Содержание к диссертации
Введение
1 Предварительные сведения 21
1.1 Относительные резольвенты 21
1.2 Относительно р-радиальные операторы 23
1.3 Относительно р-секториальный оператор 27
1.4 Относительно спектрально ограниченный оператор . 29
1.5 Обратная задача для уравнения, разрешенного относительно производной 32
1.6 Точечный спектр и единственность решения обратной задачи 35
1.7 Нестационарная обратная задача для уравнения, разрешенного относительно производной 37
1.8 Многозначный линейный оператор 39
2 Задача прогноз-управления для уравнения Соболевского типа 41
2.1 Решение сингулярной обратной задачи 41
2.2 Обратная задача для исходного уравнения 45
2.3 Теорема об отображении точечного спектра многозначного линейного оператора 48
2.4 Единственность решения обратной задачи 50
2.5 Редукция неоднородной обратной задачи к однородной . 54
2.6 Обратная задача для системы Соболева 55
2.7 Обратная задача для системы уравнений Осколкова . 62
2.8 Обратная задача для системы уравнений фазового поля 69
2.9 Сильно вырожденная система уравнений фазового поля 73
2.10 Единственность обратной задачи для системы уравнений фазового поля 76
2.11 Обратная задача для уравнения с многочленами от эллиптических операторов 79
3 Нестационарная обратная задача 84
3.1 Решения повышенной гладкости невырожденной нестационарной обратной задачи 84
3.2 Разрешимость вырожденной нестационарной обратной задачи 92
3.3 Нестационарная обратная задача для системы Соболева 95
3.4 Нестационарная обратная задача для системы Осколкова 96
3.5 Нестационарная обратная задача для системы уравнений фазового поля 97
3.6 Нестационарная обратная задача для уравнения с многочленами от эллиптических операторов 100
Список литературы 103
- Обратная задача для уравнения, разрешенного относительно производной
- Нестационарная обратная задача для уравнения, разрешенного относительно производной
- Теорема об отображении точечного спектра многозначного линейного оператора
- Разрешимость вырожденной нестационарной обратной задачи
Введение к работе
Постановка задачи
При попытке описать внутренние характеристики среды, в которой протекают различные физико-химические процессы, по результатам наблюдений над этими процессами в доступной для измерений области во многих прикладных науках возникают обратные задачи [2, 35, 58, 62]. В частности, речь идет об обратных задачах по определению правой части систем уравнений в частных производных. Именно такие обратные задачи для уравнений, не разрешенных относительно старшей производной по времени, исследуются в данной работе.
Пусть U и Т - банаховы пространства, операторы L :Ы —> Т линейный непрерывный [L Є C(U; J7)), ker L ф {0}, M : domM -> T линейный замкнутый плотно определенный в U (М Є С1{Ы;Т)): функция / : [0,Т] —) Ж, вектор-функция F : [0,Т] —> J7, вектор q Є Т, /і : [0,Т] —> Ж- функция ограниченной вариации. Рассмотрим соотношения
Lu{t) = Mu(t) + f(t)q + F(t), t Є [0,T], (0.1)
u(0)=u0edomM, (0.2)
/ u(t)dfi(t) = ит Є domM. (0.3)
о Задача нахождения функции и из соотношений (0.1), (0.2) называется прямой задачей (или задачей Коши), а задачу нахождения пары (и, q) Є C^fOjT],^) х JF из соотношений (0.1) - (0.3) будем называть обратной задачей или задачей прогноз-управления, следуя терминологии, используемой, например, в [57].
Кроме задачи (0.1) - (0.3), в которой искомый параметр q не зависит от времени, рассмотрим ещу одну, так называемую нестационарную обратную задачу. Пусть У - банахово пространство, оператор В Є (Ы',У), f : [0, Г] -) (У\Т) - теперь оператор-функция, q : [0,Т] —у J7, Ф : [0,Т] —> У - вектор-функции. Заменим условие переопределения (0.3) на условие
Bu{t) = -$(t), te[0,T]. (0.4)
Нестационарной обратной задачей будем называть задачу отыскания из соотношений (0.1), (0.2), (0.4) пары функций и Є (3^((0, T],W) и qeCl([0,T],y).
Цель работы - исследовать разрешимость обратных задач (0.1) -(0.3) и (0.1), (0.2), (0.4), то есть получить необходимые и достаточные условия существования решения, его единственности, а также оценки устойчивости полученного решения. Полученные абстрактные результаты использованы при исследовании обратных задач для уравнений и систем уравнений в частных производных, не разрешенных относительно старшей производной по времени.
К задачам вида (0.1) - (0.3) и (0.1), (0.2), (0.4) редуцированы соответствующие обратные задачи для класса уравнений в частных производных с дифференциальным по пространственным переменным оператором L, включающего в себя многие уравнения теории фильтрации, например, уравнение Баренблатта - Желтова - Кочиной [3], уравнение Дзекцера [11], а также для систем уравнений в частных производных, в которых не присутствуют некоторые из производных по времени от неизвестных функций. В частности в работе рассмотрена аналогичная обратная задача для линеаризованной системы уравнений фазового поля [55, 56], линеаризованной системы Осколкова[53], системы
уравнений Соболева [72].
