Введение к работе
Актуальность темы. Меі^д дополшіт&льного аргумента представляет собой модификацию и конкретизацию метода характеристик для определвнних іиюссов уравнений в частных производных. С его пі ющью удается свести некоторые нелинейные уравношія и системы уравнений первого порядка к системам интегральных и алгебраических уравнений, которые затем исследуются известными методами. Вследствие преимуществ метода дополнительного аргумента расширение его на новые клэссы уравнений является актуальным.
Основы метода дополнительного аргумента систематически излоке.ш
в работе Иманалиева Ы.И.". Его дальнейшее развитие и выявление
новых возможностей произошло в ходе решения конкретних задач2'.
Цель работы. Распространение метода дополнительного гтумента па
новіш классы уравнений, в том числе на уравнения со степенными
особенностями. '
Научная новизна. Все основные результаты диссэ]гации являются новыми, подтверждены строгими доказательствами." Методом дополіштель-ного аргумента:
- строится решение нелинейных шітегро-даїференциалькі.. уравнений с частными производными под знаком интеграла в правой полуплоскости при линейном начальном условии на оси;
*' Иманалиев М.И. Нелинейные инТегро-дафферекциальныэ уравнения с частными производными.-Бишкек: Илим, 1992, -112 с. 21 Иманалиев Н.И., Алаксеенко О.Н. К теории нелинейных интегро-дифференциалышх уравнений в частных производных типа Уизема // ДАН . 1992.-Г 323, .4 3, - С. 410-414.
- доказана теорема существования и единственность решения для
нелашиного интагро-да4фэренциального равнения Уизема;
- доказано суцествоваїше решения нелинейных интегро-дифференциаль-
wdl уравнений в частных производных'первого порядка со степенными
особенностями и со многими гіространственшмя перемешшщ.
.П^ :<тичоская и теоретическая ценность работа состоит в тон, что в нэй получены новые результаты, которые вносят с ределенный вклад в теорію нелинейных штегро-дафференциальннх уравнений. Результаты диссертации когут быть использованы ігри дальнейших исследованиях нелинейных интегро-диффврэнциальншс уравнений и уравнений со степенными особенностями. . Апробация работы. . основные результаты диссертации докладывались: "
на республиканской'научной конференции «Дифференциальные уравые-ния и их положения "с сентябрь, 1993 r.,r.On»,
на международной научной конференции. "Выроащающиеся уравнения и уравнения смешанного типа1* «ноябрь, 1993*г., г. Ташкент:»,
на.мэадународаой научно-практической конференции [Аналитические и экспериментальные, ттош. мат^магде' .-дсой; физики я проблемы их преподавания" сдекабрь, IS94 г.', г.Ода,
на сешшара по штегро-даффэрэндашщшм: уравнэдкям в' Институте математики НАЛ КР.
Публикации. Результати диссертации опубликованы в тех работах автора, список которых приведен в конце автореферата. Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения и двух глав, разбитых на параграфы, списка литературы из 42 наименований и содержи? 82 страниц шшюшсного текста.
Во введении даэтся ->0зор литературы по затронутом в диссертации, проблемам задач и основные полученные результаты. В глав* I рассматриваются уравнения вида
I х
где о - некоторк.. дифференциальный оператор-
Будем использовать следувдив обозначения:
со. .а .... .а > -
ссо> и с " (R> - пространства функций определенных,
непрерывных и ограниченных (соответственно вместе со своїми
производными да порядка а, по 1-ому аргумонту
некотором подмножестве й евклидова пространства кп.
са . а ..... а > с " cfl.w - пространства непрерывных вмесп со своим»
производными до порядка ajio первой поременной, аа- пб второй
переменной,..., а по п-ой переменой функция, г:-: .П - подмно-
таства евклидова пространства Цп.
LiP
по пер^.енной и с коэффициентом N, по переменной v с коэффициентом
U,. . . ; ДЛЯ функции ОДНОЙ ПЄРЄМ9НН0Й 1ШДЄКС буДЭМ ОПуоКВТЬ.
s
которых производные u^ct.jo ограїшчвин относительно х в полуплоскости R*= R+ х R
В I.I рассматривается нелинейное ннтогро-диффэренцналыюе уравнение в частных производных вида:
а» да п
О-О) ill
x VCt, pdgdt + /Ct>, ft О & R ., <1>
с начальным условием
uco.jo = a + 6x, к є к, сгу
ГД8 \СЬ^, /<ГО. H.Ct.) « C
a. P e R. P * O, rCU = p (.VrsJds * -1 , t e R+.
