Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Разработка и анализ обобщенных математических моделей движения самолета в возмущенной атмосфере 17
1.1. Уравнения движения легкого самолета 17
1.1.1. Уравнения движения центра масс 17
1.1.2. Уравнения движения легкого самолета вокруг центра масс 19
1.2. Линеаризация уравнений движения 21
1.2.1. Общая система уравнений движения центра масс самолета 21
1.2.2. Линеаризация уравнения движения 23
1.3. Математические модели атмосферных возмущений 30
1.3.1. Канонические разложения вариаций плотности и ветра 31
1.3.2. Построение формирующих фильтров атмосферных возмущений ... 40
1.3.3.Статистическое описание турбулентности атмосферы как векторн ого случайного поля 44
1.3.4. Учет ветровых вомущений при движении малоразмерного самолета 47
Выводы по главе 1 52
Глава 2. Разработка методика построения блока оптимальной ( обработки информации системы стохастического оптимального управления легким самолетом 53
2.1. Основные методы обработки информации 53
2.2. Постановка задачи. Критерии качества
2.3. Свойства оценок 57
2.4. Метод условного среднего. Метод Калмана 59
2.5. Причина неустойчивости фильтра Калмана и методы борьбы с нею 63
2.6. Расширенный фильтр Калмана. Итерационный фильтр Калмана 69
2.7. Метод наименьших квадратов 72
2.8. Тактика обработки информации 75
2.9. Предварительное определение характеристик легкого самолета 77
2.9.1. Предварительное определение коэффициентов Сх, С" 2.10. Предварительное определение коэффициентов аэродинамических
моментов статической устойчивости и демпфирования на основе
анализа переходных процессов 80
2.10.1. Математическая модель движения самолета для решения задач идентификации 80
2.10.2. Предварительное определение коэффициентов статической устойчивости и демпфирования на основе анализа переходных процессов
2.10.3. Получение оценок фазового вектора легкого самолета на основе фильтра Калмана 91
Выводы по главе II 100
Глава 3. Формирование заданных режимов полета легкого самолета 101
3.1. Проблема реализации режимов и маршрута полета самолета 101
3.2. Решение задачи оптимизации управления на основе принципа минимума Понтрягина 102
3.3. Решение краевой задачи для канонической системы уравнений характеристик 105
3.4. Прямое решение задачи оптимизации управления (безитерационный алгоритм управления) 111
3.5. Моделирования безитерационного алгоритма управления 115
3.6. Сравнительный анализ алгоритмов управления 117
Выводы по главе III 120
Заключение 121
Литература
- Уравнения движения легкого самолета вокруг центра масс
- Построение формирующих фильтров атмосферных возмущений
- Расширенный фильтр Калмана. Итерационный фильтр Калмана
- Решение краевой задачи для канонической системы уравнений характеристик
Введение к работе
Актуальность темы диссертации
В настоящее время большое внимание уделяется созданию беспилотных легких самолетов, предназначенных для решения различных задач, возникающих в процессе мониторинга природных и техногенных катастроф.
С помощью легких самолетов может быть получена информация для
организации тушения лесных пожаров,
поиска заблудившихся в лесу (джунглях),
поиска терпящих бедствие в море и при наводнениях,
исследования производств с вредными выбросами,
наблюдения и поддержки действий при спасательных работах.
Важным этапом создания такого самолета является отработка алгоритмов управления самолетом при действии на него различных возмущений. Так как движение легкого самолета происходит при воздействии целого ряда возмущающих факторов, то высокую точность управления при отслеживании требуемой траектории (например, при летных испытаниях) или при построении требуемого маршрута полета можно достичь при разработке системы стохастического оптимального управления легким самолетом.
Объект диссертационного исследования - малоразмерный самолет, предназначенный для мониторинга природных и техногенных катастроф.
Предмет исследования - комплексная методика построения системы стохастического оптимального управления легкого самолета.
Цель работы - выявление основных особенностей, возникающих при построении системы стохастического оптимального управления легким самолетом.
Задачи работы, решаемые для достижения поставленной цели:
1. Формирование математических моделей движения легкого самолета и
атмосферных возмущений и их адаптация применительно к решению задач
оптимального стохастического управления.
