Содержание к диссертации
Введение
1 Основные понятия и определения 17
1.1 Многозначные отображения 17
1.2 Селекторы и аппроксимации 20
1.3 Измеримые многозначные отображения и многозначный оператор суперпозиции 20
1.3.1 Условия Каратеодори и лемма Филиппова о неявной функции 21
1.3.2 Многозначный оператор суперпозиции 21
1.4 Меры некомпактности и уплотняющие многозначные операторы 23
1.5 Относительная топологическая степень и неподвижные точки компактных многозначных отображений 30
2 Оператор сдвига и эквивалентные операторы 34
2.1 Структура множества решений абстрактного включения х Є 5osel.p(:r) и оператор сдвига 34
2.2 Оператор сдвига по траекториям нелинейного дифференциального включения 47
2.3 Построение оператора, соответствующего задаче о периодических решениях нелинейного дифференциального включения, через оператор Коши и его свойства 52
2.4 Оператор, соответствующий задаче о периодических решениях нелинейного дифференциального включения в гильбертовом пространстве, и его свойства 57
2.5 Принцип усреднения 61
3 Принцип родственности в задачах о периодических решениях полулинейных дифференциальных включений 76
3.1 Теорема родственности в абстрактном виде 76
3.2 Принцип родственности в задачах о периодических решениях для квазидифференциальных включений 81
3.3 Одна теорема о существовании периодических решений . 90
Литература 98
- Селекторы и аппроксимации
- Меры некомпактности и уплотняющие многозначные операторы
- Оператор сдвига по траекториям нелинейного дифференциального включения
- Принцип родственности в задачах о периодических решениях для квазидифференциальных включений
Введение к работе
В последние годы абстрактные включения в банаховом пространстве стали объектом интенсивного изучения многих исследователей. Такие включения естественно возникают в общей теории управления системами, описывающими различные задачи передачи тепла, о препятствиях, гибридные системы с сухим трением, линии передач и в общей теории уравнений с частными производными. Основные усилия исследователей в последние годы были сосредоточены на полулинейных дифференциальных включениях (ПДВ), для которых эквивалентные рассматриваемым задачам операторы имеют явное интегральное представление (см., например, [1], [5], [7], [9]-[13], [15], [16], [20], [23], [31], [32]). Случай же сильно нелинейных включений, где такое представление отсутствует, исследован весьма слабо. В случае включений в бесконечномерных пространствах эквивалентный многозначный интегральный оператор как правило некомпактен. Условия, при которых многозначный интегральный. оператор для задачи Коши для ПДВ в банаховом пространстве является уплотняющим, а следовательно, для его исследования может быть применена теория вращения уплотняющих (в смысле Б.Н. Садовского) векторных полей, были получены В.В. Обуховским [9] и N.S. Papageorgiou [29], [30].
Этот результат также позволил исследовать топологические свойства множества решений дифференциальных включений. Для ПДВ в банаховых пространствах эта задача была изучена в работах N.S. Papageorgiou [29], М.И Каменского и В.В. Обуховского [7], G.Gonti, В.В. Обуховского и P. Zecca [20].
В частности было установлено, что множество решений задачи Коши для ПДВ является ./^-множеством. Последнее позволило применить для изучения оператора сдвига по траекториям ПДВ теорию операторов с обобщенно ациклическими образами. В случае бесконечномерного пространства условия, при которых оператор сдвига будет уплотняющим,
были получены в работах М.И Каменского, В.В. Обуховского и P. Zecca (см., [22], [25]—[27]). Вопрос о том, в какой мере такой подход может быть перенесен на сильно нелинейные включения оставался открытым.
Другим оператором, неподвижные точки которого дают периодические решения ПДВ является интегральный оператор, в однозначном случае предложенный в работах М.А. Красносельского (см., [8], [28]). В бесконечномерном случае условия, при которых такой многозначный оператор является уплотняющим были указаны в статьях М.И Каменского и В.В. Обуховского (см. [5], [6], [24]). Отметим, что традиционный вопрос о принципе родственности для этого оператора и оператора сдвига по траекториям ПДВ не был изучен. Построение аналога оператора М.А. Красносельского в сильно нелинейном случае также было неясным.
Таким образом, несмотря на большой интерес и большое количество работ, связанных с ПДВ, многие вопросы в задаче о периодических решениях для сильно нелинейного включения требуют специального исследования.
Цель данной работы - изучить операторы, неподвижные точки которых дают периодические решения для абстрактных включений.
Перечисленные ниже основные научные результаты диссертации являются новыми.
1. Доказано, что множество решений абстрактного включения вида
х Є S о self [х) является Л^-множеством.
2. Изучен многозначный оператор сдвига по траекториям обобщенных
решений сильно нелинейного дифференциального включения
x'(t) Ax(t) + F(t,x(t)), t>0, (1)
где А - нелинейный оператор.
Построен и изучен новый оператор, соответствующий задаче о периодических решениях включения (1) в банаховом пространстве.
Изучен оператор, соответствующий задаче о периодических решениях включения (1) в гильбертовом пространстве.
Доказан принцип усреднения для сильно нелинейного включения
x'(t) eAx(t) + F(t/s,x(t)).
