Псевдодифференциальные операторы с бесконечным числом переменных и уравнение Хопфа, соответствующее нелинейному гиперболическому уравнению Соболев Сергей Игоревич

Данный автореферат диссертации должен поступить в библиотеки в ближайшее время
Уведомить о поступлении

Диссертация - 480 руб., доставка 10 минут, круглосуточно, без выходных и праздников

Автореферат - 240 руб., доставка 1-3 часа, с 10-19 (Московское время), кроме воскресенья

Соболев Сергей Игоревич. Псевдодифференциальные операторы с бесконечным числом переменных и уравнение Хопфа, соответствующее нелинейному гиперболическому уравнению : ил РГБ ОД 61:85-1/615

Содержание к диссертации

Введение

Глава I. Псевдодифференциальные операторы с бесконечным числом переменных с символами, зависящими от квадратичной формы 17

1.1. Пространства CL

1.2. Символы, зависящие от квадратичной формы, и порождаемые ими меры 21

1.3. Псевдодифференциальные операторы с символами класса 35

Глава 2. Разрешимость задачи Коши для уравнения Хопфа, соответствующего нелинейному гиперболическому уравнению 43

2.1. Уравнение Хопфа, соответствующее нелинейному гиперболическому уравнению 43

2.2. Доказательство разрешимости задачи Коши для уравнения Хопфа 45

Глава 3. Единственность решения задачи Коши для уравнения Хопфа, соответствующего нелинейному гиперболическому уравнению 60

3.1. Дифференцируемость по Фреше оператора сдвига по траекториям 60

3.2. Разрешимость уравнения Лиувилля 72

3.3. Единственность решения задачи Коши для уравнения Хопфа 75

Литература 79

Символы, зависящие от квадратичной формы, и порождаемые ими меры
Уравнение Хопфа, соответствующее нелинейному гиперболическому уравнению
Доказательство разрешимости задачи Коши для уравнения Хопфа
Единственность решения задачи Коши для уравнения Хопфа

Введение к работе

Интерес к изучению дифференциальных И псевдодифференциальных операторов с бесконечным числом переменных и связанных с ними уравнений в значительной мере стимулируется потребностями теоретической физики. Квантовая теория поля приводит к изучению бесконечномерных эллиптических операторов с разделяющимися переменными и их возмущений. В статистической гидромеханике и статистической нелинейной оптике изучается уравнение Хопфа для характеристического функционала статистического решения соответствующего эволюционного уравнения, содержащее псевдодифференциальный оператор с бесконечным числом переменных. Важным источником дифференциальных уравнений с бесконечным числом переменных является теория марковских случайных процессов в бесконечномерных пространствах, дающая бесконечномерный оператор Лапласа и связанные с ним уравнение диффузии и уравнение Пуассона. С другой стороны, изучение дифференциальных и псевдодифференциальных операторов в пространствах функций бесконечномерного аргумента является естественным шагом после изучения этих операторов в пространствах функций конечномерного аргумента.

Дифференциальным и псевдодифференциальным операторам с бесконечным числом переменных и связанным с ними уравнениям посвящены многочисленные работы. Отметим основополагающие исследования В.И.Авербуха, О.Г.Смолянова и С.Ь.Фомина [l] ,(, Ю.М.Бере-занского и его учеников Н-[э], М.И.Бишика и его учеников [ю] , [із]-[іб], Ю.Л.Далецкого [22], Ю.Л.Далецкого и С.Б.Фомина [23] , О.Г.Смолянова [Зб] , [Зб] , Л.Гросса [53] , [54] , П.Кри [58], работы А.В.Марченко [27] , [28] , Н.Н.Фролова [45], Р.Л.Шахбагяна [49]-[51] , Б.Ласкара [59]-[бі| и других математиков [б] ,[25] , [33] , [34] , [42] , [4б], [62] . Смежным вопросам теории меры в бесконечномерных пространствах были посвящены фундаментальные исследования Ю.В.Прохорова [Зі], Р.А.Минлоса [29] и В.В.Сазонова [32] .

