Содержание к диссертации
Введение
2. Разработка метода формирования управляющих функций с учетом минимизации расхода топлива при полете по частным ортодромиям 8
2.1. Разработка метода вычисления параметров стационарного движения ЛА при полете по частным ортодромиям 12
2.2. Постановки задачи формирования оптимальных управляющих функций при полете по частным ортодромиям .. 22
2.3. Численная процедура формирования оптимальных управляющих функций в классе кусочно-постоянных 25
2.4. Численная процедура формирования оптимальных управляющих функций в классе полиномов с учетом требований норм летной годности 28
2.5. Численная процедура формирования оптимальных управляющих функций с учетом вырожденноети задачи оптимального управления (по минимуму километрового расхода топлива) 42
2.6. Выводы по главе 2 46
3. Вариационная задача с граничными условиями, зависящими от функционала 49
3.1. Задача о брахистохроне с граничными условиями, зависящими от функционала 49
3.2. Задача о минимизации расхода топлива ЛА при смене эшелона полета как вариационная задача с граничными условиями, зависящими от функционала 50
3.3. Условия типа трансверсальности для вариационной задачи с граничными условиями, зависящими от функционала 52
3.4. Решение задачи о брахистохроне 57
3.5. Пример решения задачи способом нелинейного программирования при условии зависимости граничных условий от функционала 62
3.6. Решение задачи о минимизации расхода топлива в режиме набора высоты 65
3.6.1. Разработка метода вычисления параметров стационарного движения ЛА при полете с ненулевым утлом наклона траектории 65
3.6.2. Численная процедура построения функции секундного расхода топлива как функций от управляющих функций и постановка задачи о минимизации расхода топлива при наборе высоты 70
3.6.3. Численная процедура решения задачи о минимизации расхода топлива при наборе высоты 91
3.7. Численные процедуры решения задач о наборе высоты и снижении при учете зависимости граничных условий от функционала 95
3.8. Выводы по главе 3 102
4. Разработка методов синтеза регужтора, удерживающего ЛА на оптимальной траектории 106
4.1. Разработка метода синтеза регулятора, удерживающего управляемую систему на заданном интегральном многообразии 108
4.2. Метод синтеза автономного нелинейного регулятора.. 124
4.3. Разработка метода анализа влияния квантования по уровню на спектр квантуемого сигнала 128
4.4. Выводы по главе 4 135
5. Разработка математического обеспечения для моделирования динамики полета ЛА 139
5.1. Адаптивные алгоритмы вычисления функций одной, двух и грех переменных 139
5.2. Комбинированный метод интегрирования систем обыкно венных дифференциальных уравнений 147
5.2.1. Частотные характеристики идеального оператора интегрирования 148
5.2.2. Частотные характеристики метода Рунге-фтта 4-го порядка 149
5.2.3. Частотные характеристики метода Адамса 4-го порядка 152
5.2.4. Частотные характеристики комбинированного метода. 154
5.3. Выводы по главе 5 159
Результат исследований и основные выводы 162
Литература 163
Приложение
- Постановки задачи формирования оптимальных управляющих функций при полете по частным ортодромиям
- Задача о минимизации расхода топлива ЛА при смене эшелона полета как вариационная задача с граничными условиями, зависящими от функционала
- Разработка метода анализа влияния квантования по уровню на спектр квантуемого сигнала
- Комбинированный метод интегрирования систем обыкно венных дифференциальных уравнений
Постановки задачи формирования оптимальных управляющих функций при полете по частным ортодромиям
Из всех режимов полета - взлет, набор высоты, полет по частным ортодромиям со сменой линий заданного пути, снижение и посадка-полет по частным ортодромиям является наиболее продолжительным. Поэтому именно этот режим требует наибольшей по сравнению с другими затрат горючего, и именно в нем следует искать наибольший резерв в части экономии топлива. Можно рассматривать следующие постановки задач об экономии топлива: пролететь максимальное расстояние при заданном запасе топлива путем варьирования высоты и скорости полета как функций веса топлива: пролететь заданное расстояние с минимальной потерей топлива путем формирования заданной высоты и скорости как функций пройденного пути; продержаться в воздухе максимально длительное время при заданном запасе топлива путем формирования заданной высоты и скорости полета как функций веса топлива; пролететь заданное расстояние в кратчайшее время путем варьирования заданной высоты и скорости как функций пройденного пути при ограниченном запасе топлива; пролететь заданное расстояние за заданное время с минимальной потерей топлива путем варьирования заданной высоты и скорости как функций пройденного пути или времени полета.
