие его труднореализуемым: принципиальная неустойчивость экспоненциального свертывания, неравномерность движения, необходимость гашения большой относительной скорости тел на конечном этапе развертывания и приведения связки к местной вертикали и др.
Они были созданы разработчиками для осуществления эксперимента по развертыванию системы TSS с использованием МТКК «Space Shuttle». Выражение для закона Байнума имеет следующий вид
Проверка наблюдаемости и управляемости линейной системы
В работе для синтеза и исследования системы управления используются методы «классической» и «современной» - матричной теории управления, требующие использования линейных дифференциальных уравнений.
Для использования этих методов система уравнений (2.6) была линеаризована. Введены обозначения:
В этих выражениях нижний индекс "О" означает установившееся значение переменной, а знак А- отклонение переменной от установившегося значения. Нелинейные функции разложены в ряд Тейлора в окрестности установившегося движения. Допустим, что отклонения переменных от установившегося режима настолько малы, что остаточными членами, а так же членами, содержащими произведения отклонений и отклонения в степенях выше первой, можно пренебречь как бесконечно малыми высших порядков малости. В соответствии с этим, исключив из системы члены, описывающие установившееся движение получим систему уравнении в отклонениях
Согласно теории /12/ система будет наблюдаема, если ранг матрицы наблюдаемости равен порядку системы, следовательно в данном случае ранг матрицы наблюдаемости должен равняться четырем. Ранг матрицы R был вычислен при помощи пакета символьной математики MAPLE для различных точек траектории развертывания. На всей траектории RangR = 4, что означает наблюдаемость системы на всей траектории.
Для проверки управляемости необходимо ранг матрицы наблюдаемости сравнить с порядком исходной линейной системы. Матрица управляемости имеет вид/12/:
Ранг матрицы (2.11) был вычислен в пакете MAPLE. Для системы (2.8) существует такое значение длины троса г при котором система перестает быть управляемой: Это связано с тем, что во втором уравнении (2.8) величина г находится в знаменателе, и с ее возрастанием это уравнение перестает быть значимым, что и приводит к потере управляемости.
Таким образом, при использовании методов синтеза системы управления, требующих полной наблюдаемости и управляемости линейной системы, необходимо учитывать, что система может становиться неуправляемой при достижении тросом некоторой длины г .
Предполагается, что в ходе развертывания тросовой системы длина троса будет достаточно большой (несколько десятков километров), что неизбежно приведет к его растяжению. При этом, чем больше трос размотан, тем более он будет растянут. Чтобы учесть это, необходимо при интегрировании уравнений движения в каждый момент времени знать длину нерастянутого троса и фактическое расстояние между КА и субспутником. Для этого расширим систему (2.6): оследние два уравнения в (2.13) позволяют учесть растяжимость троса, так как длина нерастянутого троса становится известной. Вследствие малости отклонения параметров системы с нерастянутым тросом от параметров системы с растянутым тросом будем в последнем уравнении (2.13) использовать значения угла и угловой скорости, соответствующие нерастянутому состоянию троса. Система (2.13) позволяет моделировать растяжение троса на протяжении всего развертывания.
Приведенные модели движения позволяют на их основе синтезировать законы управления развертыванием ОТС. На основе модели с невесомым тросом формулирование и решение задачи об оптимальном управлении является предпочтительным, так как эта модель является наиболее простой.
Использование линеаризации позволяет применять линейную систему уравнений движения ОТС для синтеза системы программного регулирования методами, требующими линейности уравнений движения.
Поскольку линейная система обладает свойством потери наблюдаемости при достижении некоторой длины троса г = г\ применение методов матричной теории управления может быть обоснованным только на участке г г\
При моделировании для повышения точности расчетов при разработке системы управления необходимо учитывать растяжимость троса. Это связано с большой длиной выпускаемого участка троса, материал которого может растягиваться. Модифицированная модель движения (2.13) позволяет это учитывать.
Вид траектории свободного относительного движения КА и субспутника
Для проведения качественного анализа движения и определения начальных значений сопряженных множителей рассмотрено движение связки тел в цилиндрической системе координат. Для круговой орбиты, записав уравнения свободного относительного движения двух тел в цилиндрической орбитальной системе координат, получим /6/: где Ar, AL, Az, AVr, AVL, AVZ - параметры относительного движения (возмущенного движения субспутника А относительно невозмущенного движения базового КА В) в цилиндрической системе координат (рис. 3.8); Rs, RT, Rw - проекции возмущенного ускорения на местные радиус-вектор, трансверсаль и бинормаль; Л = M-j - средняя угловая скорость движения по околокруговой орбите; /л - гравитационный параметр Земли; R0 - большая полуось орбиты базового КА. / - малая полуось эллипса относительного движения; /. - амплитуда взаимных колебаний КА в бинормальном направлении; (Р- Фг Углы» характеризующие положение тела на эллипсе относительного движения. Система (3.12) для случая свободного пассивного движения допускает решение в квадратурах. С учетом введенных переменных (3.13) указанное пассивное движение будет описываться соотношениями: Анализ данной модели показывает, что траектория свободного относительного движения аппаратов в проекции на плоскость орбиты будет представлять собой эллипс, центр которого движется с постоянной скоростью, определяемой величиной Аг а соотношение полуосей эллипса постоянно и равно 2:1. Подставляя решения (3.14) в исходную систему (3.12) получим уравнения относительного движения в виде: Модель движения в форме (3.15) позволяет провести приближенный качественный анализ начального этапа развертывания тросовой системы. Рассмотрим возможную фазовую траекторию относительного движения, получающуюся при отделении с некоторой начальной длиной троса г . Движение субспутника вниз будет происходить под действием разности гравитационных сил действующих на базовый аппарат и субспутник. Для данного случая: AVr0=Q, AFLO=0, Ar 0=r .