Дифференциальные и псевдодифференциальные операторы с бесконечным числом переменных и соответствующие уравнения в пространствах функций, равномерно приближаемых функциями конечного числа переменных на ограниченных множествах, изучались М.И.Виши-ком и его учениками [Ю] , [І3]-[і5}. При этом бесконечномерные дифференциальные операторы рассматривались как замыкания конечномерных в соответствующем пространстве функций бесконечномерного аргумента. В работах [13] , [ilfj была определена алгебра псевдодифференциальных операторов с бесконечным числом переменных с символами, порождающими счетно-аддитивные меры ограниченной вариации в соответствующем гильбертовом пространстве, и построены фундаментальные решения некоторых бесконечномерных эллиптических операторов, реализующиеся такими мерами. Разработанная в [із], [id] методика была обобщена М.И.Вишиком в работе [15] для доказательства существования фундаментального решения бесконечномерного равномерно эллиптического оператора любого порядка с постоянными коэффициентами. Однако важный случай бесконечномерного оператора Лапласа, его итераций и некоторых других функций от него остался неисследованным. С другой стороны, Л.Гросс [53] показал, что для бесконечномерного оператора Лапласа, определенного как след второй производной Фреше, фундаментальное решение можно реализовать как <э -конечную положительную счетно-аддитивную меру в гильбертовом пространстве, а В.Ю.Бенткус [б], изучая уравнения для мер в гильбертовом пространстве, распространил этот результат на итерации оператора Лапласа.

Актуальной научной задачей является дальнейшее развитие и обобщение этих методов, в том числе построение класса псевдодифференциальных операторов с бесконечным числом переменных с символами, порождающими б"-конечные меры в соответствующем гильбертовом пространстве, и изучение на этой основе разрешимости дифференциальных уравнений с бесконечным числом переменных.

Разрешимость задачи Коши для уравнения Хопфа, соответствующего нелинейному волновоглу уравнению, была впервые установлена М.И.Бинтиком и А.И.Комечем [18] в случае периодических граничных условий. Используя несколько иной подход к понятию статистического решения, не опирающийся на уравнение Хопфа, А.А.Арсеньев [б] построил пространственно-временное статистическое решение нелинейного волнового уравнения. Отметим также работы Т.В.Гири [20] и Д.А.Хрычева [47] , [48] , М.Вио [63], в которых изучалось нелинейное волновое уравнение с белым шумом.

Изложим кратко содержание диссертации.

Пусть Н - вещественное гильбертово пространство последо-вательностей х = {эс₁₎ x_Zj...) , где 21 3Ci< + , с нормой

Ilocll =(2. ^ ) Возьмем последовательность #_; >о так-то, что 22, ^i<+^o , и рассмотрим вещественное гильбертово простіші ранство И. последовательностей эс = (^4,^,.-.) > ля^я которых ос^к^_<+оо ^ снабженное нормой II^11^ = (2I ^l ^ )

Обозначим через Н подпространство тех эс^Н^ , для которых

Х-1 = О При 1>Л/ . ДЛЯ X«(oc_lf Х_2г..)еН₄ ПОЛОЖИМ Р^ ЭС =:

Всякая функция у на пространстве И определяет функцию (--Ху/ (о на пространстве Н^ по формуле (Р^ (р)(*-) ~^{Р^ х.) _f где хеН^. Определим пространство С= цилиндрических функций на пространстве Н ± как линейную оболочку множества

Як^С*^(Ы) ^где С_ф(Л/)=Р;[СГ(н")]. Дляфункши | , оп-ределенной на пространстве Н_± , положим ffs^KR^eSUf (i ⁺ fi^xK«)⁵|f^t И (I РМ - Sttp ff(x)| ^S'^R 11*11^* ^Т ^f R 11*1//«;*? ^Т

Скажем, что функция f , определенная на пространстве H_±j принадлежит пространству <~-ь₅ , если для нее существует последовательность функций -fn.^C- » такая, что т) SU.D Win, ІІ _с < + ее .