Вообще говоря, список задач можно было бы очевидным образом расширить, введя в качестве дополнительных параметров центровку (и при этом рассматривать ее или как управляющую функцию, если есть возможность ее изменять в процессе полета, или рекомендовать ее постоянное значение, обеспечиваемое при загрузке самолета [4 1, а также учитывая влияние на секундный расход температуры атмосферы при отклонении от параметров стандартной атмосферы, и ветра [б]. Исследования в этом направлении могут дать результаты в виде обоснования необходимости введения системы управления центровкой. Для объектов с переменной геометрией указанные задачи можно трансформировать в плане выработки оптимальной стратегии изменения угла стреловидности крыла, а также высоты, полета,скорости и центровки с целью достижения максимального эффекта согласно одной из постановок задачи.
Разнообразие задач следует из большого числа степеней свободы в исследованиях, когда речь идет о повышении топливной эффективности.
Все предложенные пять задач можно разделить на два класса. К первому отнесем задачи, в которых управляющие функции формируются как функции веса топлива (первая, третья), ко второму - в которых управляющие функции формируются как функции пройденного пути (вторая, четвертая, пятая). Рассмотрим систему уравнений, описывающих объект управления в классе кусочно-стационарных траекторий, т.е. удовлетворяющих требованиям установившегося движения на каждом отрезке по независимой переменной - весу топлива для задач первого класса или пройденного пути - для задач второго класса.
Система (2.16) содержит в сжатом виде всю информацию об объекте управления (2.1) или (2.2), если только его движение достаточно плавно. Рассмотрим задачи первого класса. Из (2.16) имеем:
Из последних двух уравнений имеем: (2.18) - уравнение,ориентированное на решение задач первого класса - найти управляющие функции V(T) І И (т) , такие, чтобы они, будучи оптимальными, максимизировали бы проченный путь: уравнение, ориентированное на решение задач второго класса - найти управляющие функции V(х) , И (х), такие, чтобы они, будучи оптимальными, минимизировали бы общий расход горючего: принимают экстремальные значения при соответствующем выборе управляющих функций Y и Н . Совершенно аналогично строятся показатели с учетом влияния температуры, центровки и проекции скорости ветра на направление полета [б], чем достигается полный учет эксплуатационных факторов при ограничениях управляющих функций согласно РЛЭ - руководству по летной эксплуатации для данного летательного аппарата.
Задача о минимизации расхода топлива ЛА при смене эшелона полета как вариационная задача с граничными условиями, зависящими от функционала
Пусть требуется перейти с эшелона с высотой f-ІІ , на котором ЛА движется со скоростью Vi при весе топлива Ь-т-і в некоторый данный момент (рис. 3.2), на эшелон с высотой И2. При этом ЛА должен иметь скорость 1/г . Время перехода с одного эшелона на другой не фиксируется. Смена эшелона должна выполняться с минимальной потерей топлива. На новом эшелоне движение ЛА должно сыть стационарным. Следовательно, граничные условия по фазовым переменным должны удовлетворять найденным ранее зависимостям, т.е. они зависят от веса топлива на новом эшелоне. И так как расход топлива есть функционал для данной задачи, то граничные условия зависят, таким образом, от функционала. Требуется найти функцию U ( X ), которая минимизировала бы функционал (3.1) и удовлетворяла бы следующему условию Условие (3.2) выражает зависимость граничных условий для функции у. ( X ) от функционала I , и связь между конечным значением функционала и граничным значением функции осуществляется посредством функции у , которая задается согласно физической сущности конкретной задачи. Будем полагать верхний предел интегрирования в (3.1) не фиксированным. Рассмотрев вариацию функционала Первое слагаемое в (3.3) представим с помощью теоремы о среднем Удовлетворение уравнениям Эйлера есть необходимое условие для экстремалей и в случае задачи с подвижными концами. Показать это можно, например, следующим- образом. Пусть задача с по= движными концами некоторым образом решена и найдены сами граничные точки - концы экстремали. Если теперь поставить ту же задачу с найденными фиксированными граничными условиями, то ее решением будет та же экстремаль, и она будет удовлетворять уравнениям Эйлера и в случае подвижных граничных точек. Учитывая (3.6)-(3.8), перепишем окончательно (3.5) - выражение для вариации функционала, связыващие на правом конце вариации о Xd и Ъ ± . Поделим в (3.13) оба слагаемых на 6Xi . Тогда, учитывая, что на экстремалях вариация функцио нала равна нулю, имеем Таким образом получено условие, связывающее производную экстремаль на правом конце со значениями известных функций, т.