Условия оптимальности в бесконечномерном пространстве Лонгла Мартиал

Введение к работе

1.1 Актуальность темы диссертации

Задачи оптимального управления для обыкновенных дифференциальных уравнений, уравнений с частными производными и более общих интегро-функциональных уравнений интенсивно исследуются с середины прошлово века ввиду их важности для техники, экономики, биологии. Наряду с прокладными моментами глубоко исследованы и продолжают разрабатываться теоретические аспекты этой проблематики. В частности, задачи с фазовыми и смешанными ограничениями исследовались Р.В. Гамкрелидзе, А.Я. Дубовицким, А.А. Милютиным, А.В. Дмитруком, Н.П. Осмоловским, А.В. Арутюновым, В.В. Дикусаром, СМ. Асеевым и другими. В диссертации получены необходимые условия оптимальности для некоторых задач с фазовыми и смешанными ограничениями, связанных с обыкновенными дифференциальными уравнениями в банаховых пространствах с некоторой дополнительной топологией. Теория таких пространств была построена М.Ф. Сухшшным. Она охватывает широкий класс уравнений, в которых правая часть может не быть измеримой по Бохисру ни на каком отрезке по времени и не быть дифференцируемой по Фреше, а иногда даже и по Гато, ни в одной точке по фазовой переменной, но быть измеримой и соответственно непрерывно дифференцируемой в некоторых более слабых смыслах. Им же выведены необходимые условия оптимальности первого порядка для задачи оптимального управления без фазовых или смешанных оіраничений. Отсутствие последних и ыло побудительным мотивом для постановки данной задачи.

1.2 Цель работы

1. Найти условия квазикритичности некоторого отображения Q, которое переводит начальные и конечные состояния решения некоторого обыкновенного дифференциального уравнения Е". Правая часть которой принадлежит некоторому семейству F, задача определена в бесконечномерном пространстве X с дополнительной отделимой локально выпуклой топологией. Разные функциональные ограничения накладываются на решение уравнения.

2. Доказательство принципа максимума Понтрягина для обычных задач оптимального управления с функциональными ограничениями и выпуклым функционалом как частного случая рассматриваемого отображения Q.

1.3 Научная новизна работы

Все результаты диссертации являются новыми, и обобщают полученные в конечномерных и банаховых пространствах результаты. Главные из них:

1. Условия квазикритичности и принцип максимума Понтрягина для линейных задач с ограничениями в бесконечномерном банаховом пространстве.

2. Условия квазикритичности и принцип максимума Поптрягина, для нелинейных задач с ограничениями в бесконечномерном банаховом пространстве.

3. Условия квазикритичности и принцип максимума Поптрягина для абстрактных задач с ограничениями в бесконечномерном банаховом пространстве.

1.4 Приложение.

Диссертация носит теоретический характер, но ее результаты могут быть использованы и в обычных задачах оптимального управления.

1.5 Апробация работы

Результаты работы докладывались на международной конференции по математической теории управления и механике (г. Суздаль, 2007г.), на заседании зимней диффеотопической школы (г. Кострома, 2008г), па третьей международной конференции, посвященной 85-летию члена-корреспондента РАН, профессора Л.Д. Кудрявцева, дважды на Всероссийской конференции по проблемам математики, информатики, физики и химии (г. Москва, РУДН, 2007г, 2008г), и на международной конференции, посвященной 100-летию академика Л.С. Понтрягина (г. Москва, МГУ, 2008г). Также были доклады на семинарах кафедры дифференциальных уравнений и математической физики РУДН (руководитель: д.ф.-м.н., проф. А.Л. Скубачевский), и на семинаре кафедры оптимального управления МГУ (руководители: д.ф.-м.н., проф. А.В. Дмитрук; д.ф.-м.н., проф. Н.П. Осмоловский).

1.6 Публикации

По материалам диссертации опубликовано 7 печатных работ, список которых приведен в конце автореферата.

1.7 Личное участие автора

Все приведенные в диссертации результаты получены самим автором.