2). I! 1^-^11^ -* 0 при и-*<*> для любого >0

Сходимость в пространстве ^-^ _s вводится следующим образом: последовательность функций f_K^CL_s сходится к функции

, если для функций f и ^ , где /1Є . выполнены условия I) и 2). Пространство CL_S оказывается полным относительно введенной сходимости. Положим Lg= С _> Сь₀~^ч

Определим псевдодифференциальный оператор с символом (fo!.D) , где Ш - комплекснозначная функция на полупрямой (о,+) и (^1,1) - квадратичная форма на гильбертовом пространстве п , такая, что для любого f«?H

,2. ./«с с\ ^ _Л2 попі ^аіИІҐ^(А|,І)^0-і ЙІҐ , где о<а₁^а

Скажем, что символ Ф(и!,!)) принадлежит классу Ж^ , если функция $(>) является преобразованием Лапласа комплексно-значно й меры S на полупрямой (о, +) ; удовлетворяющей условию $(4. + 11.) \GI(cLul) < + где \&\ - полная вариация меры Є ,

Определим меру на гильбертовом пространстве Н, , порож денную символом класса Ж^ . Поскольку 3?((4f,f)) = = ] Є 6"(ouc) , а символ в порождает бо- релевскую вероятностную меру р_и в пространстве И_± , то положим (І) М(Є)= f р^(В)^(сіи.) для тех борелевских подмножествах Е пространства Н^ , для которых интеграл в правой части (I) имеет смысл. Б 1.2 доказано, что функция множеств и. является Є -конечной счетно--аддитивной мерой, определенной на ^-кольце 54 борелевских - II - подмножеств пространства Н_± , погружаемых в цилиндрические множества с ограниченными основаниями из пространства п , где

Для функции ір є , где N> к и К>2ос , поло- ./^ —1*\ где $^ - псевдодифференциальный оператор с символом Фр!»1 )) и ф(1 ) - преобразование Фурье функции tp(x ; . В 1.3, опираясь на результаты 1.2, показано, что

По линейности оператор ж определен на всем пространстве С^ , где к>3,ос , причем ^^еС/о для ^Р^ж .

Теорема I.I. Оператор $ с символом Ф((/\|,1)) класса Л^ продолжается с пространства U^ до непрерывного оператора

, где куХос и S>«2o6 , причем (2) $$(*) = №(*-*>/*(**) для ^ С^ где /^ - порожденная символом :((&%,%)) мера на пространстве н,.

Оператор $ ' C/j _s —>Cl> , где к>2об и $>Хы. , задаваемый формулой (2), назовем псевдодифференциальным оператором с символом Ф((Д!,|)) класса

Пусть Р - многочлен. Оператор Р = Р((А^,Щ , где '"-{.L'bx^ > 1ъх₂ >--/ , определенный на пространстве L.^ , допускает замыкание в пространстве C-L (см.[10] ). Рассмотрим дифференциальное уравнение с бесконечным числом переменных

Если корни многочлена Р лежат в открытой левой полуплоскости С , то, как показано в работе П.М.Клехера и М.И.Вишика [ioj , это уравнение для всякой функции ^еСЛ имеет решение UeCL,

Теорема 1.2. Пусть корни многочлена г лежат в замкнутой левой полуплоскости - комплексной плоскости и р - наибольшая из кратностей тех его корней, которые лежат на мнимой оси. Тогда уравнение Ри=^ при любой правой части $eCL_s , где к>Яр и S>2p , имеет решение їх. = R-f^СЛ , где R - псевдодифференциальный оператор с символом R.((At,%)) =

Меру JUL , порожденную символом назовем фундаментальным решением дифференциального оператора

