Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА I. Функциональные пространства 18
1.1. Предварительные сведения 18
1.2. Теорема о 4 -дифференцируемое в точке неявной функции и ее непрерывности в окрест ности точки 19
1.3. Пространство Т%(-Ъе> Хв) 22
1.4. Пространство
1.5. Пространство Е - L± (l,CCg(^-tX$),\HI^) . 33
ГЛАВА II. Линейные дифференциальные и интегральные уравнения 34
2.1. Существование и единственность решения зада чи Коши 34
2.2. Резольвента R(t,ti) и ее свойства 40
ГЛАВА III. Теоремы о строгой 4-дифференцируемости решения обыкновенного дифференциального уравнения (ОДУ) по совокупности начальных данных и пра вой части 53
3.1. Теорема о строгой -дифференцируемости решения ОДУ по начальному условию и правой части 53
3.2. Теоремы о строгой -в-дифференцируемости решения ОДУ по совокупности аргументов 71
3.3. Теорема о строгой -дифференцируемости продолженного решения ОДУ по совокупности начальных данных и правой части 84
ГЛАВА ІV. Необходимое условие критичности и приложение к оптимальным задачам 100
4.1. Необходимое условие критичности 100
4.2. Конкретные формулы вариации 102
4.3. Приложение к оптимальным задачам 105
Заключение 125
Список литературы
- Теорема о 4 -дифференцируемое в точке неявной функции и ее непрерывности в окрест ности точки
- Резольвента R(t,ti) и ее свойства
- Теорема о строгой -дифференцируемости продолженного решения ОДУ по совокупности начальных данных и правой части
- Конкретные формулы вариации
Введение к работе
Математическая теория оптимального управления (как важная составная часть современной теории экстремальных задач) возникла во второй половине 50-х годов. Центральным достижением современной теории оптимального управления, занимающейся неклассическими задачами (т.е. задачами минимизации функционалов в случае, когда точка минимума находится на границе рассматриваемой области ) является принцип максимума Понтрягина.
Принцип максимума, сформулированный Л.С.Понтрягиным, был установлен вначале для линейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений ( ОДУ) Гамкрелидзе Р.В. /24/.
Доказательство принципа максимума для нелинейных систем, как и ряд дальнейших результатов об оптимальных процессах /II/ в общем нелинейном случае, принадлежит Болтянскому В.Г. /9/.
Первоначальный набросок теории оптимального управления был изложен в /8/ и в обзорной статье Понтрягина Л.С. /58/, затем теория оптимального управления для ОДУ составила содержание основополагающей монографии /60/, давшей толчок бурному развитию всего направления исследований, связанных с экстремальными задачами.
Завершенная теория линейных систем была разработана Кра-совским Н.Н. /43/.
Исследования по необходимым условиям экстремума в последние годы связаны в основном со следующими направлениями:
- разработка абстрактных вариантов теорий принципа максимума и их применение к разным задачам;
получение необходимых условий экстремума высших порядков, их приложение к дифференциальным уравнениям разных типов;
дальнейшее распространение теорий и методов оптимального управления на задачи: с ОДУ в бесконечномерных пространствах;
с дифференциальными уравнениями в частных производных ( ДУЧП); с интегро-дифференциальными уравнениями (ИДУ); со стохастическими дифференциальными уравнениями ( СДУ ) и т.д.
Остановимся на этих направлениях чуть подробнее.
Одни из первых теорий первого направления, охватывающие разные типы конкретных ситуаций, были построены в работах Гам-
КРЄЛИДЗЄ Р.В. И ХараТИШВИЛИ Г.Л. /89/, /25/, Neustadt l.w. и
Hal kin н. /94/, /95/, /91/ (см. также /II/, /40/, /64/).
Весьма общий метод получения необходимых условий экстремума был развит в работах Дубовицкого А.Я. и Милютина А.А. /33/, /36/. С помощью этого единого функционально-аналитического подхода в книге Гирсанова И.В. /27/ выводятся необходимые условия экстремума для ряда задач - от принципа максимума Понт-рягина в теории оптимального управления до теории двойственности в линейном программировании. Построению абстрактной теории принципа максимума для задач со смешанными ограничениями была посвящена статья /37/. Она ориентирована на применение к задачам оптимального управления достаточно общего вида, возникающих при исследовании ряда сложных экономических проблем.
Исследования такого же абстрактного и общего характера отражены в работах Якубовича В.А. /82/, /83/, /84/. В них был предложен новый вариант абстрактной теории принципа максимума, а в /52/ была показана плодотворность таких теорий на примере задач из оптимального управления с ДУЧП (см. также /53/).
- б -
Путем введения новых способов локальной аппроксимации множеств конусами, а нелинейных отображений - линейными и сублинейными, работе Сухинина М.Ф./7І/ получен принцип Лагранжа для достаточно широкого класса задач в топологических векторных пространствах, позволяющий в то же время охватить некото- ' рые, не дифференцируемые по Фреше или по Гато ни в одной точке, отображения и, таким образом, в случае банаховых пространств не сводящийся к обычному принципу Лагранжа (а строго обобщающий его) (см. также /69/, /7/).
