Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА 1. Задача динамической реконструкции
1. Постановка задачи. Метод решения 13
2. Алгоритм реконструкции пары "траектория—управления", основанный на методе сглаживающего функционала 19
3. Алгоритм реконструкции пары "траектория—управления", основанный на динамическом варианте метода невязки 34
4. Вычислительный эксперимент 42
ГЛАВА 2. Оценки точности алгоритмов реконструкции
1. Оценки скорости сходимости алгоритма реконструкции
при измерении всех координат фазового вектора системы 54
2. Оценки скорости сходимости алгоритма реконструкции, основанного на методе сглаживающего функционала при измерении части координат 77
3. Оценки скорости сходимости алгоритма реконструкции, основанного на динамическом варианте метода невязки при измерении части координат 93
Список литературы 96
- Алгоритм реконструкции пары "траектория—управления", основанный на методе сглаживающего функционала
- Алгоритм реконструкции пары "траектория—управления", основанный на динамическом варианте метода невязки
- Оценки скорости сходимости алгоритма реконструкции, основанного на методе сглаживающего функционала при измерении части координат
- Оценки скорости сходимости алгоритма реконструкции, основанного на динамическом варианте метода невязки при измерении части координат
Введение к работе
В исследованиях различных динамических процессов и явлений возникают задачи восстановления неизвестных характеристик изучаемых объектов по доступной, зачастую не полной информации. Подобные задачи вкладываются в класс обратных задач динамики управляемых систем, состоящих в нахождении неизвестного входа системы по измерениям ее выхода. Система может описываться обыкновенным дифференциальным уравнением, дифференциальным уравнением в частных производных, дифференциально-функциональным уравнением и т.д. Уравнение, задающее динамику системы, предполагается известным. Входом являются факторы однозначно определяющие движение системы, им может служить либо управление (как функция времени), подаваемое на систему, либо начальное состояние системы, либо в общем случае пара: управление и начальное состояние. Выходом может быть любая доступная информация об управляемом процессе, часто (это соответствует практической ситуации) такой информацией является некоторый сигнал о текущей траектории системы. В настоящее время интерес к разработке и развитию теории, методов и алгоритмов динамического восстановления входных сигналов в динамических системах устойчиво растет, и расширяется область их практического использования.
Первые публикации, посвященные динамическим задачам, появились в середине 60-ых годов. В работах Р. Брокетта, М. Месаровича [64], Л. Силвер- мана [84] и других авторов [66, 83, 85] для систем, описываемых обыкновен- ^ ными дифференциальными уравнениями, при условии достаточной гладко- сти управлений, были получены критерии однозначной разрешимости обратных задач. В монографической литературе, вышедшей в 90-е годы, вопросам динамического восстановления входных воздействий посвящены монографии [41, 51, 65, 75, 80]. Если информация о выходных данных неточна, то обрат- ные задачи динамики, вообще говоря, становятся некорректными, и вопрос построения их приближенных решений сводится к отысканию соответствующих регуляризирующих операторов (алгоритмов). Для линейных идеально наблюдаемых систем регуляризирующий алгоритм, восстанавливающий начальное состояние, был предложен в [45]. В [13, 14], при условии слабой замкнутости оператора "вход — выход", указаны регуляризирующие алгоритмы аппроксимации (в метрике Хаусдорфа) компактного образа множества всех решений задачи.
Существенный вклад в развитие теории некорректных и обратных задач внесли А. Н. Тихонов, В. К. Иванов, А. Б. Куржанский, М. М. Лаврентьев, В. Г. Романов, Ф. А. Черноусько, В. В. Васин, В. И. Агошков, Ф. П. Васильев, В. Я. Арсенин и др. [1-4, 7, 8, 10, 14-17, 25, 33-36, 42-44, 54, 57-59 62, 71]. Отмеченные исследования по регуляризации относятся к программной постановке задачи: регуляризирующие алгоритмы обрабатывают историю измерений выхода целиком (имеют апостериорный характер). Вопрос о построении позиционных (вольтерровых) алгоритмов регуляризации для конечномерных управляемых систем был поставлен в работах Ю. С. Осипова и А. В. Кряжимского [28, 47]. Там же приведен метод устойчивого восстановления минимального по норме управления в случае неточного измерения в "реальном времени"полного вектора состояния аффинной по управлению системы. В основу алгоритма положено сочетание некоторых принципов теории позиционного управления с моделью, развитой Н. Н. Красовским и его школой [22-24] и идей теории некорректных задач [10, 16, 60]. Процесс динамического восстановления входа трактуется как процесс управления по принципу обратной связи вспомогательной управляемой системой (моделью), часть характеристик которой, меняясь во времени, "отслеживает" неизвестный вход. Разрешающий алгоритм строится в классе конечно-шаговых алго- ритмов, учитывающих поступающую информацию в конечном числе временных узлов. Для случая измерения части координат вектора состояния, при определенных предположениях на систему, подобные алгоритмы сконструированы в [5, 19, 20, 29, 31, 40, 50, 55, 68, 72, 76, 80]. Вопрос об устойчивой позиционной аппроксимации множества всех допустимых входов изучался в [32]. Ряд постановок и решений обратных задач динамики в классах динамических регуляризирующих алгоритмов исследовался в работах а) [11, 29, 37, 48-50, 67-69] — для систем обыкновенных дифференциальных уравнений; б) [26, 41, 77] — для систем с последействием; в) [18, 27, 38, 41, 51, 73, 78, 79] — для уравнений математической физики. Общая постановка задачи о динамической регуляризации в конечномерных системах (включающая, в частности, вопрос о регуляризации обратной задачи динамики), а также метод ее решения, основанный на привлечении функций Ляпунова, рассматривались в [48, 69].