Пример. Фундаментальным решением бесконечномерного опера- тора Лапласа -Д~-у nTZ* является мера Грина Q на про- странстве Н, , определенная формулой где- Е - борелевское подмножество пространства Ц и р^- абстрактная мера Винера на пространстве Н. , построенная по Функционалу Є . Уравнение Пуассона -4и=| имеет решение в пространстве CL для любой функции f(sCL_s , где К>3 и S >Z, . Это решение дается формулой

Вторая глава диссертации посвящена доказательству разрешимости задачи Коши для уравнения Хопфа, соответствующего нелинейному гиперболическому уравнению.

Пусть Q - ограниченная область в R. с гладкой границей 'ЪС, .В классе измеримых вещественных функций 1L = 1L (±₃ эс) _? где ~Ь ? о и xeQ , рассмотрим нелинейное гиперболическое уравнение с нулевым граничным условием ^^3} ^е ^Лго -1*4-1 U , 1L -О - ІЗ - где Qf>Z. Уравнение (3) эквивалентно гамильтоновой системе с гамильтонианом Q 1=1 ' которую мы коротко запишем в виде (4) y^Vfy) , где 3 = бр.*0» W#=^tt-/ot|*tt,.p) _#

Энергетическим фазовым пространством нелинейного гипербо лического уравнения (3) (гамильтоновой системы (4)) назовем про странство с нормой IJ ^У = = Црй +||ttli_A + Hull . ^ . Это пространство состоит из функций у = (р, -и.) _t для которых конечен гамильтониан и выполнено (в среднем) нулевое граничное условие. Положим JL = [нЙ)л/ЛО]** L Й). Пусть <*_} > - соотношение двойственности между прост ранствами *№ и xXl , jH и JU,

Уравнением Хопфа, соответствующим нелинейному гиперболическому уравнению (3), называется эволюционное уравнение для характеристических функционалов X(t,cd) = ft, (а)) - Je^C< '^* JU. (dLu) борелевских вероятностных мер їй на пространстве JUL : (5) X[t,o))= I Hy.X.fr.cO) , где оператор H - бесконечномерный псевдодифференциальный оператор

Отображение "t *~*/*-± » где t ъ-о , называется статистическим решением нелинейного гиперболического уравнения (3) с начальной мерой jol₀ , если функционал X(-b,u))- Ju^(co) являет- ся решением задачи Коши для уравнения Хопфа (5) с начальным условием X (о,и>) =fL_c(co) : t t6) Xfart)- %(o_tu)) = L j H_Xfc,u))

Пусть {^ек| _м - ортонормированный базис в пространстве L^Z(Q) » состоящий из собственных функций оператора Лапласа с нулевым условием на границе области Q , и Р^ > jJ~(Q) -* L^Z(G) - ортопроектор на линейную оболочку первых Л/ собственных функций. Для g = (p,u.) eL²(G)^x/^fi) положим Р_ы и = (Р_ы р, Р#и) _#

Теорема 2.1. Пусть начальная мера /х₀ удовлетворяет усло вию /»

Тогда задача Коши для уравнения Хопфа (5) разрешима, т.е. выполняется (6), причем

Третья глава диссертации посвящена доказательству единственности решения задачи Коши для уравнения Хопфа, соответствующего нелинейному гиперболическому уравнению (3).

Будем рассматривать уравнение (3) при fy , удовлетворяющих условию (7; ty> Z , если Yi=l,Z ; Z < ^ ^ X ⁺ ^_ , если к Ъ 3 , обеспечивающему единственность индивидуальных решений этого уравнения (см. [26] ).

