Введение к работе
Актуальность темы. Обратная задача (03) спектрального анализа затачает .я в восстановлении линейного оператора по тем или иныы его спектральный характеристикам. Такими харак -теристикамм могут быть гпехтры, спектральная функция, данные рассеяния и другие. Подобные задачи возникает в квантовой ме -ханикв, например, при определении внутриатомных сил по известным уровням энергии, т.е. по спектру, который может быть най -ден экспериментально. В последнее время интерес к обратным задачам значительно возрос в связи с открытием метода обратной задачи в теории интегрирования нелинейных уравнений математи -ческой физики.
Наиболее полные результаты в теории 03 известны для дифт ференциального оператора Штурма-Лиувилля
03 для оператора Штурма-Лиувилля исследовалась в работах- В.А. ' Ал«5а*нг/мяна, Г.Борга, Ю.М.Березанского, А.Ш.Злоха.М.Г.Гасьшова, И.М.Гельфанда, Ы.Г.Крейна, Й.Кея, Б.М.Левитана, Н.Левинсона, В.Э.Лянце, В.А.Марченко, X. Мозеса, В.В.Жикова, Ф.С.Рофе-Беке-това, З.А.Садовничего, А.Н.Тихонова, Л .Д. Фаддее ва, Л.А.Чудова и других.. Первый результат в этом направлении принадлежит В.А. Амбарцумяну . Он показал, что если собственные значения крае -вой задачи '-у'+(lcxty*ty , /rf>)»0, /^-0 суть' $*=*:*, к* О , то %ґя)з0 . Однако результат В.А.Аибарцумяка является исключением, и одного спектра, вообще говоря, недостаточно для однозначного определения диф -ференциального оператора. Впоследствии Г.Борг доказал, что два спектра.оператора Етурма-Лиувилля с одним обіциь: краевым уело -
виєм однозначно определяет функция xffeQ '. А.Н.Тнхоновым полупена теорема единственности ревения 03 Штурма-Лиувилля на полуоси по &Ґ2) -функции .ВеЛла-Тнтчмарва. Асимптотическое разложение W(P) -функции ВеПля-Титчиарша изучалось в работах W.J.fUli, ЯЛЖгілгоп, S. , Улетел, Л Уіелги,
А.А.Дакиелнна, В.К-евиТана н в первой главе настоявши диссертации в случае оператора Дирака-
В 1964 г. Хвррисом получено асимптотическое разложение
для функции Вейля-їитчиараіЕ задачи Штума-Лиувилля на полуоси .
с потеніг;алом * ^) Є С [о, S) _.,'.,'.
где ОН* гт%2чі~ ( -фиксированное число), постоянные^! &,. суть многочлены < бег свободного члена) относатеяь-
і ft)
но [{$, $сф, '''-> $ Сф -. В частности, если все эти
производные равны нулю, то разложение (I) содержит только один
тертый член /д . Впоследствии при тех же условиях.что.
у Харриса, А.А.Даниёляном и Б.ІІ.Іевитаном был выделен еще один точный член асимптотического разложения (I).
... До Харртсарзд авторов ( 1*..Е&іШ, 'Wat-mst** _ P.^.dikLason ) получали два-трк первых члена асимптоти -ческого разложения (I).
Пусть потенциал ({fie) . оператора УІ имеет ш»*
а функция PfsO ори Х—*"*> удовжетворяе» оценхаы
с J- > О и /*/,*, і .
Оказывается, что у оператора Штурма-Диубилля на полуоои с таким потенциалом возликаят собственные значеная на непрерывном спектре. Впервые это обнаружили Ди.$ок Нейман и Е. Вигнер. Они подобрали г*зункци*о &{&) так, что при нвкотсром .Д соотнес -ству*"!*ео уравнение Штурма-Яиувилля. "^ -f-^зіуу ~Я#> точно решается, а решение пригідлоавге Z, СО, jx>} , Их пример был впоследствии обобщен р работах , &. Simon, Jt-S.fflAafft, l&.JUetool,A.(*afIe№o,. Л.А.Иалоземова, ШМ. Скриганова, В.Б.Матвеева и ряда других авторов.