По-видимому, одними из первых работ, в которых предлагалась общая схема для получения необходимых условий высших порядков в неклассических задачах, были /34/, /35/ (см. /45/).
Работы, посвященные условиям высших порядков,среди которых ОТМеТИМ ЗДеСЬ рабОТЫ Kelley H.J., Корр R.E., Moyer H.G.
/92/, Габасова Р. и Кирилловой Ф.М. /20/, /22/ (см. /19/), Аграчева А.А. и Гамкрелидзе Р.В. /3/ - /5/, Krener a.j. /93/ восходят к принципу максимума Понтрягина. Аналогично игольчатым вариациям Понтрягина, вариациям первого порядка, вводятся игольчатые вариации высших порядков, так называемые пакеты вариаций, и множеству пакетов вариаций данного порядка соответствует необходимое условие - принцип максимума данного порядка, который доказывается аналогичено принципу максимума Понтрягина.
Отметим еще результаты, полученные в /54/. Они относятся к общей теории условий экстремума высших порядков. С их помощью выводится квадратичное необходимое условие слабого экстремума для гладких задач оптимального управления, не содержащих локальных ограничений типа неравенства.
Большое значение имеют приложения методов и теории экстремальных задач к оптимальному управлению системами, описываемыми дифференциальными уравнениями разного типа: ОДУ, ДУЧП, ИДУ, СДУ и др. По этим вопросам имеется огромная литература.
Особенно хорошо изучены задачи оптимального управления с ОДУ как в конечномерных, так и в бесконечномерных пространствах (см. /60/, /43/, /25/, /40/, /26/, /6/, /10/, /46/, /17/, /21/, /18/, /77/, /38/;.
Многие вопросы оптимальных проблем с ДУЧП получили подробное освещение в монографиях Лионса Ж.-Л. /47/, Бутковско-го А.Г. /13/, /14/ (см. /15/) и Лурье К.А, /49/ (см. также /38,/). Центральной задачей в этих работах является распространение необходимых условий типа принципа максимума Понтрягина на оптимальные задачи с ДУЧП.
Общий метод, направленный в основном на задачи с частными производными, был предложен в работе Плотникова В.И. /57/. .
В /23/ получены другие результаты по необходимым условиям оптимальности второго порядка для систем ДУЧП (см. также /52/).
Теория и методы решения минимизации в конечномерных пространствах, принцип максимума и динамическое программирование в задачах оптимального управления процессами, описываемыми ОДУ, а также бесконечномерные экстремальные задачи хорошо изложены, например, в монографиях Васильева Ф.П. /17/, /18/.
Численным методам в экстремальных задачах посвящены монографии /17/, /18/, /55/, /61/ и др.
Распространению необходимых условий оптимальности управления на задачи с запаздыванием посвящены работы /73/, /16/, /76/, /56/ и др.
С задачами оптимального управления с СДУ можно ознакомиться, например, в работе /75/.
Важным математическим аппаратом в теории экстремальных задач является выпуклый анализ. К настоящему времени наиболее полно изучены задачи минимизации выпуклых и гладких функций, а также минимаксные задачи /28/.
Достаточно полное изложение конечномерного выпуклого анализа и его применения в задачах на экстремум имеется в книге Рокафеллара /66/.
С бесконечномерным выпуклым анализом и его приложением к экстремальным задачам можно ознакомиться, например, в работах Иоффе А.Д. и Тихомирова B.C. /40/, Алексеева В.М., Тихомирова В. М. и Фомина СВ. /6/, Пшеничного Б.Н. /63/, /64/ и др.
В выпуклом анализе существенную роль играет понятие суб-дифференциала (см. /90/, /64/, /40/).
Предпринимаются попытки распространить понятие субдифференциала на другие классы негладких функций. Среди этих попыток следует отметить работу Кларка /87/, в которой приведено понятие производной по Кларку, Рокафеллара /96/, Варги Дж. /16/, Кусраева А.Г. /44/.
Введенные ими субдифференциалы позволяют изучить ряд важных свойств липшицевых функций. Однако, не всегда пригодны с точки зрения оптимизации. Верхние выпуклые аппроксимации из /62/ (см. /45/) предназначены для задач минимизации и пригодны для произвольных липшицевых функций.
В /29/, /31/, /64/ было введено понятие квазидифференци-руемой функции и установлен ряд свойств таких функций. Класс квазидифференцируемых функций более узок, чем класс липшицевых
функций, но достаточно широк с точки зрения приложения.
В /29/ - /31/ рассматривалось обобщение результатов из /64/ для квазидифференцируемых функций.
Как известно, теорема о неявной функции играет большую роль в теории экстремума. С результатами по необходимым условиям экстремума с использованием теорем о неявной функции можно ознакомиться по исследованиям, проведенным в /II/, /40/, 111, /32/ и др.
Ряд результатов, и достаточно общих, без использования теорем о неявной функции, был получен в /88/ (см. /85/, /86/).