2. Создание методики построения блока обработки информации при различном
наборе измерительных устройств, находящихся на борту легкого самолета.
3. Создание методики построения блока оптимального управления для возможности наиболее точной реализации заданных траекторий полета, а также для реализации необходимого маршрута полета.
Методы исследования
В диссертационной работе основу исследований составляют теория вероятностей и случайных процессов, включая методы формирующих фильтров, методы оптимальной статистической обработки информации, современная теория оптимального управления летательными аппаратами, динамика полета и вычислительная математика пакета MATLAB.
Научная новизна результатов диссертационной работы состоит в следующем:
1. Предложено методическое обеспечение в виде комплекса математических моделей, адаптированных к задачам построения системы стохастического оптимального управления легким самолетом.
2. Предложено комплексное решение задачи построения блока обработки
информации системы стохастического оптимального управления, основанное на
поэтапном определении аэродинамических коэффициентов самолета и итоговой
обработке информации на основе обобщенного фильтра Калмана.
3. Разработан безитерационный алгоритм управления, позволяющий реализовать
заданные режимы полета легкого самолета в условиях воздействия возмущений.
Практическая значимость результатов работы
Предложенные в диссертационной работе математические модели, методы, алгоритмы и программно-математическое обеспечение позволяют оперативно решать задачи идентификации аэродинамических характеристик легкого самолета.
Полученные научные результаты имеют методическую направленность и позволяют построить блок обработки информации для получения оценок расширенного вектора состояния системы.
Разработанный алгоритм оптимального управления может быть использован непосредственно при движении самолета по заданной траектории, а так же применен для отработки полетного задания при мониторинге районов возможных природных и техногенных катастроф.
4. Отдельные результаты работы могут быть использованы в процессе
проектирования и разработки легкого самолета и его системы управления.
Предложенная методика и программно-математическое обеспечение, разработанное в среде MATLAB и реализующее предложенные алгоритмы оптимальной статистической обработки информации и формирования режимов полета легкого самолета, внедрены в учебный процесс кафедры 604 МАИ. Соотвествующий акт о внедрении имеется.
Достоверность результатов, полученных в диссертационной работе, подтверждается корректным использованием математических моделей движения самолета, методов статистической обработки информации и теории оптимального управления летательными аппаратами, а также проведенным в значительном объеме математическим моделированием процессов оптимальной обработки результатов измерений и процессов управления с получением непротиворечивых результатов.
Основные положения диссертационной работы, выносимые на защиту
1. Математические модели движения легкого самолета и атмосферных
возмущений, предназначенные для использования в алгоритмах оптимальной
статистической обработки результатов измерений и при синтезе алгоритмов
оптимального управления.
2. Методика комплексной обработки информации, основанная на
предварительном анализе переходных процессов, использовании метода
наименьших квадратов для непосредственной обработки результатов измерений, и
итоговой обработке информации с помощью модифицированного фильтра
Калмана.
3. Алгоритм оптимального управления самолетом, основанный на прямом
решении оптимизационной задачи управления.
Апробация работы
Результаты диссертационной работы докладывались на 14-й и 16-й Международной конференции «Системный анализ и управление». Крым, Евпатория, 2009 и 2011, «Вестник МАИ», 2009 № 5. с. 195-200, электронный журнал «Труды МАИ», 2011 № 46, а так же на научном семинаре кафедры 604 Московского авиационного института (Национального исследовательского университета).
Структура и объем работы
Диссертационная работа состоит из введения, 3 глав, заключения по работе и списка литературы из 74 наименований. Работа содержит 130 страниц печатного текста, 14 рисунков и 1 таблицы.
Уравнения движения легкого самолета вокруг центра масс
Диссертационная работа состоит из введения, 3 глав, заключения по работе и списка литературы. Работа содержит 130 страниц, 14 рисунков.