Поскольку при таких о, непрерывно вложение Нo(Q) ^с L^iQ), то энергетическое фазовое пространство JJL совпадает с пространством L (Q) * И₀ (Q) , а норма в пространстве Л эквива-лентна норме II ty-ll^ = ( llpll²- + Ни. if J- )

Теорема 3.1. Пусть а, удовлетворяет условию (7). Тогда решение XftjU)) задачи Копій для уравнения Хопфа (5) с начальным условием X(o,U))=jiL₀(a)) единственно на отрезке G,T] _f если начальная мера и₀ удовлетворяет условию

I sap e*f [/Н(Р_Л,^)^і"¹]_/д₀(^)<₊~ _t в котором & = А (су, Т ) > О .

В заключение перечислим основные результаты диссертации.

Построен класс псевдодифференциальных операторов с бесконечным числом переменных с символами, порождающими б*-конечные меры в гильбертовом пространстве, на основе этого расширен класс дифференциальных операторов с бесконечным числом переменных, для которых описаны фундаментальные решения, и получены новые результаты о разрешимости дифференциальных уравнений с бесконечным числом переменных.

Доказана разрешимость задачи Коши для уравнения Хопфа, соответствующего нелинейному гиперболическому уравнению, рассматриваемому в ограниченной области пространства IR. с гладкой границей с нулевым условием на границе. доказана единственность решения задачи Коши для уравнения Хопфа, соответствующего нелинейному гиперболическому уравнению.

Результаты диссертации могут найти приложения в теории дифференциальных уравнений в частных производных, в математической физике и в статистической нелинейной оптике.

Все основные результаты диссертации являются новыми и получены без соавторов.

Результаты диссертации опубликованы в работах [37] - [4l].

Результаты диссертащіи докладывались на научных сеглинарах механико-математического факультета Московского государственного университета.

Приношу глубокую благодарность профессору М.И.Бишику за постановку задач и внимание к работе.

Символы, зависящие от квадратичной формы, и порождаемые ими меры

Дифференциальным и псевдодифференциальным операторам с бесконечным числом переменных и связанным с ними уравнениям посвящены многочисленные работы. Отметим основополагающие исследования В.И.Авербуха, О.Г.Смолянова и С.Ь.Фомина [l] ,(, Ю.М.Бере-занского и его учеников Н-[э], М.И.Бишика и его учеников [ю] , [із]-[іб], Ю.Л.Далецкого [22], Ю.Л.Далецкого и С.Б.Фомина [23] , О.Г.Смолянова [Зб] , [Зб] , Л.Гросса [53] , [54] , П.Кри [58], работы А.В.Марченко [27] , [28] , Н.Н.Фролова [45], Р.Л.Шахбагяна [49]-[51] , Б.Ласкара [59]-[бі и других математиков [б] ,[25] , [33] , [34] , [42] , [4б], [62] . Смежным вопросам теории меры в бесконечномерных пространствах были посвящены фундаментальные исследования Ю.В.Прохорова [Зі], Р.А.Минлоса [29] и В.В.Сазонова [32] .

Дифференциальные и псевдодифференциальные операторы с бесконечным числом переменных и соответствующие уравнения в пространствах функций, равномерно приближаемых функциями конечного числа переменных на ограниченных множествах, изучались М.И.Виши-ком и его учениками [Ю] , [І3]-[і5}. При этом бесконечномерные дифференциальные операторы рассматривались как замыкания конечномерных в соответствующем пространстве функций бесконечномерного аргумента. В работах [13] , [ilfj была определена алгебра псевдодифференциальных операторов с бесконечным числом переменных с символами, порождающими счетно-аддитивные меры ограниченной вариации в соответствующем гильбертовом пространстве, и построены фундаментальные решения некоторых бесконечномерных эллиптических операторов, реализующиеся такими мерами. Разработанная в [із], [id] методика была обобщена М.И.Вишиком в работе [15] для доказательства существования фундаментального решения бесконечномерного равномерно эллиптического оператора любого порядка с постоянными коэффициентами. Однако важный случай бесконечномерного оператора Лапласа, его итераций и некоторых других функций от него остался неисследованным. С другой стороны, Л.Гросс [53] показал, что для бесконечномерного оператора Лапласа, определенного как след второй производной Фреше, фундаментальное решение можно реализовать как э -конечную положительную счетно-аддитивную меру в гильбертовом пространстве, а В.Ю.Бенткус [б], изучая уравнения для мер в гильбертовом пространстве, распространил этот результат на итерации оператора Лапласа.