Историография вопроса и современное состояние
Уравнения в частных производных, не разрешенные относительно старшей производной по выделенной переменной, изучались впервые, видимо, в работе А. Пуанкаре [97] в 1885 году. Результаты, полученные в работах C.W. Oseen, F.K.G. Odqvist, J. Leray и J. Schauder, E. Hopf, O.A. Ладыженской по системе Навье-Стокса и исследования С.Л. Соболева [72] задачи о малых колебаниях вращающейся жидкости заложили фундамент нового направления, которое первоначально развивали ученики С.Л. Соболева Р.А. Александрян [1], Т.И. Зеленяк [15], С.А. Гальперн [8] и другие.
В настоящее время выделились два направления исследований уравнений, не разрешенных относительно производной: решение задач для конкретных уравнений и систем уравнений в частных производных и изучение абстрактных уравнений типа (0.1) с приложением к задачам математической физики.
К первому направлению следует отнести работы С.А. Гальперна [8], А.Г. Костюченко и Г.И. Эскина [22], Т.И. Зеленяка [15], В.Н. Врагова [6], А.И. Кожанова [17], Г.В. Демидепко, СВ. Успенского [10] и многих других. Здесь "прикладная" задача выступает как объект исследования, а методом исследования служат результаты "чистой" математики.
В исследованиях по второму направлению наблюдается другой подход: "прикладные" задачи являются иллюстрациями исследования "абстрактных" задач. Первые исследования такого типа проводились М.И. Вишиком [5], С.Г. Крейном и его учениками [16, 27]. В настоящее
время в этой области активно и плодотворно работают R.E. Showalter [100 - 103], Н.А. Сидоров и его ученики [70, 71]. Один из подходов к исследованию задачи Копій для уравнений Соболевского типа предполагает использование методов теории полугрупп операторов. Такой подход используется в работах A. Favini, A. Yagi [91 - 93], И.В. Мельниковой и ее учеников [43 - 46, 95], Г.А. Свиридтока и его учеников [64 - 69], В.Е. Федорова [81 - 86].
Отдавая дань вкладу С.Л. Соболева, который первым начал систематическое исследование уравнений в частных производных, не разрешенных относительно старшей производной по времени, уравнения вида (0.1) и конкретные его интерпретации часто называют уравнениями Соболевского типа. Далее всюду мы считаем этот термин синонимом терминов "псевдопараболические уравнения" [19], "уравнения типа Соболева" [68], "уравнения типа Соболева - Гальперна" [22], и "уравнения не типа Коши - Ковалевской" [39]. Уравнения Соболевского типа составляют значительную часть обширной области пекласси-ческих уравнений математической физики. В настоящее время такие уравнения по-прежнему привлекают внимание исследователей, о чем свидетельствуют большое количество посвященных их изучению монографий, вышедших в последние годы [10, 12, 63, 95, 99, 104].
Обратные задачи представляют собой активно развивающуюся область соврсменой математики. Интенсивное исследование обратных задач в значительной степени обусловлено многочисленными проблемами практики, требующими для своего решения разработки математических методов обработки и интерпретации результатов наблюдений. Цель многочисленных экспериментов и наблюдений, проводимых в различных областях человеческой деятельности, состоит в изучени
свойств объектов или процессов, интересующих исследователей. При этом распространенными являются ситуации, в которых объект или процесс либо принципиально недоступны для непосредственного наблюдения, либо оно связано с большими затратами. Характерной чертой возникающих при этом задач интерпретации результатов эксперимента является то, что наблюдатель должен сделать заключение о свойствах объекта или процесса по измеренным в результате эксперимента их косвенным проявлениям. Таким образом, речь идет о задачах, в которых требуется определить причины, если известны полученные в результате наблюдений следствия. Задачи такого типа естественно назвать обратными.
Интерес к обратным задачам возник где-то на рубеже XIX и XX столетий, в частности, когда в геофизике был поставлен вопрос: нельзя ли, располагая картиной движения фронтов сейсмических волн по поверхности Земли от различных землетрясений, найти скорость распространения сейсмических воли внутри Земли? Итогом его исследования стала постановка обратной кинематической задачи, впервые рассмотренная немецкими геофизиками Г. Герглотцем и Е. Вихертом.
С гравитационной и магнитной разведкой связанно возникновение другой обратной задачи - теории потенциала. Общая ее формулировка заключается в следующем: вне некоторой области, ограниченной поверхностью 5, задан потенциал, порожденный телом, лежащим внутри S, требуется найти форму и плотность тела. Первая теорема единственности для обратной задачи теории потенциала была доказана СП. Новиковым в 1938 г. В дальнейшем исследованием обратных задач теории потенциала в различных постановках занимались А.Н. Тихонов, В.К. Иванов, М.М. Лаврентьев, В.Н. Страхов, А.И. Прилепко
и их ученики. В настоящее время теория обратной задачи потенциала существенно развита, разработаны и численные методы решения этих задач.
Кроме того, активно исследовались обратные задачи электромагнитной разведки, квантовой теории рассеяния и многие другие. И в настоящее время интерес к обратным задачам не ослабевает, а наоборот, постоянно появляются новые постановки обратных задач и, соответственно, новые результаты об их разрешимости.
