Введение к работе
Актуальность темы.
Задачи с сингулярными возмущениями (уравнения с сингулярно возмущёнными коэффициентами, сингулярно возмущённые граничные условия, задачи в сингулярно возмущённых областях и т.д.) привлекают внимание исследователей на протяжении длительного времени. Для исследования такого рода задач оказались наиболее эффективными инструментами — теория усреднения и асимптотические методы. Отметим труды таких учёных в этой области, как В. М. Бабич, Н. С. Бахвалов, А. Ю. Беляев, A. Bensoussan, Н. Н. Боголюбов, Д. И. Борисов, В. С. Булдырев, В. Ф. Бутузов, А. Б. Васильева, М. D. Van Dyke, М. И. Вишик, Р. Р. Гадылыпин, Ю. Д. Головатый, G. Dal Maso, A. Damlamian, U. Hornung, В. В. Жиков, А. М. Ильин, Г. А. Иосифьян, С. М Козлов, О. А. Ладыженская, J.-L. Lions, Л. А. Люстерник, В. Г. Мазья, В. А. Марченко, В. П. Маслов, Т. А. Мельник, Ю. А. Митропольский, Е. Ф. Мищенко, F. Murat, С. А. Назаров, О. А. Олейник, Г. П. Панасенко, G. Papanico-lau, С. Е. Пастухова, Б. А. Пламеневский, Л. С. Понтрягин, А. Л. Пятницкий, Н. X. Розов, J. Saint Jean Paulin, Е. Sanchez-Palencia, И. В. Скрыпник, L. Tartar, А. Н. Тихонов, М. Ф. Федорюк, Е. Я. Хруслов, Г. А. Чечкин, D. Cioranescu, А. С. Шамаев.
В диссертации рассматриваются задачи в областях с быстрой осцилляцией границы области и трансмиссионного слоя в густых соединениях. Здесь под трансмиссионным слоем понимается асимптотически тонкий слой между телом соединения и большим количеством отростков в каскадном соединении. Интерес к такого рода задачам возник благодаря многочисленным приложениям. Это и инженерные науки, и физика, и химия, и биология. Задачи математической биологии давно появились в поле зрения учёных. На стыке наук можно найти неожиданные постановки и интересные приложения известных результатов. Например, в работе1 исследовался вопрос о проводимости биологических мембран и с помощью асимптотических методов была выведена более точная формула для проводимости. Краевые задачи, которые описывают поведение простейших одноклеточных, имеющих микроскопические размеры, естественно содержат малый параметр (характерный размер микронеоднородности среды). Закономерно, что для исследования таких задач становятся актуальными асимптотические методы и методы теории усреднения дифференциальных операторов, упомянутые выше.
Движение и питание простейших типа инфузории происходит благодаря наличию ресничек на поверхности их тел. Тонкие и относительно длинные реснички помогают доставлять питательные вещества к клетке, а плавные движе-
1Belyaev А.О., Chechkin G.A., Gadyl'shin R.R. Effective Membrane Permeability: Estimates and Low Concentration Asymptotics // SIAM J. Appl. Math.- 2000.- v. 60, No 1.- p. 84-108.
ния ресничек заставляют ее двигаться. Внутри клетки можно увидеть и более плотные включения (фибриллы, ядра, митохондрии), и пузырьки газа (сократительная вакуоль, трюсоцисты), и включения, состоящие из жидкости, окруженные мембранами (пищеварительная вакуоль). Установившийся био-физи-ческий процесс (метаболизм) в таких клетках может быть смоделирован краевой задачей в перфорированной области с быстро осциллирующей границей. Амплитуда осцилляции (высота ресничек), при этом, много больше периода (толщины ресничек). Процессы в таких клетках можно моделировать уравнениями в локально периодической области с осциллирующей границей (см. рисунок 1). Оказывается, что некоторые виды инфузорий имеют ярко выраженные локально периодические включения — пузырьки, например, инфузория STROBILIDIUM RAPULUM, в такой модели осцилляция границы согласована с внутренним строением области. При этом осцилляция границы может быть
Рис. 1: Инфузория туфелька (PARAMECIUM CAUDATUM).