Важным примером псевдодифференциального оператора с бесконечным числом переменных является псевдодифференциальный оператор в уравнении Хопфа для характеристического функционала статистического решения эволюционного уравнения. Задача Коши для уравнения Хопфа, соответствующего системе Навье-Стокса, была впервые поставлена Э.Хопфом [57], а разрешимость этой задачи Коши была установлена при разных предположениях Ч.Фояшем 5.55], [56] , [43] , [44] , А.М.Бершиком и О.А.Ладыженской [її] , [l Q , М.И.Би-шиком и А.Б.Фурсиковым [іб] , [17] , [ІУ] , А.А.Арсеньевым [з] ,[4] . Ч.Фояш [55] , [56] установил также условия, при которых имеет место единственность решения задачи Коши для уравнения Хопфа, соответствующего системе Навье-Стокса.

Актуальной задачей является доказательство разрешимости задачи Коши для уравнения Хопфа, соответствующего нелинейному волновому уравнению в случае произвольной области и других граничных условий, и выяснение условий, при которых имеет место единственность решения задачи Коши. Изложим кратко содержание диссертации. Первая глава диссертации посвящена построению одного класса псевдодифференциальных операторов с бесконечным числом переменных с символами, зависящими от квадратичной формы, и их приложениям .

Уравнение Хопфа, соответствующее нелинейному гиперболическому уравнению

Первая глава диссертации посвящена построению одного класса псевдодифференциальных операторов с бесконечным числом переменных с символами, зависящими от квадратичной формы, и их приложениям . Пусть Н - вещественное гильбертово пространство последо-вательностей х = {эс1) xZj...) , где с нормой Возьмем последовательность #; о так-то, и рассмотрим вещественное гильбертово простіші ранство И. последовательностей эс = ( 4, ,.-.) ляя которых ос к +оо снабженное нормой II 11 = (2I L ) Обозначим через Н подпространство тех эс Н , для которых Всякая функция у на пространстве И определяет функцию (--Ху/ (о на пространстве Н по формуле (Р (р)( -) {Р х.) f где хеН . Определим пространство С= цилиндрических функций на пространстве Н ± как линейную оболочку множества ЯкС (Ы) где Сф(Л/)=Р;[СГ(н")]. Дляфункши , оп-ределенной на пространстве Н± , положим Скажем, что функция f , определенная на пространстве H±j принадлежит пространству -ь5 , если для нее существует последовательность функций -fn. C- » такая, что Сходимость в пространстве вводится следующим образом: последовательность функций fK CLs сходится к функции , если для функций f и , где /1Є . выполнены условия I) и 2). Пространство CLS оказывается полным относительно введенной сходимости.

