Содержание к диссертации
Введение
1 Введение 11
1.1 Исследование вариационной задачи 11
1.2 Исследования траекторий движения с малой тягой 21
1.3 Исследования траекторий движения с большой тягой 26
1.4 Общая стратегия и основные задачи 37
1.5 Краткое описание глав 38
2 Аналитическое определение экстремальных активных участков 43
2.1 Вариационная задача 45
2.2 Соседние дуги 50
2.3 Первый дифференциал расширенного функционала 53
2.4 Второй дифференциал расширенного функционала 60
2.5 Вспомогательная задача оптимизации 62
2.6 О положительной определенности второго дифференциала расширенного функционала 66
2.7 О сопряженных точках 70
2.8 Экстремали с угловыми точками 73
2.8.1 Постановка задачи с угловыми точками 73
2.8.2 Первый дифференциал расширенного функционала 73
2.8.3 Второй дифференциал расширенного функционала 76
2.8.4 Выполнимость необходимых и достаточных условий оптимальности . 79
2.9 Вариационная задача в постановке Лоудена 83
2.10 Вариационная задача в альтернативной постановке 86
2.11 Условия стационарности и допустимые участки 89
2.12 Классификация возможных участков тяги 95
2.13 О выполнимости условия Лежандра-Клебща 98
2.14 Каноническая система уравнений 102
2.15 Методология аналитического определения оптимальных
и экстремальных траекторий 104
3 Движение с максимальной мощностью и переменным удельным импульсом 107
3.1 Канонические уравнения и первые интегралы 108
3.2 Круговые участки малой тяги 110
3.3 Спиральные участки малой тяги 113
3.4 Уменьшение радиационной дозы при прохождении через радиационный пояс Земли 119
4 Движение с переменной мощностью и постоянным удельным импульсом 123
4.1 Первые интегралы и инвариантные соотношения 124
4.2 Сферические участки промежуточной тяги 126
4.3 Случай, когда время полета фиксировано, а функционал задачи явно зависит от полярного угла 135
4.4 О спиралях Лоудена 141
4.5 Два класса экстремалей для маневров с нефиксированным временем 146
4.5.1 Первый класс экстремалей 148
4.5.2 Второй класс экстремалей 157
4.5.3 Пример задачи перелета на заданную эллиптическую орбиту при помощи экстремалей первого класса 158
4.6 Уравнение Гамильтона-Якоби для участков промежуточной тяги 168
4.7 О неинтегрируемости уравнения Гамильтона- Якоби методом разделения переменных 170
4.8 Интегрирование уравнения Гамильтона-Якоби
и квадратуры для участков промежуточной тяги 173
4.9 Классификация участков промежуточной тяги 176
5 Движение с максимальной мощностью и постоянным удельным импульсом 179
5.1 Система уравнений для активных участков 180
5.2 Аналитические решения для участков максимальной тяги 182
6 Активные участки в линейном центральном поле 187
6.1 Аппроксимация ньютоновского поля линейным центральным 188
6.2 Канонические уравнения и первые интегралы 193
6.3 Аналитические решения для участков максимальной тяги 198
6.4 Первые интегралы для участков промежуточной тяги 203
6.5 Участки промежуточной тяги в линейном центральном поле 205
7 Определение числа активных участков 209
7.1 Методика применения аналитических решений для активных участков 211
7.1.1 Основные уравнения непрерывности переменных 211
7.1.2 Случай траектории с одним активным участком 214
7.1.3 Случай траектории с двумя активными участками 219
7.1.4 Случай траектории с тремя активными участками 222
7.1.5 Случай траектории с п активными участками 225
7.2 О числе активных участков на траектории 226
7.2.1 Число уравнений в точках переключения 226
7.2.2 Число неизвестных в уравнениях непрерывности 227
7.2.3 Число активных участков 228
8 Некоторые задачи перелетов в ньютоновском поле 233
8.1 Перелет между эллиптическими орбитами при помощи участка малой тяги с постоянным удельным импульсом 234
8.2 Перелет с заданного положения на эллиптическую орбиту при помощи участка малой тяги с переменным удельным импульсом 244
8.3 Перелет между эллиптическими орбитами при помощи участка малой тяги с переменным удельным импульсом 254
8.4 Поворот плоскости эллиптической орбиты при помощи участка промежуточной тяги с постоянным удельным импульсом 260
8.5 Перелет между круговыми орбитами при помощи двух участков максимальной тяги с постоянным удельным импульсом 273
8.6 Сравнение результатов расчетов по аналитическим решениям с известными результатами численной оптимизации 294
9 Заключение 307
10 Приложение 311
- Исследования траекторий движения с большой тягой
- О положительной определенности второго дифференциала расширенного функционала
- Уменьшение радиационной дозы при прохождении через радиационный пояс Земли
- Пример задачи перелета на заданную эллиптическую орбиту при помощи экстремалей первого класса
Введение к работе
1.1 Исследование вариационной проблемы
Диссертационная работа посвящена развитию аналитических и приближенно - аналитических методов решения вариационной проблемы об определении оптимальных траекторий ракеты в гравитационных полях и применению полученных результатов для решения практических проблем динамики полета. Исследования этой проблемы были начаты Р.Годдардом, Г.Обертом, Г.Гамелем, В.Гоманом, А.А. Космодемьянским, А.Ю. Ишлин-ским и другими учеными. Теоретически и практически важное значение имеют работы, посвященные анализу оптимальных движений ракеты в центральном ньютоновском поле [1], й, [3].