1.8 Структура и объём работы

Диссертация состоит из введения, общих сведений, трех глав, заключения и списка литературы. Диссєртаїщя изложена на 130 страницах машинописного текста. Список литературы включает 20 источников. Используемая в автореферате нумерация теорем соответствует их нумерации в диссертации.

2 Краткое содержание диссертации

Во Введении обосновывается актуальность тематики диссертации, формулируются цели исследования, излагается краткое содержание каждой главы диссертации.

В главе Общие сведения приведены определения леммы и теоремы, которые понадобятся в дальнейшем, изложено доказательство теоремы в случае задач без ограничений, обобщающее известные результаты теории.

3 Глава 1

Задачи с регулярными ограничениями

В этой части изложено реніение задач с регулярными ограничениями, где необходимые условия критичности отображения ищутся в форме принципа максимума Поптрягипа в бесконечномерном нормированном пространстве с дополнительной локально выпуклой топологией, по которой интегрируются соответствующие функции. Рассмотрены 4 случая в качестве наглядной иллюстрации проводимой работы:

3.1 Линейные задачи

Рассмотрим в X задачу:

±{i) = A(i)x(t) + B(t)u{t), и Є U, хЄХ, (3.1)

x(t₀) = хо, x(ti) = Xi, (3.2)

hi(t)x(t) + ki(t)u(t) < 0, і = M, (3.3)

Q(x_o,x_uto,ti) = 0, (3.4)

J(xo,x,i,to,ti) -> min. (3.5)

Доказано, что при выполнении ниже перечисленных условий, имеет имеет' место принцип максимума Поптрягипа.

Условие 3.1 А : I —> ((Хв,Х$) — измеримо, иА(.) Є Лі(І,С(Хо,Хо)),

Условие 3.2 В : І -> Є(Ж^Г,Х₀) - измеримо, иВ(.) Є ki{I,t{W,X₀)),

Условие 3.3 h : I ^t {Хв,Ш.") ~ измеримо, uh(.) Є Li(I,t(,Xe,M^s)),

Условие 3.4 к : I -> l(W, К») - измеримо, и к(.) Є L^I, i(R^T, К")),

Условие 3.5 Q п J - Ъ(Х# х ^^-дифференцируемы о точке (xo,x\,to,ti) и непрерывны в её окрестности, где [xa,x\,ta,t\)- оптимальные параметры задачи.

Теорема 2.2.1 Пусть {х", и", tg < t < if}— измеримое оптимальное решение данной задачи. Пусть х*(і) Є W{(I,X0) и u'(t) є L_x(I,M.^r). Пусть выполнены условия 3.1 - 3.5, rang(k(t))=s и для некоторого го, {(3^(г;,а:|,<5,*;), J_xi(x5,x;,t5,ij)} линейно независима. Тогда Зф(і) Є ^([t;,tJ],.(.Xe,R)), и д(і) Є Li(/,M»), для котпорых: Vu Є U Щи) : Д(П(и)) = tj - i₀ u Vt Є П(и),

і* (0 = ffv,(0(t),u*W) + ^('K(t) = ^(Oi*(*) + BW«*W. (3-6)

l^(t) = -V(()A(<) + ii{t) о ft(t), (3.7)

H(t) (3.8)
где ^() находится из условия максимума;

^(tS)(A(t;)i5 + B(«5)u*(t5)) = -m(0, ^(t,*,) = mQ_Xo + nJ_I0, (3.9)

il₁(f_l)(A(tl)xl+B(t^t₁)u'{f₁))=mQ_tl+nJ_tl, $(tl) = -mQ_Xl-nJ_xl. (3.10)

3.2 Особые задачи

В этом случае, рассматриваем только ограничения, явно содержащие управление u(t), откуда и название пункта, которое не имеет ничего общего с регулярностью решения системы. Будем рассматривать класс задач вида:

±W = Y, ^м< (*M;(t, x{t)) + B(t, u(t))x(t), (3.11)

i=l

u(t)e(/ = {»E Я^Г:Ы х иЛ(Х_в,Щ

- измеримое отображение, определяющее линейный

секвенциально непрерывный функционал при фиксированных t и и; Ki(t,x(t)) Є W₁' (/ х G,{U, R)) -полутейлоровское снизу первого порядка по х.