Выделим общие для всех алгоритмов принципы выбора вспомогательной управляемой модели. Во-первых, конструируется некоторый оценочный функционал, из малости значений которого на движении модели следует близость модельного управления к искомому входу в смысле подходящей метрики. Во-вторых, управление в модели выбирается так, чтобы стабилизировать упомянутый функционал. Отметим, что работа выполнена в рамках указанного подхода к постановке и решению обратных задач динамики.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, списка обозначений, двух глав, списка литературы. Система нумерации утверждений и формул содержит два индекса, первый из них — номер главы, второй — номер объекта. Общий объем работы составляет 105 страниц машинописного текста.
Краткое содержание работы. В диссертации рассматриваются за- дача динамического восстановления пар "траектория—управление" при измерении части координат фазового вектора динамической системы, описываемой обыкновенными дифференциальными уравнениями. Содержательно суть рассматриваемой проблемы может быть сформулирована следующим образом. Имеется динамическая система , функционирующая на промежутке времени Т — [*0)^]- Ее траектория x{t) ~ {y(t)>z(t)} Є IR^+r\ y(t) = y{t]to,yo,z0,u(-)) Є R9,z(t) = z(t;tQ,y0,zo,u(-)) Є W>t Є T зависит от изменяющегося во времени неизвестного входного воздействия и(*) Є Ut, Ut С Ь%(Т, Жп) — множество допустимых входов. На интервале Т выбирается равномерное разбиение Д = {тг}10 с шагом <5, то = to, 7\+i = п + Sy тт = д. В моменты Ті замеряется часть координат выхода х(ті) системы, а именно у{т{). Результаты измерений — вектора г$ Є №? — неточны, удовлетворяют неравенствам № - у(п)\ < h, где h — уровень информационного шума. Требуется построить алгоритм, который по текущей информации r)h(t) в реальном времени восстанавливает неизмеряемую компоненту z(t) фазового вектора и некоторое управление u{t), порождающее выход у(t). Так как их точное восстановление невозможно (из-за неточности измерения rj (*) и дискретности замеров), то фактически необходимо, чтобы алгоритм, синхронно с развитием процесса, формировал некоторую пару "траектория — управление" {ги^(-), wft(-)}, которая должна быть "близка" к паре {z(-), и(-)} в соответствующей метрике.
В некоторых случаях, например, когда измеряются все координаты, естественно ставить вопрос о восстановлении только управления uh(-), являющегося аппроксимацией некоторого входа и(-), порождающего траекторию х(-).
В первой главе указаны два алгоритма решения описанной выше задачи.
Первый основан на методе сглаживающего функционала. Второй на динамическом варианте, известного в теории некорректных задач, метода невязки. При этом, предложенные алгоритмы ориентированы на восстановление "неограниченных" входных воздействий, т.е. на случай, когда множество допустимых управлений Ut совпадает с пространством J^C^R").
В первом параграфе первой главы дается строгая математические постановки задачи восстановления пары "траектория—управление" по результатам неточных измерений части координат фазового вектора системы. Указывается общий подход к ее решению, предложенный в [28, 80]. В соответствии с этим подходом задача реконструкции заменяется задачей управления по принципу обратной связи вспомогательной управляемой системой М (моделью). При этом алгоритм D^ решения задачи реконструкции пары "траектория—управление" отождествляется с тройкой Dh = (AhtM,Uh), где Ah — {та,і}]ьо — семейство разбиений интервала Г, М — модель (задаваемая некоторым дифференциальным уравнением с фазовой траекторией wh(-) и управлением /Л(-)), Uh — закон управления моделью по принципу обратной связи. Работы Dh строится по следующей схеме. Для каждого h Є (0,1) фиксируется разбиение Д^. Алгоритм разбивается на (тл — 1) однотипных шагов. В течении г-ого шага, который протекает на промежутке [тн,і,т^і+і), осуществляются следующие операции. Сначала, в момент тт,^, согласно выбранному закону Ы (*) вычисляется вектор
Затем на вход модели подается постоянное управление Uh{t) = Ul te[rhthrh,i+1).