как согласованной, так и не согласованной с внутренним строением области. Под согласованной структурой мы понимаем такую микроструктуру области, при которой период осцилляции и перфорации одинаковы и при этом ячейка периодичности — полуполоса с криволинейной границей, которая и формирует быстро осциллирующую границу области. Случай согласованной внутренней структуры и осцилляции внешней границы для областей типа "инфузории" был рассмотрен в работе [3]. Для такой структуры удаётся выписать усреднённую задачу, которая описывает эффективное поведение модели, и оценить скорость сходимости решений исходной задачи к решению усреднённой. Случай несогласованной структуры рассмотрен в работе [4]. В этом случае также удаётся описать эффективное поведение модели, т.е. построить усреднённую задачу и доказать сходимость решений.
Задачи в перфорированных областях с осциллирующей границей изучались в работе2, где рассмотрен случай, когда амплитуда и период осцилляции имеют одинаковый порядок.
Модельная задача в области с очень быстро осциллирующей границей, т.е. когда амплитуда имеет больший порядок, чем период, рассматривалась в работе3.
2Веляев А.Г., Пятницкий А.Л., Чечкин Г.А. Асимптотическое поведение решения краевой задачи в перфорированной обл&стн с осциллирующей границей. Сиб. мат. журнал,- 1998.- т. 39, No 4.- с. 730-754. zCheckkih G. A., Friedman A., Piatnitski A. L. The Boundary Value Problem in Domains with Very Rapidly
В последние годы область математики, посвященная асимптотическому анализу задач в перфорированных областях, бурно развивается. Были получены результаты по усреднению для периодических, почти периодических и случайных структур. Детальную библиографию можно найти в работах4.
Другое направление, уравнения в областях с осциллирующей границей, также достаточно хорошо исследовано5.
Комбинация этих двух эффектов, перфорации и осцилляции внешней границы, является естественной, но приводит к появлению дополнительных математических трудностей.
Краевые задачи в густых сингулярно вырождающихся соединениях (количество компонент таких соединений неограниченно возрастает, когда параметр возмущения стремится к нулю) имеют свои специфические трудности: потеря коэрцитивности в предельном переходе6, отсутствие равномерно ограниченных по малому параметру операторов продолжения, степенной рост на бесконечности решений пограничного слоя, негладкая граница. В последние годы появилось много работ7, посвященных асимптотическому анализу краевых задач в
Oscillating Boundary// Journal of Math. Anal, and Appl. — 1999. — 231, № 1. — C. 213-234.
A Sdnchez-Palencia E. Homogenization Techniques for Composite Media. Berlin - New York: Springer-Verlag. 1987.
Олейник O.A., Иосифьян Г.А., Шамаев А.С. Математические задачи теории сильно неоднородных упругих сред. Москва: Изд. МГУ им. М.В.Ломоносова, 1990.
Жиков В.В., Козлов СМ., Олейник О.А. Усреднение дифференциальных операторов. Москва: ФизМат-Лит, 1993.
Беляев А.Ю. Усреднение в задачах теории фильтрации. M.: Наука, 2004.
Марченко В.А., Хруслов Е.Я. Усреднённые модели микронеоднородных сред. Киев: Наукова думка, 2005. ^Kohier W., Papanicolaou G., Varadhan S. Boundary and Interface Problems in Regions with Very Rough Boundaries// In Multiple Scattering and Waves in Random Media (Eds. Chow P.L., Kohier W.E., Papanicolaou G.C.), 165-197. — Amsterdam: North-Holland Publishing Co., 1981.
Sdnchez-Palencia E., Suquet P. Friction and homogenization of a boundary. In: Free Boundary Problems: Theory and Applications. Ed. A.Fasano, M.Primicerio, London, Pitman (1983) 561-571.