Доказан принцип родственности в задаче о периодических решениях для оператора сдвига и интегрального оператора для полулинейных дифференциальных включений в банаховом пространстве.
Получены достаточные условия существования периодических решений полулинейного дифференциального включения в сепарабель-ном банаховом пространстве с полунепрерывной снизу нелинейностью.
Перейдем к описанию результатов работы по главам.
В первой главе приводятся основные понятия и определения из теории уплотняющих многозначных отображений.
Вторая глава посвящена исследованию периодических решений дифференциального включения x'(t)+Ax(t) Є F(t, x(t)). Основная цель этой главы - изучить структуру множества решений задачи Коши и эквивалентные операторы для задачи о периодических решених.
В пункте 2.1 доказывается, что множество решений EF[0, d] абстрактного включения х Є 5оsel^(я), где S - однозначный, a F - многозначный оператор, является Д^-множеством, т.е. является пересечением убывающей последовательности стягиваемых множеств. Относительно оператора S : Ll([Q,d],E) —> C([0,d],E) предполагается, что
Si) существует константа М > О такая, что для g, h Є -^([О, d], Е) выполнено следующее неравенство:
\\S(g)(t) - S(h)(t)\\ <М f \\g(r) - h(r)\\dr, где 0 < t < d;
$2) для любого компактного выпуклого подмножества К пространства Е, S отображает Z^,([0, с(],.ЙГ) в относительно компактное подмножество пространства C([0,d\,E);
S3) для всех gh д2 Є Ll([Q,d\,E), если S(gi) = S(g2), то
^0-10,6)91 + МвДдо) = S{Mo,e}92 + l[e,d\9o)i
при всех в Є [0, d] и д0 Є 1^((0, d], ).
Относительно оператора F предполагается, что
Fo) оператор F действует из [0, d]x Е в KV(E), где KV(E) обозначает множество всех компактных выпуклых подмножеств пространства Е;
F\) для любого х Є Е многозначное отображение F(., х) : [0, d] —У KV(E) имеет измеримый селектор;
F2) почти для всех t Є [0, d] отображение F(t, .) : Е —^ KV(E) полунепрерывно сверху;
Fz) для любого непустого ограниченного множества 1 С Е: существует функция Uq Є L+([0, c(],R) такая, что ||F(,ж)|| < Unit) для всех жЄ^и почти всех t Є [0, d\;
F4) существует функция к Є L1([0, c(|,R) такая, что для любого ограниченного множества Л С Е выполнено неравенство
X(F(t, А)) < k(t) х(А) для п.в. t Є [0, d].
Здесь х ~ мера некомпактности Хаусдорфа в пространстве Е. Напомним, что если Q - ограниченное подмножество пространства Е, то
x(fi) = іпі{б: > 0; О, имеет конечную є — сеть в Е}.
Основная теорема этого пункта:
Теорема 1 Пусть выполнены предположения Si)-S^) и условия F\)-F±). Пусть, кроме того, выполнено условие продолоісенности решений, записываемое в следующем виде:
P)ZF{0,r] = ZF{0,d]
Тогда, если множество EF[0,dI] не пусто и ограничено в пространстве C([0,d\, Е), это мнооїсество является Щ подмножеством пространства С'([0, d\,E).
В пункте 2.2 определяется многозначный оператор сдвига по траекториям обобщенных решений нелинейного включения (1) за время Т. Установлены условия, при которых этот оператор является квази-Rs оператором, уплотняющим относительно меры некомпактности Хаусдорфа.
Предполагается, что оператор F удовлетворяет условиям Fi), F2) и
FQ существует функция 7(*) Є :Ц0,Т] такая, что ||F(i,х)|| < 7(^) для п.в. t Є [О, Г] и любого х Є Е;
Fa9) для любого ограниченного множества Q С Е имеем
X(F(t,n))
где функция g : [О, Г] х Е+ —> R+ измерима по первому аргументу для любого х Є М+, непрерывна и не убывает по второму аргументу для п.в. * Є [О,Т\, g(t,0) = 0 для п.в. t Є [О, Г] и
\g(t,vi)-g{t}v2)\
для всех v\, V2 Є М+ и п.в. t Є [0,Т], где L Є L\([Q, Г]). Оператор-решение S(xo, /) задачи
x'(t)eAx(t) + f(t), t6[0,T],
ж(0) =o Є . удовлетворяет условиям S?) для любых z0, УоЄЕ,/,9Є L\[0, Т], )
l№0l/)(t)-5(yo,ri(t)||< /" H/(s)-pW||ds + e-P*||a;o-3/o||,
./О
где р > О - константа
и52).
Будем говорить, что многозначный оператор сдвига по траекториям обобщенных решений включения (1) за время Т определен в точке х Є Е, если множество Sf [0,Т] С С([0,Т],Е) обобщенных решений включения (1) с начальным условием х(0) = xq непусто, ограничено и удовлетворяет условию Р) теоремы 1 при d = Т. В этом случае многозначный оператор Рт задается формулой:
Рт(х) = {г = у(Т)іУЄ^[0,Т}}.