Доказательство разрешимости задачи Коши для уравнения Хопфа

Энергетическим фазовым пространством нелинейного гипербо лического уравнения (3) (гамильтоновой системы (4)) назовем про странство с нормой IJ У = = Црй +ttliA + Hull . . Это пространство состоит из функций у = (р, -и.) t для которых конечен гамильтониан и выполнено (в среднем) нулевое граничное условие. Положим JL = [нЙ)л/ЛО] L Й). Пусть } - соотношение двойственности между прост ранствами № и xXl , jH и JU, Уравнением Хопфа, соответствующим нелинейному гиперболическому уравнению (3), называется эволюционное уравнение для характеристических функционалов X(t,cd) = ft, (а)) - JeC JU. (dLu) борелевских вероятностных мер їй на пространстве JUL : (5) X[t,o))= I Hy.X.fr.cO) , где оператор H - бесконечномерный псевдодифференциальный оператор Отображение "t / -± » где t ъ-о , называется статистическим решением нелинейного гиперболического уравнения (3) с начальной мерой JOL0 , если функционал X(-b,u))- Ju (co) является решением задачи Коши для уравнения Хопфа (5) с начальным условием X (о,и ) =fLc(co) : Пусть {ек м - ортонормированный базис в пространстве LZ(Q) » состоящий из собственных функций оператора Лапласа с нулевым условием на границе области Q , и Р jJ (Q) - LZ(G) - ортопроектор на линейную оболочку первых Л/ собственных функций. Для g = (p,u.) eL2(G)x/ fi) положим Ры и = (Ры р, Р#и) # Теорема 2.1. Пусть начальная мера /х0 удовлетворяет усло вию /» Тогда задача Коши для уравнения Хопфа (5) разрешима, т.е. выполняется (6), причем Третья глава диссертации посвящена доказательству единственности решения задачи Коши для уравнения Хопфа, соответствующего нелинейному гиперболическому уравнению (3). Будем рассматривать уравнение (3) при fy , удовлетворяющих условию (7; ty Z , если Yi=l,Z ; Z X + _ , если к Ъ 3 , обеспечивающему единственность индивидуальных решений этого уравнения (см. [26] ). Поскольку при таких о, непрерывно вложение Нo(Q) с L iQ), то энергетическое фазовое пространство JJL совпадает с пространством L (Q) И0 (Q) , а норма в пространстве Л эквива-лентна норме II ty-ll = ( llpll2- + Ни. if J- ) Пусть а, удовлетворяет условию (7). Тогда решение XftjU)) задачи Копій для уравнения Хопфа (5) с начальным условием X(o,U))=jiL0(a)) единственно на отрезке G,T] f если начальная мера и0 удовлетворяет условию

В заключение перечислим основные результаты диссертации. 1. Построен класс псевдодифференциальных операторов с бесконечным числом переменных с символами, порождающими б -конечные меры в гильбертовом пространстве, на основе этого расширен класс дифференциальных операторов с бесконечным числом переменных, для которых описаны фундаментальные решения, и получены новые результаты о разрешимости дифференциальных уравнений с бесконечным числом переменных. 2. Доказана разрешимость задачи Коши для уравнения Хопфа, соответствующего нелинейному гиперболическому уравнению, рассматриваемому в ограниченной области пространства IR. с гладкой границей с нулевым условием на границе. 3. доказана единственность решения задачи Коши для уравнения Хопфа, соответствующего нелинейному гиперболическому уравнению. Результаты диссертации могут найти приложения в теории дифференциальных уравнений в частных производных, в математической физике и в статистической нелинейной оптике. Все основные результаты диссертации являются новыми и получены без соавторов. Результаты диссертации опубликованы в работах [37] - [4l]. - 16 Результаты диссертащіи докладывались на научных сеглинарах механико-математического факультета Московского государственного университета. Приношу глубокую благодарность профессору М.И.Бишику за постановку задач и внимание к работе.

Единственность решения задачи Коши для уравнения Хопфа

По теореме Прохорова [Зі] последовательность {-A/ J мер на пространстве Л слабо компактна. Щ

Заметим теперь, что последовательность \%N\ равномерно ограничена (т.к. \XN(±t од) 1 ) и равностепенно непрерывна на множестве K+ BR (см. (2.18)). Применяя теорему Асколи-Арцела к последовательности {%/,/] и каждому компакту CR = DD,R] В , где R M, и пользуясь диагональным процессом, выберем из последовательности {ХЛ подпоследовательность [Х /} , сходящуюся поточечно на множестве Ш+ х 11 к некоторому функционалу X. Предложение 2.7. Последовательность \И--ъ\ мер на пространстве М. слабо сходится к мере М, такой, что