После этого пересчитывается фазовое состояние модели: к ранее известному "куску" модельной траектории достраивается "кусок" wh(t): t [77^,77^+1). Вся процедура повторяется до момента $.
Таким образом, задача реконструкции трансформируется в следующие две подзадачи 1) выбор уравнения модели; 2) выбор закона формирования управления в этой модели Uh(-). При решении этих двух подзадач существенную роль играют а) априорная информация о структуре системы S (виде уравнения, свойствах его решений и т.п.), б) структура множества допустимых управлений Ut, в) характер измерений выхода (измеряются все координаты или их часть). При этом работа алгоритма Z\ строится таким образом, что при определенных условиях согласования некоторых параметров, пара {ш^(')) uh{')} ("траектория — управление"), составляющая выход алгоритма, аппроксимировала пару {-г(-)> и{')}- Именно равномерное отклонение w^(i) от z(t):
К*(0 - ^)\С{Т-Ж) = ^Р \whz{t) - z{t)l и среднеквадратичное отклонение и (і) от u(t):
И-)-оіІ№) = /ио-«(*)Ґ<«, должны быть сколь угодно малыми при достаточной малости измерительной погрешности h.
Во втором параграфе первой главы для системы , описываемой нелинейными по фазовым переменным обыкновенными дифференциальными урав- нениями
У(<) = Vl(*. »(*), *(*)) + v?2(«, ї/(*), *(*))"(*), *(*) = W*. 2/(0» *(<)) + iM*. !/(*),*(*))«(<). указывается регуляризирующее семейство алгоритмов решения задачи реконструкции пары "траектория—управление" основанное на методе сглаживающего функционала. Эта задача решалась в работе [31]. Там же был предложен, основанный на конструкциях работ [28, 80] , алгоритм вычисления z(-) и и(-) , когда на входное воздействие наложено мгновенное ограничение, т.е. задано ограниченное и замкнутое множество Р С 3R такое, что u(t) Є Р при t ЄТ.
В настоящей работе этот алгоритм модифицируется таким образом, чтобы было возможно восстановить неограниченное управление, когда и(-) Є Zr2(T;R"). При обосновании этого алгортма используются конструкции работ [31, 39].
В третьем параграфе указан другой алгоритм решения этой же задачи, который основывается на на динамическом варианте метода невязки [8, 60]. Представленные в 2 и 3 алгоритмы являются устойчивыми к информационным помехам и погрешностям вычислений.
В четвертом параграфе приведены результаты модельных расчетов, иллюстрирующие регуляризирующий алгоритм, описанный в 2, применительно к задаче динамического восстановления управления и траектории летательного аппарата (ЛА) по результатам неточного измерения части фазового вектора. Динамика полета ЛА формализована нелинейной по фазовым переменным дифференциальной системой в пространстве Ш7. При этом измерения фазового состояния проводились по одной фазовой характеристике.
Во второй главе устанавливаются некоторые оценки характеризующие скорости сходимости для регуляризирующих алгоритмов, описанных в первой главе и работе [39].
Сначала рассматривается алгоритм реконструкции "неограниченного" управления представленный в работе [39], в которой, динамика Е описывается нелинейным дифференциальным уравнением y(t) = 1Ш) + Bu{t), t[0,T], у(0) = уо, где у Є №, В — (q х тг)-мерная матрица, /()— ^-мерная вектор функция, удовлетворяющая условию Липшица, u(t) Є К" — управление. Замеры 7]h(Thti) Є Ш? производятся по всем координатам фазового вектора системы. Множество допустимых управлений U? совпадает со всем пространством Ь2(Т;Шп). Для этого алгоритма в 1 установлены нижние оценки скорости сходимости (верхние оценки точности алгоритма представлены в [39]). При некоторых дополнительных условиях получены верхняя и нижняя оценки точности алгоритма, имеющие одинаковый порядок при определенном выборе согласования параметров. Некоторые нижние оценки для других динамических алгоритмов реконструкции приведены в [9, 21, 41, 52]. При этом в работах [21, 41, 52] рассмотрены случаи, когда управления стеснены "мгновенными" ограничениями, т.е. u(t) Є Р, Р - выпуклое замкнутое множество в Ш.п. Статья [9] посвящена стационарным линейным параболическим уравнениям.
Во втором параграфе получены оценки скорости сходимости для алгоритма реконтрукции, представленного в 2 главы 1. Здесь также, как и в 1 при некоторых дополнительных условиях, для случая, когда входное воздействие г((-) является функцией ограниченной вариации, установлены оценки точности сверху и снизу совпадающие по порядку в метрике пространства L2(T;R").
В третьем параграфе приведены верхние оценки скорости сходимости для алгоритма реконструкции пары "траектория^управление", описанного в 3 главы 1.
