Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА 1. КРАЕВАЯ ЗАДАЧА В ПЛОСКИХ ОБЛАСТЯХ С УГЛОВВІМИ ТОЧКАМИ 13
1.1. Операторы преобразования 13
L2. Функциональные пространства (одномерный случай) 18
1.3. Функциональные пространства (двумерный случай) 19
1.4. Теоремы о следах 25
1.5. Краевая задача 35
ГЛАВА 2. КРАЕВАЯ ЗАДАЧА В ОБЛАСТЯХ НА КОНУСЕ 48
2.1. Некоторые определения и обозначения . 48
2.2. Определение пространств и теоремы вложения 50
2.3. Прямая и обратная теоремы о <т-следах 56
2.4. Краевая задача на конусе 63
ГЛАВА 3, КРАЕВАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ ОДНОГО НЕОДНОРОДНОГО
МЕТАГАРМОНИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ 78
3.1. Пространства и обобщённые гармонические функции 78
3.2. Вспомогательные результаты 89
3.3. Краевая задача 94
ЛИТЕРАТУРА 96
- Операторы преобразования
- Некоторые определения и обозначения
- Пространства и обобщённые гармонические функции
Введение к работе
Актуальность темы. В последние десятилетия построена общая теория эллиптических задач в областях, границы которых содержат особенности - углы, конические точки, рёбра и т.д. Эта теория имеет широкие и важные приложения в физике, в механике сплошных сред, в частности, в теории трещин. Одной из первых и основополагающих работ здесь является работа В.А. Кондратьева. В монографии С.А. Назарова, Б.А. Пламеневского дано подробное изложение главных разделов теории эллиптических задач в областях с кусочно-гладкой границей. Эллиптическим уравнения второго порядка посвящён ряд работ, среди которых отметим работы Д. Гилбарга, Н. Трудингера, Т.Р. Мамтиева, А.К. Гущина, В.П. Михайлова и др. Отдельно отметим серию работ, опубликованных М. Костебелем, М. Доуж и другими, в которых рассматриваются как общие эллиптические системы, так и некоторые прикладные задачи электро- и магнитостатики. Рассмотренные ими особенности решений в данной работе считаются слабыми и в рамках диссертации будут относиться к регулярным. В случае сильного вырождения уравнение кроме ограниченных решений имеет и неограниченные (сингулярные) вблизи характеристической части границы решения. Для уравнений математической физики соответствующие факты приведены в книгах А.Н. Тихонова, А.А. Самарского, С.Л. Соболева, О.А. Ладыженской. Во всех цитированных и других работах этого направления в основном рассматриваются решения с особенностями не более чем степенного или логарифмического характера.
Решения эллиптических задач могут терять гладкость в особых точках. Это обстоятельство играет важную роль: возникают вопросы о поведении решений вблизи особых точек, о выборе специальных функциональных пространств, в которых порождённый краевой задачей оператор обладает "хорошими" свойствами (оказывается непрерывным). Поэтому постановка и изучение новых краевых задач для уравнений с сильным вырождением в соответствующих им функциональных пространствах, а также создание эффективных методов их решения является актуальным.
Цель работы состоит в доказательстве теорем об однозначной и непрерывной разрешимости краевой задачи для уравнения Пуассона в плоских областях с угловыми точками, сингулярной краевой задачи в областях на конусе и краевой задачи для одного неоднородного метагармонического уравнения.
Научная новизна. В работе вводится новое понятие в определённом смысле нелокального сигма-следа (- следа) функции. Так как в данном случае невозможно использовать теорию известных ранее функциональных пространств, то в диссертации вводятся новые функциональные пространства типа Фреше (счётно-нормируемые) в которые вложены пространства Соболева-Никольского-Бесова. Известные функциональные весовые пространства обычно обладают тем свойством, что порядок особенности функций из этих пространств зависит от показателя гладкости и убывает с возрастанием гладкости. Последнее обстоятельство для рассматриваемого случая неприемлемо. Особо отметим, что в диссертации впервые рассмотрены сверхстепенные сингулярности решений, а в некоторых случаях (например, для метагармонической функции) сингулярности в угловой (особой) точке являются совершенно произвольными особенностями (типа существенных особенностей голоморфных функций, определяемых всей сингулярной частью ряда Лорана). Для изолированных граничных точек аналогичные решения рассматривались ранее в работах В.В. Катрахова.
Практическая значимость работы. В задачах механики твёрдого тела наблюдается концентрация напряжений в угловых (особых) точках границы, в частности, в вершинах трещин. Аналогичным образом дело обстоит и в гидродинамических задачах. Это приводит к сингулярностям решений в особых точках. В такой ситуации обычно рассматривают так называемые энергетические решения, имеющие наиболее слабую сингулярность. В настоящей работе рассматриваются решения с сингулярностью произвольного порядка, относящиеся к классу неэнергетических решений. Проблема, поставленная в работе, также возникает в классической задаче электростатики об определении потенциала поля, создаваемого заряженными точечными
объектами, каковыми могут быть точечные заряды, диполи и, вообще, мультиполи произвольных порядков, а также их конечные и бесконечные комбинации.
