Содержание к диссертации
Введение
1. Обобщенный принцип сжимающих отображений 9
1.1. Метрические пространства 9
1.2. Принцип сжимающих отображений для полных метрических пространств 10
1.3. Принцип сжимающих отображений для компактных метрических пространств 12
1.4. Обобщенные метрические пространства 13
1.5. Обобщенный принцип сжимающих отображений для полных обобщенных метрических пространств 15
1.6. Обобщенный принцип сжимающих отображений для компактных обобщенных метрических пространств 17
1.7. а- матрицы и Ь - матрицы 18
1.8. Свойства а - матриц и Ъ - матриц 22
1.9. Оценка спектрального радиуса а - матрицы 27
1.10. Об одной теореме 32
1.11. Комментарии 33
2. Периодические решения нелинейных дифференциальных уравнений 36
2.1. Постановка задачи 37
2.2. Периодическая функция Грина 38
2.3. С-теория 40
2.4. L-2 - теория 50
2.5. Комментарии 65
3. Периодические решения нелинейных дифференциально-разностных уравнений 68
3.1. Введение 68
3.2. Основные предположения и постановка задачи 69
3.3. Нерезоиапсиое условие 72
3.4. С - регулярные дифференциальные операторы 74
3.5. Периодическая функция Грина 81
3.6. С теория: обобщенный принцип сжимающий отображений и принцип Шаудера 84
3.7. 1-2 - теория; обобщенный принцип сжимающий отображений и принцип Шаудера 90
3.8. Пример, теорема Хейса 102
4. Периодические решения теории автоматического регулирования 105
4.1. Введение 105
4.2. Основные предположения и постановка задачи 106
4.3. Теорема Красносельского и ряд ее уточнений 109
4.4. Доказательство теоремы Красносельского и ряда се уточнений 111
4.5. Li - теория: обобщенный принцип сжимающих отображений 116
- Метрические пространства
- Периодическая функция Грина
- Основные предположения и постановка задачи
- Основные предположения и постановка задачи
Введение к работе
Актуальность темы. При изучении различных задач теории нелинейных колебаний первостепенное место занимает исследование установившихся процессов (стационарных, периодических, условно периодических, почти - периодических и т.п.). Настоящая работа посвящена изучению периодических решений слабо нелинейных (квазилинейных) дифференциальных уравнений, возникающих в различных приложениях.
Периодические решения нелинейных дифференциальных уравнений изучают с помощью различных методов - это и метод точечных отображений Пуанкаре - Андронова, и топологический метод Т. Ва-жевского, и предложенный М.А. Красносельским и А.И. Перовым метод направляющих функций, и вариационные методы и т.д.
В теории нелинейных колебаний среди общих положений нелинейного анализа хорошо себя зарекомендовал и нашел разнообразные применения обычный принцип сжимающих отображений (К.О. Фридрихе, Дж. Стокер, К. Кордуняну, Б.П. Демидович, Дж. Хейл и др.)
В основу диссертации положен метод интегральных уравнений, который применительно к периодическим решениям обстоятельно изучен в книге Е.Н. Розенвассера "Колебания нелинейных систем". Отметим, что в книге М.А. Красносельского, В.Ш. Бурда, Ю.С. Колесова "Нелинейные почти периодические колебания "этот метод с успехом был применен к изучению почти - периодических решений.
Целью работы является развитие обобщенного принципа сжимающих отображение и получение, с его помощью, новых признаков существования и единственности (или только существования ) периодических решений нелинейных (квазилинейных) дифференциальных уравнений, нелинейных дифференциально - разностных уравнений и нелинейных систем автоматического регулирования.
Методы исследования. При выполнении работы использовались: метод интегральных уравнений, элементы теории полуупорядоченных пространств, элементы теории обобщенных метрических пространств,
обобщенный принцип сжимающих отображений, принцип Шаудера. Научная новизна определяется тем, что
дано полное доказательство обобщенного принципа сжимающих отображений в форме, предложенной А.И. Перовым, на основе критерия Мецлера - Котелянского; установлены некоторые новые свойства а - матриц и Ъ - матриц;
доказаны теоремы существования и единственности (или только существования) периодических решений одного класса нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений;
построена функция Грина для задачи о периодических решениях линейных дифференциально - разностных уравнений с постоянными коэффициентами и постоянными отклонениями аргумента, на знак которых не налагается никаких ограничений; найдено необходимое и достаточное условие существования и единственности периодической функции Грина для такой задачи;
указаны различные признаки существования и единственности (или только существования) периодических решений нелинейных дифференциально - разностных уравнений, правые части которых удовлетворяют условию Липшица или условию типа Липшица;
предложено обобщение теоремы существования вынужденных периодических колебаний некоторых нелинейных систем автоматического регулирования, предложенной A.M. Красносельским, дана оценка решения, найдено условие единственности (обобщение состоит в том, что нелинеиностям разрешается зависить не только от самих искомых функций, но и от их производных).