Бахвалов H.C., Панасенко Г.П. Осреднение процессов в периодических средах. Математические задачи механики композиционных материалов. М.: Наука, 1984.
Беляев А.Г. О сингулярных возмущениях краевых задач; Дисс. к. ф.-м. н. М.: МГУ, 1990-
Мовчан А.В., Назаров С.А. Влияние малой поверхностной иррегулярности на статическую деформацию тела и энергетический баланс растущей трещины. Прикл. мат. и мех., 55, (5,1991), с. 819-828.
Gaudiello A. Asymptotic Behavior of Non-homogeneous Neumann Problems in Domains with Oscillating Boundary// Ricerche di Math. — 1994. — 43. — C. 239-292.
Nevard J., Keller J. B. Homogenization of Rough Boundaries and Interfaces// SIAM J. Appl. Math. — 1997. — 57, № 6. - C. 1660-1686.
6Fleury F. , Sdnchez-Palencia E. Asymptotic and spectral properties of the acoustic vibrations of body, perforated by narrow channels, Bull. Sci. Math., 2 (1986), 149-176-
7Хруслов Е.Я. "О резонансных явлениях в одной задаче дифракции" Теория функций, функциональный анализ и их приложения, 6 (1968), 111-129.
Котляров В.П., Хруслов Е.Я. О предельном граничном условии одной задачи Неймана Теория функций, функциональный анализ и их приложения, 10 (1970) 83-96.
Мельник Т. А., Назаров С. А. Асимптотическая структура спектра в задаче о гармонических колебаниях ступицы с тяжелыми спицами. // Докл. РАН. 1993. Т. 133. № 1. С. 13-15.
Мельник Т. А., Назаров С. А. Асимптотика решения спектральной задачи Неймана в области типа "густого гребешка"// Труды семинара им. И.Г.Петровского. — 1996. — 19. — С. 138-174.
Mel'nyk Т. A. Asymptotic analysis of a spectral problem in a periodic thick junction of type 3:2:1, Mathematical Methods in the Applied sciences, 23 (2000), 321-346.
Mel'nyk T. A., Vaschuk P. S. Homogenization of the Neumann-Fourier Problem in a Thick Two-level Junction
густых мультиструктурах. В этих работах была дана классификация густых соединений и разработаны строгие асимптотические методы исследования основных краевых задач.
Густое соединение типа т : к : d является результатом объединения некоторой области, которую называют телом соединения, и большого числа є-пери-одически размещенных вдоль некоторого многообразия (зона присоединения) на поверхности тела соединения тонких областей. Тип соединения указывает соответственно на предельные размерности тела соединения (т), зоны присоединения (/с), и присоединенных тонких областей (d); є — малый параметр, который характеризует расстояние между соседними тонкими областями и их толщину. Известно, что качественные свойства решений существенно зависят от типа соединения и от краевых условий, выставленных на границе присоединённых областей.
В краевых задачах на густых соединениях изучается асимптотическое поведение решений при є —> О, когда количество тонких присоединяемых областей неограниченно возрастает, а их толщина стремится к нулю.
Густое многоуровневое соединение ~ это густое соединение, тонкие присоединяемые области (отростки) которого разделены на конечное число уровней в зависимости от их геометрической конфигурации и краевых условий задаваемых на границах тонких областей. Кроме того, тонкие области каждого уровня є-периодически чередуются вдоль зоны присоединения.
Густое каскадное соединение — это густое соединение, в котором тонкие отростки присоединяются к телу соединения через тонкий трансмиссионный слой.