Апробация работы. Основные результаты диссертации обсуждались и докладывались на конференциях: VIII конференции "Обратные и некорректно поставленные задачи" (Москва, МГУ, 2003 г.), Алгоритмический анализ неустойчивых задач (Екатеринбург, 2004 г.), VI Международном конгрессе по математическому моделированию (Нижний Новгород, 2004 г.), региональной молодежной конференции Проблемы теоретической и прикладной математики (Екатеринбург, 2004 г.); на семинарах в Московском государственном университете им. М.В. Ломоносова (факультет ВМК, кафедра оптимального управления 2005 г.) и в Институте математики и механики УрО РАН.
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [86-93]. Результаты вошедшие в диссертацию получены автором самостоятельно.
Алгоритм реконструкции пары "траектория—управления", основанный на методе сглаживающего функционала
Прежде чем переходить к непосредственному описанию алгоритма решения поставленной задачи, введем условия которые нам потребуются в дальнейшем. Пусть Еу и Ez — ограниченные подмножества пространств Шя и Ш? такие, что траектория x(t) = {y(t), -?()} Є Еу x Ez при t Є Т. Условие 1.3. Ранг матрицы Р2{-) наТ X Еу X Ez равен п и п q. При выполнении этого условия, уравнение (1.4) может быть формально разрешено относительно u(t): Здесь p2 ( ) — псевдообратная к 2(-) матричная функция размерности (п X q), такая, что при t Т In — единичная матрица размерности [п X п). Как показано в [31] , матричная функция tp 1 () на Т х Еух Ez удовлетворяет условию Липшица с константой с[(р2 ]- Заметим, что при выполнении условия 1.3 множество U(y[-)) = {w (-)} — одноэлементно. Условие 1.4. Матричные функции р2 (t, у, z) и ф2{і, У z) таковы, что для r{t) -i 2{t y{t),z{t))ip {t,y{t),z{t)) справедливо to -ll Введем постоянные c[y], b[(fk], b[ip2 ], Ь[фк], fc = 1,2 такие, что В соответствии с подходом описанным в 1 каждый алгоритм D решения задачи отождествляется с тройкой (Дд, .М}/д), где Дд — разбиение (1.8) отрезка Т с равномерным шагом S(h), М — модель (1.7), Ын — закон формирования управления в модели (1.10). Выберем функцию a(h) (регуляризатор) и диаметр разбиения 5(h) = (# — о)/шЛ таким образом, чтобы при h —э- 0 выполнялись условия: Здесь А 0, ег 0 — константы. Модель М зададим группой дифференциальных уравнений % І = ги (г ). Тройка Wy(i) Є К?, шг( ) ]Rr и Wy(t) Є R? составляет фазовый вектор модели wh(-) — {Wy{),!(;(),ІІ; (-)}. Закон формирования управления в модели Ы отождествляется с правилом, ставящим в соответствие каждой пятерке где с 0 некоторая константа, вид которой молено выписать явно, штрих означает транспонирование. Работа алгоритма Dh (при фиксированном К) разбивается на конечное число однотипных шагов.
Очередной, г-ый шаг выполняется на промежутке времени S{ = [Th}i,Th,i+i)- В течении этого шага осуществляются следующие операции. Сначала, согласно (1.19)-(1.21), вычисляется тройка векторов {UijUi, v-1}, составляющая вектор управления У/\ затем на вход модели (1.16)-(1.18) подаются постоянные управления После этого пересчитывается фазовое состояние модели, вместо {гу (г ), ?(тлД и#(7 )} находятся {wjfa,i-n), w (rh i+i), и#(тл і+і)}. Вся процедура заканчивается в момент -д. Справедлива следующая теорема Теорема 1. Пусть выполнены условия согласования псевдообратная к 2(-) матричная функция размерности (п X q), такая, что при t Т In — единичная матрица размерности [п X п). Как показано в [31] , матричная функция tp 1 () на Т х Еух Ez удовлетворяет условию Липшица с константой с[(р2 ]- Заметим, что при выполнении условия 1.3 множество U(y[-)) = {w (-)} — одноэлементно. Условие 1.4. Матричные функции р2 (t, у, z) и ф2{і, У z) таковы, что для r{t) -i 2{t y{t),z{t))ip {t,y{t),z{t)) справедливо to -ll Введем постоянные c[y], b[(fk], b[ip2 ], Ь[фк], fc = 1,2 такие, что В соответствии с подходом описанным в 1 каждый алгоритм D решения задачи отождествляется с тройкой (Дд, .М}/д), где Дд — разбиение (1.8) отрезка Т с равномерным шагом S(h), М — модель (1.7), Ын — закон формирования управления в модели (1.10). Выберем функцию a(h) (регуляризатор) и диаметр разбиения 5(h) = (# — о)/шЛ таким образом, чтобы при h —э- 0 выполнялись условия:
Здесь А 0, ег 0 — константы. Модель М зададим группой дифференциальных уравнений % параметров (1.15). Тогда имеет место сходимость В основе доказательства теоремы 1 лежит процедура стабилизации функционала типа Ляпунова где w%(t) — фазовая траектория уравнения (1.18) модели. При доказательстве этой теоремы используются следующие леммы Лемма 1. Если при всех h Є (0,1) выполняется неравенство 0 h/5(h) Л = const, то верна оценка to Согласно этой лемме и (1.17) существует константа c[w] такая, что ur (i) — Лемма 2. Справедливы оценки Лемма 3. Пусть выполнены условия (1.15). Тогда мооюно указать число Н Є (0,1) и постоянные do, d\, и di такие, что при всех h Є (0,1/) справедливы неравенства Теорема 1 является прямым следствием леммы 3. Ее доказательство проводится по стандартной схеме [28, 80]. Лемма 4. [80] Пусть заданы две функции: a(t) Є L (Г; Rn) и b(t) Є 1У(Т;К). Тогда, если верны неравенства ja(s)ds є и \b(t)\ М при to t ЄТ, mo справедлива оценка
Алгоритм реконструкции пары "траектория—управления", основанный на динамическом варианте метода невязки
Пусть выполняется (1.13) и условия 1.3, 1.4. Для задачи реконструкции основаной на динамическом варианте метода невязки, модель М зададим управляемой системой вида: где wft(-) R? — управление, пара {ги (-), ш (-)} Є 1 х ЕГ - составляет фазовую траекторию модели (-), для краткости записи обозначено wz,i = wz(Ti) Vi = Vh(Ti), $ = Ы, г,г\- Стратегию (1.10) выбора управления Uh(-) = {uft(-),tik(-)}, где wh(-) 3Rn — некоторое вспомагательное управление (в дальнейшем функция uh(-) будет служить приближением, в смысле среднеквадратичного отклонения, входа и {-)), задим следующими равенствами: Работа алгоритма проводится по следующей схеме. До момента to фиксируются погрешность h} а также разбиение Д = {тл,»} о отрезка Т. Тогда на очередном г-м, шаге выполняемом на промежутке времени [77 ,77 +1), 0 і ти — 1, осуществляются следующие операции. Сначала вычисляются вектора {й и } согласно выбранной стратегии (1.54)-(1.55). Затем на вход модели подается постоянное управление u"(t) = Щ, і Є [77 ,77 +1). После этого пересчитывается фазовое состояние модели: вместо wh(rhti) = {Ш?(ГЬ,І) (ТА,І)} находится wh(Thj+i) = { (7 ,.+1), ( +1)}. Вся процедура заканчивается в момент $. Имеют место Теорема 2. Семейство позиционных алгоритмов моделирования Dh вида (1.8), (1.52)-(1.55), (1.57) является регуляризирующим. При доказательстве теоремы используется следующая лемма. Лемма 5. Отклонение траекторий модели (і.53) от траектории системы (1.5) удовлетворяет неравенству КЧ ) - (-)1с т; -) K.{h + л/Щ) (1-58) Доказательство леммы 5 проводится по схеме приведенной в леммах 1 и 2. Доказательство теоремы 2. Введем вспомогательное обозначение: ФАД ) = VkiTh rfttW - pk(t,y(t),z(t)): fc = 1,2. Из условия Липшица и леммы 5 имеем при t Є fch,i- Th,i+l) Іф , ( )І c{vk](6 + h + c[y]V6 + c[w}VS + K {h + \f6)} c[tpk]K{h+V5), (1.59) где К = 1 + c[y] + c[w] + А" . Докажем следующую оценку l« (0lL(r;R-) М )ІЇЯ(Г:И»)- (1-60) Пусть v = - I u {t)dt, 1 і rrihi тогда согласно (1.4) выводим следу ю щее неравенство і(тЬ,і, г . «Чг) + V2(TA,i, Пі . Wz,i)Vi Th4 h h Tft,, s\ і y?2 !{ A) - p2(t,y(t),z(t)))u {t)dt+ + Thv J ( і(лм,%\ ) - ( ,v( ) W) + i/( ) W - чі-і) )t# TA.i-1 ТЛ,і ТА,І 0# - tf-i) ) сШ Th,»-1 7"Л,І-1 То есть выполняется оценка (см. (1.59)) V2{TKi,vlhzM-F?\ 2h Th,i + К(+J + ф2]і /" «,(t)dt)(A+V ). (1.61) Tft,i-1 Согласно правилу построения функции i/(h,5(h),d(h)) (1.56) возможны два случая. Первый: v? Є ї . Тогда из (1.55) имеем \и% г, отсюда следует