Подход к решению обратных задач динамического восстановления параметров управляемых систем, который развивали школы Н.Н. Кра-совского, В.К. Иванова и др., основан на сочетании методов теории позиционного управления [20, 21, 24, 25, 49, 50] и методов решения некорректных задач [4,14, 36, 74]. Исходной динамической системе сопоставляется специальным образом конструируемая управляемая динамиче-ская система-модель. Управление этой системой-моделью осуществляется позиционным способом по принципу обратной связи в дискретной по времени схеме. Речь идет о позиционном способе управления моделью, известном в теории позиционных дифференциальных игр [24, 25, 49, 50] как способ управления с поводырем. Идея построения подходящего закона управления моделью заложена в способе экстремального сдвига из теории позиционного управления, который локально регуляризируется методом сглаживающего функционала или методом невязки [14, 75]. В отличие от других подходов к решению обратных задач динамики, в которых используется програмныи подход и задача регуляризируется в целом на всем отрезке времени [7, 9, 13, 28, 29, 62, 74], в позиционном подходе регуляризация осуществляется локально в соответствующие моменты времени по ходу движения системы.
Вопрос о построении позиционных динамических регуляризирую-щих вольтерровых алгоритмов решения обратных задач динамики был поставлен в работах Ю.С. Осипова, А.В. Кряжимского, В.И. Максимова [30 - 34, 41, 42, 51, 52]. В этих работах рассматривались задачи о позиционном динамическом восстановлении различных параметров динамических систем, описываемых обыкновенными дифференциальными уравнениями. В частности, в работах [30 - 32, 52] строились алгоритмы восстановления минимального по норме управления, порождающего наблюдаемое движение, в случае измерения полного вектора состояния системы. В случае измерения части координат аналогичные алгоритмы строились в [31]. Задача об устойчивом позиционном восстановлении множества всех входов, порождающих наблюдаемое движение, рассматривалась в [31]. Задача о восстановлении начальных состояний, запаздываний и управлений в системах с запаздыванием изучалась в [34, 41]. Аналогичные вопросы решались также для систем, не разрешенных относительно производной [42], для дифференциальных включений [40]. Общая постановка задачи о динамическом восстановлении параметров и метод ее решения, основанный на привлечении оценочных функционалов типа Ляпунова, рассматривались в [51].
Изучению условий корректной (в определенном смысле) разрешимости абстрактных обратных задач для уравнения (0.1) с тождественным оператором L при различных предположениях на оператор М и различных условиях переопределения, а также связи обратных задач с нелокальными задачами посвящено множество работ А.И. Прилеп-ко, его учеников Д.Г. Орловского, И.В. Тихонова и др. (см., например, [47, 61, 78]).
Несмотря на то, что уравнения Соболевского типа часто встречаются в приложениях, работ по исследованию обратных задач для таких уравнений немного. Задача (0.1) - (0.3) в случае kerL ф {0} исследуется в работах Н.Л. Абашеевой [88, 89] при условии самосопряженности операторов ІиМи других ограничениях. В работе [90] A. Favini и М. А1 Horani рассматривали задачу (0.1) - (0.3) в более простом по сравнению с настоящей работой случае, когда ядро единицы соответствующего однородного уравнения вырождается только на ядре оператора L. При этом использована теория многозначных линейных операторов. В работах А.И. Кожанова и его учеников исследуется, в частности, корректная разрешимость обратных задач для уравнений составного типа в цилиндрических областях ([18, 94] и др.).
Актуальность темы исследования и практическая значимость работы
Как уже было замечено, одним из важных видов прикладных задач являются различные обратные задачи, которые для уравнений Соболевского типа практически не исследованы. Уравнения Соболевского типа возникают при моделировании различных процессов в естественных и технических науках [10, 93, 104]. К абстрактному уравнению (0.1) редуцируются, например, многие уравнения в частных производных с многочленами от эллиптического по пространственным переменным оператора, в частности многие уравнения теории фильтрации, например, уравнение Баренблатта - Желтова - Кочипой фильтрации жидкости в трещиноватой среде [3], уравнение Дзекцера эволюции свободной поверхности фильтрующейся жидкости [11].
Кроме того, к виду (0.1) можно привести системы уравнений в част-
ных производных, в которых не присутствуют некоторые из производных по времени от неизвестных функций. Так в работе рассмотрена обратная задача для линеаризованной системы уравнений фазового поля, описывающей в рамках мезоскопической теории фазовые переходы первого рода [55, 56]. Кроме того, к таким системам обычно относятся часто встречающиеся в механике системы, которые содержат уравнение несжимаемости V -v = 0. Речь в данном случае идет о системе Соболева, описывающей при некоторых дополнительных предположениях динамику малых внутренних движений стратифицированной жидкости в равновесном состоянии [72], о системе уравнений Осколкова, которая в линейном приближении моделирует динамику вязко-упругой несжимаемой жидкости Кельвина - Фойгта порядка 1 [54].
Результаты исследования задач (0.1) - (0.3) и (0.1), (0.2), (0.4) использованы в данной работе при рассмотрении обратных задач для перечисленных уравнений и систем уравнений математической физики. Тем самым работа не только представляет теоретический интерес, но и интересна с практической точки зрения.
Новизна полученных результатов
Основными результатами данной диссертационной работы являются теоремы о разрешимости задачи прогноз-управления и нестационарной обратной задачи для линейного дифференциального уравнения первого порядка в банаховом пространстве с вырожденным оператором при производной.
Так при исследовании задачи прогноз-управления для уравнения (0.1) в случае, когда кет L ф {0}, а оператор М сильно (,р)-радиален, сильно (,р)-секториален или (,_р)-ограничен, получен критерий кор-
ректной разрешимости. Кроме этого исследована связь единственности решения такой задачи с расположением точечного L-спектра оператора М.