Тогда из анализа первого и второго уравнения системы (3.15) для параметров относительного 3 _ движения системы получим: Arcp =rcp, ALcp =—Arcpt. Отсюда следует, что вековое движение по Аг отсутствует, а смещение по ALcp будет формировать петлеобразную траекторию (рис. 3.9). Из анализа третьего уравнения системы (3.14) следует, что величина эллипса относительного смещения определится Моделирование показывает, что для различных длин троса можно подобрать такую начальную длину, при которой в процессе свободного относительного движения и отсутствии возмущающих воздействий субспутник отклонится на максимальный угол от вертикали и при этом трос будет полностью размотан. Основываясь на выводах предыдущего параграфа можно заключить, что такая начальная длина может быть подобрана для времени развертывания равного времени однократного обращения субспутника по орбите. На рис. 3.10 представлена возможная траектория свободного развертывания, полученная по результатам моделирования. После остановки развертывания под действием гравитационных сил субспутник начнет колебательное движение в сторону местной вертикали, приобретая приращение вектора скорости AV, которое позволит осуществить сход с орбиты субспутника и вход СК в верхние слои атмосферы. Это обстоятельство можно использовать для вычисления начальных значений сопряженных множителей (3.10). Проинтегрировав для случая свободного движения совместно уравнения (2.8) и (3.8) от tK к t0 с нулевыми конечными значениями сопряженных множителей, получим начальные значения сопряженных множителей, которые можно использовать при решении краевой задачи. Затем, изменяя начальные условия развертывания тросовой системы на некоторую величину, можно каждый раз использовать начальные приближения сопряженных множителей из результатов предыдущего моделирования. На основании изложенного выше, для подбора начальных значений сопряженных множителей при решении краевой задачи, предлагается следующая методика. 1. Произвести нормировку сопряженной системы по одному из сопряженных множителей, тем самым снизив количество подбираемых параметров. 2. На основании известных свойств о свободном относительном движении двух тел по орбите для вырожденной задачи: Т = 0 подобрать значение г0 так, чтобы в течение одного витка расстояние между базовым КА и субспутником стало равным rK . 3. Осуществить совместное интегрирование исходной и сопряженной системы от tK к /0 и определить начальные значения сопряженных множителей для вырожденной задачи
Влияние управления на параметры входа в атмосферу
Рисунки (4.11) - (4.13) иллюстрируют примеры возмущенного развертывания тросовой системы при управлении относительно номинального движения и без него. Управление необходимо осуществлять, так как даже небольшие возмущения начальных параметров приводят к существенным отклонениям параметров движения тросовой системы от номинальных значений, что может привести к существенному увеличению зоны посадки СК. Это может также привести к нежелательным динамическим нагрузкам на КА при переходе к третьей стадии развертывания. На графиках линии номинального и возмущенного движения при наличии управления практически совпадают.
Для оценки влияния различных возмущений на скорость и угол входа в атмосферу были построены зависимости ошибок параметров входа от вида и величины возмущений (рис. 4.14, 4.15). При построении зависимостей использовались ошибки начальных условий при переходе от первой ко второй стадии развертывания. Для сравнения показаны ошибки при использовании управления и без него. Анализ рисунков показывает, что наибольшее влияние на разброс параметров входа оказывает величина ошибки начальной угловой скорости. Системой управления компенсируются все ошибки за исключением высоты орбиты КА. Это обусловлено тем, рассматривается относительное движение КА и субспутника и данные ошибки в такой постановке компенсировать невозможно.
Моделирование показало, что при матричном и классическом подходах ошибки управления не превышают 5%. Матричный подход несколько лучше обеспечивает близость к невозмущенной траектории. Однако при этом следует учитывать потерю управляемости и принимать решение о его применении для конкретной тросовой системы.
При разработке СПР с целью упрощения задачи использовалась модель движения, не учитывающая массу троса. Для ОТС с малой спускаемой капсулой масса троса может быть сопоставима с массой субспутника. Так, например, для проекта YES2 масса субспутника составляет примерно 12 кг, а масса троса длиной 30 км составляет около 6 кг. Поэтому при рассмотрении такой системы необходимо учитывать массу троса.
Для моделирования влияния массы троса на траекторию движения связки использовалась система уравнений (2.1). Было сделано предположение о том, что массу троса можно учитывать как внешнее возмущение, т.е. при численном интегрировании системы (2.1) использовать законы, полученные для системы (2.6). На рисунках 4.16-4.19 представлены результаты моделирования. При отсутствии управления относительно номинального движения линии графиков номинального и возмущенного движения различны. Это говорит о том, что законы управления, разработанные для модели, не учитывающей массу троса, не обеспечивают требуемых характеристик развертывания, если моделирование производится с учетом массы троса.