Для доказательства теоремы 2 достаточно установить условие а) определения 1, условие б) выполнено в следствие леммы 5. Предполагая противное, заключаем: существует последовательность V ( ) Е(Ї/(-), fyt), /ijt — 0 при к —у оо такая, что Рассмотрим \(Ыу(-) (-),и\.))-( ,у(.) (-),ик(-))\+ + У( ; , г/(0, (0, «к(0) - Н ; rfc(0, (0, (0, « (0). Здесь символ тк(-) означает функцию, определяемую правилом: Tk(t) — {ТЬ,І+І : t Є К;,г +1),г = 0,.. .,mA - 1}, 17 (0 = Vft (0 s(y(0»ft )- Распишем подробнее второе слагаемое. Из (1.59) имеем ( (0, (0, (0)- (0.440, (0. (0)1 р+1 у у Е(у іфї, ( )іл+ у К. ки) ї=1 П-1 т-м-і tf(fcA + ч/4) (сМ + сЫ4) ( ? - t0). Здесь р = [(t — to)/8] ([а] — целая часть числа а), тр+\ = t. Таким образом, получаем t + А{(0 у а( ,у(в), М)[и00 - « («)]& to + K(hk + уД к) (c[tpi] + c[ p2]dk} (t? - t0). Стандартным способом [ЗО, 41], из условий u (0 Є Z O jM"), t/(t ) — y(t4)\ c[y]\/\t — t j, определения (1.55) управления w (0, (1.56), доказывается оценка А5(0 = У( ;г(0, 0, (0,« (0)-П ; ,г/(0, 0,« (0)1 = РОССПЇТСКЛЯ ГОСУЛЛРСЇІ;Ч:;ІІЛЗ БПБЛИОТЙІА Р+1 Th Y1 / ( 1( . )+ 2( , , ) - (5)) »=і_ Th,i-l h \„.k vli Vi-i) Р+1 Тг\ /„к „it - X / k(r ? )+ 2(TV,Ч?, І)Ч- ds+ Tfi,i-I P+I (tf-rf-i) v{hk,ek,dk){$ - t0) + +1 - 7/J + y(t0) - y{t)\ ( + K(hk + V ) (Фі] + c[pz]dkj) (& - to) + (hk + c„ v/5) Из (1-57) и слабой сходимости wfc(-) — u(-) в Х«2( \ п)т имеем: max \Y{t; t, y(-), (), u(-)) " ( 5 УІ ) ( ), MO) I A{( ) + Aj(i) -)-0, fe- oo. Последнее означает, что гі(-) порождает движение і/(-). Отсюда и из (1.60) следует ІІІП u (-)Ua(T;R») = «o( )Ua(T;R-) = IMOUaCT »)- (1-63) fc— 0O Слабая сходимость « () —» «o( ) в ХгСПЕ"), одноэлементность множества U(y{-)) и условие (1.63) влекут сильную сходимость uk(-) к и (") в метрике пространства Ь2(Т\Шп), что противоречит предположению (1.62). Теорема 2 доказана.
Оценки скорости сходимости алгоритма реконструкции, основанного на методе сглаживающего функционала при измерении части координат
В 2 первой главы установлено, что рассматриваемый алгоритм является регуляризирующим. При некоторых дополнительных условиях можно установить верхние и нижние оценки равные по порядку. Для краткости дальнейших выкладок введем обозначения В дальнейшем предполагаем выполненным условие 2.1. Тогда справедливы следующие утверждения. Лемма 9. Имеют место оценки относительно фазовых траекторий исходной системы и модели Доказательство леммы проводится по схеме лемм 1, 2 первого параграфа. Теорема 8. Пусть выполнены условия (1.15). Тогда можно указать число h 6 (0,1) и постоянную d\ такую, что при всех h (0,Л] справедливо неравенство Доказательство теоремы 8. Рассмотрим величину xh{t) = {w%(t) — y{t))-Имеет место следующая цепочка равенств (см. (1.4), (1.18)) Таким образом, получаем разностное уравнение вида max t Построим его решение. Для этого рассмотрим свойства матриц А± и неод-нородностей 7 Для каждого і матрица Р± является самосопряженной. Тогда из теоремы (і) и условия 1.4 следует Р-1 — I diagfA/ )! 1, где Xf 0 — собственные числа (j — 1,2,..., ), V — унитарная матрица. Обозначим дшш _ mjn (AfA A = max (Af ). Введем матричную норму / = А Пусть Amin = min (A in), Amax = max (Af"). Видно, что матрица т=0,...,тЛ-1 1=0,...,)71/,-1 Л является самосопряженной, собственные значения которой определяются формулой При выполнении (2.13) собственные числа sfj(h) [є, 1) для Vi,j (т.е. матрицы А являются невырожденными и сжимающими). Решение уравнения (2.40) имеет вид Рассмотрим неоднородность 7 - Из (2.38) имеем Тогда Напомним b[u] = \u (-)\c(T;m.n)- Отсюда, справедлива оценка Введем величины sf {b) = max (sfJh)) и smax(h) = max (sf8 )) 0. j=l,...,g ,J г=0,...,тЛ-1 Тогда выполняется неравенство Из (2.41) следует, что sm (h) = 1 (Amin Н ] 1. Используя сумму чле о; V а / нов геометрической прогрессии, выводим Из начального условия (w„(to) — y(to)) следует XQ = 0. Теорема 8 доказана. Теорема 9. Пусть выполнены условия (1.15). Тогда можно указать число h Є (0; 1) и постоянную d i такую, что при всех h Є (0, h] справедливо неравенство: Доказательство теоремы 9. Рассмотрим функцию Нетрудно видеть (см. (1.20)), что управление uh(t) при і Є [тл,ь т/і,і+і) находится следующим образом і). В таком случае справедливы оценки (см. (2.43) Тогда Учитывая полученные соотношения имеем где сі = 2v/A (cu + 6M), c2 = c1{c[w] + c[y]) + 2d2cl/, c3 = 2d2(c[F] + c[]6[u]). Последнее неравенство выполнено для всех і = О,1,..., тн — 1. Заметим, что ji(0) = wj(0) - у(0)2 = 0. Таким образом, при любом t [0,Т] Отсюда вытекает оценка (2.48). Теорема 9 доказана.