Такие примеры мошо строить, решая соответствующую обратную спектральную задачу методом Гелъ*авда-ЛеБитана. Однако, исследование поведения получазо'цегося потенциала на бесконечности является в об-цем случае весьма нетривиальной задачей. В главе II настсяцей работы, в случае оператора Дирака найдены достаточные условия принадлежности получающегося потенциала пространству Lj,Cu> "s
В последнее время резко возрос гчтерес к оператору Штурма-Лиубилля с почти-периодическим ьотенциалом. Сто было вызвано открытием связи между спектральной- теорией оператора Сітурма-ііиуг.-.лля и теорией уравнения %}: ^ - б!1^х ^^зехл ~^> а также открытием для оператг *?а Штурма-Лиувилля с почти-периоди -чесхим потенциалом многочисленных Физических приложений.
Оператор Штурма-Лиувилля с почти-пер-'одичесяик потенциалом изучен в работах Г.Юар*а, И.Динабурга, Я.Г.Синаг, П.Лакса, В.А. Чулаевского, Юр.Мозера, Д.Аврона, Б.Сайгона, Б.!.!. Левитана, А.В. Савина, Г.П.Мак-кина, Е.Трубовкца, С.П.НЬпикопа, М.А.Шубина, А.А. Пастура, Ткаченко, Б.Л.Дубровина, В.Б.Матвеева, А.Р.Итса, Дэйт-Танака и др.
- о -
Злервые оператор Штурма-Диувилля с "очти-периодич^ским
потенциалом был рассмотрен б работе Г.Шарфа. В ней доказана
почти-иериодичность на диагонали функции Грина уравнения Шгуриа-
. -Лиунклля —U S-(jffx) и = Л if с почти-периодическим
потенциалом QCsO . Следуицие работы бьиіи вызваны разви*-тиеи аппарата і.онечнозонного интегрирования уравнения Кцф Замечательным достижением в этой области явилось, открытие С. И.Новиковым кваэи-периодичности по X и по г конечноэон-ных реиенм*' уравнения Кдф. Г.П.Мак-г:ин и Е. Трубовиц доказали почти-ле^одичность EO времени решений уравнения Кдф с произ -вольныик периодическими начальньши значениями, а Б.М.Іешїан доказал квази-г.ериодичность конечнозонных, почти-периодичность по времени решений уравнения КаФ с бесконечяозонныш начальными значениями.
Конечнозонные потенциалы оператора Штурма-Лиувилля впервые ?ыли рассмотрены Н.И.Ахиезером, он ограничился случаем четных потенциалов. Замечательная часть работы Н.И.Ахиезера заключается в том, что решение обратной задачи в случае конечкозок"-ных потенциалов было сведено им к проблеме обращения Якоби абелевых интегралов. Как выяснилось позяе, для метода Ахиезера четность пот нциала несущественна. На это обстоятельство впервые обратили внимание А.Р.И^с и В.Б.йатвеев, которь:». исполь -зуя теорему Ахиезера, кгвели для конечнозонных потенциалов явнув формулу. В работе Б.А.Дубровина, С.П.Новикова -зон -ные потенциалы определены как функции С[СЯ2) , для которых ревения Бяохь уравнения Елурма-Бкувияля - V -* <[ґХуу - <*$ есть мероиорфная функция на гиперэллиптическ^й римановой поверхности Лл рода Jf . Из этого определения седует, что элементы спектральной матрицы-функции
уравнение -у -+$ґх)У -Яр суть алгебраические функции на Пу . Последнее обстоятельство позволило Б.Ц.Левитану применить к исследованию вначале конечнозонных, а затем и бес -кокечнозонных потенциалов традицион' че методы решения обратной задачи Штурма-Яиувилля.
Обратная задача Іїїтурма-Лиувилля на всей прямой по спек -тральной матрице-функции изучалась А.Ш.Блоком, Ф.С.Рофе-Бекето-вым. В случае конечнозонных и бесконечнозонных потенциалов уравнения Штурка-Лиубилля теорема Рофе-Бекетова оказалось весьма эффективной.