Интересная область приложений необходимых условий экстремума и, в частности, оптимального управления представляет собой математическая экономика. По-видимому, возможность исследования в этой области далеко не исчерпана. G этой проблематикой можно ознакомиться, например, по работам /74/, /51/ и др.
Диссертация посвящена исследованию необходимых условий оптимального управления (принципа максимума Понтрягина и условий трансверсальности ) системами, описываемыми ОДУ типа
x=:g.(t,x,iO (і)
( U. - управление) в бесконечномерных пространствах.
Основным моментом в доказательстве принципа максимума и условий трансверсальности является теорема о непрерывной и дифференцируемой зависимости решения уравнения (I) от совокупности начальных данных и правой части (tt^ti^Xi, л) , где
t-t; t2 - концы отрезка времени, на котором рассматривается задача; 0С± - х C-ti) - начальное условие; у - правая
часть.
Следует заметить, что в практических задачах чаще всего приходится иметь дело с разрывными по t (t - время) функциями $- (t, х., tt(t>) , поскольку U (t) , как правило, бывает разрывной. Поэтому возникает потребность исследований таких ОДУ в случае измеримых по t. правых частей fy (*>*:,, u ft);
Этот вопрос исследовался в разных ситуациях многими авторами. Отметим лишь некоторые из них.
В математической литературе излагаются различные варианты теоремы о дифференцируемой и непрерывной зависимости решения ОДУ от начальных данных и правой части.
В классическом виде она доказана, например, в /59, с.172/,
где ос непрерывны по совокуп-
ности аргументов на С~ С К * К .
В /40, с. 69/, /6, с. 195/ приводятся аналоги этой теоремы в случае, когда f (t}x.) удовлетворяет условию типа Кара-
теодори на б- С Л х U , где в следующем
смысле: почти при каждом "Ь є А отображение ^ ь ^ ' непрерывно дифференцируесо на "U , а при каждом ос єи отображение t і—>Т (t,x) измеримо на А
В /41, с. 160/ излагается вариант теоремы о дифференцируе
мое в случае банаховых пространств, где т (.> х) и
у (t>3c) непрерывны по норме на 6- С 1К * л ^Х- банахово пространство^.
В /70/ доказана теорема о дифференцируемости решения ОДУ
-li-
no начальному условию в локально выпуклом пространстве л.в.п.)
А0> полученном наделением банахова пространства X подходящей локально выпуклой топологией в (л.в.т.), удовлетворяющей некоторым условиям, причем f (t;x) и Х-х. (Ас>х-}
непрерывны в некотором смысле на открытом множестве &-С/К*Х.
(см. также /25/, /26/, /73/).
В /48/ доказана соответствующая теорема для того случая,
когда f {t7 X.) компактно дифференцируема по х" (см. /48/,
/2/ ) и {'х (t, *) непрерывна на при наделе-
нии пространства линейных непрерывных отображений X в X топологией равномерной сходимости на компактных множествах из X .
В данной работе получены необходимые условия оптимальности управления (принцип максимума Понтрягина и условия трансверсальности ) системами, описываемыми ОДУ с измеримой по t
правой частью Ч (t} x}u.(t)) в бесконечномерных пространствах (см. Главу ІУ, ср. с /25/, /77/).
Эти результаты были получены на основе доказанных в данной работе новых теорем о дифференцируемой зависимости решений дифференциальных уравнений от параметров ( правой части, начальных данных и т.д.).
По сравнению с известными ранее анлогичными результатами в диссертации ослаблены требования на дифференцируемую зависимость правой части f от фазовыз переменных X , а именно, дифференцируемость здесь принимается не по Фреше, а в более слабом смысле.
Другая особенность данной работы заключается в постановке задачи оптимального управления. Хотя фазовое пространство бесконечномерно, на переменные системы налагается лишь конечное число склярных ограничений типа равенства. Это дает возможность применить конечномерное правило множителей Лагранжа.
Диссертация состоит из введения, четырех глав и заключения. Первая глава состоит из пяти параграфов, вторая глава состоит, из двух параграфов, третья глава содержит три параграфа и четвертая глава состоит из трех параграфов.
В конце диссертации приводятся список литературы из 96 наименований и список обозначений.
Диссертация изложена на 137 машинописных страницах.
Первые три главы посвящены разработке необходимого математического аппарата, который используется в четвертой главе для получения необходимых условий оптимальности управления. Основной является четвертая глава, в которой центральное место занимает 4.3.
Перейдем к краткому описанию каждой главы.
Первая глава посвящена введению некоторого класса функциональных пространств. В I.I. даются предварительные сведения. В частности, дается определение строгой -дифференцируемое функции. В 1.2 приведена теорема о строной 4 -дифференцируемое неявной функции из работы /70/.. Замечено, что оценки, используемые при ее доказательстве, позволяют получить теорему о ъ -дифференцируемости неявной функции в точке и ее непрерывности в окрестности точки при ослабленных по сравнению с /70/ предположениях.