Предполагается также, что
Ні) нулевое решение скалярного дифференциального уравнения
r'{t) = -pr(t)+g{t,r{t)), t>0
экспоненциально устойчиво в следующем смысле:
r{t) < Ce-atr(0), t > О
для любого неотрицательного решения г(), где С > 0, а > 0;
Н2)Т>-\пС. а
Теорема 2 Пусть выполнены условия Fi), F2), F), F^g), S%)} S2), P) и предположения H{) и Н2). Тогда Рт - квази-Rs оператор, уплотняющий относительно меры некомпактности \-
В пункте 2.3 строится оператор J-', соответствующий задаче о периодических решениях нелинейного дифференциального включения
x'(t) eAx(t) + F(t,x(t)) (3)
в сепарабельном банаховом пространстве, через оператор Коши. Точнее Т строится следующим образом: для любого х Є С{[0, Т], Е)
F{x) = {S(S(x0J)(T)J) : / Є selH*)},
где f Є sel^(а?) означает, что / Є 2^((0,7^,22), и f(t) Є F(t,x(t)) для п.в. t Є [0,7і], а 5 - однозначный оператор такой, что для любого хо Є Е и любого / Є 2^((0,7^,22) оператор S(xo,f) является решением задачи (2). Предполагается, что оператор S удовлетворяет двум условиям S[) и Зг), а оператор F условиям
2 существует константа к > 0 такая, что для любого ограниченного множества А С Е выполнено равентво:
X(F(t,A))
для почти всех t Є [0,Т]. Здесь % - мера некомпактности Хаусдорфа в пространстве Е;
Ft) оператор F - Т-периодический относительно первого аргумента, т.е. F(t, х) = F(t + Т, ее) для п.в. t и любого х Є Е.
В пространстве С([0, Т],2?) определяется мера некомпактности следующим образом
Ф(П) = (х(П(0)), sup x(^),modc(f2)Y
4 *Є[0,Т] у
где Q - произвольное ограниченное подмножество С([0,Т],Е), а
modc(Q) = limsup max Ца^(^і) — cc(^2)lj-
S^Q хеП lh-t2\<5
Теорема 3 Пусть выполнены условия Fi)-F4);, Ft), S±) S2). Тогда многозначный оператор Т полунепрерывен сверху и, кроме того, если Тк + е~рТ < 1. Тогда оператор Т является Я?-уплотняющим.
В пункте 2.4 изучается оператор G, соответствующий задаче о периодических решениях нелинейного дифференциального включения (1) в гильбертовом пространстве Е.
Оператор G строится следующим образом: сначала рассматривается оператор S, сопоставляющий непрерывной Т-периодической функции / Т-периодическое решение дифференциального включения
x'(t) = Ax{t) + f(t), 11
а затем G определяется равенством G = S о selp, где
selF = {g: де L\(E), g(t) Є F(t, x(t)) для п.в. t}.
Предполагается, что оператор А удовлетворяет условию Лі) {Ах ~ Ау, х — у) < —р\\х — у\\2 для любых х, у Є Е. В этом пункте доказывается следующая теорема
Теорема 4 Пусть выполнены условия А{), F\)-F±), Fj) и пусть к/р < 1. Тогда многозначный оператор G имеет стягиваемые образы, полунепрерывен сверху и уплотняет относительно меры некомпакт-ности Ф; определенной следующим образом:
Ф(А)= max supx(AW),
ДЄ2?(П) t
для любого ограниченного подмножества Q из Ст{Е), где D{Q) - множество всех счетных подмнооюеств множества А. Более того
Ф(Ш)) < -Ф(П). V
В пункте 2.5 устанавливается принцип усреднения для нелинейного
дифференциального включения
x'(t) Є Ax(t) + F(t/e, x{t)) п.в. t Є [0, +oo), (4)
в гильбертовом пространстве Е, где А - однозначный нелинейный оператор. После замены переменной t — es получается новое уравнение
x'(t) Є eAx(t) + eF(t, x{t)) п.в. t Є [0, +oo). (5)
Через Є(А F) обозначается множество решений включения (4) из пространства абсолютно непрерывных Т-периодических функций и через Sq = So (Л, F) множество неподвижных точек, состоящее из постоянных функций многозначного оператора
Го = А'Ч,
где Fq определен следующим образом: для любой х Є С([0,Т],Е) F0{x) = ~l F(s,x(s))ds =
= {~J g(s)ds, g Є F(t,x(t)), для п.в. t Є [0,T]}. Показывается, что при подходящих условиях
НтЕг = Е0
є->0
в следующем смысле: для любого 5 > 0 и любого г > О такого, что Sq С гВ, существует Єо > 0 такое, что Т,ПгВ ф 0 для любого є Є [0, є о] и
Ее П гВ С Е0 + 6В,
где В - открытый единичный шар в С([0,Т],Е). Предполагается, что оператор F удовлетворяет условиям Fi), F2), Ft) и условию
1*5) существует множество в нулевой меры из [0,Т] и константа к Є Ш+ такие, что для любого ограниченного подмножества Q из Е, множество F([0,T] \^xQ) ограничено и
X(F([0,T]\e,Q))
Предполагается, что оператор А удовлетворяет условиям А\)
А2) О Є АО;
Лз) оператор А удовлетворяет условию Липшица с константой L, т.е.