Актуальность исследования аналитических решений вариационной проблемы может быть обьяснена следующим образом. Эффективность осуществления маневров существенно зависит от характеристик бортовой системы наведения, обеспечивающей функционирование космических аппаратов (КА). Наведение обеспечивается в реальном масштабе времени, в частности, автономным образом на активных участках траекторий маневров выхода на промежуточную орбиту, перехода на межпланетную траекторию, входа в орбиту паркования и посадки на требуемой местности на повехности небесного тела.
Исследования траекторий движения с большой тягой
В контексте вариационной проблемы в постановке Лоудена участки МТ определяются максимальными значениями секундного расхода массы и постоянной скоростью истечения, где отношение тяги к весу аппарата оценивается как 1 и удельный импульс имеет значения 1000 [21].
Исследованию участков МТ посвящено небольшое количество работ. Необходимые и достаточные условия оптимальности слабого и сильного минимума для этих участков были установлены в работах [2], [71], [72], [75], [91], [92], [93], [94], [95], [96]. Например, в работе Брайсона и Ху [95] было показано, что необходимые условия слабого минимума были выражены при помощи уравнений Эйлера, условий трансверсальности, слабой формы (неравенство и равенство вместе) условий Лежандра-Клебща и отсутствием сопряженных точек на экстремали на открытом интервале времени. Слабая форма условия Вейерштрасса и вышеупомянутые условия представляют собой необходимые условия для сильного минимума. Усиленные формы условий Лежандра-Клебща и Вейер-штрасса (строгие неравенства) и требование отсутствия сопряженных точек на закрытом интервале времени представляют собой достаточные условия оптимальности. Заметим, что использование условия Вейерштрасса связано с построением поля экстремалей [97], [95], [92]. Другое представление достаточных условий оптимальности, называемое принципом оптимальности, было развито В.Ф. Кротовым [71], [96]. Им было показано, что достаточные условия оптимальности могут быть выражены через производящую функцию и допустимый управляемый процесс (экстремаль), состоящие из вектора состояния и вектора управления. Показано, что метод, развитый на основе достаточных условий позволяет найти абсолютный минимум функционала задачи. Основной частью определения минимума является нахождение производящей функции. Существуют различные аспекты алгоритмизации нахождения этой функции. Кроме того, при помощи этой функции выражаются связи приципа оптимальности с принципом максимума Понтрягина и принципом оптимальности Беллмана. Важным преимуществом метода является возможность определения глобального минимума на основе достаточных условий глобального минимума [96].
Аналитические решения для участков МТ в однородном поле силы тяжести были получены в работах [2], [15]. В центральном ньютоновском поле решения пока не найдены. Поэтому возникает необходимость исследования этих участков при помощи приближенно-аналитических или численных методов, или с использованием аналитических допущений.
