Введение к работе
Актуальность темы.
В последние годы все большее внимание математиков уделяется задачам для уравнений с частными производными, в которых краевые условия представляют собой соотношения между значениями искомых функций, вычисленными в различных (переменных) точках, лежащих на границе, или внутри рассматриваемой области.
Этот интерес объясняется как теоретической значимостью получаемых результатов, так и возможностями важных приложений. Подобные граничные условия возникают при математическом моделировании задач газовой динамики, теории плазмы, теплопроводности, излучения лазера, прогнозирования почвенной влаги, при изучении процессов размножения клеток, бактерий и т.п. В некоторых случаях (физика сверхпроводников, радиационный перенос, процессы распространения загрязнение воды в биосфере, демография, популяционкая генетика и др. биологические проблемы) граничные условия имеют интегральную форму, легко приводящуюся к обсуждаемому виду.
Простейшие примеры указанных краевых условий, возникающих в теплопроводности, были сформулированы В.А.Стекловым (1922г.), а в газовой динамике - Ф.И.Франклем (1956г.). А.М.Нахушевым в 1969г. были поставлены и изучены сразу несколько задач данного типа, а для их названия предложен термин «со смещением». В том же 1969г. появилась статья А.В.Бицадзе и А.А.Самарского, где впервые исследована задача «со смещением во внутрь области». Содержание последних публикаций привело к осознанию качественной новизны краевых задач со смещениями для теории дифференциальных уравнений в частных производных. Обилие публикаций, где изучаются все более общие ситуации, производит иногда впечатление, что теория краевых задач «со смещением» уже завершена. Здесь, однако, имеется
ряд менее изученных, но важных вопросов, в частности задача о собственных значениях или об их аналитическом описании с помощью, например, асимптотических разложений. Применяемые сейчас методы функционального анализаі и метод сведения к модельным уравнениям путем интегральных
I ;
преобразований недостаточны для того, чтобы получить такую детальную информацию.
(С другой стороны, вряд ли можно надеяться получить, например, решение задачи на собственные значения для дифференциальных уравнений с частными производными в столь же явном виде, как это было сделано в аналогичной ситуации для обыкновенных дифференциальных уравнений.
Общность перечисленных выше вопросов для уравнений с частными производными вынуждает в дальнейшем наложить на изучаемые операторы ряд весьма жестких ограничений. Выяснение правильных постановок задач и исследование специфических свойств решений для «неклассических» уравнений удобно начинать с рассмотрения идеализированных моделей, например, с рассмотрения уравнений с постоянными коэффициентами.
Цель работы.
1. Исследование неоднородной краевой задачи со смещением для уравнения Коши-Римана с параметром X
— = lw + f{z), \z\<\, oz
V2*N|-i
І , Да»(0 + /(0
,_, t-z
N = i.
Jmco(Q) = Jm
( L і WQ + AQj
12даИ=. ' ;
2. Приближенное решение вышеуказанной краевой задачи.
Методика исследования. Широко использованы методы краевых задач, теории функций комплексного переменного и сингулярных интегральных уравнений, с помощью которых переформулированы соответствующие положения к более естественной для имеющейся ситуации форме и дополнены новыми фактами, не вытекающими непосредственно из известных теорий. Доказательства отдельных теорем основаны на результатах И.А.Акбергенова, связанных с аппроксимациями интегральных уравнений Фредгольма второго рода.
Научная новизна.
В работе получены условия на параметр А, при которых рассматриваемая задача нётерова в соответствующем функциональном пространстве, т.е. получен аналог условия Лопатинского для случая нелокальных граничных задач.
Разработаны методы редукции краевых задач к сингулярным интегральным уравнениям или к интегральным уравнениям Фредгольма второго рода.
Получены формулы, характеризующие приближешгую структуру решения краевой задачи со смещением.
Доказано существование счетного числа нулей одного класса целых функций, имеющих интегральное представление, найдена их асимптотика с указанием остаточного члена.
Теоретическая и практическая ценность.
Работа носит теоретический характер. В ней дается систематическое
і ' і
развитие! идеи смещений в краевых условиях для уравнения Коши-Римана.
і і
Используемая методика позволила свести исходную задачу к уравнению
Фредгольма второго рода с конечномерным ядром, что эквивалентно решению
конечно і системы линейных алгебраических уравнений.
j
Апробаї ия работы. !
Основные результаты диссертации но мере их получения обсуждались на кафедре математического анализа Алматинского государственного университета имени Абая. Отдельные результаты диссертации сообщались на научно-исследовательских семинарах КазГУ имени Аль-Фараби, АГУ имени Абая и Института математики Министерства Науки - Академии Наук РК. Кроме того, автор выступил с докладом на конференциях посвященных 60-летию профессора К.Ж.Наурызбаева (КазГАСА, г.Алматы, 1994г.), Член-корреспондента НАН. РК, д.ф.-м.н., профессора К.А.Касымова (КазГУ им.Аль-Фараби, г.Алматы, 1995г.), на международной математической конференции посвященной 30-летию Актюбинского педагогического института им.К.Жубанова (г.Актюбинск, 23-24 мая, 1996г.), на 1-ом Съезде математиков Казахстана (Южно-Каз. Технич. Университет, г.Шымкент, 11-14 сентября 1996г.).
Публикации.
Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1-7]. К совместным работам прилагаются справки о личном вкладе автора диссертации.
Структура и объем работы.