Теорема 2.3.1 Пусть {х,и*,to,ti] регулярное оптимальное решение системы уравнений (3.11) - (3.16). Пусть выполняются условия 3.6-3.11. Пусть x(t) Є W}(I, Хе) и u'(t) Є L₀₀(/, R^r). Пусть отобрамсепие Q b(XJ) x b(R²)-дифференцируемо и точке (xo,Zi,to, ii)- Пусть Q : t?(io) x i?(^xi) ^x ''('o) x i5(fi) -+ Ж^м непрерывно в i!)((xo,Xi)), и rang\\Ki_u(t,u*(t))x(t) + K,(t,x(t))l\=so. Пусть для некоторого to, {Qx_l(xo,xi,to,ti),Q_0lcl(xo,xi,to,ti)} линейно независима. ТогдаЗф(1) Є Wi(I,((I,(~,(Xo,M.))), uu(t) Є Li(I,R^S0), для которых выполняется па I: Vu Є U ЗП(и) : Д(П(и)) = ti - to,

і. т = ми,) - J_IoH'(s)ds- /,_о jZlші»)Ш»,«'(«)) + 4(в,ї(<)У(і)}л,

2. Vt Є П(ц) H(ip(t),x(t),u(t)) < H(ip(t),x(t),u*(t)), где Ui(t) определяются из правила множителей Лаграпжа, и выполняются следующие обобщенные условия трансверсальности при некоторых к Є К^Л и щ Є К \ {0}:

a.) -ip(to)(A(to,u'(t₀))x₀ + B(t₀,x₀)u'{t₀)) =-- -kQ_u, - n₀Qot₀,

b.) ^(1)(.4(^,^(11)^ + 5(^1,11)11-(40)) = ^,, + n₀Q_0ll, Mt) = C^sU

<-) V^;(^fo) = KQ_I0(lo,Il,to,tl) + По<2о*,,(іО,*1,*0,<і)і

d.) ip(h) = -KQ_xl(xo,xi,t₀,h) -nuQ_0xi(xo,xi,to,ti),

Є.) //.;(;){/Г<((, U*(«))x(f) + Ki{t,x(t))u'(t)} = 0.

3.3 Случай нелинейной регулярной задачи

В отличие от предыдущего случая, здесь управление также принадлежит L₀₀(I,M.^r), но правая часть дифференциального уравнения не выполняет описанных требований специальной линейности слагаемых. Ограничения также явно содержат управление u(i), и функционал является выпуклой функцией своих аргументов. Будем рассматривать класс задач:

x(t) = A{t,x(t),u(t)), (³-¹⁷)

u(<) Є tf = {« Є Я^г : Н < а}, (3.18)

x(t) Є Gi(t) = (іЄЇ: Ai(t,x{t),u(t)) < 0, г = Мо}, (3.19)

x₀ = x(to), іі=і(«і), (3.20)

Q(zo,xi,to, ti) = 0, где to, t\ — не фиксированы, (3-21)

J= A₀(t,x(t),u(t))dt + Qo(xo,xi,t₀,ti) ->min. (3.22)

J to

Выделим на соответствующие функции следующие условия:

Условие 3.12 A(t,.,.)— линейный секвенциально непрерывный (0,\\\\) - тейлоровская функция первого порядка в X при фиксированном t, A(.,x(t),u(t)) Є Лі(/, C_y(Xg,Xg)) - измеримое отображение при фиксированном x(t).

Условие 3.13 Л₀(., x(t), «()) Є АД/, C^Xg, R^r))- полутейлоровская функция первого порядка из X в

Условие 3.14 Q и Qo - Ь(Х| х Л²)-дифференцируемы в точке (xo,xi,to,ti) и непрерывны в сё окрестности, где (xo,xi,to,ti)- оптимальные параметры задачи.

Условие 3.15 Ai(t,.,u(t)) Є U7(/,C₇(Xo,E)) - измеримое отображение при фиксированном и; полутейлоровское снизу первого порядка по х и дифференцируемое по и.