В работе В.А.Марченко, И-В.Островского предложен другой подход к обратной периодической задаче Штурма-Лиубилля, а впоследствии Т.В.Мисюрой решена периодическая обратная задача для оператора Дирака:
""{-і о) dx* \ 4&> -Ь*>;
Уравнение Дирака - одно из основных уравнений кваїіїОЕОй механики. Оно получено факторизацией уравнения Еіредингера и описьшает некоторые явления, не'поддающиеся объяснению с помощью уравнения Шредингера. Оператор Дирака, і эобч;э говоря, неполуог-рзничен, и многие методы, разработанные для изучения шлуогра -ниченшис операторов, к нему неприменимы.
Изучение оператора Дирака с почти-периодическим потенци-аясм представляет не только чисі'о теоретический интерес в спек-
-6-.
тральной теории но к имеет приложения в решении задачи Коши для нелинейного уравнения ІПрєдингера ( 1Ш ): /. т^ях --%\u\ U=Q, U(nrеЪ=Ц,(х) и Ыодифицированного уравнения Кд$: U+ - С /«/ U. + Uvxx^o , Ufa, fi)=Jft) . Подробному изложению сеязєй 03 с нелинейными уравнениями математической Физики посвящены книги В.Е.Захарова, С.В.Манакова, С.П.Новикова, Л.П. ІІитаєвского (1980), Л.Д.Фаддеева, Л.А.Тахтаджяна (1986), U. АОлошца, X. Сигура (1987).
Важным этапом в теории обратных задач и их приложений ябилссь г^ренесёние методов, разработанных для уравнения Штурма-
-Лгуі .ллн, на системы двух ди{хЬеренциальных уравнений, типа системы Дирака.
Обратная задача для системы Дирака была изучена в работах У.Г.Гасымова, Е.Ы.Левитана, И.С.Фролова, Л.П.Нижника, Фам Лой By,*5.Максу, эьа, С.Велкева, В.Е.Захарова, А.Б.Шабата, Л.А. Тахтаджяна, Л.Д.Фаддеева, М.Абловица, X.Сигура, Д.Каупа, А. Ниюела, А.В.Савина, А.А-.Даниеляна, М.З.Замонова и. в третьей главе настоящей работы.
Важную роль в построении и исследовании так называемых релений. Поста в теории рассеяния для возмущенного уравнения Хилла
где Лй9 -периодическая Функция, ^7) -достаточно быстро убыващая функция, сыграла ^ҐЯ,і,Я) -функция Коши не возмущенного уравнения Аилла. В этом случае Ф.С.Рофе-Бекетов и Н. Е.ФиреоЕа золучили рашжерну» оценку для функцій Коши невозмущенного оператора Хклла. Это оценка позволила упомянутым выше
авторам развить прямую, а впоследствии Н.Е.Фирсовой и обратную задачу для уравнения v2). Прямая задача для уравнения (2) изучалась также В.А.Желудевым.
Обратная задача теории рассеяния для возмущенного ураа-
ненк Хилла исследовалась в работах Н.Е.Фкрсова, А ./Угн/^рп}
f. Af
Прямая и обратная задача теории рассеяния для уравнения Еида
где Q (х) -есть вещественная конечнозонная (не обязательно периодическая) функция, ^(Я) -достаточно быстро убывающая Функция, изучалась в работах Р.Ф.Бикбаева, Р.А.Шарипова и в ІУ главе настоящей диссертации.
Обширная библчогр&Ьія посвящена обратной задаче для обыкновенно' дифференциальных операторов есших порядков и уравнений с частными производными. Это направление в теории 03 достаточно полно отражено в работах Е.А.Барановой, Р.Билса, М.Г.Гасымова, З.Л.лейбензона, В.И.Рыкова, Л.А.Сахновича, З.В.Суханова, Б.А. Страхова, И.Г.Хачатряня, В.А Зрко, В.Е.Аниконова, А.Л.Бухгейма, М.М.Лаврентьева, Л.П.Нижника, В.Г.Романова и др.
Этуш определяется актуальность диссертационной работы.
Цель работы. Целью диссерта:,.юнной работы являются:
I). Изучение асимптотического поведения М(Т) -функции Вейля-Титчмарша в случае оператора Дирака.