Как отмечалось, движение легкого самолета в атмосфере происходит под.действием целого ряда случайных возмущений. Кроме того, измерения фазовых координат легкого самолета, необходимых для формирования управления,- выполняются с существительными случайными ошибками. Известно, что высокую конечную точность управления в таких условиях можно-достичь на основе-методов оптимального стохастического управления. При этом техническая реализация системы стохастического управления сопряжена с использованием в контуре системы управления, бортовой цифровой, вычислительной машины (БЦВМ), к которой- предъявляются высокие требования по быстродействию и объему памяти запоминающего-устройства. Несмотря на то, что теория стохастического управления достаточно хорошо развита, применение этих методов к задаче управления легкого самолета в полном объеме сопряжено с существенными трудностями как методического, так и технического» характера. Методические трудности связаны с тем; что математические модели движения легкого самолета в атмосфере и измерений, как правило, являются существенно нелинейными. В этом случае вычисление условных плотностей вероятностей вектора фазовых координат легкого самолета и текущих измерений по вектору прошедщих измерений, используемых при формировании оптимального стохастического управления, возможно лишь численными методами, что, как правило, не удается выполнять на борту легкого самолета в реальном масштабе времени. Математическое решения задачи упрощается посредством введения понятия достаточных координат, под которыми обычно понимают вектор условного математического ожидания и условную ковариационную матрицу фазовых координат управляемого объекта. В этом случае исходная задача синтеза оптимального стохастического управления разделяется на две совместно решаемые задачи: определение достаточных координат и синтез оптимального управления в функции достаточных координат. Поставленная задача существенно упрощается, если использовать линеаризованные по вектору расширенного состояния математические модели движения легкого самолета и измерений. В этом случае справедлива теорема разделения, теоретическое обоснование которой дано, например в [17]. В соответствии с теоремой разделения задача определения достаточных координат может быть решена независимо от задачи синтеза оптимального управления. В этом случае система стохастического оптимального управления состоит из двух блоков: блока обработки информации и блока собственно управления.
Следует отметить, что по своей сложности алгоритмы фильтрации, применяемые в блоке обработки информации, значительно превосходят алгоритмы, на основании которых обычно строится блок собственно управления, поэтому алгоритмы обработки информации определяют конкретные характеристики БЦВМ и, как показывают исследования, вызывают наибольшие трудности при их реализации.
При выборе алгоритма обработки информации большое значение играет удобство реализации метода фильтрации на БЦВМ. Из этих соображений наибольшие преимущества доставляют методы рекуррентной обработки информации. В этом случае вычисления распадаются на ряд однотипных, повторяющихся операций и, кроме того, нет необходимости в запоминании большого объема информации, как это имеет место при использовании методов групповой обработки информации, например, метода наименьших квадратов. Наиболее хорошо изученным и широко применяемым методом рекуррентной фильтрации в линейных системах является фильтр Калмана. Этот метод непосредственно применим к задачам оптимального стохастического управления линейными системами, в то время как рассматриваемая исходная задача управления легкого самолета в атмосфере является существенно нелинейной. Применение фильтра Калмана к этой задаче основывается на возможности использовании линеаризованных моделей движения легкого самолета и измерений и применения специальных приемов, учитывающих влияние неучтенных нелинейностей. Следует отметить, что разработанные в настоявшее время методы, нелинейной фильтрации слишком сложны для реализации даже на современных бортовых вычислительных машинах применяемых на легком самолетом. Несмотря на то что, основные особенности фильтра Калмана достаточно хорошо изучены, при его использовании в конкретных технических задачах часто проявляется расходимость фильтра. Можно привести ряд причин обусловливающих ошибки определения фазовых координат системы при практическом использовании фильтра Калмана:
Построение формирующих фильтров атмосферных возмущений
Статистические методы обработки информации находят все более широкое применение в различных областях науки и техники. В ряде случаев современные высокопроизводительные ЦВМ позволяют использовать непосредственно или с некоторыми изменениями известные методы статистической обработки, реализация которых раньше была затруднена ввиду необходимости проведения большого числа вычислений, В других случаях возникает необходимость создания новых методов статистической обработки информации, более полно учитывающих статистические характеристики полезных сигналов и ошибок измерении. При этом (особенно для систем обработки информации, работающих в реальном времени) необходимо учитывать удобство реализации предлагаемых методов на ЦВМ. С этой точки зрения наиболее предпочтительны рекуррентные методы, требующие запоминания на каждом такте сравнительно небольшого числа результатов вычислений. Примером методов рекуррентной обработки информации может служить фильтр Калмана.
Этот метод статистической обработки информации, основанный на теории оптимальной линейной фильтрации, непосредственно применим только к линейным задачам. Однако большинство практических применений требует решения нелинейных, статистических задач.