Также для уравнения (0.1) в предположении, что оператор М сильно (1/,р)-радиален исследована нестационарная обратная задача, получены условия существования и единственности ее решения.
Все полученные абстрактные результаты являются новыми. Они использованы при исследовании обратных задач для уравнений и систем уравнений математической физики, перечисленных в предыдущем параграфе.
Методы исследования
В данной работе при исследовании обратных задач для вырожде-ных уравнений используются методы теории вырожденных полугрупп. Суть методов заключается в редукции уравнения (0.1) при исследовании задачи прогноз-управления или нестационарной обратной задачи к паре эквивалентных уравнений, определенных однако, не на пространстве U, а на взаимно дополнительных подпространствах, одно из которых является образом, а другое - ядром единицы разрешающей полугруппы соответствующего однородного уравнения. Следуя этому методу, мы приходим к двум уравнениям
u\t) = L^Mm'it) 4- ЬГУ/W + L?k{t), t Є [0,21, (0-5)
Hu{t) = u(t) + М0-У/М + Mq-^M, t Є [0, Г], (0.6)
па подпространствах U1 и U соответственно, здесь оператор Н = Mq Lq. Таким образом, исследование обратной задачи для уравнения (0.1) сводится к исследованию двух соответствующих обратных задач для уравнений (0.5) и (0.6).
При исследовании задачи прогноз-управления для уравнения (0.5) использованы результаты, полученные раннее в работах И.В. Тихонова и Ю.С. Эйдельмана [76 - 79]. При исследовании нестационарной обратной задачи для этого уравнения использованы результаты, изложенные в монографии А.И. Прилепко, Д.Г. Орловского, И.А. Васина [98]. Исследовать же обратные задачи для уравнения (0.6) позволяет нильпотентность оператора Н.
Краткое содержание диссертации
Диссертация, кроме Введения, содержит три главы и Список литературы. Список литературы не претендует на полноту и отражает лишь личные вкусы и пристрастия автора.
Первая глава содержит предварительные сведения. В ней собраны факты, которые так или иначе используются при доказательстве основных результатов диссертации. В первом параграфе представлены сведения об относительных резольвентах. Второй, третий и четвертый параграфы содержат основные факты о сильно (,р)-радиальных, сильно (1/,р)-секториальных и (L, ^-ограниченных операторах и соответствующих им сильно непрерывных полугруппах, аналитических полугруппах и аналитических группах операторов с ядрами, доказанные ранее в работах Г.А. Свиридюка и В.Е. Федорова (см., например, [104]). В пятом и шестом параграфе представлены необходимые результаты об однозначной разрешимости задачи прогноз-управления для уравнения, разрешенного относительно производной [76 - 79]. Седьмой параграф содержит результаты о разрешимости нестационарной обратной задачи для уравнения, разрешенного относительно производной [98]. В восьмом параграфе собраны необходимые резуль-
таты по теории многозначных линейных операторов [92, 105].
Вторая и третья главы содержат новые результаты о разрешимости задачи прогноз-управления и нестационарной обратной задачи для уравнения Соболевского типа.
Вторая глава посвящена исследованию задачи прогноз-управления для линейного уравнения Соболевского типа. В первом и втором параграфах дается определение решения и корректности обратной задачи для уравнения (0.1) в случае сильной (1/,>)-радиальности оператора М. Найдены необходимые и достаточные условия существования и единственности решения обратной задачи и ее корректности. В третьем и четвертом параграфе исследуется точечный спектр многозначного линейного оператора и связь его расположения с единственностью решения обратной задачи. В шестом параграфе найдены критерии корректности задачи прогноз-управления для системы уравнений Соболева, в седьмом - для линеаризованной системы Осколкова. В восьмом, девятом и десятом параграфах полученные абстрактные результаты о корректности и единственности решения обратной задачи применяются для исследования системы уравнений фазового поля, в том числе сильно вырожденной. В одиннадцатом параграфе исследуется корректность обратной задачи для уравнения с многочленами от эллиптических операторов.
В третьей главе изучается нестационарная обратная задача для линейного уравнения Соболевского типа. В первом параграфе путем редукции системы интегральных уравнений к уравнению Вольтерра второго рода найдены достаточные условия существования решений повышенной гладкости у невырожденной нестационарной обратной задачи. Во втором параграфе получены условия существования и един-
ственности решения нестационарной обратной задачи для уравнения Соболевского типа. В третьем параграфе полученные абстрактные результаты применяются для исследования нестационарной обратной задачи для системы уравнений Соболева, в четвертом - для линеаризованной системы Осколкова. В пятом параграфе найдены условия существования и единственности решения нестационарной обратной задачи для линеаризованной системы уравнений фазового поля. В шестом параграфе исследуется нестационарная обратная задача для уравнения с многочленами от эллиптических операторов.