Численным и непрямым методам исследования участков МТ посвящены работы [59], [84], [98], [99]. В этих работах используются такие методы как метод сопряженного градиента [59], метод квазилинеаризации [100], метод возмущающих функций [101], метод вторых вариаций с использованием функционала и граничных условий [84], метод Лагранжа и принцип максимума [99] - [102]. Одним из важных вопросов при применении непрямых методов отыскания решений для оптимальных активных траекторий с помощью итерационных процессов является чрезмерная чувствительность этих решений к малым изменениям начальных условий для сопряженных переменных. В работах [59], [103] достигнут прогресс в применении градиентных методов благодаря возможности управлять величиной приращения на каждом шаге при малых изменениях параметров программы управления тягой. Как показывают результаты этих исследований, численные методы слабо вскрывают сущность задачи и при этом возникает вопрос о сходимости решения. Примером успешного применения численных методов, в частности метода стрельбы и получения качественных результатов на основе параметритческих анализов являются работы [99]-[102], в которых в основу решения задачи ставится принцип максимума (необходимые условия сильного относительного минимума функционала). Результатом применения принципа максимума является нелинейная краевая задача. Функционалы, рассмотренные в этих работах представляют собой компромиссные функционалы типа "затраты массы-продолжительность маневра-[99], или "продолжительность маневра-затраты массы-[104]. В работе [105] показано, то представление функционала надлежащим образом позволяет обьединить задачи следующих четырех типов: 1. задача о наискорейших перелетах при не ограниченной заранее конечной массе; 2. задача о наискорейших перелетах при ограниченной конечной массе; 3. задача о перелетах при максимальной конечной массе с ограниченным временем перелета; 4. задача о перелетах с максимальной конечной массой при не ограниченном заранее времени перелета. Существуют и работы, где участки МТ рассматриваются на основе аналитических допущений. Один из таких методов был предложен в работе [106]. В этой работе получено аналитическое решение для величины и направления тяги в виде разложения в ряд относительно оптимальной импульсной траектории. В работе [107] аналитическое решение задачи полета ракеты с ограниченной тягой и минимальным расходом топлива в ньютоновском поле получено в виде разложения в ряд по величинам, обратно пропорциональным ускорению тяги и скорости истечения газов. Этот метод требует решения системы алгебраических уравнений и обладает наивысшей точностью при высоких уровнях тяги, поскольку разложение осуществляется относительно импульсного решения, которое предполагается заранее известным. Предлагается метод преобразования импульсов в участки конечной длительности и даны оценки потерь качества этого преобразования. Полиномиальный метод решения задачи предложен в работе [108]. Полученное в этой работе решение зависит от степени близости к опорной траектории. Недостатком метода является необходимость хранения коэффициентов полиномиальных функций времени. Вопросы замены импульсных траекторий соответствующими траекториями с участками МТ и оценки допускаемых ошибок рассмотрены в работах Маршалла и других [109], [НО]. Показано, что при этом такая ошибка имеет порядок, пропорциональный квадрату отношения длительности участка максимальной тяги к времени движения по импульсной траектории, дан подробный анализ на примере перехода между двумя кеплеровскими орбитами. Аналитическая теория оптимизации траекторий в гравитационных полях была предложена Новоселовым В.С [93]. В этой работе разработана методика приближенного аналитического решения вариационных задач оптимизации. Для нескольких задач межорбитального перелета получены аналитические решения в окрестности нулевого приближения в виде ряда по степеням малого параметра. Качественное исследование включения энергетически оптимальных двухимпульсных переходов между близкими околокруговыми орбитами с малыми наклонениями и эксцентриситетами, предварительные оценки и явное построение начальных приближений оптимальных переходов по методу "универсального квадрата общая схема аналитических приближений экстремальных переходов между околокруговыми орбитами даны в работах [111], [112]. В работах [75], [ИЗ] для ньютоновского поля указан один из случаев, когда каноническая система уравнений задачи может быть проинтегрирована в квадратурах, т.е. случай движения с максимальной касательной тягой [90]. Найденные участки с такой тягой используются при решении задачи об определении тяги, обеспечивающей максимальную кинетическую энергию в конечный момент времени. Другое аналитическое допущение связано с формой представления вектора гравитационного ускорения. Так в работах Лейтмана [94] и В.Е. Исаева [114] рассмотрено однородное поле силы тяжести и показано, что для такого поля сопряженные уравнения можно проинтегрировать аналитически, и это позволяет построить законченную теорию оптимальных траекторий. Из этой теории следует, что оптимальная траектория в общем случае может состоять из одного участка НТ и двух участков МТ.
О положительной определенности второго дифференциала расширенного функционала
В контексте сформулированной выше вариационной задачи составляются сопряженные уравнения и условия локальной максимальности.