Несмотря на то, что общая теория оптимальных методов статистической обработки информации в нелинейных задачах разработана достаточно хорошо, практическое применение результатов этой теории сопряжено со значительными трудностями их реализации даже на современных ЦВМ. Поэтому обычно применяются приближенные субоптимальные методы статистической обработки информации.
Предполагается, что наблюдение z осуществляется на временном интервале (/0, ). В основном будут рассматриваться точечные опенки, т.е. оценки Jc на заданный момент времени t. На практике задачи оценивания условно подразделяются на фильтрацию (t = tx), экстраполяцию или предсказание (t t0,t tx)и интерполяцию или сглаживание (ґ0 /t). При отыскании оценки x(t) естественно стремиться получить наилучшую (оптимальную) в некотором смысле оценку. Для этого необходимо задать критерий качества. Выбор критерия качества зависит от особенностей конкретной задачи и производится на основе анализа последствий, к которым может привести та или иная ошибка оценивания.
Вся статистическая информация, представляющая интерес при решении задачи оценивания, содержится в апостериорной плотности p(x/z) вероятности распределения вектора х при реализовавшемся наблюдении z на заданном интервале (/0, f,).
Эта функция характеризует степень знаний о векторе х после обработки всех измерении z на интервале наблюдений. Знание апостериорной плотности вероятности позволяет найти различные оптимальные оценки, соответствующие различным критериям качества. Введем в рассмотрение функцию потерь с(х,х), называемую также функцией штрафов и функцией стоимости. Поскольку оценка x(t) вектора x(t) зависит от реализации z , то значение функции c(x(t),x(t)) является случайным. Качество оценки поэтому оценивается средним (по реализациям z(t) ) значением функции потерь, т.е. E{c(x(t), x(t))}.
Оценка, полученная при использовании квадратичной функции потерь, находится как условное математическое ожидание вектора x(t) при реализовавшемся наблюдении z(t) и, таким образом, равна условному среднему [51] которая приводит к оценке, имеющей минимальную максимально возможную ошибку, называемую поэтому минимаксной. Такая оценка соответствует медиане апостериорной плотности вероятности.
В общем случае оптимальные оценки, полученные для различных критериев качества, различаются. Однако если апостериорная плотность вероятности унимодальна и симметрична относительно моды, то для всех симметричных функций потерь c(x(t),x(t)) = c(x(t),x(t)), являющихся неубывающими функциями ошибки оценки х(ґ) — х(ґ) оптимальные оценки совпадают. Такой случай имеет, например; место при гауссовском апостериорном распределении приведенных выше функциях потерь.
Получение оптимальных- оценок в практических задачах часто; оказывается чрезмерно трудоемким: В этих случаях иногда удается получить приближенные, так называемые субоптимальные оценки, которые незначительно уступая по качеству оптимальным оценкам, значительно проще в реализации; Особенно важно, получение приближенных оценок в- . нелинейных задачах.
Несмотря- на; то, что методы нелинейной статистической обработки информации разработаны; достаточно хорошо, основным методом: оценивания в прикладных задачах остается линейный; метода фильтра Калмана„ и его: модификации;
Ранее уже неоднократно использовались такие термины как оценивание и оценка. Под оценкой: понимается; некоторое правило, согласно которому вычисляются частные значения х; соответствующие частным выборкам z = а.
Оценка называется несмещенной, если ее математическое ожидание равно математическому ожиданию оцениваемой величины. Так, если Е{Х} = Е{Х}, то говорят, что оценка х безусловно несмещена. Это равенство можно записать иначе
Если математическое ожидание оценки вычисляется при условии, что значение оцениваемого параметра фиксировано, то для условно несмещенной оценки должно выполняться равенство
Для любой оценки можно вычислить корреляционную матрицу вектора ошибок оценивания: var{;t} = Е{(Х - х)(х -х)т}= Е\ХХТ }, (2.8) Оценка х называется несмещенной оценкой с минимальной дисперсией (условно минимальной или безусловно), если она несмещена, т.е. если для нее справедливо равенство (2.6) или (2.7) , и, кроме того, соответствующая ей ковариационная матрица var{x} меньше ковариационной матрицы вектора ошибок любой другой несмещенной оценки. Говорят, что оценка сходится к оцениваемой величине, если её точность возрастает с увеличением объема выборки. Введем обозначение хк для оценки параметра по выборке объема к , Оценка называется состоятельной, если для любого є О
Расширенный фильтр Калмана. Итерационный фильтр Калмана
Летные испытания, как известно связаны со значительными материальнымшзатратами даже при отработке легких самолетов [25]. В.связи с этим возникает проблема оптимизации планирования экспериментальных исследований, включающая; в частности, задачу наиболее полной и точной реализации выбранных режимов и маршрутов-полета самолета.