Апробации
Результаты, изложенные в диссертации, были представленны на XXVIII и XXX научных студенческих конференциях "Студент и научно-технический прогресс" (Челябинск, 2004, 2007) [111, 112], на Воронежской зимней математической школе "Современные методы теории функций и смежные проблемы" (Воронеж, 2004) [107], на Международных научных конференциях "Информационные технологии и обратные задачи рационального природопользования" (Ханты-Мансийск, 2005) [108], "Математики. Механика. Информатика" (Челябинск, 2006) [113], на Междунродной конференции по дифференциальным уравнениям, посвященной 100-летию Я.Б. Лопатинского" (Львов, 2006) [121], "Тихонов и современная математика" (Москва, 2006) [106], "Дифференциальные уравнения и их приложения" (Самара, 2007) [115], "Дифференциальные уравнения, теория функций и приложения" (Новосибирск, 2008) [116], "Дифференциальные уравнения и динамические системы" (Владимир, 2008) [117], "Алгоритмический анализ неустойчивых задач" (Екатеринбург, 2008) [118], "Дифференциальные урав-
нения. Функциональные пространства. Теория приближений" (Новосибирск, 2008) [119]/на семинаре в Институте математики им. С.Л. Соболева СО РАН под руководством проф. А.И.Кожанова, на семинаре кафедры математического анализа в Челябинском государственном университете (руководитель - проф. В.Е. Федоров), на семинаре каедры уравнений математической физики в Южно-Уральском государственном университете (руководитель - проф. Г.А. Свиридюк), на семинаре в Институте математики и механики УрО РАН (руководитель - член-корреспондент РАН, проф. В.В. Васин).
Данное исследование поддержано стипендией Президента РФ (2008) и грантами правительства Челябинской области (2004-2006) [114].
Результаты диссертации опубликованы в работах [106-121]. Необходимо отметить, что во всех работах, выполненых в соавторстве с научным руководителем, последнему принадлежит только постановка задачи и некоторые идеи доказательств. Все доказательства выполнены автором диссертации самостоятельно.
На защиту выносятся следующие результаты:
Теоремы о корректности задачи прогноз-управления для линейного уравнения Соболевского типа в случаях сильно (L, ^-радиального, сильно (1/,р)-секториального и (,р)-ограничсного оператора М.
Теоремы о существовании и единственности решения нестационарной обратной задачи для линейного уравнения Соболевского типа в случае сильно (Ь,р)-радиального оператора М.
3. Теоремы о существовании и единственности решения обратных задач для системы Соболева, линеаризованной системы Осколкова, линеаризованной системы уравнений фазового поля, вырожденной и сильно вырожденной, некоторых других уравнений математической физики.
Благодарности
В заключение считаю своим приятным долгом выразить огромную благодарность моему научному руководителю профессору В.Е. Федорову за постановку задачи, постоянную поддержку и внимание к работе; коллективу кафедры математического анализа ЧелГУ за строгую, но конструктивную критику. Хочу также поблагодарить моих родителей Любовь Иосифовну и Виктора Николаевича за заботу и помощь.
Обратная задача для уравнения, разрешенного относительно производной
В данной работе при исследовании обратных задач для вырожде-ных уравнений используются методы теории вырожденных полугрупп. Суть методов заключается в редукции уравнения (0.1) при исследовании задачи прогноз-управления или нестационарной обратной задачи к паре эквивалентных уравнений, определенных однако, не на пространстве U, а на взаимно дополнительных подпространствах, одно из которых является образом, а другое - ядром единицы разрешающей полугруппы соответствующего однородного уравнения. Следуя этому методу, мы приходим к двум уравнениям па подпространствах U1 и U соответственно, здесь оператор Н = MQ LQ. Таким образом, исследование обратной задачи для уравнения (0.1) сводится к исследованию двух соответствующих обратных задач для уравнений (0.5) и (0.6). При исследовании задачи прогноз-управления для уравнения (0.5) использованы результаты, полученные раннее в работах И.В. Тихонова и Ю.С. Эйдельмана [76 - 79]. При исследовании нестационарной обратной задачи для этого уравнения использованы результаты, изложенные в монографии А.И. Прилепко, Д.Г. Орловского, И.А. Васина [98]. Исследовать же обратные задачи для уравнения (0.6) позволяет нильпотентность оператора Н.
Диссертация, кроме Введения, содержит три главы и Список литературы. Список литературы не претендует на полноту и отражает лишь личные вкусы и пристрастия автора.
Первая глава содержит предварительные сведения. В ней собраны факты, которые так или иначе используются при доказательстве основных результатов диссертации. В первом параграфе представлены сведения об относительных резольвентах. Второй, третий и четвертый параграфы содержат основные факты о сильно (,р)-радиальных, сильно (1/,р)-секториальных и (L, -ограниченных операторах и соответствующих им сильно непрерывных полугруппах, аналитических полугруппах и аналитических группах операторов с ядрами, доказанные ранее в работах Г.А. Свиридюка и В.Е. Федорова (см., например, [104]). В пятом и шестом параграфе представлены необходимые результаты об однозначной разрешимости задачи прогноз-управления для уравнения, разрешенного относительно производной [76 - 79]. Седьмой параграф содержит результаты о разрешимости нестационарной обратной задачи для уравнения, разрешенного относительно производной [98]. В восьмом параграфе собраны необходимые результаты по теории многозначных линейных операторов [92, 105].
Вторая и третья главы содержат новые результаты о разрешимости задачи прогноз-управления и нестационарной обратной задачи для уравнения Соболевского типа.