Теорема 2.4.1 Пусть {x,u*,to,ti} регулярное оптимальное решение системы уравнений (3.17)-(3.22). Пусть выполняются условия 3.12- 3.15. Пусть x(t) Є Wf(I,Xg) и u'(t) Є L_oc(/,M^r). Пусть Q : ї?(хо) ^х д(хі) х t?(to) х і?(<і) -> Е" непрерывно в tf((xo,Zi)), и rang\\A_iu\\=so. Пусть для некоторого io, {Q'x^Xo^x^ojtijtQoxAzoiXiitoit!)} линейно независима. Тогда 3i/>(t) є W{(/, 1(1,J₇(Xe,R))), и ц(Ґ) Є Li(/, R^so), для которых выполняется на І: Vu Є U ЗЩи) : Д(П(и)) = ti — to,

4. V(t) = Wo) - /_/o Я*(«)й« - /_/o П=і Ui(s)A,_x(s,x(s),u'(s))ds,

5. Vt Є II(u) H(t) < H*(t), где /ti(t) определяются из обобщенного правила множителей Лаграпжа, и выполняются следующие обобщенные условия трансверсальности при некоторых к Є R^w и п₀ Є R \ {0}:

a.) il>(to)A(to,xo,u*(t₀)) = -nQ_to - n₀Qot„, b.) ^(tOAltuXuu'ih)) = KQ₄+n₀Qoi_u Mt) = C'^u, c.) V(to) = KQ_xo(xo,xi,t₀,ti) + n₀Qa_IO(^xo,xi,to,ti), d.) i/>(«i) = -kQ_xi{x₀,xx^ti) - naQox^x^xuttbh), e.) p.i(t)At(t,x(t),u*(t)) = 0.

3.4 Абстрактная задача с регулярными ограничениями

После проведенных исследований, пришли к выводу, что можно абстрагировать задачу, и решать более абстрактный случай, который при конкретных условиях (не добавляющих ничего к требованиям к рассматриваемым функциям) превращаются в предыдущие рассмотренные случаи. Дня этого, мы берем в качестве управления правую часть дифференциального уравнения и функции и Є L_X{I, B^r). Предполагается, что лишь ограничения и минимизируемый функционал зависят от и. При сделанных предположениях, рассмотрим систему:

x{t)=A(t,x{t)), (3.23)

Vt,A{t,.) е cLip_b(G,X_en), F-выпукло, (3.24)

x(t) Є Go = {x Є X : Aj(t,x(t),u(t)) < 0,j = Vio"}, (3.25)

x₀ = x(t₀), xi = x(U), (3.26)

Q(xa,xi,t₀,t\) = 0, где to, h - не фиксированы, (3.27)

Ґ
J= / A₀(t,x(t),u{t))dt + Qo{xo,Xi,t₀,ti) ->тоіп. (3.28)

J і a

Условие 3.16 t >-* A(t,.) Є Лі(/,СД-Хр,X()))—секвенциально непрерывный (в,\\ ||) - тейлоровский оператор первого порядка.

Условие 3.17 t >- Ao(t,.,u(t)) Є W₁^x(I,C₁(Xo,M.))- измеримо. Ao(t, -,и)- полутейлоровский снизу функционал первого порядка, и Ao(t,x, .)-дифференцируемо.

Условие 3.18 Q и Qo - b(X{j хШ.²)'дифференцируемы в (xo,x\,to,t\) и непрерывны в $((xq,x\,to,t\j), где tf((xo,Xi,to,tx)) обозначает окрестность точки.

Условие 3.19 t »-> Ai(t,x(t),u(t)) Є 17/(/,C₇(X0,1R)) - измеримое отображение по t, полутейлоровскос снизу первого порядка по х, и дифференцируемое по и.

Предложение 3.1 Выпуклость множества Go гарантирует существование решения системы в окрестности любой точки I.

Выделим на F следующие условия, гарантирующие корректность действий с вариациями решений системы:

a. cA₁(I,Lip_b(G,X_e,b(X))),

b. V/* є УШЙ! С F V{si}V_x, to_M< t_u

м
За) > 0, V{+, У^ а; < ш, и < min{ min (s;-t-i - S;), ij - sju } :

*-—* Ki

t=i —

Ж*(0) = < F.