- ІЗ -
В І.З введено пространство и изучены
его основные свойства. В частности, замечено, что
и доказаны теоремы о секвенциальной полноте
Z, (8(9, Х&) и ПОЛНОТе ^п.ц ' Од^Лв)*
Далее, в 1.4 изучается пространство Cg (-Q-_, л^)
непрерывно дифференцируемых в некотором смысле отображений с нормой II* 114. . Доказана теорема о полноте пространства
Последний факт дает возмолшость построить в 1.5 основной функ-
циональное пространство . , с которым имеем дело в течение
всей работы, а именно Е = *>*(1> (О С ^A0),l\-^t)) "
банахово пространство лкассов эквивалентности суммируемых по
Бохнеру /39, с. 189/ функций с нормой
|| f //* zz ) \\{(t)\\± cLt і причем элементы feE
можно рассматривать как класс эквивалентности функций т ("Ь>г) измеримых по t как отображение из І в X при каждом X Є Si и почти при каждом Ь Є I принадлежащих
Во второй главе исследуются свойства некоторых линейных дифференциальных и интегральных уравнений.
В 2.1. ставится следующая задача Коши:
( x = A(t)xt x Си) - xt,
где п I > оС\[]. у ( В'є , л $) - суммируемая по Бохнеру
функция, til ? я:* Є л . Доказаны некоторые вспомогательные утверждения, затем установлены существование и единственность решения задачи Коши в классе абсолютно непрерывных функций. Далее, в 2.2 определена резольвента К Ct>ti) линейного дифференциального уравнения в банаховом пространстве и изучены некоторые ее свойства. В частности, установлено, что
R (t, и) є 71И1(Ве,ХД
Наконец, в этом же параграфе обоснована для нашей ситуации известная формула для решения линейного интегрального
і уравнения X (±) - J А(т) X (х) clr=y(t), где # ' 2"—>Х ~
- непрерывная функция.
Третья глава посвящена исследованию строгой ъ - дифференцируемое решения ОДУ по параметрам ( начальным данным и правой части, взятым в разных сочетаниях) . Одна из таких теорем изложена в работе /72/.
В 3.1. доказаны два утверждения о свойствах полунорм в
Л $ и о связи строгой ъ -дифференцируемости с условием Липшица, затем доказана теорема о строгой ъ -дифференцируемости
решения t-f ("t ? х±і т ) ОДУ по начальному условию и правой
части (x±^f) {\єВ) в точке
В 3.2 доказана лемма о совпадении ограниченных множеств
в пространствах С (Ї > X) и С (1 } X) , введенных
в 3.1, затем введены специальные подпространства в с соответствующими нормами, которые используются в доказательстве последующих теорем этой главы. Доказана теорема о строгой
"о -дифференцируемое решения У (t)'th ^Lj Т t J
ОДУ по (~tt, Xt, т ) в точке (і.і. , хч, О) при условии
непрерывности функции f ( -Ь , X. ) в точке tl_, X*i).
Далее доказана теорема о строгой 4 -дифференцируемоети
решеНИЯ tff-tjti., Xij-f + f) ОДУ ПО ("b^-tij 5Ci^, f ) в
точке (4t>) "tt, у4. ^ о) при условии непрерывности функции f(-t^x) в точках Cit.Xt), С "tг., aft).
Первые две теоремы, полученные в этой главе, доказываются с помощью теоремы о строгой 4-дифференцируемости неявной функции, а третья теорема доказывается на основе второй.
Обоснованы для нашего случая известные формулы вариации решения по совокупности переменных.
Наконец, в 3.3 доказаны два утверждения о дифференцируемости. Первое - теорема о строгой -дифференцируемости про-
долженного решения *f (-ti., ia^Xi "f + f )
ке (-t 4.^ -fc г t x1; о ) при условии непрерывности
-f (і, х) в точках (4^ Xi) , (іг.., ^2,) в этом
же параграфе вводится некоторое семейство г С- Ь. правых частей ($) , зависящее специальным образом от конечномерного
параметра Ч , и доказывается лемма о -дифференцируемости
^ (±i.t t г, Кі., (У)) по (Ч ^tt,Xi., ^) в точке
(-ti -Ьг, Х.1 о) и непрерывности по
в окрестности этой точки, которая впоследствии используется для вывода необходимых условий оптимальности.
Четвертая глава посвящена выводу необходимых условий оптимальности ( принципа максимума Понтрягина и условий трансверсальности ) управления системой, описываемой бесконечномерным уравнением, изученным в третьей главе.
Известно /25/, что экстремальные задачи изучаемого нами типа удобно формулировать как задачи на определение критичности отображения.
В 4.1 дано определение критичности и приведена теорема из работы /25/ о необходимом условии критичности. Затем как следствие из нее сформулирована теорема о необходимом условии критичности в подходящем для нас виде.
В 4.2 приведены известные формулы для производных некоторых специальных отображений /25/, обоснованные для нашего случая в третьей главе.
4.3 посвящен приложениям к оптимальным задачам. Сначала
- 17 -доказаны некоторые вспомогательные утверждения. Затем поставлена экстремальная задача. Далее, сформулирована теорема о необходимых условиях оптимальности в форме принципа максимума Понт-рягина и условий трансверсальности. Получен также принцип максимума в интегральной форме.