ДЛЯ ЛЮбыХ Хі, Х2 Є Е
||Лжі~Ас2|| <Ц\хі-х2\\;
Также предполагается, что
Гі) множество Е0(А, F) ограничено в С([0,Т],Е) и md(To,U) ф 0 для любого ограниченного открытого множества, содержащего Ео(Д F).
Теорема 5 Пусть выполнены предположения F\) — F$), Ft) A\) — A3), Ті). Тогда для любого 8 > О и г > 0 таких, что So (Л, F) С тВ, существует є > 0 такое, что
0 ф Е(Д F)DrB С 0(Л, F) + <Ш
для любого є Є (0,єо]-
В главе 3 устанавливается принцип родственности в задачах о периодических решениях полулинейных дифференциальных включений в случае интегрального оператора и оператора сдвига, а также доказывается теорема о существовании периодических решений для полунепрерывной снизу нелинейности.
В пункте 3.1 устанавливается принцип родственности в абстрактном виде. Для однозначных уплотняющих операторов доказывается, что если ограниченные области Q\ и ( из банаховых пространств Е\ и Е^ соответственно имеют одинаковую сердцевину относительно пары полей / — В А и / — АВ, где А и В два однозначных (к, х) -уплотняющих оператора, первый из которых действует из Е\ в Ei, а второй - из Е<і в Е\, то справедливо следующее равенство
7(1 - В А, П1; Ег) = 7(1 - АВ, Q2; Е2).
В пункте 3.2 устанавливается принцип родственности в задачах о периодических решениях полулинейных включений в банаховом пространстве в случае интегрального оператора и оператора сдвига. Для последнего результата применяется теория вращения уплотняющих векторных полей, строятся специальные є-аппроксимации, для которых и сравниваются вращения.
Предполагается, что
А) А : А(А) С Е -^- Е — линейный оператор, порождающий Cq-полугруппу со свойством 1 sp(exp{AT}); кроме того:
\\ем\\Ы < е"7*,
где || ||М — х-норма линейного оператора.
Предполагается, что сужение оператора F на [О, Т] X Е, которое будем обозначать той же буквой, удовлетворяет условиям F\) - F4), Ft).
Доказывается следующая теорема
Теорема 6 Пусть выполнены условия Ft), F\)-F±), А) и пусть 0,\, 0,2 — два ограниченных множества из Е и С([0,Т],Е) соответственно и имеют одинаковую сердцевину по отношению к оператору сдвига Рт и интегральному оператору г. Тогда
j(I-PT,ni)=j(I-J,n2).
Здесь Рт - оператор сдвига по траекториям полулинейного включения, a J - его интегральный оператор для Т-периодических решений, определенный следующим образом для любого х Є С([0,Т],Е)
Jx = {y :УеС([0,Т},Е), y(t) = eAt(I-eAtr1J eA^g(s) ds+
+ f eA^-s^g(s)ds, g(s) Є F(s,x(s)) для п.в. s Є [О, Г]}
В пункте 3.3 с использованием теоремы о существовании селектора для многозначного оператора с разложимыми значениями устанавливаются достаточные условия для существования периодических решений линейного дифференциального включения
x'(t) Є Ax(t) + F(t,x(t)), t > 0. (6)
Предполагается, что выполнены следующие условия A), Fi), Ft), -F4) и
F^) существует последовательность компактных попарно непересекающихся множеств {In}, In Q [0, Г] таких, что meas([0,T] \ /) = 0, где I = ЫЛг, и сужение F на каждое из множеств Jn = In х Е
полунепрерывно снизу; і<з) существует константа L > 0 такая, что \\F(t, x(t))\\ < L(\ + ||#()||);
При этих условиях доказывается следующая теорема:
Теорема 7 Пусть выполнены предположения А) и F\), F'^), FQ, F4) и Ft). Если max{k/j,cL/p} < 1. Тогда включение (3) имеет по крайней мере одно периодическое решение.
Основные результаты диссертации опубликованы в [2]-[4], [21] и являются новыми. Они докладывались и обсуждались на московской международной конференции по дифференциальным и функционально-дифференциальным уравнениям в 1998 г, на воронежской международной научной конференции, посвященной 80-летию А.Д. Мышкиса, в 2000 г, на воронежской весенней математической школе "Современные методы в теории краевых задач "в 2002 г.
Об организации текста. Диссертация состоит из введения, трех глав, объединяющих в общей сложности 13 пунктов, и списка литературы. Объем диссертации 102 стр. Библиография содержит 33 наименования.
В заключение, автор хотел бы выразить глубокую признательность своему научному руководителю М.И. Каменскому за постановку задач и полезные советы в ходе исследования.