2). Доказательство суцествования собственных значений, лежащих на непрерывном спектре оператора Дирака.
3).исследование обратно" задачи на всей оси по спектраль-
ной матрице-функции и почти-периодичность конечнозокшх и бескокечнозонньк потенциалов оператора Дирака.
4). решение прямой и обратной задач теории рассеяния для возмущенного конечнозонного оператора Ел'урыа-Лиувилля.
Ь). Рекеиие задачи Коши для нелинейного уравнения Цд$ с самосогласованным кеточниі ом в классе начальных данных типа ступеньки.
б). Еолучено также решение 03 теории рассеяния на полуоси для системы двух разностных уравнений первого порядка.
Обцая ыеггтщка исследования. В работе используются методы спектральной теории операторов, Функционального анализа, теогчи обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнений с частными прсизіздньшк.
Научная новизна. Все результаты диссертации яеляются новыми и опубликованы в работах автора. Основными -результатами диссер -тации являются следующие.
I). Получено асимптотическое разложение fft(Q -функции Ве.ля-1игчмарша оператора Дирака.
2). Построен пример оператора Дирака, имеющего счетное
мнокество собственных значений, лежащих на непрерывном спектре;
исследовано поведение коэффициентов оператора :а бесконечности,
т.е. найдены достаточные условия принадлежности коэффициентов
оператора пространству L-->(Oi l> .
3). Доказана разрешимость обратной задачи на всей ос»: г« спектральной ц&тряце-функцки и квазипериодичность решений нелинейного уравнения Шредингера с произвольными конечнозонньши началь -
ными значенияш:. -
4). Получена равномерная оценка (Пункции Коши в случае непериодических конечнозонных потенциалов оператора Штурма-Лиувилля.
- II -
5). Ресена задачи Кол., для уравнения Кортевега-де 5риза (КдФ) с самосогласованіг їм источником в классе, начальных данных типа ступеньки.
6). Получено также репение 03 теории рассє.лшя на полуоси для систем.: двух разностных уравнений первого порядка.
Приложения. Работа ;осит теоретический характер. Полученные з диссертации результаты и методы исследования иогут оыть использованы з спектральной теории операторов, в математической *язкке при ингегрировании нелинейных уравнений, а такае в квантовой механике и других областях естествознания.
Апробация работы. Результаты диссертации докладывались и обсуадались на семинарах кафедры теории функций и Функционального "анализа МГУ под руководством профессоров Б.М.Левитана, А.Г. Костюченхо, А.А.Шкаликсва ; на семинарах каЗедры математического анализа МГУ под руководством про*. З.А.Садовкичего; на семинарах ИМ АН РУз под руководством академиков И.С.Салахитди :ова, Т.Дж. Джураева; на сеьзшарах каЛедры математической. <*изики ТагвГУ под. руководством чл.-корр. АН РУз Ш.А.Алимова; на сеі^інаре кафедры ^нкц"онального анализа под. руководством академика Т.А.Саъ.~мса-кова и чл.-корр .АН РУз І.А.Аюпова; на объединенном семинаре математического Факультета иамГУ, на Интернациональксм симпозиуме по компьютеризации томогра*ии (Новослбирсх 1993 г.}; на советско-ит.льянском симпозиуме (Самарканд 1990 г.); на СНГ УІІІ кон-5ерен-пии "Качественная теория дифференциальных уравнений (Самарканд 1992 г.); на всесоюзной вколе ..олодак учены "функциональные методы в прикладной математике и математической Зиэике" (Ташкент 1983 г.'}.; на Международной научной конференции "Зырсждазадаеся уравнения я уравнения смешанного типа" (г.Ташкент. 1993 г.); за яаучно-ясеяедоватэльсттсч сзмпкарэ "r.-ї СО PAR леї т/ясвсдсгзс.» -зофесгз-оэ А.Л.БухгэЯяа л З.Г..Шо.
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах автора, список которых приведен в конце автореферата.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения»иести глав и списка литературы. Каадая глава разбита на параграфы. Объем диссертации 270 страниц машинописного текста. Библиография-160 наименований.