Отклонения от выбранной программы полета обусловлены в первую очередь B03fleficTBHeMv различных возмущающих факторов. При этом основными из них являются атмосферные-возмущения, а также отклонения начальных условий движения от расчетных значений.
В связи с этим актуальной задачей является разработка И реализация алгоритмов управления легким самолетом, которые могут парировать воздействие случайных возмущений и обеспечить реализацию выбранного исследовательского режима полета самолета с высокой точностью.
Для решения поставленной задачи могут быть использованы фундаментальные результаты теории оптимального управления [17], [46], в частности, принцип оптимальности Понтрягина. Однако, как известно практическая реализация получаемых при этом алгоритмов оптимального управления оказывается затруднительной в связи с необходимостью решения возникающих при этом двухточечных краевых задач, требующих применения различных итерационных процедур вычислений, что является нежелательным для режимов оперативного управления полетом самолета.
Далее рассматривается задача формирования алгоритма управления легким самолетом, основанного на прямом решении задачи оптимизации и последующей сравнительной проверке его с оптимальным решением.
При решении поставленной задачи ограничимся рассмотрением лишь уравнений движения центра масс самолета, т.е. будем считать, что система угловой стабилизации работает идеально. Кроме того, учитывая результаты полученные во второй главе, будем считать, что все переменные состояния в уравнениях движения суть оценки, получаемые с помощью фильтра Калмана. При таких допущениях стохастическая задача трансформируется в детерминированную в терминах оценок.
В качестве компонент вектора управления примем угол атаки и скоростной угол крена. Математическая модель движения самолета представлена в форме (1.6). Критерий оптимальности представляется в виде следующего оптимизирующего функционала: J = R = [(JU- Lf + {у, - у)2 + (z. -zff, (3.1) где L , у , z„ - координаты самолета, соответствующие заданной репернои точке полетного задания ( программной траектории полета ); L, у, z- оценки координат самолета в момент достижения репернои точки на маршруте. Для решения поставленной задачи воспользуемся условиями оптимальности управления в форме принципа минимума для задачи терминального управления с критерием (3.1).
Учитывая, что величина угла атаки на практике не превышает величину порядка 20, можно положить Psina = Pa ,Pcosa = P. Кроме того, при формировании алгоритмов управления не будем рассматривать угол скольжения, который в дальнейшем будет учитываться при моделировании процесса управления самолетом с учетом атмосферных возмущений, в частности, ветра. образом, оптимальное значение угла атаки оказывается равным его предельно допустимому значению.
Для определения оптимального значения угла крена рассмотрим часть гамильтониана, непосредственно используемую для нахождения оптимального значения угла уа
Известно, что решение двухточечной краевой задачи сопряжено с определенными вычислительными трудностями и требует реализации некоторого итерационного вычислительного процесса, что является нежелательным с технической точки зрения. В связи с этим далее рассматривается прямое решение задачи формирования оптимального управления. При этом используются теоретические результаты, выявленные с использованием принципа оптимальности [17].
Учитывая, что гамильтониан не зависит от дальности полета и бокового отклонения, а также пренебрегая зависимостью плотности атмосферы от высоты, можно считать, что где С4, С5, С6 -константы, подлежащие определению. Кроме того, в рассматриваемой задаче время окончания процесса управления не фиксировано, поэтому гамильтониан равен нулю, что позволяет выразить одну из сопряженных переменных, например первую, через остальные сопряженные переменные:
Решение краевой задачи для канонической системы уравнений характеристик
Для окончательного определения оптимального управления необходимо знание сопряженного вектора. В этом случае приходится решать двухточечную краевую задачу для системы уравнений характеристик
Известно, что решение двухточечной краевой задачи сопряжено с определенными вычислительными трудностями и требует реализации некоторого итерационного вычислительного процесса, что является нежелательным с технической точки зрения. В связи с этим далее рассматривается прямое решение задачи формирования оптимального управления. При этом используются теоретические результаты, выявленные с использованием принципа оптимальности [17].