Вторая глава посвящена исследованию задачи прогноз-управления для линейного уравнения Соболевского типа. В первом и втором параграфах дается определение решения и корректности обратной задачи для уравнения (0.1) в случае сильной (1/, )-радиальности оператора М. Найдены необходимые и достаточные условия существования и единственности решения обратной задачи и ее корректности. В третьем и четвертом параграфе исследуется точечный спектр многозначного линейного оператора и связь его расположения с единственностью решения обратной задачи. В шестом параграфе найдены критерии корректности задачи прогноз-управления для системы уравнений Соболева, в седьмом - для линеаризованной системы Осколкова. В восьмом, девятом и десятом параграфах полученные абстрактные результаты о корректности и единственности решения обратной задачи применяются для исследования системы уравнений фазового поля, в том числе сильно вырожденной. В одиннадцатом параграфе исследуется корректность обратной задачи для уравнения с многочленами от эллиптических операторов.
В третьей главе изучается нестационарная обратная задача для линейного уравнения Соболевского типа. В первом параграфе путем редукции системы интегральных уравнений к уравнению Вольтерра второго рода найдены достаточные условия существования решений повышенной гладкости у невырожденной нестационарной обратной задачи. Во втором параграфе получены условия существования и един 18
ственности решения нестационарной обратной задачи для уравнения Соболевского типа. В третьем параграфе полученные абстрактные результаты применяются для исследования нестационарной обратной задачи для системы уравнений Соболева, в четвертом - для линеаризованной системы Осколкова. В пятом параграфе найдены условия существования и единственности решения нестационарной обратной задачи для линеаризованной системы уравнений фазового поля. В шестом параграфе исследуется нестационарная обратная задача для уравнения с многочленами от эллиптических операторов.
Нестационарная обратная задача для уравнения, разрешенного относительно производной
Первое равенство в утверждении теоремы следует из определения многозначного линейного оператора Ь-1М, третье - из теоремы 1.2.3 (v), докажем второе.
Пусть при некотором v Є С выполняется vLu = Ми. Подействуем на него поочередно проекторами Q и / — Q и в силу теоремы 1.2.3 получим тождества vL\Pu = М\Ри и (ULQ — MO) (І — P)U = 0. Отсюда получаем, что 7р(М) С apl{Mi). Из замечания 1.2.2 следует также, что (I — Р)и = 0. Таким образом, всякий собственный вектор пучка лежит в U1, что завершает доказательство. ЗАМЕЧАНИЕ 2.3.1 Аналогичным образом замечание 1.2.2 влечет равенство crL(M) — aLl(Mi), которое ранее установлено в [81]. Рассмотрим оператор Следующий результат является достаточно простым следствием теоремы 1.6.1. ТЕОРЕМА 2.3.1. Пусть kerL ф {0}, оператор М сильно (L,p)-радиален, /І : [0, Т] — R - функция ограниченной вариации, щ = /х(0+) — //(О). Тогда возмооюны три ситуации: 1) если fi(t) = const при t Є (0,Т]; mo для всех v Є U имеем, Bv = ЩРУ, О-Р(В) = {щ, 0}; 2) если fi(t) = const при t Є (0, є], є Є (0,Т]; ker/i() 7 {0} при і 0, то для всех v Є U имеем Доказательство. Сразу заметим, что вектор из подпространства U0 соответствует нулевому собственному значению оператора В в случае U0 ф {0}. U0 совпадает с М-корневым подпространством оператора L. Очевидно, что необходимым и достаточным условием нетриви-алыюсти подпространства Ы является нетривиальность ядра kerL. В силу теоремы 1.2.3 можно утверждать, что образ оператора В принадлежит подпространству Ы1. Действительно, Отсюда следует, что ненулевым собственным значениям оператора В соответствуют собственные векторы из U1. Таким образом, показано . Очевидно, что и1 равенство ур{В) = (jp(Bi) U {0}, где В\ — В т BlV = f Ui(t)vdii(t) = N M v, v Є U1. о Осталось сослаться на теорему 1.6.1 и на лемму 2.3.1. Теперь обсудим вопрос единственности обратных задач (2.1.1) -(2.1.3) и (2.1.1), (2.1.3), (2.2.1). Для этого рассмотрим соответствующие обратные задачи с однородными граничными условиями То есть рассмотрим задачи (2.1.1), (2.4.1), (2.4.2) и (2.1.1), (2.4.2), (2.4.3). Очевидно, что они всегда имеют тривиальное решение и = 0, q = 0. Наша цель в данном параграфе - получить условия отсутствия других решений. ЛЕММА 2.4.1 Пусть kerL ф {0}; оператор М сильно (L,p)-радиален, f Є Ср+1[0,Т] и /(0) = /(Г) = 0, тогда задача (2.1.1), (2.4.1), (2.4.2) имеет бесконечное число решений. Доказательство. Действительно, выберем вектор h Є domM Г) kerL \ {0}, который существует в силу плотности domM в пространстве Ы и нетривиальности подространства ker L, и построим нетривиальное решение задачи (2.1.7), (2.4.1), (2.4.2) вида u(t) = —f(t)h, q = q = Mh. Оно же будет нетривиальным решением задачи (2.1.1), (2.4.1), (2.4.2). ТЕОРЕМА 2.4.1. Пусть kerL ф {0}; оператор М сильно (L,p)-радиален, f Є Ср+1[0,Т] и выполнено одно из двух условий: 1) /СП ф 0; 2) /(0) ф 0 и