При выполнении условия 2.1, опираясь на теоремы 8 и 9, получим верх нюю оценку скорости сходимости. Теорема 10. Пусть выполнены условия согласования параметров (1.15). Управление и (-) Є UT является функцией ограниченной вариации на [О, Г]. Тогда имеет место следующая верхняя оценка скорости сходимости алгоритма Доказательство теоремы 10. Воспользуемся равенством тдер — [t5 ] ([а] — целая часть числа а), тьгР+\ —t, В 1(t) /?2 С Ї/(0 2(0) (см. условие 1.3), причем ІВ"1 )! = (Amin)-V2, Пусть q(t) = tp-\t,y(t),z{t)): тогда Здесь Сг = С\ ( var u (t)-\-b[u] J. Возвращаясь к (2.51), из теоремы 9 (см. 2.48)) и (2.53) следует оценка (2.50). Теорема 10 доказана. Получим теперь нижнюю оценку того же порядка. Зафиксируем некоторую траекторию ж(-) = {y{ )i z(-)} Є X, такую что u (t) = u (t\y(-),z(-)) = гц. Имеет место теорема. Теорема 11. Пусть функции S(h), a(h) удовлетворяют условиям (1-15) и где о — некоторая положительная константа. Тогда существует число h 0 такое, что для любого h Є (0, h] относительно выхода алгоритма справедлива оценка Замечание 2. Если a(h) = /г1/2, 6(h) — А, то (см.(2.50), (2.54)) верхняя и нижняя оценки скорости сходимости рассматриваемого алгоритма Таким образом, имеет место следующее разностное уравнение Матрица , а следовательно и Е , для каждого і являются самосопряженными. Из теорем (і)—(iii) следует, что собственные значения матрицы Е определяются значениями Из теоремы (iii) следует rnin (А ) = Аш, max (\fj) = А . Тогда \]J \ — \f . Также имеют место равенства Amin = min (Ain), Amax = i—Q,...,m,h—1 max (А-113- ). Пусть 5(h) и a(h) такие, что для некоторого фиксированного,..,,тЛ-1 Тогда собственные числа sfj(h) [є, 1) для Vi, j (т.е. матрицы Е± являются невырожденными и сжимающими). Решение разностного уравнения (2.55) Получим оценку для неоднородности Согласно замечанию 1 и теореме (iii), имеет место неравенство
Оценки скорости сходимости алгоритма реконструкции, основанного на динамическом варианте метода невязки при измерении части координат
Ранее, в 3 первой главы установлено, что предложенный алгоритм, основанный на динамическом варианте метода невязки является регуляризирую-щим. При некоторых дополнительных условиях можно установить верхнюю оценку скорости сходимости алгоритма. Отметим, из условия 1.3 следует, что существует число fj, 0 для которого справедливо неравенство Имеет место Теорема 12. Пусть выполнены условия согласования (1.57), и и (-) является функцией ограниченной вариации, тогда справедлива следующая оценка скорости сходимости алгоритма Здесь постоянная а 0 может быть выписана явно. Если положить 5 = /i3 4, a, d — /г-1/8 то, верхняя оценка скорости сходимости алгоритма основанного на динамическом варианте метода невязки будет иметь порядок h1 . Доказательство теоремы 12, Воспользуемся равенством Здесь символ var означает полную вариацию на промежутке [io L max[w (t)[. Теорема 12 доказана. 1. Агошков В. И. Обощенные решения уравнения переноса и свойства их гладкости. М.: Наука, 1988. 2. Алифанов О. М., Артюхин Е. А.? Румянцев С. В. Экстремальные методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1988. 3. Аниконов Ю. Е. Некоторые методы исследования многомерных обратных задач. Новосибирск: Наука, 1978. 4. Арсенин В. Я., Гончарский А. В. Некорректно поставленные задачи и обратные задачи математической физики // Вестник МГУ. Сер. Вы-числ. математ. и кибернет. 1981. № 3. С. 13-17. 5. Близорукова М.С., Максимов В.И. Об одном алгоритме динамической реконструкции управлений // Известия РАН. Теория и системы управления. 1998, № 2, с. 56-61. 6. Бочкарев А.Ф., Андреевский В.В., Белоконов В.М. Аэромеханика самолета: Динамика полета: Учебник для авиационных вузов/2-е изд. — М.: Машиностроение 1985. 