Вариационная задача сводится к интегрированию канонической системы уравнений для каждого возможного участка тяги при помощи исключения управлений из уравнений движения и сопряженных уравнений используя условия локальной максимальности и применяя условия Вейерштрасса независимо от функционала задачи. Эти процедуры позволяют также определить возможность наличия различных участков тяги на оптимальной траектории и обеспечивают возможность определения семейства допустимых траекторий.
Получение канонической системы уравнений позволяет использовать различные методы интегрирования аналитической механики, применяемые к гамильтоновым системам, для получения первых интегралов, инвариантных соотношений и аналитических решений. Эти решения называются экстремалями задачи.
Полученные аналитические решения для каждого участка тяги тестируются на выполнение необходимого условия Лежандра-Клебша, которое выражает положительную полуопределенность детерминанта матрицы, состоящей из частных производных второго порядка от Гамильтониана по управлениям. При этом Гамильтониан составляется до исключения управлений из уравнений движения и сопряженных уравнений.
Положительная иолуопределенность второго дифференциала расширенного функционала приводит к вспомогательной задаче аналитической оптимизации, которая связана с построением и решением вспомогательных дифференциальных уравнений задачи и, в частности, матричного уравнения Риккати.
Уравнения вспомогательной задачи решаются при помощи аналитических методов. Эти решения используются для выявления возможных сопряженных точек на экстремалях вариационной задачи. Это, в свою очередь, позволяет определить конечность решения уравнения Риккати. Анализируется число постоянных интегрирования в решениях, которые описывают изменение радиус вектора, вектора скорости, и массы. Определяется число активных участков тяги в зависимости от числа постоянных интегрирования. Следовательно, определяется последовательность участков тяги на траектории. Составляются условия непрерывности радиус вектора, вектора скорости, базис вектора и его производной, условие равенства нулю функции переключения для каждой точки переключения и условия трансверсальности. Эти условия в совокупности представляют систему с равным числом алгебраических уравнений и неизвестных. Если система алгебраических уравнений непрерывности разрешима, то она позволяет определить координаты точек переключения, значения постоянных интегрирования и неизвестные параметры, например, значения угла тяги в точках переключения. Упомянутые выше аналитические решения с найденными значениями постоянных интегрирования и параметров задачи описывают экстремальную траекторию маневра, а также все возможные функциональные зависимости между параметрами задачи и их поведения в течении маневра. В конечном итоге, построенная траектория представляет опорную или номинальную траекторию, которая может быть применена при планировании маневров и при решении задачи наведения. 1. В этой главе рассмотрена вариационная задача, постановка которой является альтернативной известной в динамике полета постановке Лоудена. 2. В контексте этой задачи и при помощи достаточных условий оптимальности показано, что оптимальная траектория может состоять из участков нулевой тяги и активных участков с максимальной мощностью и постоянным удельным импульсом. 3. Тот факт, что выполнение достаточных условий сильно сужает область допустимых значений параметров задачи и то, что рассматриваемая задача является модельной, позволили заключить, что с практической точки зрения не представляется целесообразным тестирование достаточных условий и выделение оптимальных траекторий. 4. Также показано, что экстремальная траектория может включать участки минимальной, промежуточной и максимальной тяг. В зависимости от отношения тяги к весу и от удельного импульса, эти участки являются участками малой тяги или большой тяги. 5. Сформулирована вспомогательная вариационная задача, решение которой позволяет определить наличие сопряженных точек на участках тяги при помощи аналитических решений для этих участков. 6. Дана классификация возможных экстремальных участков тяги. 7. Предложена методология аналитического определения оптимальных и экстремальных траекторий, основанная на исследовании необходимых условий оптимальности, уравнений непрерывности в точках разрыва управлений и определении структуры траекторий. Эта методология служит инструментом выделения экстремальных траекторий, которые представляют опорные траектории и используются в задаче наведения.