[/*(*, *(0), «^"fesi + 'il

Теорема 2.5.1

Пусть {x(t),A',u*,Xo,Xi,to,ti} регулярное оптимальное решение системы (3.23) — (3.26). Пусть

выполняются условия 3.16 — 3.19. Пусть х(і) є W'i(/,Хо) и u'(t) Є Loo(^>R^r)> U-выпукло. Пусть

rang\\Ai_u(t,x{t),u*(t))\\=.. Пусть для некоторого io, {Фі ,линейно независима в (zo,Zi,o, *i)-

Тогда 3^(J) Є ^(7,((/,/.,(.^))^ u д(і) Є L\(I,K^s), Лія которых выполняется на I следующее:

VuG U І А Є ЗП(и, А): /1(П(к, Л)) = d - to,

1 (1) = (10) - /_/о HzMs),x(s),u'(s))ds - J_/o ^ZiM.(s)Al(s,x(s)_y u'(s))ds, MO -'- c"^e,

2. Vi Є П(и) H^(t),x(t),A, u(t)) < M(t,x(t)), где Ui(t) определяются из обобщенного правила множителей Лаграпжа, и выполняются следующие обобщенные условия трансверсальности при некоторых к Є R" и по Є R ч {0}:

а.) V>(toM*(^Jo,Zo,«*(o)) = -к<Э(₀ -noQoio,

b.) ^'{ti),A*(ti,Xi,u*(h)) = KQ_h +noQot,,

с.) l/l(to) = KQ_xa(x_Qtxuto,ti) + noQox_a(xo,xuto,ti),

d.) i/>(ii) = -KQ_Xi(x₀,xi,t₀,ti) ~ n₀Qox_t(^xo>^xi>to,ti),

e.) m(t)A_i(t,x(t),u^,(t)) = 0.

4 Глава 3

Задачи с нерегулярными ограничениями

Рассматриваем задачу нахождения необходимых условия существования "оптимальной траектории "(на самом деле траектории, предоставляющей критическое значение соответствующих функций). Показано, что задачи оптимального управления сводятся к нахождению критических точек некоторого отображения, и доказаны соответствующие теоремы, напоминающие принцип максимума Понтрягииа. Здесь, мы рассматриваем некоторое обобщение теорем из, и выводим теоремы, конечномерный случай которых соответствует данным теоремам, но доказываются по другому.

4.1 Линейные задачи

Рассмотрим в X задачу (3.1)-(3.5), в которой вместо уравнения (3.3) стоит следующее уравнение:

х(0 Є G = [х Є X : A_t(t)x(t) + Bj(t) < 0, і = 17«о}- (4.1)

Допустим, что решение системы достаточно гладко, и существует такие к_а, что существуют производные до порядка к_а для каждой функции д_а, и к_а минимальный показатель для которого

а*"

—j-(A_a{t)x(t) + B_a(t)) = A_a(t)x(i) + B_a{t)u(t) + B_a(t), B_a(t) ф 0,

Пусть rang(B(t)) = s, к = max{fc_c<}. Доказано, что при выполнении ниже перечисленных условий, имеет имеет место принцип максимума Понтрягина.

Условие 4.1 А : І -> Є(Х_$,Х₀) - измеримо, иА(.) є W^~^l{I,({Xo,X_e)),

Условие 4.2 В: I -+ f(K^r,X_e) - измеримо, иВ(.) є A₁(/,^(M^r,X₀)),

Условие 4.3 V і ф 0, Аі : / -> ^(^t>, К) -из-мергшо, їі Лі(.) Є W{'(I,l(,X₀,К)),

Условие 4.4 V і ф 0, В; : І -> Ж -иамерішо, u В<(.) Є Wj^fe'(/,»),

Условие 4.5 ft : / -> f( R^s) - измеримо, и h(.) Є Li(/, (, X«,R^J)),

Условие 4.6 fc : I -* (M^r,R») - шшерішо, и k{.) Є Zi(V(K^r,R')),

Условие 4.7 Q и J - b(X% x Ж²)-дифферспцируемы в точке (xo,xi,to,ti) и непрерывны' в её окрестности, где (xo,Xi,to,ti)- оптимальные параметры задачи.