Методы исследования. В диссертации применяются современные методы исследования эллиптических краевых задач в соответствующих функциональных пространствах, которые вводятся и изучаются базовым методом операторов преобразования.
Апробация работы. Результаты диссертации докладывались:
1) на научном семинаре кафедры теории функций и функционального анализа Дальневосточного государственного университета под руководством проф. Н.Н. Фролова (г. Владивосток, 2004 г.);
2) систематически на семинарах кафедры математики и моделирования Владивостокского государственного университета экономики и сервиса под руководством доц. Л.С. Мазелиса;
3) на V Международной научно-практической конференции студентов, аспирантов и молодых исследователей "Интеллектуальный потенциал вузов Дальневосточного региона России" (г. Владивосток, 2003г.).
4) на Дальневосточной математической школе-семинаре имени академика Е.В.Золотова (г. Владивосток, 2003 – 2004 гг.).
5) на международной научной конференции "Фундаментальные и прикладные вопросы механики" (г. Хабаровск, 2003 г.).
6) на объединённом научном семинаре ИПМ ДВО РАН под руководством чл.-корр. РАН Н.В. Кузнецова и чл.-корр. РАН В.Н. Дубинина (г. Владивосток, 2004 г.).
7) на объединённом семинаре кафедр Высшей математики и Прикладной математики и информатики ХГТУ под руководством проф. А.Г. Подгаева (г. Хабаровск, 2004 г.).
8) на семинаре Института математики им. С.Л.Соболева Сибирского отделения РАН по неклассическим краевым задачам под руководством д.ф.-м.н., проф. А.И. Кожанова (г. Новосибирск, 2004 г.).
9) на семинарах МГУ под руководством академиков В.А. Ильина, Е.И. Моисеева (г. Москва, 2004 г.).
10) на XII Международной научно-практической конференции студентов, аспирантов и молодых исследователей "Интеллектуальный потенциал вузов Дальневосточного региона России" (г. Владивосток, 2005г.).
11) на XIII Международной научно-практической конференции студентов, аспирантов и молодых исследователей "Интеллектуальный потенциал вузов Дальневосточного региона России" (г. Владивосток, 2006г.).
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 13 работах, список которых приведен в конце автореферата. Из совместных работ в диссертацию включены результаты, принадлежащие автору.
Объём и структура работы.
Диссертация изложена на 101 странице компьютерного текста (набранного в системе AMS LATEX) и состоит из введения, трёх глав и списка литературы, включающего 56 наименований.
Операторы преобразования
Введём некоторые обозначения. Пусть R обозначает положительное число или бесконечность. Через Соо(0)Я) обозначается множество бесконечно дифференцируемых на интервале (О, R) функций. Си (О, R) обозначает подмножество функций из С(0, Я), имеющих компактный в [О, Я) носитель; другими словами это множество функций состоит из бесконечно дифференцируемых на интервале (О, Я) функций, обращающихся в нуль в окрестности правого конца, а в левом конце они могут иметь произвольную сингулярность. Через С[0, Я) обозначаем подмножество функций из С00(О, Я), все производные которых непрерывны вплоть до левого конца. Символ С[0,Я) обозначает подмножество функций из С[0, Я), обращающихся в нуль в окрестности правого конца. Будем называть функцию / из С[0? Я) чётной1-3, если её производные (порядка к) Dk} обращаются в нуле в нуль при всех нечётных значениях к. Множество чётных функций из С[0, Я) обозначим через C?[Q,R).
Некоторые определения и обозначения
Обозначим через 5л, 0 R сю, открытый круговой конус с вершиной в точке &Q с образующими длиной R и углового размера Ф, при этом под угловым размером понимается раствор сектора, получающийся из конуса путём разрезания его по одной из образующих и последующим развёртыванием в плоский сектор S. Для определённости будем считать, что Ф 2тг, случай Ф=2п был разобран одним из авторов в работе [30].
Рассмотрим ограниченную область IQ С Q, для которой вершина конуса 6q является граничной точкой, изолированной от остальной части границы, последнюю мы будем считать гладкой кривой класса С и обозначать через GQ.
Обозначим через R) 0 Я оо, максимальное расстояние от вершины кону ca C?q до границы GQ, а через 2Ло 0 - минимальное расстояние от вершины конуса &Q до границы GQ.
В дальнейшем, для определённости и не ограничивая общности, мы будем считать, что операция указанного разрезания (с последующим развертыванием) производится по образующей, проходящей через одну из наиболее I удалённых от вершины точек границы GQ.
class3 КРАЕВАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ ОДНОГО НЕОДНОРОДНОГО
МЕТАГАРМОНИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ class3
Пространства и обобщённые гармонические функции
Вид функции указан в обратной теореме о а-следах, а щ - в лемме 2.4.2. Решение краевой задачи для функции ад3 (которое относится к "регулярным") будет разыскиваться в пространстве типа Соболева-Никольского-Бесова #д(П), поскольку функция щ должна быть гармонической в окрестности точки @ и, поэтому, как было установлено ранее, она не должна