Уменьшение радиационной дозы при прохождении через радиационный пояс Земли
До сих пор во многих работах спирали Лоудена исследовались только на оптимальность при помощи условий Коппа-Мойера или Роббинса, и была установлена неоптимальность этих решений [69], [70], [56], [150]. Кроме того, отметим, что с помощью условия Роббинса можно исследовать траектории на оптимальность [56]. Но его применение осложняется необходимостью проверки того, чтобы угол ф (т.е. (р в координатной системе Лоудена [2]) был выбран таким образом, чтобы величина / (эта величина была введена Лоуденом для обозначения реактивного ускорения) равная была положительна [56]. Однако, при выполнении условий 1 — 3s2 0 и 3 — 5s2 О, которые следуют из решений Лоудена, а также условия Роббинса, которое выражается неравенством sin 0, получим / 0, что показывает неоптимальность спиралей Лоудена. Но главное в том, что в указанных выше работах спирали Лоудена исследовались не учитывая того, существуют ли вообще такие решения для данной конкретной вариационной задачи с конечными условиями. В связи с этим ниже приводятся три замечания.
Замечание 1. Необходимо отметить , что при получении решений для данных спиралей, величине базис вектора присваивается значение А = 1 [2]. Такое равенство справедливо для задачи о минимизации характеристической скорости J = cln 2- [93]. Тогда будет иметь место равенство (4.74), что также приводит к вырождению рассматриваемых участков. Поэтому, можно сделать вывод, что присвоение какого-либо значения величине базис вектора без учета конечных условий и условия трансверсальности не всегда являются правомерными.
Решения для спиралей Лоудена также были получены при помощи первых интегралов и уравнения для базис вектора [78]. Но с учетом замечания 1 отметим только, что соответствующие решения для этих спиралей для любых значений базис вектора могут быть получены на основе первых интегралов и инвариантных соотношений. На самом деле, из уравнения (4.54) при С — 0 получим
Непосредственным анализом можно убедиться в том, что остальные решения для спиралей Лоудена также могут быть получены из (4.7), (4.13)- (4.15), что будет показано в следующем разделе.
В работе [148] получены решения, которые по существу являются спиралями Лоудена в случае нефиксированного времени перелета и минимизации расхода массы. Отмечается, что есть вероятность, что траектория такого участка входит в решение задачи оптимального отрыва от круговой орбиты. Однако заметим, что в данном случае из условия трансверсальности (см. (4.74)) следует А5 = 0, так как функционал задачи явно не зависит от полярного угла. Тогда, учитывая (4.69) получим А — О, что приводит к вырождению указанных спиралей. Следовательно, полученные в работе [148] участки ПТ (спирали Лоудена) не могут быть включены в оптимальную траекторию отрыва от круговой орбиты.
Таким образом, спирали Лоудена могут быть решениями для участков ПТ лишь в том случае, если задано конечное значение полярного угла или функционал задачи явно зависит от значения полярного угла. В частности, если рассматривается задача о минимизации характеристической скорости и отсутствует ограничение на угловую дальность , то спирали Лоудена не являются решением данной задачи.
Исходя из вышеизложенного можно сделать следующие предпосылки относительно оптимальности и применимости решений Лоудена. Согласно вариационной задаче, участки ПТ должны удовлетворять всем дифференциальным уравнениям вариационной задачи (канонической системе уравнений), начальным и конечным условиям, условиям трансверсальности и условиям х — X = X — Х — Х = — О- Последние означают условия существования и оптимальности рассматриваемых участков вместе с другими условиями, указанными выше.
Замечание 3. Здесь необходимо отметить работу Роббинса [56], где исследуются участки ПТ, в частности, спирали Лоудена на оптимальность на основе полученного в той же работе необходимого условия оптимальности, не анализируя остальные условия. Изучая формулы (см. (10 -13 ) работы [56]) где В - довольно сложное выражение, рассмотрение которого здесь не представляет интереса, можно легко показать, что необходимое условие оптимальности Роббинса частично отражает условие х = 0, а равенства , которые получены приравниванием левых частей уравнений (4.75)- (4.78) к нулю, частично отражают выполнение условий = = (3) = (4) = 0 . Кроме того, если at — — 0, где q — (Ау)3/7 (см. формулу (15) работы [56]), то это ещё не означает, что равенства (4.75)- (4.77) удовлетворяются.
Следовательно, если получены решения для участков ПТ, то для того, чтобы определить оптимальность этих участков, не достаточно проверять только одно условие Роббинса, необходимо ещё исследовать остальные условия существования и оптимальности, краевые условия и условия трансверсальности с учетом минимизируемого функционала. Только после этого можно делать какие-либо выводы об оптимальности рассматриваемых участков.
