Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Операторные семейства, допускающие факторизацию 31
1.1. Квадратичные лучки вида X(t)*X(t) 31
1.2. Вспомогательный материал 39
1.3. Оценки для разности резольвент на контуре 41
1.4. Пороговые аппроксимации 45
1.5. Приближение для оператор-функции (А(і) + є2/)-1 47
1.6. Приближение для операторной экспоненты 51
Глава 2. Периодические дифференциальные операторы в Эффективные характеристики вблизи нижнего края спектра 56
2.1. Основные определения. Предварительные сведения 56
2.2. Разложение оператора Л в прямой интеграл 60
2.3. Включение операторов Д(к) в схему 1.1 63
2.4. Эффективные матрицы и эффективный оператор 64
2.5. Поведение резольвенты 72
2.6. Поведение обобщенной резольвенты при є ~* 0 76
2.7. Поведение экспоненты е~Лт при г 79
Глава 3. Задачи усреднения для периодических эллиптических операторов 83
3.1. Предварительные сведения. Характер результатов , 83
3.2. Приближение резольвенты по операторной норме 85
3.3. Слабая сходимость решений и потоков эллиптических уравнений 89
3.4. Случаи сильной сходимости 95
3.5. Периодические операторы акустики и Шредингера 99
3.6. Оператор теории упругости в Rd, d > 2 103
3.7. Периодический оператор Шредингера 107
3.8. Двумерный периодический оператор Паули 112
3.9. Комментарии 117
Глава 4. Задачи усреднения для периодических параболических операторов 122
4.1. Приближение экспоненты по операторной норме 122
4.2. Интерполяционные результаты 126
4.3. Слабая сходимость решений и потоков в параболической задаче Коши 129
4.4. Неоднородная задача Коши 134
4.5. Неоднородная задача Коши. Слабая сходимость решений и потоков 140
Глава 5. Усреднение стационарной периодической системы Максвелла 145
5.1. План исследования. Предварительные сведения 145
5.2. Функциональные классы. Разложение Вейля 150
5.3. Оператор С 159
5.4. Применение общей схемы к операторам (к) 166
5.5. Аппроксимация проектора на соленоидальное подпространство 177
5.6. Аппроксимация резольвенты оператора (к) и ее соленоидальной части 182
5.7. Аппроксимация резольвенты оператора С и ее соленоидальной части 186
5.8. Другие аппроксимации для операторов R{e) и R.](e) 190
5.9. Задача гомогенизации для оператора С 195
5.10. Адаптация результатов
5.9 для применения к оператору Макс
велла 199
5.11. Слабая сходимость решений и потоков 203
5.12. Усреднение периодической системы Максвелла 208
Глава 6. Усреднение периодического эллиптического оператора в полосе 218
6.1. Определение оператора. Основной результат 218
6.2. Сведение к операторам на ячейке 220
6.3. Операторный пучок Ai(k) 222
6.4. Аппроксимация операторного семейства В(к\є) 227
6.5. Предварительные оценки 229
6.6. Оценки коммутаторов 232
6.7. Доказательство предложения 6.5.3 237
6.8. Об обобщениях теоремы 6.1.1 242
Глава 7. Дискретный спектр в лакунах двумерного периодического оператора Шредингера, возмущенного убывающим потенциалом 244
7.1. Постановка задачи. Предварительные сведения 244
7.2. Формулировка основных результатов 253
7.3. Модельные интегральные операторы 260
7.4. Сведение к компактным операторам 261
7.5. Операторы LN(X) и С^Ь) 264
7.6. Операторы #лг(Л) и }ф\у) 270
7.7. Операторы MjV(A) и Mf }(т) 281
7.8. Доказательство теорем 7.2.2(±) 283
7.9. Доказательство теорем 7.2.5(±) 288
Заключение 297
Литература
- Оценки для разности резольвент на контуре
- Эффективные матрицы и эффективный оператор
- Слабая сходимость решений и потоков эллиптических уравнений
- Слабая сходимость решений и потоков в параболической задаче Коши
Введение к работе
Актуальность темы. Спектральный анализ линейных операторов (абстрактных и дифференциальных) представляет собой важный математический инструмент исследования как теоретических, так и прикладных проблем в различных областях знаний Это относится к разнообразным вопросам механики, теоретической физики (классической и, особенно, квантовой), теории вероятностей и других наук Как правило, за многие важные асимптотические эффекты отвечает не все спектральное разложение (самосопряженного) оператора, но лишь его часть вблизи точек на спектральной оси, где резко меняются какие-либо спектральные характеристики Такие точки обычно называются порогами Наиболее очевидными и наиболее важными примерами порогов являются края лакун в спектре, в первую очередь — нижний край спектра в полуограниченном случае