Теоретическая и практическая значимость. Габота носит теоретический характер. Гезультаты могут быть применены при исследовании периодических решений нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений, нелинейных дифференциально - разностных уравнений и нелинейных дифференциальных уравнений автоматического регулирования.
Аппробация работы. Основные положения диссертационной ра-
боты были представлены в виде докладов и обсуждались на: семинарах кафедры нелинейных колебаний (рук. проф. Перов А.И.); международной научной конференции "Топологические и вариационные методы нелинейного анализа и их приложения", г. Воронеж, 2005г; Воронежской весенней математической школе "Понтрягинские чтения
- XVII", г. Воронеж, май 2006г; на отчетных конференциях ВГУ за
2005г., 2006г.; всероссийской конференции "Качественная теория диф
ференциальных уравнений и ее приложения", г. Рязань, 2006г.
Публикации. По теме диссертационной работы опубликовано 12 работ. В совместных работах научному руководителю принадлежит постановка задачи и направление в котором нужно провести исследования, а подробное проведение доказательств и рассуждений принадлежит диссертантке.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения и 4 параграфов, изложенных на 128 страницах машинописного текста и список литературы из 64 наименований.
Метрические пространства
При изучении систем нелинейных интегральных уравнений; возникающих в теории пелииейпых колебаний, иногда применяют обобщенный метод сжимающих отображений. В этом случае расстояние между точками измеряется не с помощью неотрицательных чисел, а с помощью векторов с неотрицательными компонентами, а в роли констант сжатия выступают не неотрицательные числа, меньшие или равные единице, а квадратные матрицы с неотрицательными элементами, спектральный радиус которых либо меньше единицы (а - матрицы), либо равен единице (Ъ - матрицы).
Предложенные в данном параграфе результаты опубликованы в работах [41], [42 J.
Периодическая функция Грина
В этом параграфе обобщенный принцип сжимающих отображений применяется для получения достаточных признаков существования и единственности периодических решений слабо нелинейных (квазилинейных) дифференциальных уравнений. Основное условие имеет вид скалярного неравенства; если неравенство строгое, то теорема доказывается с помощью а - матриц (неотрицательных матриц, спектральный радиус которых меиьпте единицы), в случае же равенства привлекаются Ь - матрицы (неотрицательные матрицы, спектральный радиус которых равен единице), причем здесь существенно используется компактность изучаемых интегральных операторов.
Насколько нам известно, теорема 2.3 - это первый пример применения Ъ - матриц в теории вынужденных нелинейных колебаний.
Периодические решения нелинейных дифференциальных уравнений изучают с помощью различных методов - это и метод точечных отображений Пуанкаре - Андронова [50]. [2] и топологический метод Важеп-ского [59], и предложенный М.А. Красносельским и А.И. Перовым метод направляющих функций [16], [12]. [7] и вариационный метод (см. например, [31]) и т.д. Для нас особенно важен метод интегральных уравнений.
Основные предположения и постановка задачи
Этот параграф посвящается - как это явствует из его названия - изучению периодических решений нелинейных дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом. Основоположником теории таких уравнений является известный ученый Анатолий Дмитриевич Мышкис, который в 1949 году положил начало систематическому исследованию дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом. Его работы вызвали большой интерес как со стороны других математиков, так и со стороны механиков и физиков, а также представителей других наук. Дифференциальные уравнения с запаздывающим аргументом естественно возникают в некоторых вопросах биологии и экономики, а кроме этого- прежде всего - в теории автоматического регулирования (процессы с последствием).
Теория дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом (дифференциально - разностных уравнений) изложена в книгах А.Д. Мышкиса [23], Л.Э.Эльсгольца и СБ. Норкина [60], Э. Пинии [38], Р. Белл мана и К.Кука [4].
Основные предположения и постановка задачи
В этом параграфе на основе обобщенного принципа сжимающих отображений в форме, предложенным А.И. Перовым, уточняется и обобщается теорема существования периодических решений некоторых нелинейных систем автоматического регулирования, принадлежащая A.M. Красносельскому. Обобщение состоит в том. что пелииейностям разрешается зависить не только от самих искомых функций, но также и от их производных. Приводится оценка периодических решений. Указываются условия едияственпости и в этих условиях дается оценка погрешности метода последовательных приближений нахождения периодических решений.