Учитывая, что гамильтониан не зависит от дальности полета и бокового отклонения, а также пренебрегая зависимостью плотности атмосферы от высоты, можно считать, что где С4, С5, С6 -константы, подлежащие определению. Кроме того, в рассматриваемой задаче время окончания процесса управления не фиксировано, поэтому гамильтониан равен нулю, что позволяет выразить одну из сопряженных переменных, например первую, через остальные сопряженные переменные:
При решении задачи оптимального управления применялся метод покоординатного спуска. Задавались начальные значения для системы (3.12), причем «начальные» значения сопряженных переменных принимались равными:
Затем, система (3.12) интегрировалась в прямом направлении с определением критерия (3.1) на конце траектории. Условием остановки интегрирования системы являлся факт начала роста критерия (3.1).
При моделировании строилась программа оптимального управления, обеспечивающая переход из точки с заданными координатами в другую заданную точку (построение маршрута полета). Результаты моделирования приведены нарис. 3.1-3.4.
В соответствии с полученными теоретическими результатами по выявлению структуры оптимального управления, угол атаки принимается предельно допустимым. Угол крена будем определять, исходя из условия минимума оптимизирующего функционала (3.1) несмотря на то, что управление в него входит неявно. Используя известное правило приведения терминального оптимизирующего функционала к интегральному, будем рассматривать следующую задачу, эквивалентную исходной:
Оказывается, что угол крена явно входит в выражение второй производной оптимизирующего функционала. В предположении о допустимости перестановки операции минимума под интеграл можно найти прямое решение в обход решения краевой задачи. Для доказательства сказанного составим выражения для R (Y) и R2{t), в которых, в целях сокращения записи, зависимость от времени не указывается
В выражении (3.15) от угла крена будет зависеть только часть этого выражения, содержащая вторые производные AL , Ay , Az . Эту часть в целях упрощения дальнейших выкладок будем рассматривать отдельно, обозначив следующим образом R\ya ) = AL AL" + Ay Ay" + AzAz" (3.16) В этом случае условие оптимальности (3.13) можно записать в виде ro«m=argmin( ) (ЗЛ7) У Используя кинематические уравнения для V, у ,z из (1.6), получим: V = VK cosQcosT - (VK sinGcos lo + VK sin cos ) / = F sin0 + cos00 (3.18) z" = -VK cosQsinT + (VK sinGsin le - VK cos Fcos ) Используя динамические уравнения системы (1.6) для V, , Ч и подставляя их в (3.18), можно получить выражения для L", у", z", содержащие угол крена в явном виде: i?",(fa) = cosyo(ALsincos4/-AKCos-Azsin0sinvF)-sinya(ALsinvF+AzcosvF) (3.19)
Выражения (3.21), (3.22), как нетрудно видеть, фактически соответствуют решению задачи синтеза оптимального управления, формируемому на основе знания лишь фазовых координат. При этом, как показывают результаты численных расчетов, связанных с реализацией алгоритмов (3.7) и (3.21), численные значения выражений для (3.6) и (3.22) оказываются близкими.
С динамической точки зрения алгоритм (3.21) обеспечивает максимальное значение проекции вектора подъемной силы на вектор R(t), что фактически приводит к решению (3.13) . Необходимо также отметить, что техническая реализация алгоритма (3.21) не вызывает существенных трудностей. В алгоритме управления (3.21) используются тригонометрические функции углов наклона и поворота траектории полета самолета. Их расчет может быть выполнен с использованием информации, получаемой с использованием датчиков системы GPS или инерциальных измерителей в виде компонент вектора скорости Vx,
Другой технической особенностью реализации алгоритма (3.21) является то, что определяемый этим выражением угол крена соответствует повороту самолета относительно вектора скорости. В действительности же момент управления по крену создается относительно связанной системы координат. Иными словами необходимо учитывать ориентацию вектора скорости в связанной системе координат.