В диссертации рассматриваются периодические дифференциальные операторы (ДО) второго порядка в L2(S.d), d > 1 Такие операторы описывают периодические структуры, которые присутствуют во многих задачах математической физики Для периодических задач часто проявляется эффект гомогенизации (усреднения) в пределе малого периода среда начинает вести себя как однородная
Изучение периодических задач с малым периодом, то есть с быстро меняющимися параметрами среды сейчас представляет собой целую отрасль теоретической и прикладной науки В ней сложились свои разнообразные методы, получено большое количество содержательных результатов Рассматривались предельные переходы в областях конечных размеров при наличии граничных условий, разработаны методы построения полных асимптотических (по малому периоду) разложений, процедура усреднения изучалась для несамосопряженных операторов, нестационарных операторов, в нелинейных задачах Изложению этих и других родственных вопросов посвящены многочисленные обзоры и монографии Особо отметим замечательные книги [ВаРа, BeLP, ZhKO, Sa] Важные достижения в области теории усреднений связаны с именами Н С Бахвалова, Э Санчес-Паленсия, В А Марченко, Ж-Л Лионса, О А Олейник, В В Жикова и других Выработанные ими методы исследования стали в теории гомогенизации классическими
В теории усреднений хорошо развиты традиционные методы иссле-
дования, технически связанные с решением некоторых периодических "задач на ячейке", не содержащих малого параметра е. Отыскание соответствующих приближений (анзацев) обычно основывается на методе двухмасштабных разложений Н. С. Бахвалова (см. [ВаРа]). Затем проводятся обоснования и оценки погрешности, причем иногда строятся полные асимптотические разложения. Другой путь, основанный на разложении Флоке-Блоха и аналитической теории возмущений спектра использовался реже. Определенный (формальный) материал на этот счет имеется, например, в [BeLP, глава 4]. Содержательно спектральный подход к гомогенизации использовался в работах [Se] и [Zh] (см. также [ZhKO, глава 2]). В упомянутых работах речь шла об операторе акустики, что требует теории возмущений лишь для одного простого собственного значения, хотя и при многомерном параметре. Часто встречающийся в приложениях случай кратного собственного значения принципиально более сложен, и он вовсе не был изучен с точки зрения спектрального подхода.
Развитие спектрального подхода к задачам гомогенизации, изучение процесса усреднения как порогового эффекта вблизи нижнего края спектра является важной и актуальной задачей. В предлагаемом в диссертации подходе гомогенизация рассматривается как пороговый эффект. Эта точка зрения проводится последовательно, причем значительная часть исследования выполнена средствами спектральной теории абстрактных операторов. При выбранном нами подходе случай кратного собственного значения уже не является препятствием.
Другой пороговый эффект связан с поведением дискретного спектра, возникающего в лакунах (не только в полубесконечной лакуне) периодического оператора Шредингера, возмущенного "примесным" потенциалом, стремящимся к нулю на бесконечности. Исследование асимптотики этого дискретного спектра по большой константе связи и выделение случая, когда пороговый эффект преобладает над высокоэнергетическим вкладом (или конкурирует с ним), актуально для изучения математической модели, принятой в квантовой теории твердого тела. Наиболее сложными здесь являются двумерные задачи.
Таким образом, общее исследование пороговых свойств периодических дифференциальных операторов и, на этой основе, изучение конкретных пороговых эффектов (эффекта гомогенизации, а также поведения дискретного спектра в лакунах) является актуальной темой в области спектрального анализа и дифференциальных уравнений.
