Содержание к диссертации
Введение
I. Начально-краевые задачи для дифференциально-разностных уравнений диффузии дробного порядка 30
1. Смешанная задача для неоднородного уравнения диффузии дробного порядка с запаздывающим аргументом по времени в полуполосе 30
1.1. Постановка задачи. Единственность решения 30
1.2. Построение решения задачи Коши для неоднородного обыкновенного дифференциально-разностного уравнения дробного порядка с запаздывающим аргументом 32
1.3. Существование решения задачи 1.1 39
2. Смешанная задача для неоднородного уравнения диффузии дробного порядка с запаздывающим аргументом повремени и пространственной координате в четверти плоскости
2.1. Постановка задачи. Единственность решения 45
2.2. Существование решения задачи 1.2 49
3. Задача Котпи для неоднородного уравнения дробной диффузии с запаздывающим аргументом по пространственной координате 58
3.1. Постановка задачи. Единственность решения 58
3.2. Существование решения задачи 1.3 61
II. Обратные задачи для дифференциально - разностных уравнений смешанного типа с дробной производной . 68
Обратная начально - краевая задача для дробного диффузионно - волнового уравнения с запаздывающим аргументом по времени 68
4.1. Смешанная задача для неоднородного уравнения дробной диффузии с запаздывающим аргументом. Функциональное соотношение 70
4.2. Первая задача Дарбу. Функциональное соотношение. 72
4.3. Существование и единственность решения задачи 2.1. 73
Обратная задача для неоднородного уравнения смешанного типа с дробной производной и запаздывающим аргументом по времени и пространственной координате. 78
5.1. Смешанная задача для неоднородного уравнения дробной диффузии с запаздыванием по обеим переменным. Функциональное соотношение 80
5.2. Задача Коши для волнового уравнения с запаздыванием по пространственной координате. Функциональное соотношение 83
5.3. Существование и единственность решения задачи 2.2. 86
Обратная задача для неоднородного уравнения смешанного типа с дробной производной и опережающе- запаздывающими аргументами 93
6.1. Задача Коши для неоднородного уравнения дробной диффузии с запаздывающим аргументом по пространственной координате. Функциональное соотношение 94
6.2. Задача Копти для волнового уравнения с опережающим аргументом. Функциональное соотношение. 96
6.3. Существование и единственность решения задачи 2.3.103
III Начально-краевые задачи для дифференциально-разностных уравнений смепіанного типа высокого поряд
ка с дробными производными и отклоняющимися аргументами. , 109
7. Начально-краевые задачи для уравнений смешанного типа высокого порядка с дробными производными и запаздывающими аргументами 109
7.1. Начально-краевая задача для диффузионно-волнового уравнения высокого порядка с дробной производной и запаздывающим аргументом по времени 109
7.2. Начально-краевая задача для диффузионно-волнового уравнения высокого порядка с дробной производной и запаздывающими аргументами по обеим переменным 111
7.3. Начально-краевая задача для диффузионно-волнового уравнения высокого порядка с дробной производной и кратным запаздыванием по пространственной координате 113
8. Начально-краевая задача для уравнения смешанного типа высокого порядка с дробными производными по времени и пространству с запаздывающим аргументом 116
9. Начально-краевая задача типа Геллерстедта для диффузионно-волнового уравнения высокого порядка с дробными производными по времени и пространству с отражением и опережающе-запаздывающим аргументом. 126
Список литературы 137
- Постановка задачи. Единственность решения
- Задача Котпи для неоднородного уравнения дробной диффузии с запаздывающим аргументом по пространственной координате
- Смешанная задача для неоднородного уравнения дробной диффузии с запаздывающим аргументом. Функциональное соотношение
- Начально-краевые задачи для уравнений смешанного типа высокого порядка с дробными производными и запаздывающими аргументами
Введение к работе
Актуальность темы. Теория уравнений смешанного типа берет начало от фундаментальных исследований Ф. Трикоми [80], С. Гел-лерстедта [84] и Ф. И. Франкля [82]. Именно в это время были впервые поставлены и изучены краевые задачи для модельных уравнений смешанного типа. Дальнейшее развитие теории уравнений смешанного типа связано с именами К.И. Бабенко [7], А.В. Бицадзе [10], И.Н. Векуа [22].
