Введение к работе
Актуальность ггмм. Спектральная теория операторов находит многочисленные применения в различных областях математики и ее приложений. Дифференциальные уравнения и многие разделы теории функций стимулировали развитие спектральной теории. Большое влияние на спектральную теорию всегда оказывали .такие науки, как квантовая механика и механика сплошных сред.
В свою очередь спектральная теория внесла также много нового в развитие этих наук.
Важным разделом спектральной теории дифференциальных операторов является исследование их спектральных свойств п зависимости от поведения коэффициентов соответствующего дифференциального выражения. При этом под спектральными свойствами дифференциального оператора обычно понимают его индексы дефекта, качественный характер спектра, спектральные асимптотики.
Для квантовой механики особенно интересно изучение спектральных свойств сингулярных дифференциальных операторов. Наибольший вклад в решение этой задачи для сингулярного оператора Штурма-Лнувияля внесли Ґ. Вейль, Ф. Рисе, Дж\ Фон-Нейман, Э.Ч. Титчмарш, Б.М. Левитан. Сингулярные операторы произвольного порядка изучались в работах М.А. Наймарка, И.М. Рапопорта, М.В. Федорюка, А.Г. Костюченко, Я.Т. Султанаева.
М.А. Наймарк , И. М. Рапопорт и М.В. Федорюк внесли большой вклад в развитие аналитических методов исследования индексов дефекта обыкновенных дифферен-
циальных операторов. Основу их методов составляет нахождение асимптотических формул для решений соответствующего дифференциального уравнения. Изучением индексов дефекта много занимаются в английской школе Титчмарша Э.Ч. Работы этрй щколы опираются либо на методы развитые ОД,А. Наймарком, И. М. Рапопортам и М.В. Федорюкрм, либо И» изучение поведения обинтегрированных членов в формуле Лагранжа.
Цель работы, Изучение спектральных свойств
сингулярных дифференциальных операторов в зависимости от коэффициентов соответствующего дифференциального выражения в неопределенном случае.
Диссертация состоит из двух частей, В главе I, составляющей первую часть, исследуется асимптотическое
поведение при X г» «з фундаментальной системы решений уравнения 1у = Ку и индексы дефекта минимального дифференциального оператора, Порождаемого дифференциальным выражением
іу »(-оуад + (-1)*(Я«-*0Ф(*})№), о s * < «а,.
а также характер спектру любого его расширения. Во второй чисти аналогичные исследования проводятся для оператора четвертого Порядка, порожденного дифференциальным выражением
\хУ = (*«fpy/j" - cti {х2^у')> + a0xp%
где OLQ, ОС і, р - вещественные постоянные, Р > 0 .
Обтая методика исследования. Используемый метод
состоит в исследовании асимптотического поведения при X —> со фундаментальной системы решений уравнения ly ~Ку Этот метод берет свое начало в работах* Левинсона . Затем
метод был существенно усовершенствован в работах М.Л.
Наймарка , И.М. Рапопорта и М.В. Федорюка . В работах
Левинсона изучались только регулярные дифференциальные
операторы. Основную трудность представляет случай растущих коэффициентов дифференциального выражения ly .
Научная новизна. В глазе 1 получены новые
асимптотические формулы для фундаментальной системы решений уравнения ly = "Ly при X —> со , На основании этих формул найдены широкие классы сингулярных
диффернциальных операторов с любыми возможными индексами дефекта, доказана дискретность спектра любых самосопряженных расширений соответствующего минимального дифференциального оператора.
Во второй главе вычислены индексы дефекта минимального дифференциального оператора, порожденного в L [1,со) дифференциальным выражением l\y . Прйэтом применяется иной метод, основанный на анализе расположения корней
характеристического уравнения.
Приложения. Результаты диссертации могут быть использованы в теории дифференциальных уравнений и в связанных с ней . вопросах функционального анализа, комплексного анализа и математической физики. Результаты диссертации могут найти .применение в исследованиях, проводимых в Московском, Башкирском, Казахское, Саратовском и других университетах. "
Апробация' работы. Основные результаты диссертации докладывались автором на семинарах проф. Султанаева Я.Т. (Башкирский госуниверснтет, каф. диф. уравнений), на семинаре проф. Шкаликова А.А. (Мгу, каф. теории функций и функционального анализа ), на семинара лроф. Калякина Л.А. (Институт Математики УНЦ РАН, г. Уфа), на конференции в Алма-Ате ( "Краевые задачи и их спектраль- ные вопросы для дифференциальных уравнений", 1991 г. ).
Публикации. Результаты диссертации опубликованы в работах 1-5.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения и двух глав, разбитых на параграфы. Нумерация формул сплошная трехиндексная, утверждений и теорем -двухішдексная, содержащая указание на параграф и порядковый номер. Диссертация изложена на 88 страницах. Библиография содержит 27 наименований.
