Введение к работе
Актуальность темы. Один из классических методов исследования существования периодических решений обыкновенного дифференциального уравнения основан на построении обратного к линейной части оператора, с помощью которого далее изучается интегральное уравнение, как правило, с непрерывным оператором в соответствующем функциональном пространстве. Для уравнений гиперболического типа подобная схема почти не применялась. Основной причиной этого являются трудности, связанные с представлением обратного оператора в наиболее часто рассматриваемых пространствах, например, в пространстве непрерывных функций. В этой связи плодотворной оказалась идея скомбинировать следующих два метода построения обратного оператора для телеграфного уравнения; во-первых: начать исследования в пространстве /, (Q), а затем показать, что построенный обратный оператор определен и непрерывен и в пространстве С(-П) ; во-вторых: использовать аналог формулы Даламбера. Сочетание обоих методов дало возможность в ряде случаев решить задачу о существовании и едипствегиости периодических и двоякопериодических решений для квазилинейного телеграфного уравнения. В силу выше сказанного, исследования существования и единственности периодических и двоякопериодических решений для квазилинейного телеграфного уравнения, проводимые в диссертации, являются актуальными. Хотя диссертация носит теоретический характер, предложенные в ней методы исследования могут быть
использованы при дальнейшем изучении периодических решений квазилинейного гиперболического уравнения.
Цель работы. Получить теоремы существования и единственности периодических решений квазилинейного гиперболического уравнения в пространстве непрерывных функций.
Методы исследования. При исследовании поставленной задачи использовались: функциональное исчисление от операторов в банаховом пространстве,принцип сжимающих отображений Банаха-Каччиополли и его аналоги,обобщенный метод усреднения Боголюбова.
Научная новизна.Основные результаты диссертации являются новыми.Получены теоремы существования и единственности периодических решений для краевой задачи для квазилинейных телеграфного и волнового уравнений и двояколериодических решений для квазилинейного телеграфного уравнения.
На защиту выносятся следующие результаты:
1. Построение обратного оператора для задачи об обоб
щенных tO-периодических решениях квазилинейного телеграф
ного уравнения и для задачи об обобщенньк двоякопериодичес-
ких решениях этого уравнения в пространстве непрерывных
функций.
2. Теоремы существования и единственности обобщенных
и) -периодических решений и.двоякопериодических решений
квазилинейного телеграфного уравнения в пространстве непрерывных функций.
3. Теорема о существовании и единственности -пери
одических решений квазилинейного волнового уравнения,если
правая часть имеет малые гладкие нелинейности.
Практическая и теоретическая значимость. Ценность полученных в диссертации результатов определяется теоретическим значением проведенных исследований,являющихся определенным вкладом в разработку теории гиперболических уравнений.Результаты диссертации могут быть использованы для дальнейших исследований существования периодических решений квазилинейного гиперболического уравнения и при чтении спецкурсов на механико-математическом факультете.
Апробации. Основные результаты диссертации докладывались на IX школе по теории операторов в функциональных пространствах (Тернополь,сентябрь 1984 г.),на конференции "Проблемы теоретической и прикладной математики"(Тарту,сентябрь 1990 г.),на Угонференции математиков Беларуси (Гродно, сентябрь 1992 г.),на семинаре по функциональному анализу Белгосуниверситета (Февраль 1991 г.).