В работах В.Ф. Волкодавова [23], Е.И. Моисеева [51] - [53], A.M. Нахушева [55] - [56], А.П. Солдатова [79], СП. Пулькина [62] -'[64], Т.Д. Джураева [33], Л.С. Пулькпной [65] - [66], К.Б. Сабитова [71] - [72], А.Н. Зарубина [35] - [39], О.А. Репина [67] - [70], А.А. Килбаса [47] -[48], М.С. Салахитдинова [73] - [74], М.М. Смирнова [78] и других математиков, теория уравнений смешанного типа развивалась в различных направлениях.
Краевые задачи для дифференциальных уравнений с дробной производной исследовались в работах А.Н. Кочубея [49], А.В. Псху [60] - [61]; для уравнений смешанного типа с дробными производными - в работах С.Х. Геккиевой [26] - [27]; для дифференциально-разностных уравнений смешанного типа - в работах А.Н. Зарубина [34] - [43]; в работах А.А. Андреева [2]- [5] и его учеников [57], [76] - [77] рассматривались краевые задачи для уравнений смешанного типа с инвалютивным отклонением.
Тем не менее, следует отметить, что, не смотря па достаточно большое количество работ, посвященных изучению как уравнений с отклоняющимся аргументом, так и уравнений с дробными производными, теория уравнений смешанного типа с дробными производными и от-
клоняющимся аргументом находится в начале своего развития.
Наиболее близкими в этом направлении являются работы А.Н. Зарубина [41] - [42] и Е.А. Зарубина [46], где были впервые рассмотрены краевые задачи для уравнений смешанного типа с дробной производной и запаздывающим аргументом.
Отсутствие исследований по начально-краевым задачам для уравнений смешанного типа с дробной производной и запаздывающими аргументами, а так же прикладные возможности этих уравнений при математическом моделировании процессов экономики, математической биологии, нелинейной оптики, подтверждает актуальность темы диссертации.
Следует так же отметить, что и теория обратных задач представляет собой активно развивающееся направление современной математики. Интенсивное исследование обратных задач в значительной степени обусловлено необходимостью разработки математических методов решения обширного класса важных прикладных проблем, связанных с обработкой и интерпретацией наблюдений. Обратные задачи для линейных уравнений в частных производных, состояпще в определении либо начального, либо граничного условия, либо правой части уравнения по некоторой дополнительной информации о решении уравнения, исследовались целым рядом авторов, такими как: A.M. Денисов [30], О.М. Алифанов [1], М.М. Лаврентьев [50], Л.А. Чудов [83] и др. Однако, обратные задачи для уравнений смешанного типа практически не изучены, тем более для дифференциально-разностных уравнений смешанного типа с дробными производными.
Цель работы. Целью диссертационной работы является исследование разрешимости новых, прямых и обратных, нелокальных начально-краевых задач для неоднородных дифференциально-разностных урав-
нений смешанного типа с дробной производной и запаздыванием по различным переменным, рассматриваемых в неограниченных областях, содержащих внутри себя линию изменения типа.
Для обоснования корректности впервые поставленных задач необходимо доказательство теорем существования и единственности классических решений, что определяет структуру работы и содержание глав.
Методы исследования. В работе широко используются методы теории интегральных уравнений Вольтерра, качественные свойства специальных функций, функции Миттаг-Леффлера, Н - функции Фокса, дифференциальных и дифференциально-разностных уравнений, как обыкновенных, так и в частных производных, интегральные преобразования, метод вспомогательных функций (мегод "abc"), метод разделения переменных Фурье.
Научная новизна. Все результаты, полученные в работе, являются новыми в актуальной проблеме теории дифференциально-разностных уравнений в частных производных - проблеме решения прямых и обратных нелокальных задач для уравнения смешанного типа с дробной производной и запаздывающими аргументами.
Основные результаты выносимые на защиту:
Доказательство теорем существования и единственности решения начально-краевых задач для неоднородных дифференциально-разностных уравнений диффузии дробного порядка в канонических областях.
Доказательство теорем существования и единственности решения обратных задач для неоднородных дифференциально-разностных уравнений смешанного типа с дробной производной.