Мы будем разделять густые многоуровневые (каскадные) соединения на три вида. К первому виду относятся густые соединения с фиксированной длиной тонких областей каждого уровня8 (или фиксированной толщиной трансмиссионного слоя и фиксированной длиной отростков). Ко второму виду относятся густые многоуровневые соединения, в которых длина отростков первого уровня (или густые каскадные соединения, в которых толщина трансмиссионного слоя) имеет тот же порядок, что и период чередования длинных присоединённых областей (см. 9, а также [11], [12]). К третьему виду относятся многоуровневые (или каскадные) соединения, в которых длина отростков первого уровня (тол-
of Туре 3:2:1, J. of Math. Physics, Analysis and Geometry, 2 (2008), 318-337.
BlanchardD., Gaudiello A., Mel'nyk T. A. Boundary homogenization and reduction of dimension in a Kirchhoff-Love plate// SIAM Journal on Mathematical Analysis. — 2008. — 39, № 6. — C. 1764-1787.
Мелъник Т. А., Чечтсин Г. А. Асимптотический анализ краевых задач в густых трёхмерных многоуровневых соединениях// Математический сборник. — 2009. — 200, К' 3. — С. 49-74.
&De Maio U., Durante Т., Mel'nyk Т. A. Asymptotic Approximation for the Solution to the Robin Problem in a Thick Multi-Level Junction// Mathematical Models and Methods in Applied Sciences (M3AS). — 2005. — 15, № 12. — С 1897-1921.
sAfoioHurc Т. А., Чечкин Г. А. Усреднение краевой задачи в густом каскадном соединении// Проблемы математического анализа. — 2008. — 37. — С. 47-72.
щина трансмиссионного слоя) стремятся к нулю, но существенно медленнее, т.е. с меньшим порядком относительно малого параметра, чем период (см. [9] и [14]) (см. рис. 2).
'. е^ДО^|\ЛГЛП|мН
4. u u
,4. и
Рис. 2: Густое многоуровневое и каскадное соединения третьего вида.
Отметим, что для соединений второго и третьего вида при некоторых значениях возмущенных параметров в краевых условиях, в усредненной задаче возникает нестандартное неоднородное условие сопряжения, которое учитывает геометрию тонких областей первого уровня (геометрию границы трансмиссионного слоя) и взаимодействие границ этих областей с внешней средой.
С недавнего времени появилось множество математических работ, посвященных асимптотическому анализу задач в областях со случайной микроструктурой. Первый строгий результат по усреднению эллиптических операторов в дивергентной форме со случайными коэффициентами был получен в пионерских работах10. Задачи усреднения в случайно перфорированных областях были изучены в статьях11. Граничное усреднение для эллиптических краевых задач со случайной сменой типа граничного условия было изучено в12. Более подробную информацию о случайном усреднении и детальную библиографию можно найти в монографиях13.
Работа [12] посвящена изучению краевой задачи в густом многоуровневом соединении типа 3:2:1с элементами случайности в структуре, при этом
10Козлов С. М. Усреднение случайных структур// Доклады АН СССР. 1978.- Т. 19, С. 950-954.
Козлов С. М. Усреднение случайных операторов// Мат. сборник. 1980.- Т. 37, С. 167-180.
Papanicolaou G. С, Varadhan S. R. S. Boundary value problems with rapidly oscillating random coefficients. Random fields, Vol. I, II (Esztergom, 1979), 835-873, Colloq. Math. Soc. Janos Bolyai, 27, North-Holland, Amsterdam-New York, 1981.
nZhikov V. V. Efficient conductivity of homogeneous random sets. Math. Notes, 45 (3-4,1989): 288-296.
Zhikov V. V. Averaging in punctured random domains of general type. Math. Notes, 53 (1-2,1993): 30-42.
^Btliaco A. Yu., Chechkin G. A., Averaging Operators with Boundary Conditions of Fine - Scaled Structure. Mathematical Notes 65 (4, 1999): 418-429 (Translated from Math. Zametki 65 (4, 1999): 496-510).
13Жиков В.В., Козлов СМ., Олейник О.А. Усреднение дифференциальных операторов. Москва: ФизМат-Лит, 1993.