ker Ui(t) = {0} при t 0. Тогда решение задачи (2.1.1), (2.4.1), (2.4.2) единственно в том и только в том случае, когда множество сГр(М) не содержит нулей, Т функции x{z) = / e tzf(t)dt. о Доказательство. Как уже отмечалось ранее уравнение (2.1.1) эквивалентно паре уравнений (2.1.4) и (2.1.7) на подпространствах U1 и Ы соответственно. Оператор Lj"1Mi порождает Co-непрерывную полугруппу операторов, а множество его собственных значений, как показано в лемме 2.3.1, совпадает со множеством сг (М). Поэтому в силу теоремы 1.6.2 решение задачи (2.4.1), (2.4.2), (2.1.4) единственно тогда и только тогда, когда это множество не содержит нулей функции x(z). Возьмем h ЄІЛ0 \ {0}, тогда в силу нильпотентности оператора Н Предположим, что векторы h, Hh,..., Hrh линейно зависимы, то есть при некоторых константах с , к = 0, г, выполняется с Я /г = 0. На А;=0 обе части этого равенства подействуем оператором Нг и получим, что г coHrh = 0 или со = 0. Отсюда следует равенство CkHkh = 0. По к=1 действовав на него оператором Яг_1 и рассуждая далее аналогичным образом, докажем, что с& = 0 для всех к = 0, г. Пусть существует нетривиальное решение уравнения (2.1.7), кото р рое в условиях теоремы имеет вид u(t) = — J2 / ( Я М У. Усло вия (2.4.1), (2.4.2) в таком случае дадут равенства
Теорема об отображении точечного спектра многозначного линейного оператора
В силу теоремы 2.8.1 оператор М сильно (L, 0)-секториален. Поэтому условие пп ФХО) С dom(L Mi)0 = Ul теоремы 3.2.2 выполняется автоматически. Условие и\ Є im(R (M)) в этом случае принимает вид щ Є domMi = Н%_ . (Q) и тоже выпол Эп+Л няется. Из вида оператора В и пространства 1Я = {0} х L2{ ) следует, что Ы С кет В. А так как К Є H2(Q), то непрерывен оператор BL {lM\. В остальном рассуждения такие же, как при доказательстве теоремы 3.3.1. Как и в задаче прогноз-управления, обозначим V = span{ /?/; : к Є М}, где верхняя черта означает замыкание в норме пространства L2(Q) (см. 2.9). Очевидно, что подпространство Ы1 — V х ((3 + A)_1[V] изоморфно подпространству V. К задаче (3.1.1), (3.1.3), (3.2.4) редуцируем обратную задачу (3.5.2) - (3.5.5) с начальным условием I f(x,t)K(x)dx ф 0 для любого t Є [0,Т]; / м0(ж)і (а;)с/а: = ф{0). Тогда существует единственное решение u,v Є С1([0,Т]; L2(Q)) П С([0,Т]; tf2(ft)), г/ Є С2([0,Г];Е) обратной задачи (3.5.2) - (3.5.6). Доказательство. В силу теоремы 2.9.1 оператор- М сильно (L, 1)-секториален. По сравнению с теоремой 3.5.1 пространство U1 стало уже, а Ы - шире. Это отразилось в требованиях на К и щ. Кроме того, в силу теоремы 3.2.2 от некоторых параметров задачи требуется дополнительная гладкость по t - см. требования на /, ф и опять же щ. При этом условия щ,Ащ Є Н%_ .ЛЄЇ) П V означают в теореме 3.2.2, что щ Є im(i?J(M))2 = dom(L 1M1)2. Требования на /(-,0) и /(-,0) гарантируют выполнение условия ( ) (0) С domL Mi, к = 0,1, теоремы 3.2.2. 3.6 Нестационарная обратная задача для уравнения с многочленами от эллиптических операторов Пусть так же, как и в задаче прогноз-управления, РП(Л) = Е QAJ, г=0 т QmW = Е А\ т n, cud3 Є С, сп ф 0, dm ф 0, SI С Ш8 -ограниченная область с границей сЮ класса С, набор операторов А, Bi,... Вг - регулярно эллиптический [80, с. 454], где (Аи)(х)= Е aa(x)Dau{x), аа G С(П), Потребуем также самосопряженности оператора А\ Є /(1 ( )) с областью определения dom i = HfBi}{Q) [80, с. 399], Aiu = Ащ и Є domAi, и ограниченности справа спектра сг(Аі). Через {(р : к Є N} обозначим ортонормированные в смысле скалярного произведения (, ) в 1/2( 2) собственные функции оператора А\, занумерованные по невозрастанию собственных значений {А& : к Є N} с учетом их кратности. Положим Имеем U = spanj fc : Pn(Xk) = 0}, U1 = span : Pn(Xk) Ф 0} -замыкание в норме H2rn(Q). Рассмотрим нестационарную обратную задачу Искомыми здесь являются функции u(x:t) и 2/(t). ТЕОРЕМА 3.6.1. Яустъ т n; (-l)m-nRe(dTO/cn) 0, при этом числа \k, к Є N, не являются одновременно корнями многочленов Рп и Qm. Кроме того, пусть К,щ Є Ul П domM, для любо-го t Є [0,Т] /(., ) Є Ь2(П), f/Ы) Є L2(«), J f(x,t)K(x)dx ф 0, стеенное решение и Є С Т]; tf2rn(Q)) П С([0,Т]; tf2rm(Q)); у Є C O.TjjR) обратной задачи (3.6.1) - (3.6.4). Доказательство. Как уже было отмечено в 2.11, оператор М в данном случае сильно (L, 0)-секториалеп. Так как К Є U1, то UQ С кегВ; из того, что К Є domM, следует непрерывность оператора BL Mi. Имеем для /6Ів силу ортопормированности в 1/2 (П) системы собственных функций
Разрешимость вырожденной нестационарной обратной задачи
Интерес к обратным задачам возник где-то на рубеже XIX и XX столетий, в частности, когда в геофизике был поставлен вопрос: нельзя ли, располагая картиной движения фронтов сейсмических волн по поверхности Земли от различных землетрясений, найти скорость распространения сейсмических воли внутри Земли? Итогом его исследования стала постановка обратной кинематической задачи, впервые рассмотренная немецкими геофизиками Г. Герглотцем и Е. Вихертом.
