Введение к работе
Актуальность теш. Управление динамической системой с помощью вспомогательной управляемой модели - один из конструктивных методов теории оптимизации, важной особенностью которого является устойчивость к информационным помехам и погрешностям вычислений.
В данной диссертации метод позиционного управления с моделью, предложенный Н.н.Красовским и развитый в работах Ю.с.Осююва, А,И.Субботина, А.іЗ.Кряжимского и других авторов, применяется для построения устойчивых алгоритмов решения задач динамического восстановления априори неизвестных входных параметров системы. Подобные задачи вкладываются в проблематику обратных задач динамики управляемых систем и состоят в нахождении неизвестного входа системы по измерениям ее выхода (такие задачи являются, как правило, некорректными). Система может описываться обыкновенным дифференциальным уравнением, дифференциальным уравнением в частных производных и т.д. входом служат величины, однозначно определяющие движение системы, обычно это управление (как функция времени), подаваемое на систему, и (или) начальное состояние. Выходом может бить любая доступная информация об управляемом процессе, например, о текущей траектории системы, что соответствует практическим ситуациям. Обратные задачи возникают во многих научных и прикладных разработках - в механике управляемого полета, при создании технологических и производственных процессов, в проблемах оперативной обработки информации, при контроле за экологической ситуацией и во многих других областях.
Актуальность упомянутых задач, их теоретический интерес и прикладное значение обеспечили интенсивное развитие теории обратных задач динамики управляемых систем. Первые публикации по данной тематике появились в середине 60-ых годов. В работах Р.Врокетта, М.Месаровича, Л.Силвермава, М.К.Оэйна и других авторов основное внимание уделялось критериям однозначной разрешимости обратных задач для систем, описываемых обыкновенными дифференциальными уравнениями.
Если информация о выходных данных неточна, то обратные задачи динамики, вообще, говоря, становятся некорректными, и вопрос построения их приближенных решений сводится к отысканию соответствующих регуляризирующих операторов (алгоритмов). Существенный вклад в становление и развитие теории некорректных
задач внесли А.Й.'Гихонов, В.К.Иванов, М.МЛаврентьев, В.В.Васин, Ф.И.Васильев, В.й.Арсенкн и др. Различные аспекты вопросов построения регудяризирующих алгоритмов для задач восстановления текущего (начального) фазового состояния динамической системы и возмущающих сил но измерениям тех или иных параметров движения рассматривались, например, в работав А.Б.Куржанского, М.И.Гусева, О.и.Никонова. Отмеченные исследования по регуляризации касаются, как правило, операторной постановки задачи, регуляризирунщие алгоритмы обрабатывают всю историю измерений выхода, т.е. тлеют апостериорный характер.
Задача построения позиционных (вольтерровых) алгоритмов регуляризации для конечномерных управляемых систем Сила поставлена в работах B.C.Остова ж А.В.Кряжимского. В 1) приведен метод устойчивого восстановления минимального по норле управления в случае неточного измерения в "реальном времени" полного вектора состояния аффинной по управлению системы. В основу алгоритма положено сочетание некоторых принщшов теории позиционного управления с моделью, развитой Н.Н.Красовским и его школой 2), 3), и идей теории некорректных задач 4). Процесс динамической аппроксимации трактуется как процесс управления по принципу обратной связи вспомогательной управляемой моделью, часть характеристик которой, меняясь во времени, "отслеживает" аппроксимируемый параметр. G расчетом на возможность практической реализации алгоритм строится в классе конечно-шаговых алгоритмов, т.е. учитывает поступающую информацию в конечном числе временных узлов, обрабатывая ее между узлами. Впоследствии подобные процедуры восстановления неизвестного управления были разработаны для случая измерения части координат вектора состояния (при определенных предположениях на дивамивд системы). Вопросы построения динамических алгоритмов решений достаточно широкого класса обратных задач для конечномерных, в тог*
1) Кряжимский А.В., Осипов Ю.С. О моделировании управления г динамической системе //Изв. АН СССГ. Техн. кио-ка. 1983. HZ.С.51-60. Z) Красовский н.н. Управление динамической системой. М. Наука. 1985. 3) Красовский Н.Н., Субботин А.И. позиционные дифференциальные игры. М. Наука. 1984.
.4) Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. М, Наука. 1978.
числе и нелинейных, систем исследованы в 5).
Настоящая работа следует указанному подходу к постановке и решению обратных задач динамики для конечномерных управляемых систем в условиях неполной и неточной информации.