Пятницкий А. Л., Че-чкин Г. А., Шамаев А.С. Усреднение. Методы и приложения. Белая серия в математике и физике. Т. 3. Новосибирск: Изд-во "Тамара Рожковская". 2007.
предполагается, что отростки могут быть не только прямолинейными.
Работа поддержана грантами РФФИ № 09-01-00353-а и грантом Президента РФ для ведущих научных школ НШ-1698.2008.1.
Цель работы.
Настоящая диссертационная работа посвящена исследованию асимптотики решения краевых задач в областях с осциллирующей границей и многоуровневых (каскадных) густых соединениях, геометрия которых зависит от малого параметра.
Целью работы является
вывод предельных задач, включая предельные уравнения, краевые условия и предельные условия сопряжения в зависимости от значений параметров;
доказательство теорем усреднения, т.е. сходимости решений исходных задач к решениям усреднённых, в некоторых случаях с оценкой скорости сходимости;
усреднение функционалов энергии в областях типа каскадного и многоуровневого густого соединения.
Методика исследования.
В диссертации используются методы теории усреднения, качественной теории дифференциальных операторов в частных производных, функционального анализа, элементы теории вероятностей и случайных процессов.
Научная новизна. Все результаты диссертации являются новыми. Основные из них следующие:
Построены усреднённые задачи для исходных возмущённых задач в областях с осциллирующей границей и в многоуровневых густых соединениях.
Доказаны теоремы сходимости решений исходных возмущённых задач к решениям усреднённых (предельных) задач. Получены оценки скорости сходимости для задач в областях с осциллирующей границей.
Доказаны теоремы усреднения для функционалов энергии для многоуровневых и каскадных соединений.
Теоретическая и практическая значимость. Предлагаемая работа носит теоретический характер. Применённые в работе подходы и полученные результаты могут быть применены и к другим задачам граничного усреднения. Разделы диссертации могут составить содержание специальных курсов для студентов и аспирантов, обучающихся по специальности математика.
Апробация работы. Результаты диссертации докладывались и обсуждались на заседаниях следующих научных семинаров: МГУ, Механико-математический факультет: семинар под руководством проф. В. В. Жикова, проф. А. С. Шамаева, проф. Т. А. Шапошниковой, семинар под руководством проф.
Г. А. Чечкина; кроме того, на заседаниях семинаров Белградского университета (2002, Белград, Югославия), университета Блеза Паскаля (2003, Клермон-Ферран, Франция), университета Жана Моне (2003, 2008, Сант-Этьен, Франция), технического университета города Люлео (2004, 2009, Швеция).
Результаты диссертации докладывались также на следующих научных конференциях: 13-ый Международный коллоквиум по дифференциальным уравнениям (Пловдив, Болгария, 18 - 23 августа 2002 г.) - пленарный доклад; 5-ый Международный симпозиум по математическому анализу и его приложениям (Нишка Баня, Югославия, 2-6 октября 2002 г.) - приглашённый доклад; 6-ая Эллинско-Европейская конференция по компьютерной математике и её приложениям (HERCMA 2003) (Афины, Греция, 25 - 27 сентября 2003 г.) -приглашённый доклад; Международная конференция по дифференциальным уравнениям и динамическим системам (Суздаль, Россия, 27 июня - 2 июля 2008 г.) - секционный доклад; Международная конференция "Scaling Up for Modeling Transport and Flow in Porous Media" (Дубровник, Хорватия, 13 - 16 октября 2008 г.) - пленарный доклад.
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 14 работах, список которых приводится в конце автореферата [1-14].
Структура и объем работы. Диссертация занимает 136 страниц текста и состоит из введения, двух глав, разбитых на шесть параграфов и списка литературы, включающего 166 наименований. Нумерация формул, теорем и лемм тройная - номер главы, номер параграфа и собственный номер, например, лемма 1.2.3 - лемма 3 второго параграфа первой главы.