В следующем разделе получим два класса экстремалей для случая, когда время полета не фиксировано, а конечный полярный угол фиксирован. Один из этих классов экстремалей представляет спирали Лоудена. Решения для этих спиралей выведены для полноты изложения и для того, чтобы показать преимущество метода получения этих решений, который позволяет получить также и другие классы экстремалей при произвольных значениях постоянных СиС2.
Пример задачи перелета на заданную эллиптическую орбиту при помощи экстремалей первого класса
В этой главе предлагается методика применения аналитических решений для активных участков при решении практических задач межорбитальных перелетов. Данная методика позволяет найти координаты точек переключения, начальные значения множителей Лагранжа и постоянные интегрирования, а также позволяет построить траекторию маневра. В этой методике рассмотрены вопросы составления уравнений непрерывности переменных задачи в точках переключения экстремальных траекторий для маневра перелета между двумя произвольными орбитами. На основе анализа траекторий с одним, двумя и тремя активными участками, составляются условия для числа постоянных интегрирования и определяются число уравнений непрерывности и число неизвестных. Выводы, сделанные относительно такого числа активных участков, обобщаются для произвольного числа (п) участков на траектории маневра. Получены формулы нахождения числа активных участков на экстремальных траекториях на основе аналитических решений, полученных в предыдущих главах.
Установлены функциональные зависимости между числом активных участков одного типа, двух разных типов и общим числом активных участков от числа постоянных интегрирования аналитических решений для этих участков. Они позволяют определить структуру траектории и число точек переключения. Выявлена фундаментальная важность наличия аналитических решений для активных участков при построении траекторий. Результаты даны в виде теорем с доказательствами и применимы, в основном, в задачах минимизации расхода топлива.
На основе разработанной в работе методики применения аналитических решений для активных участков и установленных выше функциональных зависимостей для определения числа активных участков показано, что по существу, решение рассматриваемой вариационной задачи может быть сведено к решению системы уравнений, полученной из условий непрерывности параметров задачи в точках переключения режима тяги [157], [158]. Это отражает основной результат диссертационной работы.
Решение уравнений непрерывности и построение траектории маневра являются, в основном, последними стадиями предложенной в работе методологии определения экстремальных траекторий. Следуя этой методологии заключается, что в целом, решение рассматриваемой вариационной задачи может быть сведено к законченной аналитической форме, что представляет общий результат диссертационной работы.
Известно, что построение экстремалей или, в общем случае, синтез различных участков тяги, тесно связаны с вопросом об определении числа активных участков на траектории перелета между произвольными орбитами, что имеет особо важное место при исследовании траекторий. Пусть рассматривается вариационная задача перелета между заданными орбитами, находяшимися в одной плоскости, проходящей через центр притяжения. Предположим, что в результате решения канонической системы уравнений получены аналитические решения для активных участков тяги в полярных координатах [119], [158]: где A,B,C,D - постоянные интегрирования, е - эксцентриситет орбиты. Также отметим, что величина эксцентриситета может принимать любые значения, включая нуль, что соответствует круговой орбите. Упомянутые выше аналитические решения, которые представляют движение на экстремали, могут быть дальше тестированы при помощи необходимых условий оптимальности согласно методике аналитического определения экстремальных траекторий. В этой главе такие тесты опускаются, так как в основном рассматриваются произвольные экстремальные решения. Тогда следующим этапом при решении вариационной задачи является синтез различных участков в одну траекторию, которая будет представлять экстремальное решение задачи [157].
Пусть требуется определить траекторию маневра перелета между двумя произвольными эллиптическими орбитами с параметрами р\,е\,ші и Р2,е2,ш-2 соответственно. Начальное и конечное положения точки на орбите и время перелета не фиксированы. Начальная масса предполагается заданной и минимизируемым функционалом задачи принимается разница начальной и конечной масс. При определении структуры траектории важное значение имеет число точек переключения, которое определяет число участков в этой структуре. Простейшей структурой траектории маневра перелета является УНТ1 - АУТ - УНТ2, содержащая две точки переключения. Здесь УНТ1 и УНТ2 обозначают участки нулевой тяги, т.е. двиижение на граничных орбитах, а АУТ означает произвольный активный участок. Возможны и более сложные структуры траекторий с активными участками различного типа. Ниже в отдельных подразделах детально обсуждаются вопросы составления уравнений непрерывности в точках переключения на траекториях, содержащих один, два, три и п активных участков. Далее обсуждаются возможности наличия активных участков различного типа на рассматриваемых траекториях.