С гравитационной и магнитной разведкой связанно возникновение другой обратной задачи - теории потенциала. Общая ее формулировка заключается в следующем: вне некоторой области, ограниченной поверхностью 5, задан потенциал, порожденный телом, лежащим внутри S, требуется найти форму и плотность тела. Первая теорема единственности для обратной задачи теории потенциала была доказана СП. Новиковым в 1938 г. В дальнейшем исследованием обратных задач теории потенциала в различных постановках занимались А.Н. Тихонов, В.К. Иванов, М.М. Лаврентьев, В.Н. Страхов, А.И. Прилепко и их ученики. В настоящее время теория обратной задачи потенциала существенно развита, разработаны и численные методы решения этих задач.
Кроме того, активно исследовались обратные задачи электромагнитной разведки, квантовой теории рассеяния и многие другие. И в настоящее время интерес к обратным задачам не ослабевает, а наоборот, постоянно появляются новые постановки обратных задач и, соответственно, новые результаты об их разрешимости.
Подход к решению обратных задач динамического восстановления параметров управляемых систем, который развивали школы Н.Н. Кра-совского, В.К. Иванова и др., основан на сочетании методов теории позиционного управления [20, 21, 24, 25, 49, 50] и методов решения некорректных задач [4,14, 36, 74]. Исходной динамической системе сопоставляется специальным образом конструируемая управляемая динамиче-ская система-модель. Управление этой системой-моделью осуществляется позиционным способом по принципу обратной связи в дискретной по времени схеме. Речь идет о позиционном способе управления моделью, известном в теории позиционных дифференциальных игр [24, 25, 49, 50] как способ управления с поводырем. Идея построения подходящего закона управления моделью заложена в способе экстремального сдвига из теории позиционного управления, который локально регуляризируется методом сглаживающего функционала или методом невязки [14, 75]. В отличие от других подходов к решению обратных задач динамики, в которых используется програмныи подход и задача регуляризируется в целом на всем отрезке времени [7, 9, 13, 28, 29, 62, 74], в позиционном подходе регуляризация осуществляется локально в соответствующие моменты времени по ходу движения системы. Вопрос о построении позиционных динамических регуляризирую-щих вольтерровых алгоритмов решения обратных задач динамики был поставлен в работах Ю.С. Осипова, А.В. Кряжимского, В.И. Максимова [30 - 34, 41, 42, 51, 52]. В этих работах рассматривались задачи о позиционном динамическом восстановлении различных параметров динамических систем, описываемых обыкновенными дифференциальными уравнениями. В частности, в работах [30 - 32, 52] строились алгоритмы восстановления минимального по норме управления, порождающего наблюдаемое движение, в случае измерения полного вектора состояния системы. В случае измерения части координат аналогичные алгоритмы строились в [31]. Задача об устойчивом позиционном восстановлении множества всех входов, порождающих наблюдаемое движение, рассматривалась в [31]. Задача о восстановлении начальных состояний, запаздываний и управлений в системах с запаздыванием изучалась в [34, 41]. Аналогичные вопросы решались также для систем, не разрешенных относительно производной [42], для дифференциальных включений [40]. Общая постановка задачи о динамическом восстановлении параметров и метод ее решения, основанный на привлечении оценочных функционалов типа Ляпунова, рассматривались в [51].
Изучению условий корректной (в определенном смысле) разрешимости абстрактных обратных задач для уравнения (0.1) с тождественным оператором L при различных предположениях на оператор М и различных условиях переопределения, а также связи обратных задач с нелокальными задачами посвящено множество работ А.И. Прилеп-ко, его учеников Д.Г. Орловского, И.В. Тихонова и др. (см., например, [47, 61, 78]). Несмотря на то, что уравнения Соболевского типа часто встречаются в приложениях, работ по исследованию обратных задач для таких уравнений немного. Задача (0.1) - (0.3) в случае kerL ф {0} исследуется в работах Н.Л. Абашеевой [88, 89] при условии самосопряженности операторов ІиМи других ограничениях. В работе [90] A. Favini и М. А1 Horani рассматривали задачу (0.1) - (0.3) в более простом по сравнению с настоящей работой случае, когда ядро единицы соответствующего однородного уравнения вырождается только на ядре оператора L. При этом использована теория многозначных линейных операторов. В работах А.И. Кожанова и его учеников исследуется, в частности, корректная разрешимость обратных задач для уравнений составного типа в цилиндрических областях ([18, 94] и др.).
Похожие диссертации на Обратные задачи для линейных уравнений Соболевского типа