Цели работы. Разработать абстрактный теоретико-операторный подход к изучению некоторых важных пороговых эффектов Применить абстрактные результаты к вопросам гомогенизации для широкого класса матричных периодических дифференциальных операторов Описать приложения к ряду конкретных периодических операторов математической физики Исследовать задачу гомогенизации для стационарной периодической системы Максвелла, которая не входит в ранее рассмотренный класс ДО Изучить асимптотику дискретного спектра в лакунах двумерного периодического оператора Шредингера возмущенного убывающим потенциалом
Методы исследования. В работе систематически используется аналитическая теория возмущений дискретного спектра, теория Флоке-Блоха (разложение периодических ДО в прямой интеграл), разнообразные методы спектрального анализа абстрактных опера горов и линейных дифференциальных операторов в частных производных
Научная новизна. Основные положения, выносимые на защиту.
Все результаты диссертации являются новыми и получены строгими математическими методами исследования Выделим основные результаты
-
Развита абстрактная теоретике-операторная схема исследования пороговых эффектов Для операторных семейств вида A(t) — X(t)*X(t), t Є R, где X(t) = Хо + tX], выделено и исследовано понятие спектрального ростка при t — 0, отвечающего за пороговые характеристики. В терминах спектрального ростка получены аппроксимации для резольвенты (A{t) 4- е21) 1 вблизи нижнего края спектра, т е при малом є > О, а также для экспоненты е А'('т при большом т > О
-
Выделен широкий класс периодических матричных ДО А, действующих в L2(Rd, С), и допускающих факторизацию подходящего вида Для операторов этого класса введены эффективные пороговые характеристики Получены аппроксимации по операторной норме в L,2(Rd С) для резольвенты (А + є2І)~1 (при малом є) через резольвенту эффективного оператора и для экспоненты е~Лт (при большом т) через экспоненту от эффективного оператора Оценки погрешности приближений точны по порядку, постоянные в оценках контролируются явно
-
Для выделенного класса матричных ДО изучены задачи усреднения в пределе малого периода Для резольвенты (Ае + I) 1 оператора At с быстро осциллирующими коэффициентами (зависящими от х/є)
получена удобная аппроксимация по операторной норме в L/B?f?) через резольвенту эффективного оператора. Оценка погрешности точна по порядку; постоянная в оценке явно контролируется. Такие оценки являются принципиально новыми в теории гомогенизации.
4) Для рассматриваемого класса ДО изучена параболическая задача
Коши. Для экспоненты е~А'т получена аппроксимация по операторной
норме в I^R1*; С) через экспоненту от эффективного оператора с точной
по порядку (двупараметрической) оценкой погрешности.
-
В задаче усреднения для стационарной периодической системы Максвелла получены результаты нового типа. Для некоторых полей найдены удобные аппроксимации по норме в L2(R3). Оценка погрешности точна по порядку и равномерна относительно Ь2-нормы правой части. Ранее была известна лишь слабая сходимость решений к решениям "усредненной" системы Максвелла. Полученные аппроксимации обладают и формульной новизной.
-
Предлагаемый общий подход применен к модельной задаче в полосе П = R х (0,а) — задаче об усреднении эллиптического оператора с коэффициентами, периодическими по продольной переменной. Установлено, что резольвента оператора с быстро осциллирующими коэффициентами сходится по операторной норме в 1^(11) к резольвенте эффективного оператора, коэффициенты которого зависят лишь от поперечной переменной. Для нормы разности установлена точная по порядку оценка.
-
В г(К2) изучается оператор А±(а) = A j- aV(x), а > 0, где A = -div<7(x)V+p(x) — периодический оператор Шредингера, и V(x) > О — потенциал, стремящийся к нулю на бесконечности. У возмущенного оператора А±(а) в спектральных лакунах оператора А появляется дискретный спектр. Получены асимптотические формулы для числа собственных значений, родившихся (или исчезнувших) на краю лакуны, по большой константе связи (а —> оо). Выявлены случаи, когда асимптотика имеет пороговый характер, и случаи, когда наблюдается конкуренция между пороговым и высокоэнергетическим вкладами в асимптотику.