Доказательство теорем существования и единственности начально-
краевых задач для дифференциально-разностных уравнений смешанного типа высокого порядка с дробными производными, запаздыванием, опережением и отражением.
Теоретическая и практическая значимость. Работа носит теоретический характер. Полученные результаты могут быть использованы в качестве основы для дальнейшей разработки теории нелокальных задач для неоднородных дифференциально-разностных уравнений и систем дифференциально-разностных уравнений смешанного типа с дробной производной и отклоняющимися аргументами в областях изменения типа уравнения.
Практическая значимость работы заключается в возможности применения полученных результатов к исследованию различных физических и биологических смешанных процессов, в частности, в теории диффузии в пористых материалах, в нелинейной оптике, в изучении колебания кристаллической решетки, в теории популяций и др.
Апробация работы.
Основные результаты и содержание работы докладывались и обсуждались па:
Международной конференции "Современные методы физико-математических наук", посвященной 75-летию Орловского государственного университета и 75-летию физико-математического факультета (2006г.) ОГУ, г. Орел.
Четвертой Всероссийской научной конференции с международным участием "Математическое моделирование и краевые задачи" (2007г.) СамГТУ, г. Самара.
Второй Всероссийской конференции "СамДиф" (2007г.) СГУ, г. Самара.
Международном Российско-Азербайджанском симпозиуме "Уравнения смешанного типа и родственные проблемы анализа и ин-форматики"и VI Школе молодых ученых "Нелокальные краевые задачи и проблемы современного анализа и информатики" (2008г.) Нальчик - Эльбрус.
Научном семинаре кафедры математического анализа и дифференциальных уравнений в 2004 - 2008гг. Орел, ОГУ (руководитель д. ф.-м. н., профессор А.Н. Зарубин).
Публикации. Основные результаты опубликованы в работах [12] -[21], второму автору работ [15], [18] - [20] принадлежит только постановка задач.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав и библиографического списка. В каждой главе - три параграфа. Список литературы содержит 85 наименований. Объем - 148 страниц.
Содержание работы.
Во введении дан краткий обзор наиболее важных публикаций по теме и анализ основных результатов диссертации.
Постановка задачи. Единственность решения
Теория уравнений смешанного типа берет начало от фундаментальных исследований Ф. Трикоми [80], С. Гел-лерстедта [84] и Ф. И. Франкля [82]. Именно в это время были впервые поставлены и изучены краевые задачи для модельных уравнений смешанного типа. Дальнейшее развитие теории уравнений смешанного типа связано с именами К.И. Бабенко [7], А.В. Бицадзе [10], И.Н. Векуа [22].
В работах В.Ф. Волкодавова [23], Е.И. Моисеева [51] - [53], A.M. Нахушева [55] - [56], А.П. Солдатова [79], СП. Пулькина [62] - [64], Т.Д. Джураева [33], Л.С. Пулькпной [65] - [66], К.Б. Сабитова [71] - [72], А.Н. Зарубина [35] - [39], О.А. Репина [67] - [70], А.А. Килбаса [47] -[48], М.С. Салахитдинова [73] - [74], М.М. Смирнова [78] и других математиков, теория уравнений смешанного типа развивалась в различных направлениях.
Краевые задачи для дифференциальных уравнений с дробной производной исследовались в работах А.Н. Кочубея [49], А.В. Псху [60] - [61]; для уравнений смешанного типа с дробными производными - в работах С.Х. Геккиевой [26] - [27]; для дифференциально-разностных уравнений смешанного типа - в работах А.Н. Зарубина [34] - [43]; в работах А.А. Андреева [2]- [5] и его учеников [57], [76] - [77] рассматривались краевые задачи для уравнений смешанного типа с инвалютивным отклонением.
Тем не менее, следует отметить, что, не смотря па достаточно большое количество работ, посвященных изучению как уравнений с отклоняющимся аргументом, так и уравнений с дробными производными, теория уравнений смешанного типа с дробными производными и от -6 клоняющимся аргументом находится в начале своего развития.
Наиболее близкими в этом направлении являются работы А.Н. Зарубина [41] - [42] и Е.А. Зарубина [46], где были впервые рассмотрены краевые задачи для уравнений смешанного типа с дробной производной и запаздывающим аргументом.
Отсутствие исследований по начально-краевым задачам для уравнений смешанного типа с дробной производной и запаздывающими аргументами, а так же прикладные возможности этих уравнений при математическом моделировании процессов экономики, математической биологии, нелинейной оптики, подтверждает актуальность темы диссертации.
Следует так же отметить, что и теория обратных задач представляет собой активно развивающееся направление современной математики. Интенсивное исследование обратных задач в значительной степени обусловлено необходимостью разработки математических методов решения обширного класса важных прикладных проблем, связанных с обработкой и интерпретацией наблюдений. Обратные задачи для линейных уравнений в частных производных, состояпще в определении либо начального, либо граничного условия, либо правой части уравнения по некоторой дополнительной информации о решении уравнения, исследовались целым рядом авторов, такими как: A.M. Денисов [30], О.М. Алифанов [1], М.М. Лаврентьев [50], Л.А. Чудов [83] и др. Однако, обратные задачи для уравнений смешанного типа практически не изучены, тем более для дифференциально-разностных уравнений смешанного типа с дробными производными.
Цель работы. Целью диссертационной работы является исследование разрешимости новых, прямых и обратных, нелокальных начально-краевых задач для неоднородных дифференциально-разностных урав -7 нений смешанного типа с дробной производной и запаздыванием по различным переменным, рассматриваемых в неограниченных областях, содержащих внутри себя линию изменения типа.
Для обоснования корректности впервые поставленных задач необходимо доказательство теорем существования и единственности классических решений, что определяет структуру работы и содержание глав.
Задача Котпи для неоднородного уравнения дробной диффузии с запаздывающим аргументом по пространственной координате
Методы исследования. В работе широко используются методы теории интегральных уравнений Вольтерра, качественные свойства специальных функций, функции Миттаг-Леффлера, Н - функции Фокса, дифференциальных и дифференциально-разностных уравнений, как обыкновенных, так и в частных производных, интегральные преобразования, метод вспомогательных функций (мегод "abc"), метод разделения переменных Фурье.
Научная новизна. Все результаты, полученные в работе, являются новыми в актуальной проблеме теории дифференциально-разностных уравнений в частных производных - проблеме решения прямых и обратных нелокальных задач для уравнения смешанного типа с дробной производной и запаздывающими аргументами.
Основные результаты выносимые на защиту: 1. Доказательство теорем существования и единственности решения начально-краевых задач для неоднородных дифференциально-разностных уравнений диффузии дробного порядка в канонических областях. 2. Доказательство теорем существования и единственности решения обратных задач для неоднородных дифференциально-разностных уравнений смешанного типа с дробной производной. 3. Доказательство теорем существования и единственности начально -8 краевых задач для дифференциально-разностных уравнений смешанного типа высокого порядка с дробными производными, запаздыванием, опережением и отражением.
Теоретическая и практическая значимость. Работа носит теоретический характер. Полученные результаты могут быть использованы в качестве основы для дальнейшей разработки теории нелокальных задач для неоднородных дифференциально-разностных уравнений и систем дифференциально-разностных уравнений смешанного типа с дробной производной и отклоняющимися аргументами в областях изменения типа уравнения.
Практическая значимость работы заключается в возможности применения полученных результатов к исследованию различных физических и биологических смешанных процессов, в частности, в теории диффузии в пористых материалах, в нелинейной оптике, в изучении колебания кристаллической решетки, в теории популяций и др. Апробация работы. Основные результаты и содержание работы докладывались и обсуждались па: Международной конференции "Современные методы физико-математических наук", посвященной 75-летию Орловского государственного университета и 75-летию физико-математического факультета (2006г.) ОГУ, г. Орел. Четвертой Всероссийской научной конференции с международным участием "Математическое моделирование и краевые задачи" (2007г.) СамГТУ, г. Самара. Второй Всероссийской конференции "СамДиф" (2007г.) СГУ, г. Самара. -9 Международном Российско-Азербайджанском симпозиуме "Уравнения смешанного типа и родственные проблемы анализа и ин-форматики"и VI Школе молодых ученых "Нелокальные краевые задачи и проблемы современного анализа и информатики" (2008г.) Нальчик - Эльбрус. Научном семинаре кафедры математического анализа и дифференциальных уравнений в 2004 - 2008гг. Орел, ОГУ (руководитель д. ф.-м. н., профессор А.Н. Зарубин). Публикации. Основные результаты опубликованы в работах [12] -[21], второму автору работ [15], [18] - [20] принадлежит только постановка задач. Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав и библиографического списка. В каждой главе - три параграфа. Список литературы содержит 85 наименований. Объем - 148 страниц. Содержание работы. Во введении дан краткий обзор наиболее важных публикаций по теме и анализ основных результатов диссертации.
