Введение к работе
Актуальность темы. Проблемы осцилляции и неосцилляции изучались еще в классических рвботах Ж.Штурма (1836г.), Ж.Лиувил-ля (1838р.), Жуковского Н.Е.(1892г.), Кнезера А. ( 1893г.) и им продолжают уделять внимание математики всего мира вплоть до последнего времени. Это вызвано важностью проблемы и ее связью с вопросами устойчивости и асимптотического поведения решений. Значительные . результаты в этом направлении получены Азбелевым Н.В., Глазманом И.М., Кондратьевым В.А., Кигурадзе И.Т., Левиным А.Ю., Тораевым А.Т.,Чантурия Т.А., Аллегретто В., Иосидв Н., Е.Мюллер--Пфиффером, Рабом М., Свенсоном К.А,, Хартманом Ф., Уинтнером А. и многими другими.
В работах последнего времени классические результаты Кнезера распространены на уравнения в частных производных эллиптического типа высокого порядка вида
(-l)m J"- tf* аар(х) DP ц + a(x) и = 0, ( і ) ІоТ?ірі=т
где а = ( a,, Og ,..., -Од ).. 0 = ( р,, р2 , ...,рп ), cij і 0, Pj і о - целые числа,
\а\ = a, + dg'+...+ Од , .. 101 = р, + р2 + ...+ pn ,
dx^ axg2 ... axj*"
Во многих этих работах условия типа условия Кнезера получены только в терминах условий на коэффициент а(х),а не в терминах ус-
ловий на коэффициенты аад(х). Интерес представляет нахождение условий на адоШ.если а(х) удовлетворяет условиям Кнезера.В работе Тораева А.Т. и Гараджаёвой Г.If.* приведены аналогичные критерии для уравнения ( 1 ) при m > 1.В этой работе уравнение рассматривается в Rn. Как изве.стно, при рассмотрении конкретных областей в кнезеровские оценки влияют и характеристики этих областей. Uo-лучение условий на коэффициенты аад(х), обеспечивающие осцилляцию или неосцилляцию уравнения (1) в некоторой неограниченной области, когда коэффициент а(х) удовлетворяет кнезеровским условиям, является актуальной задачей.
Одним из актуальных вопросов теории осцилляции также является получение новых интегральных условий.
Как известно, в случае неосцилляционности уравнения отрицательная часть спектра соответствующего оператора является конечным множеством.Поэтому в случае неосцилляционности уравнения можно оценить сверху число N - число точек отрицательного спектра соответствующего оператора. Оценка-числа N представляет большой интерес как для спектральной теории дифференциальных операторов, так и для квантовой механики **. Установление оценок сверху числа точек отрицательного спектра дифференциальных операторов является актуальной задачей. '
Целью работы является нахождение, условий осцилляции и неосцилляции для обыкновенных дифференциальных уравнений и эллиптических уравнений высокого порядка , а также оценка числа отрицательных точек спектра для одного дифференциального оператора чет-
* Тораев А..Гараджаева Г.И. Кнезеровские оценки для коэффициентов эллиптических уравнений. //ДАН 3.-С.546-548.
** РидМ., Саймон Б. Метода современной математической физики. -Т.4. Анализ операторов. -М.: Мир, 1982.,-428с.
вертого порядка.
Научная новизна. Все изложенные в диссертации результаты являются новыми. Получено интегральное условие неосцилляции на конечном отрезке для одного обыкновенного дифференциального уравнения четвертого порядка.Установлены достаточные условия осциллящш и неосцилляции на полуоси t О.ео ) для одного обыкновенного дифференциального уравнения высокого порядка. Получены интегральные условия неосцилляции в Rn и в некоторой неограниченной области для специального уравнения эллиптического типа высокого порядка. FemeHB проблема Киезера в некоторой неограниченной области для эллиптического уравношш высокого порядка ( 1 ).
Метода исследования. В работе применяются методы качественной теории доВДвренциалытх уравнений и современные методы функционального анализа.
Практическая и теоретическая ценность. Работа носит теоретический характер. Результаты работы могут найти применения в качественной теории дифференциальных уравнений, в математической физике,- в квантовой механике.
Апробация рвботы. Основные результаты работы докладывались на: всесоюзной конференции "Дифференциальные уравнения и их приложения" (Агагпбйт, І986), IV Уральской региональной конференции "Функционально-диффероициальные уравнения и их приложения" ( УФА, 1989), VII всесоюзной конференции "Качественная теория дифференциальных уравнений" (Рига, 1989), научно-практической конференции "Диффлроіщиальгаїо уравнения й их приложения* (Ашгабат, 1993), научных конференциях профессорско-преподавательского состава ТЛИ (ІІЧУМРМ), ашгабатском городском математическом семинаре ( Рук. чші. АІГГ Худай-Воренов О.Г.,члвн АНТ Мередов М.М.), научном семи-
наре туркменского государственного института транспорта и связи
( Рук. профессор Тораев А.Т., профессор Базаров Д.Б., профессор
Гараджаев А.Г.).' . '
Структура и рбъем работы". Работа изложена на 84 страницах и состоит из введения и двух глав. Библиография содержит 57 наименований. ''..''
В диссертации теоремы, леммы, определения.формулы снабжены двойными номерами. Первый из них указывает главу, а второй - порядковый номер теоремы, леммы, определения или формулы..
Публикации. Основный результаты диссертации опубликованы в
————— \
работах СП - [б]. В совместной работе [ 2 ] с профессором Торо-
евым А. научному руководителю принадлежит постановка задачи,а до-
. казвтельство теорем этой работы принадлекит автору. Из совместной
работы [ 6 І в диссертацию вошли только результаты,' принадлежащие
автору. v