Селекторы и аппроксимации
Определение 1.3.1 Многозначная функция F : I —) К(Е) называется измеримой, если для любого открытого подмножества W С Е множество F+l(W) измеримо. Ясно, что эквивалентным определением является измеримость полного прообраза FZl{Q) каждого замкнутого подмножества Q С Е. Множество всех измеримых селекторов F будет обозначаться как SF 1.3.1 Условия Каратеодори и лемма Филиппова о неявной функции. Пусть Е, EQ - сепарабельные банаховы пространства; / определен как и в предыдущей секции. Определение 1.3.3 (а) Многозначное отображение F : IXEQ — К{Е) удовлетворяет верхним условиям Каратеодори, если: (і) для любого х Є EQ многозначная функция F(-,x) : і" —» К(Е) измерима; (Ь) Многозначное отображение F : EQ —) К{Е) удовлетворяет условиям Каратеодори, если условие (г) выполнено, и имеет место также условие Теорема 1.3.1 Пусть многозначное отображение F : / х EQ — К(Е) удовлетворяет условиям Каратеодори и U : I —» K{EQ) - измеримая многозначная функция. Пусть g : / — Е - измеримая функция, такая, что для почти любого по мере /л t Є І. Тогда существует такая функция и Є Su, что для почти любого t Є І по мере /І.
Каждое многозначное отображение F : I х EQ —f Р(Е) индуцирует соответствие, сопоставляющее каждой многозначной функции Q : I — (Е0) многозначную функцию Ф : / — Р(Е), определяемую формулой Теорема 1.3.2 Если многозначное отображение F : / х EQ — К{Е) удовлетворяет условиям Каратеодори, тогда F измеримо как суперпозиция, в том смысле, что для каждой измеримой многозначной функции Q : / — K(EQ) многозначная функция Ф измерима. Теорема 1.3.3 Пусть E,EQ - (не обязательно сепарабельные) банаховы пространства; и пусть многозначное отобраэюение F : I х EQ —» К(Е) такое, что: (і) для любого х Є EQ многозначная функция F(-,x) : I -» К(Е) имеет сильно измеримый селектор; (и) для почти всех по мере /х t Є I многозначное отображение F(t, ) : Тогда для каждой сильно измеримой функции g : I —» EQ существует сильно непрерывная селектор ф : I — Е многозначной функции Ф:/ - Определение 1.3.4 Пусть F : I х EQ — К(Е) - многозначная функция, удовлетворяющая условиям (і) и (И) теоремы 1.3.3. Многозначное отображение PF, ставящее в соответствие каждой непрерывной функции q Є С(/, EQ) множество всех сильно непрерывных селекторов многозначной функции Ф(, q(t)), называется многозначным оператором суперпозиции, порожденным F. Определение 1.4.1 Пусть Е - банахово пространство и (А, ) - частично упорядоченное множество. Отображение (3 : Р{Е) — А называется мерой некомпактности Е, если для любого Q, Є Р(Е).
Заметим, что если D плотно в Г2, тогда coQ = со D, и, значит, Мера некомпактности /3 называется: (і) монотонной, если из того, что QQ, і Є -Р(- ) о С Qi следует Р(П0) /З( ); (ii) невырожденной, если /3({а} U П) = /3(Г2) для любого а Є Е, П Є Р(Я); (ііі) инвариантной относительно объединения с компактными множествами, если /в (К U Г2) = /3(Q) для любого относительно компактного множества К С -Б, и Q Є Р{Е); (iv) полуаддитивной, если /3( UQi) = тах{/3(Г2о),/3(Г2і)} для любых fi0, i Є Р(#); (v) инвариантной относительно симметричного отражения относительно начала координат, если /3(Г2) = /3(—f2) для любого Q Є Р(Е)\ (vi) вещественной, если А = М+ = [0, +оо] с естественным отношением порядка, и /3(fi) оо для любого ограниченного множества Q Є Р(Я);
Меры некомпактности и уплотняющие многозначные операторы
Заметим, что если D плотно в Г2, тогда coQ = со D, и, значит, Мера некомпактности /3 называется: (і) монотонной, если из того, что QQ, і Є -Р(- ) о С Qi следует Р(П0) /З( ); (ii) невырожденной, если /3({а} U П) = /3(Г2) для любого а Є Е, П Є Р(Я); (ііі) инвариантной относительно объединения с компактными множествами, если /в (К U Г2) = /3(Q) для любого относительно компактного множества К С -Б, и Q Є Р{Е); (iv) полуаддитивной, если /3( UQi) = тах{/3(Г2о),/3(Г2і)} для любых fi0, i Є Р(#); (v) инвариантной относительно симметричного отражения относительно начала координат, если /3(Г2) = /3(—f2) для любого Q Є Р(Е)\ (vi) вещественной, если А = М+ = [0, +оо] с естественным отношением порядка, и /3(fi) оо для любого ограниченного множества Q Є Р(Я); Если А - конус в банаховом пространстве, то будем говорить, что мера некомпактности /3: (vii) алгебратчески полуаддитивна, если /3( 0+) /3()+/3() для любых Qo, Q\ Є Р(Е)\ (viii) регулярной, если /3(fi) = 0 тогда, и только тогда, когда Q -относительно компактно. Хорошо известными примерами мер некомпактности, удовлетворяющими всем вышеперечисленным свойствам, являются: мера некомпактности Хаусдорфа и мера некомпактности Куратовского a(Q) = inf{d 0 : Q допускает разбиение на конечное число множеств с диаметром меньше d}. Легко видеть, что меры некомпактности Хаусдорфа и Куратовского связаны соотношениями: Напомним некоторые дополнительные свойства меры некомпактности Хаусдорфа (см. [?]): (ix) свойство Липшица: где h - метрика Хаусдорфа. (х) полуоднородность: для любого t Є К, ft Є Р(Е). Заметим, что из свойства (ix) вытекает непрерывность меры некомпактности х относительно хаусдорфовой метрики. Определение 1.4.2 Пусть L : Е — Е - ограниченный линейный оператор; В С Е - единичный шар. Число называется (х) - нормой оператора L. (х) - норма имеет следующие очевидные свойства: Пусть Е - банахово пространство.