7. Бухгейм А. Л. Уравнения Вольтерра и обратные задачи. Новосибирск: Наука, 1983. 8. Васильев Ф.П. Методы решения экстремальных задач. М: Наука, 1981. 9. Васильева Е.В. Нижние оценки скорости сходимости алгоритмов динамической реконструкции для систем с распределенными параметрами // Мат. заметки. 2004. Т. 76. вып. 5. С. 675-678. 10. Васин В. В., Агеев А. Л. Некорректные задачи с априорной информацией. Екатеринбург: Наука, 1993. 11. Вдовин А.Ю. Оценки погрешности в задаче динамического восстановления управления. Сборник научных трудов "Задачи позиционного мо- делирования". Свердловск. 1986. С. 3-11. 12. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. М.: Наука, 1988. 13. Гусев М. И. Об одном классе обратных задач динамики управляемых систем // Стохастическая оптимизация. Международная конференция. Киев. Тезисы докладов. Ч. 1. 1984. С. 72-74. 14. Гусев М. И., Куржанский А. Б. Обратные задачи динамики управляемых систем. В кн.: Механика и научно-
Максимов В.И. Об одном алгоритме динамической реконструкции управлений // Известия РАН. Теория и системы управления. 1998, № 2, с. 56-61. 6. Бочкарев А.Ф., Андреевский В.В., Белоконов В.М. Аэромеханика самолета: Динамика полета: Учебник для авиационных вузов/2-е изд. — М.: Машиностроение 1985. 7. Бухгейм А. Л. Уравнения Вольтерра и обратные задачи. Новосибирск: Наука, 1983. 8. Васильев Ф.П. Методы решения экстремальных задач. М: Наука, 1981. 9. Васильева Е.В. Нижние оценки скорости сходимости алгоритмов динамической реконструкции для систем с распределенными параметрами // Мат. заметки. 2004. Т. 76. вып. 5. С. 675-678. 10. Васин В. В., Агеев А. Л. Некорректные задачи с априорной информацией. Екатеринбург: Наука, 1993. 11. Вдовин А.Ю. Оценки погрешности в задаче динамического восстановления управления. Сборник научных трудов "Задачи позиционного мо- делирования". Свердловск. 1986. С. 3-11. 12. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. М.: Наука, 1988. 13. Гусев М. И. Об одном классе обратных задач динамики управляемых систем // Стохастическая оптимизация. Международная конференция. Киев. Тезисы докладов. Ч. 1. 1984. С. 72-74. 14. Гусев М. И., Куржанский А. Б. Обратные задачи динамики управляемых систем. В кн.: Механика и научно-технический прогресс. Т. 1. Общая и прикладная механика. М.: Наука, 1987. С. 187-195. 15. Жевнин А. А., Колесников К. С, Криценко А. П., Толокнов В. И. Синтез алгоритмов терминального управления на основе концепций обратных задач динамики (обзор) // Изв. АН СССР. Технич. кибернетика. 1985. № 4. С. 29-35. 16. Иванов В. К., Васин В. В., Танана В. П. Теория линейных некорректных задач и ее приложения. М.: Наука, 1978. 17. Кабанихин С. И. Проекционно-разностные методы для определения коэффициентов в гиперболических уравнениях. Новосибирск: Наука, 1988. 18. Ким А. В., Короткий А. И. Динамическое моделирование технический прогресс. Т. 1. Общая и прикладная механика. М.: Наука, 1987. С. 187-195. 15. Жевнин А. А., Колесников К. С, Криценко А. П., Толокнов В. И. Синтез алгоритмов терминального управления на основе концепций обратных задач динамики (обзор) // Изв. АН СССР. Технич. кибернетика. 1985. № 4. С. 29-35. 16. Иванов В. К., Васин В. В., Танана В. П. Теория линейных некорректных задач и ее приложения. М.: Наука, 1978. 17. Кабанихин С. И. Проекционно-разностные методы для определения коэффициентов в гиперболических уравнениях. Новосибирск: Наука, 1988. 18. Ким А. В., Короткий А. И. Динамическое моделирование возмущений. Короткий А. И. Восстановление управлений и параметров динамических систем при неполной информации // Изв. вые. учеб. заведений. 1998. № 11 (438). С. 109-120. 20. Короткий А. И. Динамическое восстановление управлений в условиях неопределенности // Известия РАН. Теория и системы управления. 2000. № 1. С. 21-
