Введение к работе
Актуальность темы. Уравнения параболического типа встречаются во многих областях математики и математической физики, и аспекты, в которых они исследуются, очень разнообразны. Наиболее часто встречаются уравнения второго порядка, описывающие процессы диффузии, тепломассопереноса и многие другие процессы в физике.
Основы теории параболических уравнений и систем и достаточно полная библиография могут быть найдены в известных монографиях Ладыженской О.А., Солонникова В.А. и Уральцевой Н.Н., Крылова Н.П., Эйдельмана С.Д., Лионса Ж.Л. и Мадженеса Е. и ряда других авторов.
Данная работа посвящена исследованию разрешимости нелокальных задач для параболических уравнений и систем. Нелокальные задачи являются непосредственным обобщением классических краевых задач, однако при их изучении возникает ряд дополнительных трудностей. Это такие задачи, в которых вместо задания значений решения или его производных на фиксированной части границы задается связь этих значений со значениями тех же функций на иных внутренних или граничных многообразиях. Теория нелокальных краевых задач имеет многочисленные приложения в механике, физике, биологии и других естественно-научных дисциплинах.
Простейшие параболические уравнения и системы записываются в виде
ut-Lu = f, (1)
где L — эллиптический матричный дифференциальный оператор. В абстрактной постановке оператор L заменяется на генератор аналитической полугруппы.
Исследование нелокальных задач началось в начале прошлого столетия. В становлении этой теории большой вклад внесли А.В.Бицадзе, А.А. Самарский (1969).
Среди работ, посвященных нелокальным краевым задачам для параболических уравнений второго порядка, отметим работы Керефова АА. (1979), Шабровского Дж. (1984), Колтуновского ОА. (2002), Пу-кальского И.Д. (2001), Джураева Т.Д., Тахирова И.О. (1998), Пуль-киной Л.С. (2005), Корбут Л.И. и Матийчук М.И. (1994), Вонг Ю.Д. (2001), Лукшина А.В., Резник В.И. (2007), Лосановой Ф.М. (2007), Ам-мосова А.А. (2003), Камынина Л.Н. (1961) и многих других авторов.
Наиболее общая постановка приведена в работе Кожанова А.И. (2004). Здесь нелокальное условие имеет вид
м(0) = Ви + ио, (2)
где В — некоторый линейный оператор.
Среди работ, посвященных нелокальным краевым задачам для параболических уравнений высокого порядка, отметим работы Абдиназа-рова С. (1987), Пукальского И.Д. (1998), Власий О.Д., Пташник Б.И., (1995, 2007), Задорожного Н.М. (1994, 1996).
Наиболее часто в приложениях возникают условия вида
и(0) = аи(Т) + мо- (3)
Условие (3) можно назвать условием типа периодичности, поскольку, при а = 1 оно превращается в условие периодичности, которому и посвящено наибольшее количество работ. Среди работ, посвященных условиям типа периодичности или близким к ним отметим, например, работы Власий О.Д. (2007), Кенгне Е. (2005), Денче М. and Дьеззар С. (2006), Лизава С, Кеянтуо В. (2007), Керефов А.А. (1979), Кожанов А.И. (1990), Власий О.Д., Пташник Б.Й. (2007).
Кроме непосредственно параболических уравнений и систем, в диссертации также рассматривается вопрос о разрешимости нелокальных краевых задач для операторно-дифференциальных уравнений вида (1). В этом случае L : Е —> Е — плотно определенный замкнутый оператор в банаховом пространстве Е. В общем случае, когда L : Е —> Е — плотно определенный замкнутый оператор в банаховом пространстве Е или просто эллиптический оператор высокого порядка, рассматривались в основном задачи с условиями вида
м(0) = ^2 cku{tk) + щ, (4)
fc = l
которые наиболее часто возникают в приложениях. Здесь отметим работы Аширалиева А. (2006), Шелухина В.В. (1991-1995), Гил M.I. (2004), Агарвал Р.П., Вохнера М., Шахмурова В.Б. (2005, 2006), Бусзевского Л. (1991), Лакшмикантам В. (1991), Яун ди Ванг (2001). Естественным обобщением условия (4) является условие
т
и(т)<кг(т) = мо, (5)
где а - функция ограниченной вариации. Краевые условия (5) в случае кусочно-линейных функций а рассматривались в работе Шелухина В.В. (1993). Условия вида (5) возникают, в частности, при постановке и исследовании обратных задач (Федоров В.Е.(2004)), в частности, задач с финальным переопределением (Гольдман Н.А. (2008)).
В целом можно сказать, что в общем случае, в случае (для параболических уравнений и систем, а также их абстрактных аналогов) наиболее общие постановки вида (2), (5) практически не рассматривались.
Цель работы. Цель диссертационной работы — исследование вопросов разрешимости нелокальных краевых задач общего вида для параболических уравнений и систем высокого порядка и их абстрактных аналогов в пространствах Соболева-Бесова.
Методы исследования. В диссертации использованы методы теории дифференциальных уравнений, теория интерполяции банаховых пространств, теории операторно-дифференциальных уравнений и функционального анализа.
Научная новизна. Основные результаты диссертации состоят в следующем.
Получены новые весовые оценки решений задачи Коши и краевых задач для параболических уравнений и систем и для операторно-дифференциальных уравнений первого порядка, позволяющие рассматривать нерегулярные данные Коши. В весовых пространствах исследован вопрос о поведении решений задачи Коши в зависимости от параметра, входящего в уравнение.
Для параболических уравнений и систем и для их абстрактных аналогов исследованы нелокальные задачи самого общего вида с достаточно произвольным оператором входящим в граничное условие. Эта задача при данных ограничениях на граничное условие ранее не рассматривалась. В отличие от известных работ, также показано, что при определенных значениях спектрального параметра задача всегда разрешима.
Для параболических уравнений и систем и для их абстрактных аналогов исследован вопрос о разрешимости задачи с интегральным нелокальным условием, определяемым интегралом Стилтьеса. В этот класс входят задачи, наиболее часто возникающие в приложениях.
Получены приложения результатов к исследованию нелокальных краевых задач с интегральным условием Стилтьеса для линейной системы уравнений Навье-Стокса.
Теоретическая и практическая значимость. Результаты дис-
сертации носят теоретический характер. Все результаты являются новыми. Выводы и положения диссертации базируются на строгих математических доказательствах. Область приложения полученных результатов - теория дифференциальных уравнений в частных производных, в частности, теория параболических уравнений и систем. Результаты также могут быть использованы в качестве спецкурса для студентов-математиков.
Апробация работы. Результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на семинаре "Обратные краевые задачи"-профессора С.Г. Пяткова, на международной научной студенческой конференции "Студент и научно-технический прогресс" (2009 г.), на международной конференции по дифференциальным уравнениям (г. Стерлитамак, 2008), и на Всероссийской научной конференции студентов, аспирантов, молодых ученых и специалистов "Математическое моделирование развития северных территорий Российской Федерации" (г. Якутск, 2008).
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 6 работах: тезисы 2 докладов и 4 статьи [1]-[6]. Работа выполнена при поддержке Аналитической ведомственной целевой программы "Развитие научного потенциала высшей школы (2009-2010 годы)" мероприятие 2 (проект 2.1.1/13607). Из совместной работы в диссертации использовались результаты, принадлежащие лично автору.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы. Общий объем составляет 82 страницы. Список литературы составляет 115 наименований. Формулы, теоремы и леммы в каждой главе нумеруются тремя натуральными числами, первое из которых указывает на номер главы, второе — номер параграфа, третье — номер формулы в параграфе.