е. получено условие трансверсальности для вариационной задачи с граничными условиями, зависящими от функционала. (3.16) можно переписать более компактно Вернемся к задаче о брахистохроне. Функционал для нее имеет вид Согласно нашей постановке граничная точка X движется параллельно оси X со скоростью W . Граничная координата у фиксирована, что однако не уменьшает общности задачи. Положение граничной точки ОС І зависит от времени Так как время есть функционал, то граничное значение X i зависит от функционала, т.е. откуда находим
Перепишем (3.17) с учетом (3.18) и (3.19) (3.20) представляет собой дифференциальное уравнение, содержащее W в качестве параметра. На его интегральных кривых должны заканчиваться траектории, удовлетворяющие для функционала (3.18) уравнениям Эйлера (3.8). Решим уравнение (3.20). После элементарных алгебраических преобразований оно принимает вид С учетом знаков (3.25) при фиксированном параметре W имеет восемь решений. Однако под корнем в случае знака минус появилось бы отрицательное число, не соответствующее сущности задачи. Таким образом под корнем остается знак плюс. Остальные два знака определялись путем построения функции (3.25) при разных сочетаниях других знаков. В результате анализа полученных таким образом графиков были оставлены знаки плюс, так как в этом случае кривые при разных W ведут себя регулярно в смысле соответствия модуля W и граничного значения точки X . Таким образом, остается решение
Решением уравнения Эйлера (3.8) при функционале (3.18) [19] является циклоида, имеющая в параметрическом представлении следующий вид: На рис. 3.4 приведены кривые (3.26) для случая CL =9,81 м/сек , и \J\] =1,10 м/сек с шагом I м/сек, и циклоиды (3.27) для случаев, когда С І - 2,10 м, с шагом 2 м. Кривые (3.26) естественно называть граничными, так как они ограничивают соответствующие циклоиды. Пусть, например, граничное значение для U равно 3,5 метра, и граничная точка X движется на уровне 3,5 метра из положения X = 0 вдоль оси ОС со скоростью 3 м/сек. Тогда на рис. 3.4 кривая 12 - циклоида при С і = 4 м удовлетворяет уравнениям (3.26) и (3.27), а ее часть от начала координат до граничной кривой 3 есть траектория точки - решение задачи о брахистохроне. Согласно рис. 3.4 граничное значение для = 3,5 м. Значит, время движения составляет І+І/6 сек - минимальное время движения. Таким образом, задача решена. Интересно отметить, что решение X =0, U - 0, всегда является тривиальным решением задачи о брахистохроне, когда конечная точка совпадает с начальной, что, в частности, согласутся с (3.27) и (3.28), и, значит, тривиальная проверка (3.26) выполняется. Покажем, что решения вариационной задачи с граничными условиями, зависящими от функционала, удовлетворяют уравнениям Эйлера, как и в случае, скажем, задачи с фиксированными концами. Пусть сперва граничное значение Х± фиксировано. Тогда реше ниєм является экстремаль, проходящая через точки (0,0) и ( Xj_t у. ). Зная экстремаль, можно определить время движения точки по ней. И, наконец, по известному времени движения и значению Xi далее можно определить скорость, с которой должна была бы двигаться граничная точка вдоль оси X , чтобы, решая задачу с граничными условиями, зависящими от функционала, получить решение, совпадающее с решением задачи с фиксированными граничными точками и заведомо удовлетворяющее уравнениям Эйлера. Следовательно, для задачи о брахистохроне можно установить взаимно однозначное соответствие между задачами с фиксированными граничными точками и зависящими от функционала, что в данном случае доказывает принадлежность их решений одному уравнению Эйлера. Предложенная задача допускает развитие в смысле приложения к задачам, нахождения траекторий преследования в случае предсказуемого движения цели при требовании минимальности времени встречи с ней.