Для заданного X С Е каждое многозначное отображение F : X — Р(Е) определяет другое многозначное отображение Ф : X — Р(Е) по формуле: которое называется многозначным векторным полем, соответствующим многозначному отображению F. Обозначив г : X — Е - отображение вложения, можно записать Если Л - пространство параметров и G : А х X - - Р(Е) - семейство многозначных отображений, то Ф : ХхХ — Р(Е), задаваемое формулой называется семейством многозначных отображений. Точка х Є X, такая, что называется неподвижной точкой многозначного отображения F. Множество всех неподвижных точек F будем обозначать FixF. Ясно, что каждая неподвижная точка многозначного отображения является сингулярной (точкой особенности) для соответствующего многозначного ПОЛЯ Ф, то есть невырожденным, то есть Ф : X - Р(Е\0). Семейство Ф : ХхХ — Р(Е) также называется невырожденным. Полунепрерывное сверху и компактное многозначное отображение F называется вполне непрерывным. Соответствующее ему многозначное поле Ф = г — F также называется вполне непрерывным. Определение 1.4.3 Замкнутое выпуклое множество Т С Е называ ется фундаментальным для многозначного отображения F : X —ї К{Е) (или для соответстующего многозначного поля Ф = і — F), если Определение 1.4.4 Пусть А - компактное топологическое пространство. Замкнутое выпуклое множество Т называется фундаментальным для семейства многозначных отображений G : А х X — К(Е), если оно фундаментально для каждого многозначного отображения G(X,-),\GA. Все пространство Е и coF{X) - естественные примеры фундаментальных множеств. Фундаментальные множества обладают следующими несложными для доказательства свойствами. Лемма 1.4.1 Множество FixF содержится в любом фундаментальном для F множестве. Лемма 1.4.2 Если Т - фундаментальное множество для семейства многозначных отобраэюений G:AxX- К(Е), и Р С Т, то множество Т = сд (G(A X (X П Т)) U Р) таксисе является фундаментальным. Лемма 1.4.3 Если {Та} - система фундаментальных множеств многозначного отобраэюения F : X — К{Щ, то множество f]Ta также а фундаментально.
Ниже описаны основные классы некомпактных многозначных отображений, которые будут рассмотрены впоследствии. Определение 1.4.5 Многозначное отображение F : X — К(Е) или семейство многозначных отображений G : Л х X — К(Е) называется фундаментально стягиваемым, если существует фундаментальное множество Т отобраэюения F (или G), такое, что сужение F (или G) на X ПТ (или, соответственно, на Л х (X П Т))) компактно. Заметим, что многозначное отображение F или семейство G фундаментально стягиваемы, если допускают пустое множество Г в качество фундаментального, или если X Г) Т = 0. Из определения легко следует, что сужение фундаментально стягиваемого многозначного отображения F, или семейства G, на замкнутое подмножество Х\ С X (соответственно, на Л х Xi) фундаментально стягиваемо. Определение 1.4.6 Фундаментальное множество Т многозначного отобраэюения F : X — К(Е) семейства многозначных отображений G : Л X X — К{Е) называется существенным, если X Г) Т = 0 и суэюение F (или G) на X П Г (или, соответственно, на Л х (X П Т))) компактно. Определение 1.4.7 Если многозначное отображение F : X - К(Е) или семейство многозначных отображений G : Л X X — К(Е) имеет существенно фундаментальное мнооїсество Т, тогда F (или G) называется вполне фундаментально стягиваемым (на Т). Соответствующее многозначное поле Ф = і — F (или Ф = і — G) также называется вполне фундаментально стягиваемым. Каждое компактное многозначное отображение F : X — К(Е) вполне фундаментально стягиваемое на Е или на co(F(X) U {а}), для произвольного а є X. Будем рассматривать уплотняющие многозначные отображения как основной класс фундаментально стягиваемых отображений. Фундаментальная стягиваемость является очень удобным инструментом, позволяющим нам оперировать различными классами многозначных отображений с единой точки зрения. Дадим ещё несколько необходимых определений. Пусть /? : Р{Е) — (А, ) - мера некомпактности на Е. Определение 1.4.8 Многозначное отобраэюение F : X — К(Е) или семейство многозначных отображений G : Л X X —) К(Е) называется уплотняющим относительно меры некомпактности (3, (или (3 -уплотняющим), если для любого О, С X, не являющегося относительно компактным, выполнено соответственно:
Оператор сдвига по траекториям нелинейного дифференциального включения
В этом пункте мы докажем, что многозначный оператор сдвига по траекториям нелинейного дифференциального включения является квази-Д и уплотняет относительно меры некомпактности Ха-усдорфа при выполнении некоторых условий. Рассмотрим задачу Коши для нелиненого включения в сепарабельном Банаховом пространстве Будем предполагать, что многозначный оператор F удовлетворяет условиям F\), F2) и .Рз) существует функция 7(-) Є L+[0,T] такая, что \\F(t,х)\\ (t) для п.в. t Є [О, Т] и любого х Є Е; F\g) для любого ограниченного множества Q С Е имеем где функция д : [О, Т] х Ж+ —у R+ измерима по первому аргументу для любого х Є Ж+, непрерывна и не убывает по второму аргументу для п.в. t Є [0,Т] и ДЛЯ ВСЄХ Vi, V2 ЕІ+и п.в. t Є [О, Г], где L Є І ([0,Т]). Оператор-решение 5(#o, /) задачи (2.2.2) удовлетворяет условиям: Sf) для любых х0, уо Є Е, /, д Є Р([0, Т], Е) 5(хо, /)( ) - 5(y0jg)(t)\\ Г H/W - g(s)\\ ds + е х0 - у0\\, где р
О - константа и&). Будем говорить, что многозначный оператор сдвига по траекториям обобщенных решений включения (2.2.1) за время Т определен в точке х Є Е, если множество обобщенных решений включения (2.2.1) Ef [О, Т] С CQOjT E1) с начальным условием ж(0) = XQ непусто, ограничено и удовлетворяет условию Р) теоремы 2.1.1 при d = Т. В этом случае многозначный оператор Рт задается формулой: Будем предполагать также, что Н\) нулевое решение скалярного дифференциального уравнения экспоненциально устойчиво в следующем смысле: для любого неотрицательного решения r(t), где С 0, а 0; Я2) Т -InС. а Теорема 2.2.1 Пусть выполнены условия F{), F2), F ), F g), FT), S{), S2), P) и предположения H\) и #2). Тогда Рт - квази-Rs оператор, уплотняющий относительно меры некомпактности % Доказательство. Заметим, что оператор Рт : Е — Е представим в виде композиции многозначного оператора такого, что Е(ж) = Ef [0,Г] и непрерывного многозначного оператора такого, что Є(у) = у{Т). Так как Ef [0, Т] является Д;-множеством в силу теоремы 2.2.1, оператор Рт является квази-і? . А теперь докажем, что Рт уплотняет относительно меры некомпактности Хаусдорфа. Докажем сначала следующую лемму. Лемма 2.2.1 Пусть последовательность {fn} С Z QO, T],i?) ограниченно интегрируема: для всех п = 1,2... и почти любого t [О, Г], где v Є ([0,71]). Предположим также, что для почти всех t Є [0,Т]; где q Є L1 , Т].
Тогда d/ія любого ограниченного подмножества Q С Е выполнено: Доказательство. Для є 0 выберем 5 Є (0, є) такое, что для любого подмножества т Є [0,Т], measm 5 имеем С [0,Т], measraj S и множество функций ( С I QO, Т],1?) со значениями в .. Такое, что для любого п 1 существует gn Є ( для которой ІІ/nW - 9п{Щ 2q(t) + 6,ІЄ [0,Т]/т6. (2.2.7) (см. теорему 4.2.1 из [22]). Из условия 5г) сразу следует, что {S(xQ:gn)} =1 - предкомпактное множество из (С[0,Т],Е) для любого XQ Є Q. Пусть теперь {УІ]\-І -X + - сеть множества Q. Итак для любого ХІ Є Гі в силу 5і) имеем В силу условий S2) множество {S(yi,gn)},i = 1,1,п = 1,2... предком-пактно в С([0,Т],Е). Следовательно А теперь пусть Q - ограниченное множество в Е. Через Г2(), 0 t Т, обозначим множество П( ) = { ( ), х Є Е(П)} = {), x(t) = S{x0, f)(t), x0en,fe se\F(x)}. В силу условия F) \\f(t)\\ \\F(t,x(t))\\ f(t) для п.в. t Є [0,T], и в силу FAg)
Принцип родственности в задачах о периодических решениях для квазидифференциальных включений
Как хорошо известно (см., например, [28]), при сведении некоторой задачи для дифференциальных уравнений к различным операторным уравнениям вращения векторных полей, порожденных соответствующими операторами, оказываются одинаковыми на областях с одинаковой сердцевиной. Наиболее известным здесь является пример интегрального оператора и оператора сдвига в задаче о периодических решениях обыкновенного дифференциального уравнения. Аналогичные результаты для дифференциальных включений до настоящего времени, насколько известно автору, отсутствовали. В настоящей работе предпринимается попытка восполнить этот пробел для квазилинейных включений в банаховом пространстве. Соответствующие интегральный оператор и оператор сдвига построены в [22]. Отметим, что даже в однозначном случае результат требует дополнительных, по сравнению с [28], построений, что связано с некомпактностью указанных операторов.