Теоретическая и практическая значимость. Результаты работы носят теоретический характер. Полученные оценки разности решений уравнения с быстро осциллирующими коэффициентами и решений соответствующего усредненного уравнения точны по порядку и равномерны
относительно правой части Постоянные в оценках контролируются явно В применениях такие оценки позволяют судить о реальном качестве аппроксимации и контролировать практические вычисления В ряде рассмотренных задач (в первую очередь это относится к системе Максвелла) найдены анзацы для решений, обладающие формульной новизной
Апробация работы. Результаты работы систематически докладывались на Санкт-Петербургском городском семинаре по математической физике им В И Смирнова. Они докладывались также на семинаре по дифференциальным уравнениям в МГУ и на конференции по дифференциальным уравнениям им И Г Петровского Автор выступал с пленарными докладами по теме диссертации на ряде международных конференций, в том числе, на сателитной конференции "Многомасштабные задачи и асимптотический анализ" Европейского математического конгресса в Норвегии в 2004 г Кроме того, автор многократно выступал с докладами по теме диссертации в университетах и научных институтах Великобритании, Германии, Канады, США, Франции, Чехии, Швеции, Швейцарии
Публикации. Основные результаты диссертации отражены в девяти публикациях автора [1-9], две статьи [1,2] написаны в соавторстве с М Ш. Бирманом В совместных работах [1,2] в выработке концепции и метода исследования участие авторов было равноправным, детальная разработка материала и преодоление конкретных технических трудностей принадлежат автору диссертации.
Структура и объем диссертации. Работа состоит из введения, семи глав, заключения и содержит 299 страниц С учетом библиографии (содержащей 39 наименований) общий объем диссертации составляет 303 страницы
Оценки для разности резольвент на контуре
Спектральный анализ линейных операторов (абстрактных и дифференциальных) представляет собой важный математический инструмент исследования как теоретических, так и прикладных проблем в различных областях знаний. Это относится к разнообразным вопросам теоретической физики (классической и, особенно, квантовой), механики, теории вероятностей и других наук. Как правило, за многие важные асимптотические эффекты отвечает не все спектральное разложение (самосопряженного) оператора, но лишь его часть вблизи точек на спектральной оси, где резко меняются спектральные характеристики. Такие точки обычно называются порогами. Наиболее очевидными и наиболее важными примерами порогов являются края лакун в спектре, в первую очередь — нижний край спектра в полуограниченном случае.
В диссертации рассматриваются периодические дифференциальные операторы второго порядка в L-г(3R ), d 1. Такие операторы описывают периодические структуры, которые присутствуют во многих задачах математической физики. Для периодических задач часто встречается эффект гомогенизации (усреднения): в пределе малого периода среда начинает вести себя как однородная.
Вопросы усреднения интенсивно изучаются в последние десятилетия. Важные достижения в этой области связаны с именами Н. С. Бахвало-ва, Э. Санчес-Паленсия, В. А. Марченко, Ж.-Л. Лионса, О. А. Олейник, В. В, Жикова и других. Выработанные ими методы исследования стали в теории гомогенизации классическими.
В настоящей работе систематически применяется спектральный подход к вопросам гомогенизации. Выяснено, что эффект усреднения есть одно из проявлений пороговых свойств нижнего края спектра. Использование этого обстоятельства позволило существенно дополнить понимание механизма усреднения, получить качественно новые результаты о сходимости решений уравнения с быстро осциллирующими коэффициентами к решению усредненного уравнения, дать точные по порядку оценки близости соответствующих резольвент. Другим асимптотическим пороговым эффектом на краю спектра является поведение дискретного спектра левее края. Этот спектр возникает под влиянием убывающих (не слишком быстро) добавочных потенциалов. Возникающие при этом эффективные характеристики — те же, что и при гомогенизации.
Периодические операторы. Зонные функции. В работе изучаются матричные периодические эллиптические дифференциальные операторы второго порядка, действующие в L2(M.d-Cn). Пусть Д(х, D), х Є M.d, D = —iV, — дифференциальное выражение, порождающее оператор А. Коэффициенты оператора предполагаются периодическими относительно некоторой решетки периодов Г с Rd, т. е., Л(х + a, D) = ,4(x,D), х Є M.d, а Є Г. Через О, обозначим элементарную ячейку решетки Г. Считается, что оператор А самосопряжен в L20&d;Cn) и полуограничен снизу. Будем считать, что нижний край спектра оператора А есть точка Л — 0: inf spec А — 0. Простейшим примером оператора А является скалярный эллиптический оператор А = — div#(x)V = D /(x)D, действующий в L2(I rf) (тогда п = 1).
Мы систематически применяем теорию Флоке-Блоха. Оператору А сопоставляется семейство операторов Л(к), действующих в Z C jC") и зависящих от параметра к є Ш1, называемого квазиимпульсом. Оператор Л(к) задается дифференциальным выражением Д(х, D -f к) при периодических граничных условиях. Условия эллиптичности, которые мы накладываем на оператор А (см. п. 0.8), обеспечивают компактность резольвенты для операторов А{к). Спектр операторов Д(к) дискретен. Через -Ej(k), j е N, обозначим последовательные собственные значения оператора Д(к), занумерованные в порядке неубывания с учетом кратностей. Зонные функции Ej(-) непрерывны (даже лшшшцевы) и периодичны относительно решетки Г, двойственной к решетке Г. Спектр оператора А имеет зонную структуру: он состоит из отрезков, являющихся образами зонных функций Ej(-). Зоны могут перекрываться; вместе с тем в спектре могут открываться лакуны. Подробнее по поводу свойств зонных функций см., например, [Sk]. Предположение infspecA = 0 означает, что нижний край первой зоны (или нескольких первых зон) совпадает с точкой А = 0. Как мы увидим ниже, для рассматриваемого в работе класса операторов А, действующих в Z/2(Kd;Cn), первые п зон перекрываются и имеют общий нижний край: mint Ej(k) = 0, j 1,..., п} в то время, как край (n + 1)-ой зоны отделен от нуля: mink En+i (k) 0.
Пороговые характеристики. Пороговые эффекты. Спектральными порогами для периодических операторов прежде всего являются нижний край спектра и края внутренних лакун. Мы уделяем основное внимание нижнему краю спектра. Под пороговыми характеристиками оператора А на нижнем краю спектра понимают приближенное (асимптотическое) поведение зонных функций Ej(k), j = 1,..., п, вблизи точек их минимума, а также приближенное поведение соответствующих собственных функций оператора Л (к). В терминах пороговых характеристик можно приближенно описать спектральное разложение оператора А вблизи края спектра. При изучении ряда асимптотических вопросов достаточно знать лишь пороговые характеристики оператора. В таких случаях говорят о пороговых эффектах. Пороговые эффекты могут быть связаны и с краями внутренних лакун.
Эффективные матрицы и эффективный оператор
Примером порогового эффекта является задача о дискретном спектре, возникающем в лакунах (а также левее нижнего края спектра) при возмущении периодического оператора А отрицательным потенциалом, стремящимся к нулю на бесконечности. Если потенциал убывает достаточно медленно, то решающим является пороговый эффект. (Подобная задача рассмотрена в главе 7 диссертации.) Другой важный пример порогового эффекта на нижнем краю спектра — поведение периодического ДО в пределе малого периода (гомогенизация). Этой задаче ниже уделяется основное внимание.
Одна из наших целей состоит в том, чтобы дать экономное и удобное для применений описание пороговых характеристик периодических ДО вблизи нижнего края спектра. Поскольку Л(к) представляет собой самосопряженное операторное семейство с компактной резольвентой, аналити 9 чески зависящее от параметра k R1 , то дело сводится к аналитической теории возмущения дискретного спектра. Трудности связаны с тем, что обычно невозмущенное собственное значение — кратное (если п 1), а параметр к — многомерный (если d 1). Такие случаи не подпадают под классическую теорию возмущений, и нужно искать обходной путь. Мы принимаем за параметр возмущения і = jk; при этом приходится следить за равномерностью построений и оценок по параметру 0 = -1к.
Мы начинаем с абстрактной теоретико-операторной схемы (глава 1), выделяя случай, когда рассматриваемое семейство операторов допускает подходящую аналитическую факторизацию. Учет этой дополнительной структуры позволяет продвинуться в абстрактных терминах неожиданно далеко. В прикладных задачах нужная факторизация часто присутствует с самого начала, либо может быть туда "привнесена". Если факторизации в задаче нет, пороговые явления исследовать значительно труднее, и ясное понимание этого полезно.
Имея в виду приложения к (матричным) ДО второго порядка, мы в абстрактной схеме ограничиваемся квадратичной зависимостью от параметра t Ключевым является выделение и исследование понятия спектрального ростка (см. ниже п. 0.6) операторного семейства при t = 0. Росток несет информацию о пороговых характеристиках и отвечает за пороговые эффекты.
В пороговых эффектах возникают так называемые эффективные характеристики, такие как эффективные массы и эффективный гамильтониан в задачах квантовой механики, эффективный (усредненный) оператор и эффективная среда в задачах гомогенизации. Представляется, что механизм появления эффективных характеристик следующий. Поскольку пороговый эффект описывается только спектральным ростком, то исходный ДО с переменными периодическими коэффициентами может быть заменен (при описании этого эффекта) на другой ДО с тем лее самым ростком. Среди таких "эквивалентных" ДО могут найтись достаточно простые операторы, часто среди них есть ДО с постоянными коэффициентами. Подходящий простой ДО и называют эффективным оператором. 0.4. В главе 2 мы выделяем сравнительно широкий класс эллиптических ДО второго порядка, действующих в (Е С1). Этот класс включает ряд операторов математической физики, хотя и не покрывает все потребности приложений. При разложении в прямой интеграл оператор Л из этого класса порождает в Х2(Ф С) операторное семейство А(к) = A(t, Q), tQ = к, допускающее нужную факторизацию по t = k. Спектральный росток для A(t, 9) теперь зависит от параметра 9. Далее, на основе общих результатов главы 1 для каждого Л вводятся эффективные характеристики. Они прямо определяются по соответствующему ростку S(Q). В главах 3 и 4 показывается, что эти характеристики управляют процедурой усреднения эллиптических и параболических задач в пределе исчезающе малого периода.
О теории усреднения. Изучение периодических задач с быстро меняющимися параметрами среды (с малым периодом) сейчас представляет собой целую отрасль теоретической и прикладной науки. В ней сложились свои разнообразные методы, получено очень большое количество содержательных результатов. Рассматривались предельные переходы в областях конечных размеров при наличии граничных условий; разработаны методы построения полных асимптотических (по малому периоду) разложений; процедура усреднения изучалась для несамосопряженных операторов, нестационарных операторов, в нелинейных задачах. Изложению этих и других родственных вопросов посвящены многочисленные обзоры и монографии. Для автора особенно полезным было знакомство с замечательными книгами [ВаРа, BeLP, ZhKO, Sa]. Автор далек от мысли пересмотреть заново всю эту громадную область своими средствами.
Слабая сходимость решений и потоков эллиптических уравнений
Хотя здесь присутствуют быстро осциллирующие множители по краям, но обратный берется для оператора с постоянными коэффициентами. Избавиться от быстро осциллирующих множителей можно лишь за счет перехода к слабому операторному пределу (см. теорему 3.2.10), то есть за счет существенного ухудшения качества сходимости.
Подчеркнем, что использование масштабного преобразования для получения оценок (0.14), (0.15) из оценок (0.8), (0.9) стало возможным лишь потому, что в них фигурирует операторная норма. Другие виды сходимости такой возможности не дают.
Аппроксимации резольвент по операторной норме с точными по порядку оценками (0.14), (0.15) относятся к основным результатам как главы 3, так и всей диссертации в целом.
Оценки по операторной норме в & удобны тем, что допускают в (0.12), (0.13) зависимость F от е. Далее, они допускают интерполяцию и позволяют оценивать щ — и0 в классах Соболева Hs, 0 s 1. (По поводу интерполяционных результатов см. п. 3.2.3). Решения и задачи (0.12) сходятся к решению uo задачи (0.13) в Н3 при 0 s 1 (и норма разности имеет порядок є1"8), но при s = 1 такой сходимости уже нет. Однако, имеет место слабая сходимость решений вЯ\а также слабая сходимость потоков в Li, Результаты о слабой сходимости традиционны в теории усреднения. В 3.3 мы тоже обсуждаем слабую сходимость решений и потоков. Соответствующие доказательства близки по духу к традиционным, хотя есть и некоторые отличия. Последнее связано с тем, что мы рассматриваем довольно общий класс операторов. В 3.4 выделены условия, при которых сходимость решений или сходимость потоков оказывается сильной.
Приложения. В 3.5-3.8 рассматриваются применения общих результатов к конкретным периодическим операторам математической физики. Обсуждаются конкретные свойства пороговых характеристик и задачи усреднения. Сначала рассматриваются операторы, относящиеся к случаю, когда / = 1п. Здесь основные примеры — оператор акустики (см. 3.5) и оператор теории упругости (см. 3.6). Затем мы переходим к операторам, для которых / ф 1П. В этом случае приходится пользоваться оценкой (0.15), но и она позволяет получить ряд существенных новых результатов. Основными примерами являются оператор Шредингера (3.7) и двумерный оператор Паули (3.8). Оба оператора удается привести к виду Л(д, /) за счет подходящей факторизации.
Задачи усреднения для параболических систем рассмотрены в главе 4. Простейший вариант такой задачи состоит в изучении поведения при є —» О решений w(x, т) задачи Коти Другими словами, речь идет о поведении при — 0 экспоненты ехр(—А{д)т), При є —Таким образом, в задаче усреднения для параболической системы (0.16) возникает тот же эффективный оператор А(д), что и в задаче усреднения для эллиптической системы (0.12).
При усреднении системы более общего вида (при / ф 1„) ситуация усложняется. Не удается подобрать оператор Л того же класса с постоянными д и / так, чтобы семейство экспонент ехр(—Atr) сходилось бы к ехр(—Ат). Приходится аппроксимировать ехр(-Д.т) другим (по возможности более простым) операторным семейством, зависящим от є.
На основании оценок (0.10), (0.11) с помощью масштабного преобразования получаются (см. теоремы 4.1.1, 4.1.3) следующие аппроксимации по операторной норме в 25 для экспонент е Лс 9 т и е л 9 т:
Оценки (0.19), (0.20) точны по порядку; постоянные хорошо контролируются. Мы видим, что результаты для параболических задач аналогичны эллиптическим. В случае / = 1 экспонента е Л т имеет при предел, равный е л(д )г. Для задачи (0.16) оценка (0.19) дает сходимость решений w к решению WQ "усредненной" задачи (0.17) по норме в 5 при фиксированном т 0 с оценкой W5(-,T) — W0(-,T)]6 С(т)в]фф, 0 є 1. Результаты такого же типа удается получить (см. теорему 4.1.5) не только для задачи (0.16), но и для более общей задачи Коти Qe = As(g)us, QujT=o = t , (0.21) где Q(x) — положительная Г-периодическая матрица.
Если же / Ф 1п, то оператор в (0.20), аппроксимирующий экспоненту е л г, содержит быстро осциллирующие множители по краям, но экспоненту надо вычислять лишь для оператора с постоянными коэффициентами. Избавиться от быстро осциллирующих множителей можно только за счет перехода к слабому пределу (см. теорему 4.1.8).
Мы следим за зависимостью оценочных постоянных от т, что позволяет исследовать также сходимость решений в классах 5((0,Т); 25) (см. п. 4.1.5). Оценки по операторной норме в удобны и тем, что они допускают интерполяцию и позволяют оценивать разность решений по норме в Н", 0 s 1. Интерполяционные результаты получены в 4.2.
Слабая сходимость решений и потоков в параболической задаче Коши
Сложнее обстоит дело при d — 2. Уже для І = -Дв случае полубесконечной лакуны (-00,0) условие V Є Ьі(І&2) недостаточно для справедливости асимптотики вида (0.32). При этом за- счет пороговых эффектов У1+(а,0) может иметь любой порядок роста, больший d/2. Более того, возможна ситуация, когда 9Т+(а,0) = 0(a), но асимптотика не вейлевская. В последнем случае асимптотический коэффициент является суммой вейлевского и "порогового" членов. Таким образом, при d — 2 возможна "конкуренция" вейлевского и порогового вкладов, что исключено при d 3. За пороговый эффект отвечает "особый канал" — задача на полуоси, получающаяся сужением — Д — aV на подпространство функций, зависящих только от х. Одновременно потенциал V усредняется по полярному углу. Эти явления подробно исследованы в [BLa].