Разработка метода анализа влияния квантования по уровню на спектр квантуемого сигнала
Одним из возможных путей построения цифровых бортовых систем управления является путь, когда, будучи синтезированными в непрерывной форме, законы управления непосредственно реализуются цифровыми устройствами. При этом неизбежно имеем квантование по времени и по уровню. Влияние на спектр квантуемого по времени сигнала устанавливает известная теорема Котельникова [34, 35, 36]. Что же касается влияния квантования по уровню, то считается [37, З8]» что квантование по уровню вносит в сигнал шум, описываемый спектральной плотностью определенного вида, и, таким образом, задача о квантовании по уровню сводится к задаче функционирования системы при постоянно действующих возмущениях, задаваемых статистическим образом. Отметим, что если бы квантование по уровню носило случайный характер, то решения задач на ЭЦВМ были бы не воспроизводимы, чего в действительности нет. Более того, утверждается, что Г39], очевидно, невозможно получить общее выражение для спектра сигнала, квантованного по уровню. Далее построим аналитическое выражения для спектра сигнала,квантованного по уровню. Для этого сперва приведем аналитическое выражение для статической характеристики квантования по уровню. На рис. 4.7 изображена статическая характеристика квантователя по уровню U\y) как сумма линейной LL и пилообразной U функций.
Пилообразная составляющая У () в (4.29) разложена в ряд Фурье, так как является функцией периодической и имеющей конечное число разрывов первого рода. В общем выражении ряда Фурье
Выражение (4.33) - окончательное для аппроксимации статической характеристики квантователя по уровню. Так как оно получено в непрерывной форме, появляется возможность учитывать тем или иным образом квантование по уровню в системе уравнений,описывающих систему управления, рассматривая далее ее в аспекте поставленной задачи. При этом одним из приемов упрощения выражения (4.33) является разложение функции ЛІ.П. в степенной ряд и учет конечного числа членов в разложении.
В нашей задаче необходимо рассмотреть преобразование спектра входного сигнала. Будем рассматривать входной сигнал как периодическую функцию. При этом в качестве периода можно рассматривать время функционирования системы со входным сигналом составляющие, имеющие малые амплитуды. В сравнении с квантователем по времени [43], добавляющем в спектр входного сигнала конечное число гармоник, квантователь по уровню добавляет в спектр входного сигнала бесконечное, хотя и счетное их количество согласно (4.46).
Рассмотрим случай преобразования квантователем гармонического входного сигнала. В этом случае I7L =1, и выражение (4.46) упрощается:
Синтез регулятора путем решения такого уравнения имеет по сравнению с аналитическим конструированием ряд преимуществ. В частности, задав наперед нулевыми коэффициенты матрицы обратных связей, соответствующие не наблюдаемым координатам, получим регулятор, удерживающий систему на заданном многообразии при ограничении на измерение фазовых координат. Одновременно при этом отдельно решив задачу для того или иного набора каналов "управляющее воздействие - выходная координата" об автономности управления и получив таким образом часть коэффициентов обратной связи, далее решая матричное уравнение, получаем автономный регулятор, удерживающий управляемую систему на заданном интегральном многообразии.