Наконец, отмечено, что результаты, полученные для решения поставленной выше экстремальной задачи, переносятся на задачи оптимального управления с измеримой по t в бесконечномерном
смысле правой частью (t ,^>uCt)) , где U.C-) - управление. При этом получен принцип максимума Понтрягина.
В заключении подведены основные итоги.
Часть результатов диссертации содержится в работе /72/. Вторая часть результатов работы готовится к депонированию в ВИНИТИ СССР.
Результаты, изложенные в диссертационной работе, обсуждались на заседаниях семинара кафедры дифференциальных уравнений и функционального анализа Университета дружбы народов имени Патриса Лумумбы, проводимых под руководством проф. Масленниковой В.Н., проф. Буренкова В.И., доц. Сухинина М.Ф., а также на ежегодных конференциях молодых ученых и на научных конференциях факультета физико-математических и естественных наук Университета дружбы народов в 1982-1984 гг.
Автор выражает искреннюю благодарность своему научному руководителю доценту Сухинину М.Ф. за постановку задач, помощь и постоянное внимание во время работы над диссертацией.
Теорема о 4 -дифференцируемое в точке неявной функции и ее непрерывности в окрест ности точки
Пусть X , У - нормированные пространства; В - замкнутый единичный шар в X ; U , V - открытые множества в X и j соответственно; В - некоторая отделимая линейная топология в X ; % и положительные числа и %СІ ; отображение f Г XJxV— Х& , { : (t,x)t-»f (t,z) строго -дифференцируемо в точке (x .,yj Є.ихЛГ з тСх0 о) -О і Ai = T16to e)- изоморфизм X на л ; отобра жение Ai L : о9 Хд непрерывно в нуле; отображение X і At тЫ Ч) — С удовлетворяет условию Липшица с константой 1 при каждом фиксированном Ч V Аг = {г (х., З.) б Г ГУ,/J ; Сражение w j / ( f (х., у)-Аг%) удовлетворяет условию Липшица с константой /I при каждом фиксированном ХЄ \J. Далее, пусть существует функция L V I/ такая, что 9(Зв)=Го И -f ( ОЛЛ) -Я ПРИ & V.
Тогда 4 как отображение V в Х$ строго 4- дифференцируемо в точке у и { ус ) — - Л1 ГІ2 1.2.2. Те о р е м а.
Пусть X » V нормированные пространства; о - замкнутый единичный шар в л ; U и 1/ - открытые множества в д и Y соответственно; # - некоторая отделимая линейная топология в X ; и // - положительные числа и С і ; отображение - дифференцируемо в точке Схо} ) . XJ X V" и непрерывно по Ч В ОКреСТНОСТИ ТОЧКИ (%ot)f0} I Хо $о) /1 -{ (хо %) - изофоризм ,Y на ; отображе ниє Гїі 1ь Dp Хр непрерывно в нуле; отобра жение X і t\± +( ,)))-эс удовлетворяет условию Липшица с константой при каждом фиксированном Q \f ; Аг "faf o ,,) Є Г( Х) отображение У I Ai (f fxe,y) kt У ) удовлетворяет условию Липшица с константой М при Ха в U Далее, пусть существует функция 9 ."У— 1/ такая, что 9(У) — 2 и (3( ),9) - 0 при У-G У . Тогда $ как отоб ражение v в Хр -дифференцируемо в точке У j г і Q;N \ — _/). »/) и Q непрерывно в окрестности точки Уо Доказательство. 8 -дифференцируемость отображений $ в точке вытекает непосредственно из доказательства теоремы I.2.I. при замене У на Ь #w на На
Нерперывночть отображения 4. в окрестности точки уо следует из формулы (ЗЛ) из работы /70/: - 22 прик- О и, следовательно, 11 ft + fc) - $( II —" D к- 1.3. Пространство Cg ( о & , X б ) І.З.І. Пусть о -замкнутый единичный шар в банаховом пространстве X ; 9 - л.в.т. в X причем В удовлетворяет следующим условиям: і) запасы ограниченных множеств в X и Хе совпадают; 2) В - В - замкнутое множество; 3х) Хй секвенциально полно (см. /78/, /81/, /42/). Обозначим через С (ор,Х#) множество линейных отображений X в Л , таких, что их сужение на о непрерывно в нуле как отображение Q# в Хр (очевидно, что (&0,Хе) - линейное пространство), через cjf (о Ді?) - пространство С \ Є Хд) наделенное топологией равномерной сходимости на ограниченных множествах из X ( условие означает, что для любой окрестности нуля у в X & существует окрестность нуля U в X0 J такая, что А (ил В ) с V. Далее, топология в простарнстве Z,g (&&,Х&) задается следующим образом: базисом окрестностей нуля в Zg (В &?Х9/ будем считать совокупность множеств вида
Резольвента R(t,ti) и ее свойства
Глобальное решение получается "соединением" локальных решений, определенных на отрезках длины її ("крайние" решения определены, возможно на более коротких отрезках). Глобальная единственность решения вытекает из леммы 2.1.5 применительно к xCt) . Действительно, из равенства х (t) x +j fl(т) х(т)е(т получим (см. /50/J ІІхГОІ хч[+//( А(т)х(т сІтП // // + t + \[\\І\(гП-\\хМ\\(Іт\ с 1хі.е«р [[1Л(т)ЫгТ](2Л.5) "tt -fct для каждого б I . Поэтому, если РС6), : 6) - решения уравнения (2.1.4), то
Заметим, что отображение , ставящее в соответствие каждому z:L X значение решения х( ) уравнения (2.1.4) в точке t , линейно и непрерывно. Деитсивтельно, его линейность вытекает из линейности уравнения (2.1.4) , а непрерывность из оценки (2.1.5). Покажем, что Ri iti) Є (В л Х&) Для є% положим Докажем по индукции, что интеграл, стоящий в правой части существует и Q (±) 6 . ( ) ПРИ tel для каждого И.
Очевидно, что отображение ? (О Є с(В /Х&) и ) /\(т) Qw(r) r существует при tel для некото U рого И. О. Заметим, что Q : I — -\\-ц(&0,Х&) абсолютно непрерывно.
Далее, поскольку п(х) суммируема по Бохнеру, то существует Ніс(т) - последовательность функций, такая, что Пк(т ) — А(т ) ПрИ к —= СУ= по норме и в L± (1 2ц,л (к&РХеУ) для почти всех г /50/ Далее, поскольку Q C t) Є ifi Х для каждого Т , то А М ?и(х) Є (б. &\ для почти всех Г (см. п. 2.1.3).
Поскольку ІЛ(І:) по норме почти для каждого Т и llH . QwMll с( ІНкСОІ , где 0L гг -И-ч} і [б?ь(т)[ ,ТІ ldo (в силу абсолютной нерерыв-ности (?ц(т) ) , а 1Нк(ти( - суммируемая по Лебегу функция, то по теореме Лебега заключаем, что А л и -к- б?к т) - непрерывная на Д функция Т со значениями в «с ц, и ( & р, AV) В этом случае - интеграл Римана от непрерывной функции, принадлежащей л ./ (&Є Х&) , а тогда \ А(?) (9 (T CLT Є Z„... Г Д ), -fci откуда следует, что M +t С 11) Ч1. р , Х&) для каждого Т и является абсолютно непрерывной функцией. Далее, рассмотрим отображение определяемое следующим образом: Сп R. ( ,U і Е t J /) ft) Я (V ) где $. фиксировано. В силу суммируемости V (т) существует - 43 такое fl , что 3 (т)оІТ с % сі. Тогда из оценки "fc 1_ вытекает, что Cn - сжимающее отображение и, следовательно, имеет (см. /81, с. 213/) единственную неподвижную точку R. (t, "Ьі_) . Эта точка является пределом последовательности Дк + 1_ — Gi R. vt- - т,е послеДовательности иё ,.,, (@ рДО и следовательно, І? ҐМ ) ZjHl( M и Lb(- ti.)l(t) = R(W = E+} A(T)fl(Tjit)dr (2.2.1) для всех t,til , таких, что . Покажем, что (2.2.1) имеет место для всех "t, -it є J . Сначала установим, что 1 (t,tO - R(tn) R( , 0. (2-2-2) Заметим, что Xt (t) - R.(t,-J) ft ( - и Хг (і) —ftft ti) являются решениями уравнения (2.1.1) для любого х± &Х. Тогда Х.Л.М - ЯЙИ Щ О 1 - R( -U) =х2 ( ) і а в силу единственности решения задачи (2.I.I) - (.2.1.2) (см. п. 2.1.6 ) получим, что R(M іи ЛОхі =xt(t) = хг(і)- R(i,u}x±. Следовательно, из произвольности Х± Є л вытекает, что
Пусть "ІД і Є І . Разбивая отрезок, соединяющий Ь и tt , на равные отрезки длины меньшей, чем 2 о , используя (2.2.1) (2.2.2) и тот факт, что ГСВа -b) является алгеброй (см. п. 1.3.5) ,получим, что и l\vx,t.i) удовлетворяет игтегральному уравнению (2.2.1) для всех t?"ttGl , что и требовалось доказать.
Теорема о строгой -дифференцируемости продолженного решения ОДУ по совокупности начальных данных и правой части
Пусть выполняются условия теорем 3.2.3, 3.2.5. Далее, пусть "tij-b G UM J (Ч, І)І— т(±?х.) непрерывно в точках (-b;, -) , 1= 2- и существует единственное решение задачи Коши Г X = ( определенное на отрезке )
Тогда существуют такие окрестности v A/f U ,1/о точек 2.; I_J соответственно в пространствах IN ; IK , Л , t.t ,, , что для всех "t U , txG"U": , а єЦ и f ЄІЛ) существует единственное решение задачи Коши определенное на отрезке причем отображение из множества & U"t U"x . Vo в б строго дифференцируемо
Доказательство. Поскольку [U iz] - компакт в [R, , то из покрытия U (--Ь- х-і-І-гиЛ этого отрезка можно выделить конечное подпокрытие, где для каждого число взято из заключения теоремы 3.2.5, и V/ (tL-Sti , tl+ Л cUl , причем можно считать, что U ЄІ± , Tk (Л Ik44.+f У k = - 1,,, где It = 0-St-,e+ l , --- . ln = [ - ,t?+V\.
По теореме 3.2.3 имеем, что единственное на Ъ± решение Xit)— (-fc, :i.,xi_,ft-f ) задачи Коши (3.1.5) - (3.1.б) с пра-вой частью(f -f-()( 0 существует при (i i f) достаточно близ-ких к (-t, xi,o и строго - -дифференцируемо ПО (ityki.p f) в точке (4 і,о как отображение в С-у (Tt,X) Поло t 6 %{\1г , -. , t(V- e IH Afh.
Тогда имеем на 1 _ : зс аЛМ = ( , U,x , ft = XI строго -дифференцируемо по (it, x±j{) в точке (it t о) ; на 1г : x(t)=VUll\tw, xt,hi)=xl строго і -дифференцируемо по (-fc ., !, f) в точке (і/ іаО) в си 1 лу теоремы о сложной функции /70/, где х± - начальное условие соответствующей задачи Коши на 1г ; строго 4 -дифференцируемо по (ti i f-) в точке (-bt xto) в силу теоремы о сложной функции /70/ и т.д.
На Іи.і : 5С C )=4 U , і 3Xt , ftj)- СТРОГО - -ДИффереНЦИруеМО ПО ("Ьі, і_,{) В ТОЧКе (іt/ ,, о) в си лу теоремы о сложной функции /70/, где ас і - начальное уело вие соответствующей задачи на , причем Х\ зависит от (іч хіі () . Далее, из теоремы 3.2.3 вытекает, что строго -дифференцируемо по (эсГ , О в точке ( хГ О4) как отображение в C-Y (Т-кэХ} 0,гкУДа по теореме 3.2.5 получим X (Ь) — У (+ ? f + f) строго -I-дифференцируемо по Я, " ,) в точке (г г SriT i o) как отображение в Хе » где Хіи" = зсГі J= — ("fctxi.?") Следовательно, в силу теоремы о сложной функции /70/ получим V ( 1,, ,. , -f +-f \ строго Ь -дифференцируемо по (iijii, ,; ) в точке (i i , о) как отображение в XQ .
Таким образом, используя несколько раз для каждой пары соседних отрезков Тк Тк+1 локальную теорему о непрерывности решения по начальным данным и правой части, можно выбрать Т/г , Ц?,! настолько малыми, чтобы при і-іЄІ/р цє1 г и f&U"o для любого "Ь гЄлІг =W" существует единственное реше-ние У vti tr, xi.,f + ( ) задачи Коши х (O - х - ; на всем отрезке Li і., "Ь Л .
Далее, используя несколько раз локальную теорему о строгой 4 -дифференцируемости по начальным данным и правой части, а также теорему о строгой - -дифференцируемое сложной функ-ции, получим, что решение і (іі г.,xtj f + -f ) строго ь -дифференцируемо по f i arij-f) в точке ( 1., 2., 1)0) на всем отрезке L"ti- ti.i.
Следствие. Из теоремы 3.3.1 вытекает теоремы о --дифференцируемое ТИ реШеНИЯ (Л 1, ,7-, 1-,4 4 ) Ду по С-Ьл- -Ь L.Xl.j-f в точке (Л-і-Д ., 1 І 0) на всем отрезке Ц-Ъ 1_ J с w T.,
Множеством . Пусть выполняются условия теоремы 3.3.1. Далее, пусть з OKPecTHOcr№ точек "fctji в l) , у _ окрестность в X точки i . T(Z E-biil/clC XeXiVllih причем выполняются следующие условия:
Конкретные формулы вариации
Далее, покажем, что если имеет место (4.3.18), то получим противоречие с утверждением теоремы 4.3.5 об экстремальности (44.Д хь f J) . решения Рассмотрим следующие отображения (см. п- 3.3.3) - 116 и где J ( из п. 3.3.3. Докажем, что если верно (4.3.18), где Tt - T Ki ., о) и т.д. Заметим, что Т дифференцируемо по С Л х, ) в СИЛУ п. 3.3.4 и теоремы о сложной функции /70/. Иными словами, если УС - II L (см. (4.3.18)), то можно доказать (используя, в частности, теорему о необходимом условии критичности), что Допустим, что это не так, т.е. б Є fzS , где ft) wt как видно из его определения является выпуклым в //С Тогда по теореме отделимости в ц\ откуда имеем Cic Д% 5г О у \ О , ос и tb; ,aef+ , s\ =T s. Таким образом, f 1 В силу (4.3.18) получим, что i.» ,x io UxelR = X =0. - 117 Получили противоречие с предположением, что х 6 (? I 10J и, следовательно, 0&-\-Z$ . Поэтому О є WA и по теореме 4.1.3 отображение Т не является критичным в точке С - / ЛУ \