Для их изучения приходится применять теорию вращения уплотняющих (см. [14]) векторных полей. В многозначном случае строятся специальные е-аппроксимации (см. [22]), для которых и сравниваются вращения. Будем предполагать, что выполнено условие А) А : А(А) С Е —У Е -— линейный оператор, порождающий CQ-полугруппу со свойством 1 ф. sp(exp{AT}); кроме того: где М — х_ноРма линейного оператора (см. [14]). Предполагается также, что многозначный оператор F : R+ х Е -» KV(E) удовлетворяет условию FT), а сужение оператора F на [О, Т] х Е, которое будем обозначать той же буквой, удовлетворяет условиям F{) Д.). Как показано в [22], при выполнении условий Л), Fy), Fij-F ) инте тральный оператор J, задаваемый равенством Jx = {y :уєС([0,Т},Е), уплотняет относительно специальной меры некомпактности. Ниже конкретный вид этой меры некомпактности не используется. Важно лишь, что гомотопии, используемые ниже, являются уплотняющими по совокупности переменных, т.е. допустимы. При выполнении тех же условий оператор сдвига Рт по траекториям дифференцциального включения (если он определен) уплотняет (см. [22]) относительно меры некомпактности Хаусдорфа в пространстве Е. Более того: Как показано в [22], для векторных полей І" — Рт и І" — J при обычных предположениях отсутствия путей на границе определены вращения у(1 — Рт, i) и у(1 — Рт, Ог)) гДе 1 и Г 2 — ограниченные открытые множества в пространствах Е и С([0,Т], Е) соответственно. Теорема 3.2.1 Пусть выполнены условия FT), F\)-F±), А) и пусть Q.\, 0,2 — два ограниченных множества из Е и С ([О, Т], Е) соответственно и имеют одинаковую сердцевину по отношению к оператору сдвига Рт и интегральному оператору г (см. [28], стр. 215). Тогда Прежде, чем приступить к доказательству теоремы, докажем несколько лемм. Лемма 3.2.1 Пусть (X,d) — метрическое пространство, Y — нормированное пространство, и пусть F : [0,T]xI 4 KV(Y) — многозначный оператор, такой что: F\) для любого х Є X многозначный оператор F(-,x) : [0,d] — KV(Y) имеет измеримый селектор; F2) почти для всех t Є [О, Т] отображение F(t, ) : X — KV(Y) полунепрерывно сверху; Fz) для любого непустого ограниченного множества Q Є X существует функция UQ, Є L2+([0,T],R) такая, что для всех х Є О, и почти всех t Є [0,Т]. Тогда F имеет є-аппроксимацию /є : [О, Т] х X —» Y такую, что 1) f{t,-) : X — Y непрерывно для почти всех t Є [0,Т] и локально липшицево; 2) f{-,x) : [0,Т] — Y измеримо для любого х Є X; 3) для любого х Є X существует х Є X такой, что: Доказательство.
Пусть є 0 и для любого х X выберем 5 = S(x), О 6 є такой, что F(t,BS(x)(x)) С We(F(t,x)) для п.в. t Є [О,Г]. Для г(х) = \5(х) пусть {Vj}jej — локально конечное измельчение покрытия {Вг(х)(х)}хєХ и {Pj}jeJ локально липшицево разложение единицы, построенное по {Vj}jj. Теперь выберем для любого индекса j Є J произвольный селектор Qj такой, что gj(t) Є F(t, Xj) для почти всех t Є [О, Т] и пусть отображение / : [О, Т] х X —У Y определено следующим образом: /є является є-аппроксимацией многозначного оператора F. Действительно, пусть х принадлежит семейству {Vy}"=1 покрытия {Vj}jj, каж п дое VJ (; = 1,..., п) содержится в Br(Xj)(xj), поэтому X П Br(Xj)(Xj)-Пусть к (1 к п) такой номер, что r& = max г (ж,), возьмем l j n х = Xk. Так как #j Є -Brfc (ж), имеем Xj Є В2Гк {х ) для любого j = 1,..., п, поэтому Br(x.)(xj) С В Гк(х ) (j = 1,... , n). Следовательно: для почти всех t Є [О, Т] и всех j — 1,..., п. W(F(t,x )) — выпуклое множество, поэтому и так как х Є Vj (j = 1,..., п), имеем также: Лемма 3.2.2 Если f — є-аппроксимация многозначного оператора F на Е, то г, определенный следующим образом: есть 2є-аппроксимация г на С([0,Т],Е). Доказательство. В силу того, что / — -аппроксимация F, имеем для п.в. 5 Є [0,Т] существует xs Є Е такой, что \\x(s) — XS\\E є и fe(s,x(s)) U F(s,x(s)) С We(F(s,x8)). F полунепрерывен сверху, /є — непрерывен, поэтому существует V(x(s)) такой, что te[0,T] пусть V(xi), і = 1, n — его конечное покрытие. ж(0) Є IJ {#()}, поэто te[o,T] му существует индекс г о, г0 Є {1,..., п} такой, что сс(0) Є V(xi0). Так как х непрерывен в нуле, существует SQ 0 такой, ЧТО t SQ = X Є V(xj0). Если 5o T, то определим функцию х следующим образом:
