Введение к работе
Актуальность темы. Вопрос об усреднении дифференциальных операторов с частными производными и связанный с ним более общий вопрос о G-сходимости последовательности операторов возник в связи с задачами математической физики. В частности, физические процессы, рассматриваемые в сильно неоднородных средах, описываются дифференциальными уравнениями с частными производными, причем сильная неоднородность этих сред приводит к изучению уравнений с быстро меняющимися коэффициентами. Такие задачи возникают в теории упругости, в теории гетерогенных сред и композиционных материалов. Непосредственное решение таких задач численными методами, ввиду того, что коэффициенты быстро осциллируют, как правило, невозможно. Поэтому возникает вопрос о построении моделей для сильно неоднородных сред, приводящих к более простым дифференциальным уравнениям, которые по отношению к исходным уравненям, описывающим сильно неоднородную среду, называются усредненными. Основное требование, которому должно удовлетворять усредненное уравнение, это «близость решений» исходных и усредненного уравнения.
Таким образом актуальность исследования вопросов усреднения и G- сходимости эллиптических систем определяется приложениями к задачам теоретической и математической физики, а также внутренней логикой раз-
Целью работы является 1) построение усредненных моделей для
и усреднения для одного класса эллиптических систем второго порядка.
Методика исследования. В работе используются методы теории дифференциальных уравнений с частными производными, методы функционального анализа.
сматривались для дивергентных эллиптических и параболических опре- аторов в работах Спаньоло С., Де Джорджи E., Жикова В. В., Козлова С. M., Олейник О.А. Для линейных недивергентных эллиптических one- раторов эти вопросы рассматривались Фрейдлиным М.И., Жиковым В.В., Сиражудииовым М.М. В настоящей диссертационной работе изучаютсяG- сходимость и усреднение недивергентных эллиптических систем двух уравнений первого и второго порядка на плоскости, записанных в виде одного уравнения в комплексной форме.
Полученные в диссертации результаты являются новыми. На защиту выносятся следующие результаты:
-
Усреднение уравнения Бельтрами с почти периодическим коэффициентом.
-
Усреднение обобщенного уравнения Бельтрами с почти периодическими коэффициентами.
второго порядка.
Теоретическая и практическая ценность. Полученные в диссертации результаты и развитые в ней методы носят как теоретический, так и практический характер. Они могут быть использованы при изучении математических моделей физических процессов и применены к прикладным задачам механики сплошных сред.
Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на Международных конференциях: «Дифференциальные уравнения и динамические системы» (Суздаль, 2010г.), «Обобщенные функции и их приложения» (Тбилиси, 2011г.), на научных конференциях профессорско-преподавательского состава Дагестанского государственного университета (20072013 г.г.), на научных семинарах отделения математики и информатики Дагестанского научного центра РАН (2008-2013 г.г.), на научных семинарах профессора Жикова В. В.(2010-2013 г.г.).
Публикации автора. Основные результаты диссертации опубликованы в семи работах, список которых приведен в конце автореферата. Статьи [4], [7] опубликованы в изданиях, рекомендованных ВАК РФ для публикации основных результатов кандидатских диссертаций.
Структура и объем диссертации Диссертация состоит из введения, трех глав, разбитых на параграфы, и списка цитируемой литературы