Далее, покажем, что отображение не является критичным в точке (їсД,., ). Сначала, заметим, что отображение J . J j — Е ц.ц непре-рывно в точке f —О . Это видно из следующей оценки (см. доказательство леммы 3.3.4 ) ТІ где С Сл 7 о . Пусть у / г ч - некоторая окрестность точки C-i/ta., -f) в пространстве Пс х Хх Е. Поскольку (Л непрерывно в точке б) , то существует о -ОКреСТНОСТЬ ТОЧКИ (i. fct 3C ..0), V, Г Л ч В XxZ : такая, что G- (jj} c\J. Далее, т.к. T открыто в точке ( о гД) ) т0 TvXJ Y (fr(tT)) окрестность точки , где - б?Cn 2.)1 г ) Затем имеем (У ) " !-С(яШ)), т.е. PlV) - окрестность точки и, следовательно, отображение 2 открыто в точке (?1 /Ьг п 3 (см- П- 4. I . і) . - 118 В итоге мы получили УС = К . В то же время было . показано, что -іг, ! if ) - решение экстремальной задачи (А) , т.е. (bi-jbiiXt, -f) - критическая точка для отображе- . ния р . Тогда ЗЛєІ Цо і Wet: cl,l ±o. (4.3.20) Из построения конуса УС (см.(4.3.18)) видно, что неравенство (4.3.20) имеет место только тогда, когда ъ (5 5 1 = о.. Поэтому где ( - я- 5 cLRCu/t). Соотношение (4.3.22) выражает принцип максимума в виде неравенства, а (4.3.21) - условия трансверсальности. Теорема 4.3.5 полностью доказана. Заметим, что интегрируя (см. п. 2.1.2) неравенство (4.3.22) от \_г до -Ь получим принцип максимума в интегральной форме max [ \(ЯИь,ЇІЯ)ІЬ=\ $a)?(V toVt. (4.3.23) fey H Далее имеем - 119 ЯЛ/ I J rJ . ф (і Л = Следовательно, равенства ("4.3.21) можно переписать в следующем виде (см. п. 4.3.5) к которым припишем еще равенство Ґ4.3.24) ("4.3.25) Введем теперь скалярную функцию Н (t, ,- = И Ct, ) . трех аргументов t х «\J .В частности, Тогда имеем почти всюду на L.-bi-: t . \ : cLt 7 \b (4.3.26) df = - _ йа5х а\$its . ci " ь-х Далее, равенство (4.3.23) примет вид № ) Н ft, (6/ 5) dt = \ Й С-Ь.х Сад СОІ &. (4.3.27J)
Наконец, соотношения (4.3.24), (4.3.25) эквивалентны утверждению, что строка - 120 ортогональна к поверхности (9, (Ь4_і-Ь Ч- c?S) — О в точке (t, ,хг х, Хг) . Последнее условие естественно назвать условием трансверсальности и записать в виде (Йі,-Йг -$і Л UQC -U Q (4.3.28)
При (-Ь./и, „ :г)= (±,Г ЛЛ ) . Система уравнений (4.3.26} является гамильтоновой, а равенство (4.3.27 } выражает условия максимума в интегральной форме.
Совокупность условий (4.3.26) - (4,3,28 )тривиальна, если (t O Чтобы исключить этот случай, мы должны требовать, чтобы размерность образа оператора была равна Л/+4- . Тогда как показывают соотношения (4.3.24), (4.3.25) ФСО Ф о. Заметим, что с помощью некоторого простого приема, изложенного в /25, с. 814/ и учитывая, что можно показать, что }\ : 0 4.3.6. Постановка задачи оптимального управления. В этом пункте к задаче оптимального управления применим результаты, полученные для решения экстремальной задачи (А) . Пусть \J - топологическое пространство, 3 .IxU— (Q O Xe D-Ni) - непрерывное отображение и - 121 -"t і— 3x x LO,uCt измеримо как отображение из X в u.ii СВ &,Х#) Для ЛК)бой непрерывной функции х.:1— Х. и любой измеримой функции 1АО) (измеримость здесь понимается в смысле теоремы Лузина (см. /81, с. 765/j). При этих предположениях рассмотрим управляемую систему, описываемую дифференциальным уравнением - g,(t,x,iA , (4.3.29) где и - параметр управления, и _ X/. Определим класс допустимых управления -О-у : ty состоит из всех измеримых функций tf(.) в \J , для которых выполняются следующие условия: причем І 2) для каждых "t V "Ьг Є-V 1 1 и Wf- eXlv сУЩествУет единственное решение задачи Коши X (АО — 4. на отрезке Lt bJ] ; з) \juOO= vt ev . U(. v, и выполняются предположения, приведенные в начале этого пункта.
Подставляя вместо параметра U в (4.3.29) произвольное допустимое управление Ц(. Є-Q. гг , получим семейство дифференциальных уравнений Х = frCtjXVVA&Y) » (4.3.30) - 122 определенное семейством правых частей