Теорема 3.2.1 Пусть {х, и*, to < t < ti}— измеримое оптимальное решение данной задачи. Пусть х Є W*(/,Хц) и u"(t) є оо(/,R^r). Пусть выполнены условия 4.1 - 4.7, rang(B(t))=so и для некоторого io, {Qx\ (^хо> ^іі^Оі *і)і -Леї (іо> агі> *0і *і)} линейно независима. Тогда Зф(Ґ) Є t([to,ti],(^(Xs,S)),\i fi_aii(t) Є W}(I, В), для которых: Vu Є U ЗП(и) : /2(П(и)) = _tl - і₀ и Vi Є П(и),

х(і) = Нф{ф(Ь), и*(0) + Л(«)г(«) = Л(*М*) + #(*)"*(*)> (4-2)

«о

(t) = -V(t)^(t) + X] р_а,і А> W, (4.3)

SO 80

H(t) -Y,^,i(t)B(fHt) < H'(t) - >_ад(с)В(іК(і), (4.4)

ii^{^\t){A_n{t)x{t) + B_a(t)u(i) + B_a(t)) = 0, (4.5)

где li_a.i(t) находятся из правила множителей Лагранжа;

»о k„ _д

Mto)(A(t₀)x₀ + B(t₀)u'(t₀)) = -mQ_t0 - nJ_i0 + ^,,^(A,(():r(t)))|'<>,

a—1 i=l

^(«o)=mQ_IO+nj_l0, (4.6)

* Si <й<-

il>(ti) = -mQ_Xl -nJ_Xl -EE^^Im^CW'))!''.

ф(к){А(и)хі + B(ti)u'(h)) =mQ_u +nJ_h +
+ EX>Uf^(^W*«) - %-(A_a(t)x(tW\ (4.

A,«,>W = -m«,*hW. Ma,i(ti) = -pL,;. M«,i(to) = 0, » = i,fe-i, (4:

и выполняются следующие условия в точках схода с граігицьі и входа на границу:

я о

я*Й») = я«(і;„) - ^,і(С„)(Л«(«-)г + Ва(«Г„)«* + В(«Г«)),

a=l Я*(Сх) = Я*(4) - /4^+)(^(4+)* + Ba(<+ К + в(4))-

4.2 Особые задачи

В этом случае, рассматриваем только ограничения, явно содержащие управление u(t) в задаче вида:

x(t) =^2m(t)Ai{t,x(t)) + B(t,u{t))x(t), (4.1

t=l

«(<)Є t/' = (tie Д^г : |u,-| множителей Лагранжа, и имеет место:

И] H'(t„) = -kQ,, -„₀J_t0 + ЕХ>у||?1(\

[a.2] Н'(іг) = _KQ_h + «„./,, + ^^4^^^{1101 _} !?

[0.5] Я*(і+) - Я*(і_е"„) = - E A*«,i(*_e"„)A/*(t, x(t_P7„), «*(4))>

a=l

[o.6] H'(t;_x) - я*(і) = - /чі(*)^4.*(4). «*(*+)), n=i

[a.7] /!„,;(*) = -/W+i№> t = l,n„-l, ^⁾(t)9a(«,i(«)) = 0,

M] /x_a,i(ti) = -pj,_?i, і = 1, n_A - 1, о = 1, s.

5 Глава 4

Задачи со смешанными ограничениями

В этой главе выведены следствия из предыдущих глав для задач, в которых присутствуют одновременно нерегулряные фазовые ограничения и регулярные ограничения. В достаточно общем подходе, задача нахождения условий квазикритичности сводится к некоторой модифицированной системе, с новым отображением, который также исследуется на наличие квазикритичности в

соответствующей точке. Примеры четырех подкласс задач рассмотрены как предыдущих главах. Основной результат в случае абстрактной задачи следующий:

i{t) = A(t,x(t)), (5.1)

Vt, A(t,.) Є С Lip_b(G, X„,7),F - выпукло, (5.2)

xo = x(t₀), xi=x(ti), (5.3)

x{t)eG= {x є X : д_{Ц,х) <0,t =17«}, (5.4)

x(t) Є С?! (t) = {x Є X : At (t, 1, u(i)) < 0, t = 17 (5.5)

Q(xo,Xi,to,ti) : X² x I² —> R^N — квазикритичпо в (zo>i>io,(i) (5.6)

Если F из предыдущих глав, с указанными свойствами, то как следствие из следующей теоремы, имеют место соответствующие теоремы для рассматриваемых класс задач оптимального управления.