Обратные задачи для систем с распределенными параметрами в рамі-tax программной постановки исследовались многими авторами. Существенное внимание проблемам существования, единственности и устойчивости решения таких задач уделяется в раоотах отечественных (А.Н.Тихонов, М.М.Лаврентьев, В.Г.Романов, А.л.Вухгейм, В.В.Гласно, ІІ.Д.Крутько, А.И.Нрмепко и др.) и зарубежных (Х.Бзнкс, К.Кюшш, Т.Сузуки и др.) авторов.
Некоторые постановки обратных задач динамики и подход к построению позиционных динамических методов их решения для распределенных систем обсуздались в докладе Ю.С.Осипова "Управление и моделирование в многомерных системах" за общем собрании Отделения механики и процессов управления АН СССГ в 1984 году. Далее этот подход развивался в работах Ю.С.Осипова, а также в работах В.И.Максимова, А.И.Короткого и других. Были предложены различные алгоритмы решения обратных задач (восстановление коэффициентов эллиптического оператора, правой части уравнения, начальных и граничных данных). В данной работе задача восстановления временной составляющей функции источника в параболическом уравнении рассматривается с позиций упомянутого подхода.
Целью работы является разработка и обоснование конечношаговых динамических регуляризирующия алгоритмов восстановления неизвестных управляющих воздействий в системах, описываемых линейными обыкновенными дифференциальными уравнениями и уравнениями в частных производных параболического тина, в условиях наблюдения неполного фазового вектора.
Методы исследования опираются на концепции и подходы теории позиционного управления с моделью и теории некорректных задач. В работе систематически используются понятия и методы теории обыкновенных дифференциальных уравнении и уравнений в частных производных, функционального анализа, линейной алгебры, приближенные
5) Osipov Yu.S., KryaznlmsKll A.V. inverse problems ror ordinary uiTi'erentiai equations. Dynamical solutions. Gordon and Breach science rubilsliers. 1995.
методы решения уравнений, методы решения экстремальных задач.
Научная новизна. Среди полученных в диссертации результатов отметим следующие:
1. Для линейной нестационарной системы обыкновенных дифференциальных уравнений предложены конечношаговые устойчивые алгоритмы, решающие задачу динамического восстановления управления по неточным измерениям в дискретные моменты времени части координат фазового вектора для двух случаев. В нервом считается известным . ограниченное, выпуклое и замкнутое множество, которому принадлежит . искомое управление во все моменты времени. Во втором случае такая информация отсутствует, т.е. управление в системе может быть неограничено как функция от времени, являясь лишь элементом пространства L2. Доказывается сходимость выходов алгоритмов к управлению, реализовавшемуся в системе, в метрике пространства L2 в сильном смысле (в первом случае) и в слабом (во втором), а также выводятся оценки скорости сходимости.
г. Для линейной стационарной системы сконструирован конечно-шаговый устойчивый алгоритм восстановления неизвестного управления, использующий менее жесткие ограничения на динамику системы по сравнению с другими известными алгоритмами. Исследуются условия корректности его применения.
3- Предложен алгоритм приОликенного решения интегрального уравнения Вольтерра II рода на основе неточных измерений интеграла от правой части. Получена оценка точности алгоритма.
4. Исследована задача моделирования неизвестной временной составляющей функции источника в параболическом уравнении, которое трактуется как упрощенная модель процесса распространения б атмосфере загрязняющей субстанции. Указана динамическая процедура, позволяющая находить приближение неизвестной функции па основе неточных измерений усредненной по заданным областям концентрации субстанции.
Все основные результаты диссертационной работы являются новыми. Теоретическая и практическая ценность раооты. Полученные результаты могут использоваться в дальнейших разработках в теория обратных задач динамики управляемых систем, описаваемш обыкновенными дифференциальными уравнениями и уравнениями в частнш производных. Предложенные в диссертации динамические алгоритмі восстановления неизвестных управлений в условиях наблюдеши
неполного фазового вектора системы ориентированы на программную реализацию к практическое применение при решение конкретных задач.
Апробация работы. Результаты диссертации докладывались и обсуждались на Всесоюзной конференции "Дифференциальные уравнения и оптзїмальное управление" (Ашхабад, 1990), Международных семинарах "Негладкие и разрывные задачи управления и оптимизации" (Челябинск, 1993), 'Многокритериальные задачи в условиях неопределенности" (Орехово-Зуево, 1994), научных семинарах Института математики я механики УрО Ш1 и кафедры оптимального управления Московского Госуниверситета.
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах и - 63. Гезультаты, вошедшие в диссертацию, получена автором самостоятельно.
Структура и объем работы, диссертация состоит из введения, двух глав и списка литературы, содержащего ЬЬ наименований. Общий объем работы составляет 134 страницы машинописного текста.
