Введение к работе
Актуальность темы диссертации. Одной из важных задач аналитической теории дифференциальных уравнений является задача выделения уравнений и систем без подвижных критических точек.
Решению этой задачи и исследованию аналитических свойств решений выделенных уравнений и систем посвящены работы Picard Е., Briot С. Bouquet Т., Painleve P., Fuchs L., Gambier В., Gamier R., Bureau F., Shazy J., Cosgrove С, Голубева В.В., Бругина Н.П., Лукашевича Н.А., Яблонского А.И., Кондратени С.Г., Мартынова И.П., Громака В.И. и других.
Задача нахождения необходимых и достаточных условий отсутствия подвижных критических особых точек у решений систем вида
w'j = R(z,wi, ... ,10*), j -- l,fc,
где R - рациональная функция от u>i,... , Wk с аналитическими no z коэффициентами, в общем случае не решена даже при к = 2 .
Указанная задача для систем с иррациональными правыми частями в настоящее время недостаточно рассмотрена.
В настоящее время теория уравнений и систем Р-типа развивается особенно активно благодаря их тесной связи с нелинейными уравнениями в частных производных (НЧП). Так, Abiovitz М., Ramani A., Segur Н. при исследовании НЧП, разрешимых с помощью метода обратной задачи рассеяния, предложили критерий интегрируемости таких уравнений: в результате редукции должны получиться обыкновенные дифференциальные уравнения типа Пенлеве. Нахождение и исследование систем и уравнений типа Пенлеве связано также с вопросами построения Беклунд-преобразований, позволяющих, в частности, по известным решениям строить новые решения дифференциального уравнения. Еще больший интерес к уравнениям типа Пенлеве возник в связи с развитием группой японских математиков метода изомонодромных деформаций линейных систем. Оказалось, что уравнения изомонодромных деформаций линейных систем описываются уравнениями Р -типа и, в частности, непосредственно уравнениями Пенлеве.
Таким образом, всякий прогресс в развитии теории уравнений и систем типа Пенлеве важен не только как решение чисто математической задачи, но и с точки зрения многих прикладных проблем. Актуальность и недостаточная разрешснность вышеуказанного вопроса и предопределили выбор темы диссертации.
Связь работы с крупными научными программами, темами. Диссертационная работа выполнена на кафедре математического анализа Гродненского государственного университета им. Я.Купалы и является составной частью госбюджетной научно-исследовательской темы «Дифференциальные уравнения и системы типа Пенлеве» (регистрационный номер 1097), предусмотренной республиканской программой "Математические структуры" и выполняемой на кафедре математического анализа Гродненского государственного университета с 1997 г.
Цель и задачи исследования. Целью настоящей работы является нахождение необходимых и достаточных условий отсутствия у решений определенного вида систем дифференциальных уравнений подвижных критических особых точек. Для достижения поставленной цели решались следующие задачи:
-
Нахождение необходимых условий отсутствия подвижных критических особых точек у исследуемых систем.
-
Доказательство достаточности найденных условий.
3. Изучение аналитических свойств выделенных систем типа Пенлеве.
Объект и предмет исследования. Объектом исследования являются
системы дифференциальных уравнений с иррациональными правыми частями, которые проверяются на предмет наличия свойства Пенлеве. Предметом исследования являются решения указанных систем.
Методология и методы проведенного исследования. В диссертационной работе наряду с классическим методом, методом малого параметра Пенлеве, основанном на теореме Пуанкаре о представлении решений в виде сходящихся рядов по параметру, применяется метод сравнения с классическими уравнениями типа Пенлеве. Подробное описание указанных методов приведено в главе 1.
Научная новизна и значимость полученных результатов.
1. Найдены необходимые и достаточные условия отсутствия подвижных критических особенностей у систем вида
х' = а0 + ацх + а2у + Ja3x + а^у + as,
, (0-1)
у' = /30 + fax + fay + Vftx+fty + As,
где |аз| + |а4І + |Дз| + |Аі| ф 0 , сц, fij, і = 0,5, j — 0, 5 - аналитические по t функции. Указано, в каких функциях интегрируются выделенные системы Р -типа.
2. Выделены все канонические системы типа Пенлеве, вида
х'2 = P^x.yj) +
(0.2)
где Рк{х,у, t) = акх2 + Ькху + ску2 ; ак , Ьк , ск , ак , / , 7fc , /г = 1,2-аналитические функции от t. Изучены аналитические свойства их решений.
3. Для автономных Гамильтоновых систем
х' - -^-Н{х,у),
% (0-3)
у' = -тг-Н(х,у) ах
с гамильтонианами вила
Н(х,у) = Р?(х)р(.у), (0.-1)
т I
где Рг(х) = оії' , Р2(у) = 6,-у' , m Є N(J{0} , f Є N[J{0},Q Є Q,
«=0 j'=0
/36Q и
Я (я,у) = (aix + Q2y + a3)a (/3ix + /?2y + /З3)0, (0.5)
где а Є Q , /3 Q , |ai| + |a2| / 0 . 1/ | + )/ | ф 0 , найдены необходимые и достаточные условия однозначности их решений.
Все результаты диссертации являются новыми.
Полученные результаты являются непосредственным развитием аналитической теории дифференциальных уравнений.
Практическая значимость полученных результатов. Работа носит теоретический характер. Полученные в ней результаты могут быть использованы не только в аналитической теории дифференциальных уравнений, но и в математической и теоретической физике, в теории нелинейных колебаний и других отраслях естествознания, а также в спецкурсах, читаемых на математических факультетах ВУЗов.
Основные положения, выносимые на защиту.
-
Необходимые и достаточные условия принадлежности к системам Р -типа систем вида (0.1).
-
Канонические системы вида (0.2), обладающие свойством Пенлеве.
-
Автономные системы Гамильтона (0.3) со специальными гамильтонианами (0.4) или (0.5) типа Пенлеве.
4. Аналитическая характеристика решений выделенных систем со свойством Пенлеве.
Личный вклад соискателя. Результаты работ [128, 129, 137] получены совместно с соавторами; результаты работ [130 — 136,138] получены соискателем самостоятельно.
Аппробация результатов диссертации. Основные результаты диссертации были представлены и докладывались на:
Международной математической конференции "Еругинские чтения -II" (Гродно-1995); "Еругинские чтения - III" (Брест-1996); "Еругинские чтения - IV" (Витебск-1997); "Еругинские чтения - V" (Могилев-1998); "Еругинские чтения - VI" (Гомель-1999);
Республиканской научно-технической конференции студентов и аспирантов (Гомель-1998);
Международной научной конференции, посвященной памяти профессора А.И. Яблонского (Минск-1998);
VIII Белорусской математической конференции (Минск-2000):
Международной математической конференции "Дифференциальные уравнения и системы компьютерной алгебры" (Брест-2000);
семинарах кафедры математического анализа в Гродненском государственном университете им. Я.Купалы.
Опубликованность результатов. Основные результаты диссертации опубликованы в 11 печатных работах, среди которых 3 статьи в рецензируемых научных журналах, 2 публикации в материалах конференций и 6 тезисов выступлений на математических конференциях. Общее количество страниц опубликованных материалов - 25.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, общей характеристики работы, четырех глав, заключения й списка использованных источников. Полный объем диссертации — 94 страницы машинописного текста, список использованных источников — 138 позиций.