Доказательство. Из предложения 2.6 (3) следует, что последовательность If-] мер на пространстве dLx слабо компактна. Пусть мера JUL , на пространстве dL± является слабо предельной точкой этой последовательности. Тогда существует подпоследовательность (j f. ], слабо сходящаяся к мере U.t . Следовательно, /л-+Ы) = ilm. X Л±,и ) при сдєіі , а так как йт X АІІІ (!," ) = Хі%ио) при o є JUL00 , то имеем (2.21). Поскольку функционал jLb непрерывен на пространстве dl± , а пространство М, плотно в прост-ранстве М± , то из (2.21) следует, что

Следовательно, функционал ии однозначно определен последовательностью { и , т.е. эта последовательность имеет единственную слабо предельную точку, а именно и. . Значит, последовательность {Л j слабо сходится к мере и. ± Щ Предложение 2.8. Мера ILL t сосредоточена на пространстве JUL. Доказательство. Пусть множество {& ] . , где ь)к = (Я ,(f K)eJl есть счетное множество, плотное в замкнутом единичном шаре пространства JX . Положим H jf) - і Р "ж»« / +г 1С» -.УО 2- + ф sij и, ук Заметим, что функционал Н непрерывен на пространстве М,± . Пользуясь условием (2.У), отсюда получаем, что и±(Л±\Л) - -для любого И 0 и, следовательно, и± (Л±\ Л)=о . Щ Положим % (t,u))= &ЬЫ) , где со є Л . Заметим, что при и)&Л и Л/ fc уравнение (2.17) можно переписать в виде или, что равносильно, в виде Поскольку, согласно предложению 2.5, функция п$ = в «л)1/( ) при о) є Лz непрерывна на пространстве Л и удовлетворяет неравенству F(y-) С Л(у-) , а из предложений (2.6) и (2.7) еле-дует, что последовательность мер Л/ь± на пространстве Л± слабо сходится к мере А Ц-± , то для любых СОЕ Л. /)JZ, и t O . Кроме того, при фиксированном 6J е dX последовательность {Hv Х (і,и))] равномерно по "t ограничена. Действительно, пользуясь (2.4) и (2.15) получаем Воспользуемся тем, что если о) = 1С , то o)«=vXC и (Ae=Jl±nMz (последнее следует из того, что екеН0 Й) при 0 для любого /сеМ ). Считая, что (JUGJU. и /l/ /c , перейдем в уравнении (2.22) для функционала Х.м1(-Ь,ой) к пределу при N - « # Б силу сделанных замечаний можно применить теорему о мажорированной сходимости, после чего получим, что для любых rteJL и 0 . Используя то, что пространство Л/ плотно в пространстве JI и что при любом 1:2-0 функции дельным переходом получим (2.8) для любых іїєМ. и "fc»0. Докажем теперь равенство (2.10). Положим Нь(у) = и[ (у), ft] ; где увоИ . Поскольку при N t-N имеем равенство Итак, теорема 2.1 полностью доказана. Замечание 2.1. Для статистического решения {р-ь}. с начальной мерой z , удовлетворяющей условию (2.9), выполняется неравенство (2.24) Et = J Щ)/ -ь ty) С для любого t 0, где С - «/ $Н(му)/и0ЬО,). Действительно, доказательство предложения 2.8 дало неравен ство в котором НR( )=ynin[Hfy)} Hj ДЛЯ и#- . Положив И по теореме о монотонной сходимости получим неравенство (2.24). + ое Б частности, из неравенства (2.24) следует, что всякая допустимая (т.е. удовлетворяющая условию (2.9)) мера и.0 имеет конечную энергию, т.е. \ H(f) Mo(ty) Замечание 2.2. Класс допустимых мер не пуст. Для доказательства потребуется следующая оценка гамильтониана н. Лемма 2.2. Пусть {е } - ортонормированный базис в пространстве L (Q) из собственных функций задачи Дирихле для оператора Лапласа с нулевым условием на границе области ц :