В работе [BLaSu] подобные эффекты выявлены при d 2 в случае, когда А — периодический эллиптический оператор вида А = — div#(x)V + р(х). За счет добавления к р подходящей постоянной считается, что нижний край спектра совпадает с точкой А — 0. В [BLaSuJ изучался отрицательный дискретный спектр оператора A — aV, т. е. случай полубесконечной лакуны (—оо, 0) в спектре А. Описание особого канала дается в терминах пороговых характеристик невозмущенного оператора А. В ответ входят тензор эффективных масс на краю спектра (который определяется по эффективной матрице для оператора Шредингера А; см. 3.7) и положительное периодическое решение OJ уравнения Аш = 0. Устранить UJ из ответа удается при дополнительном условии "правильности" поведения функции V.
В главе 7 рассматривается при d — 2 случай внутренней лакуны в спектре А. При этом приходится внести существенные изменения в технику исследования по сравнению с [BLaSu]. В основном это связано с включением в рассмотрение случая оператора А_ (а).
Как уже упоминалось, при изучении асимптотики функций С ±(а, Л±) при а — оо во внутренней лакуне оператора А приходится накладывать условия, ограничивающие устройство краев лакуны (см, условие 7.1.3(±)). В случае нижнего края спектра А = 0 нужные условия выполнены автоматически. Ответы формулируются в терминах более простых модельных операторов. В описание модельных операторов входят пороговые характеристики — тензоры эффективных масс, отвечающие краю лакуны, и соответствующие собственные функции. Как и в случае полубесконечной лакуны, устранить собственные функции из ответа можно при дополнительном условии "правильности" поведения V. Применяемые сейчас технические приемы позволяют параллельно исследовать левый и правый края лакуны. На правом (но не на левом) краю лакуны возможна конкуренция между вейлевским и пороговым вкладами в асимптотику.
Основные результаты главы 7 — асимптотические формулы для функций У1±(а,\±) при а — оо сформулированы в теоремах 7.2.2(±), 7.2.5(±). Формулировки слишком громоздки и требуют описания многих вспомогательных объектов, поэтому во введении мы их не приводим.
Апробация работы. Основные результаты диссертации отражены в девяти публикациях автора [BSu2, BSu3, Sul-7]; две статьи написаны в соавторстве с М. Ш. Бирманом. Материал первых трех глав (за исключением 1.6, 2.7) отражен в статьях [BSu2, BSu3], материал главы 4 и 1.6, 2.7 — в [Su6,7]. Оператору Максвелла (глава 5) посвящены публикации [Su4,5]. Случай (і = 1 для оператора Максвелла рассматривался ранее в [BSu3, гл. 7]. Этот материал в диссертацию не вошел, поскольку техника работ [Su4,5] позволила получить более сильные результаты даже при fj, — 1. Содержание главы 6 отражено в статье [Su3]. Дискретному спектру в лакунах (глава 7) посвящены статьи [Sul,2].
Результаты работы систематически докладывались на Санкт-Петербургском городском семинаре по математической физике. Они докладывались также на семинаре по дифференциальным уравнениям в МГУ и на конференции по дифференциальным уравнениям им. И. Г. Петровского. Автор выступал с пленарными докладами по теме диссертации на ряде международных конференций, в том числе, на сателитной конференции "Многомасштабные задачи и асимптотический анализ" Европейского Математического Конгресса в Норвегии в 2004 г. Кроме того, автор многократно выступал с докладами по теме диссертации в университетах Великобритании, Германии, Канады, США, Франции, Чехии, Швеции, Швейцарии.
Благодарности. Автор глубоко признателен М. Ш. Бирману за многочисленные обсуждения и поддержку. Автор выражает благодарность В. В. Жикову, П. Кучменту, А. Л. Пятницкому за интерес к работе и полезные обсуждения.