Смешанная задача для неоднородного уравнения дробной диффузии с запаздывающим аргументом. Функциональное соотношение
Под регулярным решением уравнения в области D будем понимать такое решение U(x,t) , что DQ 1U{X, ) Є C(D) , tl aD U(x,) , Uxx(x,t)eC(D). В 1 рассматривается смешанная задача для неоднородного уравнения диффузии дробного порядка с запаздывающим аргументом по времени в полуполосе. Аналогично доказывается сходимость интеграла (2.37). На основании (2.35), заключаем о абсолютной и равномерной сходимости функции U(x,t) , а следовательно и самой функции U(x,t) определяемой равенством (2.9), которая будет непрерывна и ограничена в области А0 = {ОМ): х 0; t tQ 0}. Покажем далее, что интеграл (2.9) удовлетворяет зфавненито (2.1) при t to 0 . Для этого достаточно доказать, что производные эгого интеграла при t to 0 молено вычислять при помощи дифференцирования под знаком интеграла. В случае конечных пределов интегрирования это законно, так как все производные функции (2.11) при t 0 непрерывны. Для возможности дифференцирования под знаком интеграла при бесконечных пределах, достаточно [8, с. 122 - 123] убедиться в равномерной сходимости интеграла, полученного после дифференцирования под знаком интеграла. Согласно проведенному исследованию, интеграл в правой части (2.9), а так же интегралы, полученные двукратным .дифференцированием по х и взятием дробной производной порядка 0 а 1 по t , сходятся абсолютно и равномерно при t to 0 . Первый интеграл в (2.10) является [11, с. 181] обобщенным интегралом Пуассона. Функция определенная интегралом Пуассона, удовлетворяет однородному дифференциально-разностному уравнению дробной диффузии (2.1) при ж 0 , t 0, ив случае ограниченной кусочно-непрерывной функции гш(х) непрерывно примыкает при t — 0 к функции ш(х) в точках ее непрерывности. Докажем, что формула (3.4) для любых непрерывных и абсолютно интегрируемых на (—оо, +оо) функций и(х) , f(x) , ограниченной и непрерывной функции g{t) , представляет при t to 0 ограниченное решение уравнения (3.1), удовлетворяющее условию (3.2). Покажем, во-первых, что, если функция ш(х) абсолютно интегрируема, то первый интеграл в (3.4) равномерно сходиться и представляет собой ограниченную функцию при t to 0 . На основании того, что интеграл в правой части (3.17), (3.20) сходится абсолюгно и равномерно, абсолютно и равномерно сходятся и интегралы, полученные из (3.16) путем двукратного дифференцирования по х и взятием дробной производной порядка 0 а 1 по і при t t0 0 . Аналогичные рассуждения можно провести и для второго интеграла в (3.4). Согласно проведенному исследованию, интегралы в правой части (3.4), а также интегралы полученные из (3.4) путем двукратного дифференцирования по х и взятием дробной производной порядка 0 а 1 по t , сходятся абсолютно и равномерно при t to 0 . Далее, с помощью (5.16) можно определить рекурентное соотношение для нахождения функции и{х) . Единственность регулярного решения U(x, t) задачи 2.2 следует из того, что однородная задача 2.2 (условия (5.2) - (5.4) и F(x,t) = 0) имеет в области D только тривиальное решение. Действительно, если однородны условия (5.2) - (5.4), то из (5.25), (5.29), (5.30) получим ш(х) = 0 для всех х Є [кт, (к + 1)т] (к = 0,1,2,...) . Поэтому из (5.9) и (5.17) {v{x) = 0 в силу (5.16)) получим U(x, t) = 0 в D . Единственное решение задачи для уравнения (9.28) при соответствующем выборе условий было получено в 6 в виде (6.35). Заменяя х на —х , задача для уравнения (9.29) сводится к задаче для уравнения (9.28) с соответствующими начальными условиями. В силу предполагаемой гладкости функций фі{х) (г = 1,2) можно сделать вывод о выполнении требуемой гладкости на функцию и(х) . Единственность регулярного решения U(x,t) задачи 3.5 следует из того, что однородная задача 3.5 (tpi(x), ф2{х), F(x,t) = 0) имеет в области D только тривиальное решение.
Начально-краевые задачи для уравнений смешанного типа высокого порядка с дробными производными и запаздывающими аргументами
Основные результаты диссертации докладывались на научных семинарах А.А.Самарского в МГУ, Н.Н.Яненко в ВЦ СО АН GCCP, С.А.Христиановича и А.Х.Мирзад-жанзаде в ин-те проблем механики АН CGCP; на объединенном городском и региональном семинарах по подземной гидромеханике при Казанском ГУ; на семинарах Научного Совета электродинамики и механики сплошных сред АН Латв.ССР; на итоговых научных конференциях Казанского, Киевского и Латвийского госуниверситетов, семинарах МИФИ, Карлова і г.Прага,ЧССР), Рос токского (ГДР) университетов; на Всесоюзной конференции-семинаре по термическим методам увеличения нефтеотдачи и геотер-мологии нефтяных месторождений (г.Москва-1965); на 1-ом (г.Москва-1965) и 2-ом (г.Баку-19б9) Всесоюзных семинарах по применению новых математических методов и вычислительных машин в теории и практике добычи нефти; на семинаре по тепловым методам разработки нефтяных месторождений и обработки призабойных зон пласта (г.Москва-1969); на 1-ом (г.Новоси-бирск-1971), 4-ом (г.Баку-1978), 5-ом г.Ташкент-1980), 6-ом (г.Фрунзе-1982) Всесоюзных семинарах по численным методам решения задач фильтрации многофазных несжимаемых жидкостей; на 4-ом (г.Рига-1972) Всесоюзном семинаре по численным методам вязкой жидкости; на 1-ой (г.Казань-1974), 2-ой (г.Каэано-1976), 3-ей (г.Минск-1978), на 7-ой (г.Рига-1982), на д-ой (г.Львов-1983), на 9-ой (г.Минск-1984) и на 10-ой (г.Рига-ІУ8а) Всесоюзных школах по теоретическим и прикладным проблемам вычислительной математики и математической физики; на 4-ой международной конференции по основным проблемам численного анализа (г.Плзень,ЧССР-1978); на 30-ом (1979), 32-ом (1981) и 36-ом (все г.Фрейберг,ГДР-1985) Международных горно-металлургических конгрессах; на Всесоюзных семинарах по современным проблемам теории фильтрации (г.Москва-1979) и по современным проблемам и математическим методам теории фильтрации (г.Москва-1984); на Всесоюзном семинаре по методам эффективного извлечения нефти и газа (г.Новосибирск-1981); на 5-ом (г.Алма-Ата -1931) и 6-ом (г.Ташкент-1986) Всесоюзном съездах по теоретической и прикладной механике; на Международном математическом конгрессе (г.Варшава-1983); на Международной школе-семинаре по математическим моделям, аналитическим и численным методам в теории переноса (г.Минск-1986), на лекциях в Международном математическом центре им.Стефана Банаха (.г.Варшава-1987).
Основные положения, выносимые на защиту. 1. Новые постановки для широкого класса задач теории фильтрации на основе разработки нового специального метода решения задач математической физики с разрывными коэффициентами, описывающих процессы тепло- и массопереноса в многослойных и однослойных пластах. 2. Решение сложных многомерных (в том числе трехмерных) задач фильтрации в слоистых средах с термогидромеханическим анализом полученных результатов и выводами практического характера, что включает эффективное решение новых и более экономичное решение уже решенных ранее задач.