Проводится построенио единственного решения задачи со-<а.> в классе s'^'Vr'.r^ если сходятся интегралы
со со .
o-to
Опи-вда общая схема сведения нелинейного уравнения ср к алгебраическим уравнениям
Ас»ь, его
где А = [«..], с = -jcj. ь = | 1 \j. a,s> - <гПТГ>
л> со 1
о-со о
а,j » ПТо. 5а =1, et. = о, <п * ,р
а» со Т
ьь = - [ Гк.<гт;, р[г<тр + i]"*| а *- Р + [[rCsi +i]z *
о—cw о
ч / Доказана следующая ТЕОРЕМА I. Пусть сходятся интегралы в соотношениях СА>, сзз. Тогда задача cu-c2J в классе s^'^'cr*.^ имеет столько же решений, сколько их имвэт алгебраическая система сз.>. в частности, если det а к о задача <хэ-<&> имеет единственное решение. прелставимоь в виде <гв.>, где. п 1 VCt,x> » [rft> + іVі m + рх + У C|JrCs> + 1] H^Csids + > ; + J[rCs5 + ij /Cs^ds J- . ft,ЗО a fc*. о " '.'. О использованием этой схемы проводится построеёне единственного решения уравнения * ' а> to г> + Uf f. ->Up<"X. {> UettCt.^Jdfdt . ft,3i> с R* о начальным условием <г> в классе. s',,*'<,r*.».>. Также рассмотрена начальная задача: В 5 1.2 отроится единственное решение уравнения с НеВЫрО^ДеН- t со .' о-са Cl.xJ с R* ; ''.'. о начальным условием сг^ в классе s t X V со Q О O-CO I V» j j j KCV.s.p j-j^- d?dsdV, Ct,x> e R*, о о-co Рассматривается уравнение вида UCt.sO + U o-co с начальним условием сг;>. Решение этой задачи представимо в ви/.. L V оо UCt.>c> = a + (Зх + (3 fjl Kc'V.s.^dfds, о o-co Рассмотрен более общий случай данного уравнения <7>- I со Utft,x-> + U Ct,x5 e R і с началышм условием В і.3 рассмотрено следующее модельное уравнение Уизема: (О UtCt,>0 + UCt.x.) U Ct>sO « Г K -co OSt^T.xeR с начальным услоьаем UCO.x) ».(fCx>, x e R. C9> При Kct.x,p = -к ческие процессы и может быть выведено из общих физических законов. Задача <&> - <> сведена к решению системы интегральных уравнений от трех независимы; переменных. Доказана следующая ТЕОРЕМА 2. Пусть D.fp'so є cVfi.>. функции <р'1 CxJ є LipCX >.О =0.0, ГфИЧеМ |(p 0=0,0. прИЧвМ ( OLO.s^rfs < a «= const 0-0..1.5, -00 -v Г |K^" Тогда существует такое т < т„ явно'определяемое на основе исходных данных, что задача сеЬ - ґо> имеет единственное, непрерывное и ограниченное решение в области О ^ [о,т] «к. Рассмотрены некоторые примеры. Во второй главе рассмотрено .нелинейное штвгро-диффорэпциоль- ное уравнение вида: tmUCt,xJ> хл Uft.xJ = I K і х J . Выявлены условия на числа ш.п, при которых существует решониэ начальной задачи са>. При тех значениях ».п, когда ревек.іе начальной задачи но удалось получить примененными методами, предложена трактовка начапьноЯ задачи как предельной, и для этой предельной, задачи доказана теорема существования, где выявлены подходящие классы функций. В 2.1 исследуется решений уравнения <хо> при начальном уело ВИИ «.>. Доказана следующая . . . ' ТЕОРЕМ 3. Пусть (рсхэ в E*<:r>. K«..s.l» в ^"^''^[o.TJxip n л ідр^и|ц^,где и - шлоштвльная постоянная. Тогда существует непрерывное и ограниченное решение задачи сю>- <ге>в области / О < t & Т. х « кД. j.OSt ІТ, х.