Теорема 4.4.4 Пусть {х. A*,u*,xo,xi,o,^i} регулярное оптимальное решение системы уравнений (5.1) — (5.5). Пусть выполняются условия 3.12-3.15 и І.18-4.21. Пусть x{t) Є Wl(I.Xn) и u*(t) Є L₀₀(I,R^T), U-выпукло. Пусть rang\\h(t,x)_t Ai_ui - , A_4Q._U|| = з -f- So, Q к-вазикритично в точке (xo>zi,o)i)>. Тогда 30(() Є W}(I,l(I,l₇{X₀,R))), и u(t) Є Li(/,R*+»), для которых: Vu Є U VA Є ЗЩи,А) : Д(П(и,Д)) = _Сі-(₀,

1. ij>(t) = ${t₀) - J H_x(i>(l),x(l),u'(l))dl- J ]/i«,i(0Af«('>z(0,u(i))a7-

- / f]u_Hatl(l)A_ix(l,x(l),u'(l))dl,

s s

2. H{t) - ^р_а,іЛ/_а(і,і(і),и(с)) < Я*(і) - /x„,iAf_a(t,i(t),u*(i)),

/*i+_s(t)Ai(i,x(t),u*(t)) = 0, ?cte /i<«,i(t) находятся из обобщенного правила множителей Лаграпжа, и

имеет место:

a п_п

[0.1] Я*(*о) = -кд₍„ + ЕЕ^(|^9<,(*,^)))Г⁰,

а=1 i=L\

[а.2] Я*(<і) =kQ_(i + Ё XX-(|^U MM) - Jrft.(*.*(0))l".

[0.З] V>(к(Э*о.

[а.4] ^1) = -^,,-^2^.^^-^^))^-

а—1i=l a

[0.5] Я*(і+) - Я*(*7„) = - E М«.і(*)ЛГЖ„, x(t.-„), u*(4))-

[а.б] н'(г_ы)-я*(*+) = -1>а,і(4)^(4,*(*, ),«*(*+)),

[o.7] A4<(t) = -м«,і+і№, і = 1,п_л-1, [a.8] p„,i(«i) =-^,,-, , г = 1,п_л-1, a = M-

В заключении сформулированы основные результаты, полученные в диссертации, и пояснсі связь с задачами оптимального управления и принципом максимума Понтрягина.

6 Основные результаты работы

Похожие диссертации на Условия оптимальности в бесконечномерном пространстве

Задача Коши для параболических псевдодифференциальных уравнений с начальными условиями в пространствах обощенных функций типа распределенийЛитовченко, Владислав Антонович

Принцип максимума Понтрягина и условия трансверсальности в бесконечномерных пространствах Аль-Хамза Махмуд

Необходимые условия оптимальности и теоремы существования оптимального управления в процессах, описываемых экстремально-дифференциальными уравнениямиАгамалиев, Агамали Гулу оглы

Необходимые условия оптимальности второго порядка в задачах оптимального управленияАданхунме, Виллево

Управляемость и необходимые условия оптимальности в нелинейных гиперболических задачахАмпини Дьедонне

Необходимые условия оптимальности в различных классах экстремальных задач управления Карамзин Дмитрий Юрьевич

Условия оптимальности и управляемости для вырожденных управляемых системПавлова Наталья Геннадьевна

Об асимптотической оптимальности последовательностей квадратурных формул С. Л. Соболева в пространствах Lp (m) (a, b)Сидорова Татьяна Валерьевна

Аппроксимация функций при дополнительных условиях в функциональных пространствахУмалатов, Абулкадар Абулкасумович

Условия сходимости случайных рядов в нормах пространства. Орлича и краевые задачи математической физики со случайными начальными условиямиБарраса де Ла, Крус Еусебиа