Комбинированный метод интегрирования систем обыкно венных дифференциальных уравнений
В инженерной практике при численном интегрировании систем обыкновенных дифференциальных уравнений, например, описывающих динамику полета ЛА, наиболее широкое распространение получили метод Рунге-Кутта и метод Адамса. Преимуществом метода Рунге- гтта является высокая точность вычислений, устойчивость в диапазоне частот, характерных для летательного аппарата. Недостатком -низкая скорость счета, обуславливаемая необходимостью большого количества вычислений правых частей. При одинаковом порядке методов метод Дцамса имеет меньшую точность, однако на каждом шаге интегрирования требует лишь одного вычисления правых частей. Поэтому его применение оправдано в режимах, близких к стационарным, В случае существенно нестандартного движения обычно применяется метод Рунге-Кутта. В случае моделирования динамики полета на длительном отрезке времени движение объекта может быть как стационарным (крейсерский режим), так и нестационарным (набор высоты, снижение). Поэтому естественно соединить преимущества обоих методов в одном, обеспечивающем ускорение счета без существенной потери точности. Таким образом, приходим к идее применять на двух последовательных шагах интегрирования поочередно метод Рунге-Кутта и метод Дцамса. Проиллюстрируем частотные характеристики предлагаемого метода в сравнении с частотными характеристиками методов Рунге-Кутта, Дцамса и идеального оператора интегрирования. Изображение по Лапласу передаточной функции идеального интегратора имеет вид Подставляя в(5.4) р =J6L и выделяя действительную и мнимую составляющие, получаем
Отсюда находим амплитудно-частотную A (l&) и фазо-час-тотную ${ьУ) характеристики домножим числитель и знаменатель в (5.II) на комплексно сопряженное знаменателю выражение f - 4. и выделим действительную и мнимую части. Тогда с учетом (5.12) получаем На рис. 5.5 представлены амплитудно-частотная Afcfc (.U } и фазо-частотная т к (ifr) характеристики метода Рунге-Кутта (5.13) для К = ОД. Для системы (5.7) метод интегрирования имеет следующий вид: На рис. 5.6 приведены амплитудно-частотная А дь (u J и фа-зо-частотная Фдд ( ) характеристики интегратора по методу Дцамса (5.16) для и, = 0,1. 5.2.4. Частотные характеристики комбинированного метода С помощью Z -преобразования можно построить передаточные функции и частотные характеристики предлагаемого комбинированного метода. Приізтом следует рассмотреть два случая: первый, когда первый шаг осуществляется по методу Рунге-Кутта, и второй, когда первый шаг осуществляется по методу Адамса. Первый случай. Первый шаг осуществляется по методу Рунге-Кутта, а второй по методу Адамса. В этом случае движение по дискретному времени из точки П в точку П-+-2 происходит в два этапа согласно уравнениям (5.10) и (5.15): Система уравнений (5.17) приводится к одному подстановкой Яп+4 из пеРВ0Г0 уравнения во второе, в результате чего получаем На рис. 5.7 приведены амплитудно-частотная А (ЦУ) и фазо-чаетотная gp j (ЬУ) характеристики комбинированного интегратора для первого случая (5.19) при fl = ОД. Второй случай. Первый шаг осуществляется по методу Адамса, а второй - по методу Рунге-Еутта. В этом случае .система уравнений, описывающих метод, принимает вид: На рис. 5.8 приведены амплитудно-частотная Ад Сл ) и фазо-частотная дзжіс (w) характеристики комбинированного интегратора для второго случая (5.22) при h. =0,1.
Сравнение амплитудно-частотных и фазо-частотных характеристик рассмотренных интеграторов показывает, что предлагаемый комбинированный метод интегрирования вполне приемлем для численного интегрирования уравнений движения 1А. При этом его фазовые характеристики лежат ближе к характеристике идеального интегратора в области низких частот по сравнению с методом Ацамса, а амплитудные характеристики в этой области частот (до СО =12) различаются с характеристикой идеального интегратора весьма незначительно (максимальное отклонение от характеристики идеального интегратора составляет #. 0,05). Вместе с тем предлагаемый метод позволяет существенно уменьшить время счета, так как на двух шагах интегрирования вместо 8 вычислений правых частей правые части вычисляются 5 раз. Следовательно, достигается уменьшение времени счета в 1,6 раза. В приложении 4 приводятся подпрограммы на алгоритмическом языке FORrRAkf ДЛЯ реализации данного метода.