« R V. п » І в случае, когда » < і.. Когда» & ). уравнение аоэ является уравнением с существенной особенностью. Доказательство осуществляется о Помощью сведения задачи <хоэ~ <гв> к интегральному уравнению и і применением к этому уравнению '; . метода последовательных приблигоний, В . .2 рассматривается более-общий' случай уравнения «о в -п -.-''- - -'..' taoU * * Тї / , « ' X. 4 " ft 4, п " ' k"*' ".' ' '." ."''' ' ' * , ' "' ' ' on і т., сх .:...* -> є r , а ч і, a. є r сі«Г7п>, сю где -.""\"." '- .'..". ''', ''--'г .'.'.': ,'. ,;' С X X :- ,- , ;; . -' '_ ,. ';.'.' . т ".''. q » І j ... і KCt.s ,.,.Vs ,'5C.,,,.,x .JUfn.e .....с ids ...ds idp, J J J * ' - ,,- ,.tv ' * . , Г» ^ t , l> 1 T) *, с начальным условием,'. .-- v .--' ".,..-; Доказана следующая,- /C"t.xi...,. ,хп,и,чЛа. С445' * *'* «* с р.Т] „ Rn х R*> о n upf-Ltju-, Laj4>, где Lt,lr2 - некоторые .положительные постояннке. KCt.a.,...,3 ,x, x > e С4'0'0 '1'' " причем ' со » ! I |K„ ft, a .. . . .s ,x .. .. .x .Jlds .. .da S 7 « o о Тогда существует такое т < т. » Г'-? І'"Рр.д . где ol < і, _* - L. V «r J.' :. ."'. , что задача сю - агэ шэет непрерывноо и ограниченное радение в области с v| о л і s т, fxt,.,.',xpy"« »+}...' Доказано существование и едиксавешооть *чиевзл уратаекия: п '.,/ - ' Wt k- k O t < T,, Cx .... ,x J e R , ' t со to . _,. -.-'..". с начальным условием . хірт т < тл *. —і^—,, ;; В; 2.3 исследуется решэннэ нелинейного интехі^^Дїіффрропшїяль--ного* уравнения <*іо>» гіря ш'г-і» п < і'с'продельпим начальним усло- ВМ8М ' '' '; , '"-'. '.-- ' ііп {ікг,х>|і...Л- о. >« > о. о < і <: т пз.-> "Даказано существование решения задача i'ioj- КСЧ.з.Ш = t*V ("t.s.lD, ГД9 К Ct.s.UJ є ^1,0,0^.^2. Ю П Методика доказательств полученных результатов следующая: интегро-дифЁеренциальные уравнендл с предельным начальным условием сводится к эквивалентному изгегральному уравнению, к которому при-М8НЯЮГ метод последовательных приближений. В 2,' рассматривается уравнение Ізвда: tU Ct.xJ + xU Ct.x-> aUCt>xJ + f K( t,j», UCs, x»ds <14.> о 0 с предельным начальным условием lim jlKt,xi|t^ol "Xа, 0 С помощью сведения к интегральному уравнению доказывается существование решения задачи сю - os:>. Рассматривается более общий случай уравнения ал> в сп+о-мврном пространстве:. tU Ct.x ,. . . ,х J> * xU a,x x > = all + t I rt X 1 n + j- /Ct.X ,...X .U,qJ>. . <16> 0<-t с предельным начальным условием lim /uct.x .. , . .х J|t-»o[ = V x , О < x_ < a> Ci =1, tv> і C17J Доказано существование решения задачи <"ie;> - cirj. при т < тя »а Автор выражает искреннюю благодарность своему научному руководители академику HAH KF М.И.ИМоналиеву so постановку задач в постоянное внимание к работе, а также к.ф.-м.наук Ю.А.Ведь за совместную работу и ценные советы.
НЫМ ЯДРОМ :
U^Ct.x? + Ц<ГЬ,х> Vjrt.iO » f j Kfi.s.pU.fa.pdgds. <^7>
uco.x/..., ,x ^ « фсгх ,./..x J. <"x .... .x > « r"
v ТЕОШа 4.- Пусть «кгх4'..;. ,xn> є 2 '^к'Ъ.
» tПохожие диссертации на Развитие метода дополнительного аргумента для нелинейных интегро-дифференциальных уравнений в частных производных
