Введение к работе
Актуальность темы. В последнее десятилетие интенсивно изучаются качественные свойства решений уравнения
Ьи = -(ри^)(х) + Ср<)(0) + f ud[Q] = F(x) - F(0) (1)
о и соответствующая ему линейная спектральная задача
Ьи = Х и d[M], и(0) = u(l) = 0. (2)
Здесь p,Q,F — функции ограниченной на [0; /] вариации; /j(x) и М(х) — строго возрастающие функции; производная и' понимается как производная по мере (производная Лебега, если /j(x) = ж, и производная Стилтьеса в общем случае); обрамление d[Q] функции Q(x) квадратными скобками подчеркивает, что речь идет об интеграле, понимаемом как 7г-интеграл, и совпадающего с интегралом Стилтьеса в случае непрерывной и{х) (когда /j(x) = х).
Если функции Q(x) и F(x) окажутся гладкими {dQ = Q' dx и dF = F' dx), то обе части (1) на решении могут быть продифференцированы, уравнение (1) принимает вид
-{pu'X + Q'xu = F'x. (3)
Последнее уравнение оказывается совсем привычным при /j(x) = х (или гладкой /і(ж)). Таким образом, уравнение (1) и задача (2) адекватны классической ситуации, изучаемой в теории Штурма-Лиувилля в случае гладких параметров.
Допускаемая возможность наличия у параметров уравнения особенностей как типа (^-функций, так и более сильных, которые возникают, например, в случае разрывных решений, когда (^-образные сингулярные особенности присутствуют уже у первых производных, усугубляется вторым дифференцированием.
В работе изучаются нелинейные краевые задачи
-(pu'Jix) + (р<)(0) + jud[Q] = jf(s,u(s))d[a(s)},
(К)(0) - 7i«(0) = 0, (jm'Jil) + l2u(l) = 0,
как для случая непрерывных решений {ц{х) = ж), так и для случая разрывных (/і(ж) — произвольная строго возрастающая функция); здесь а(х) — строго возрастающая функция, f(x,u) — функция двух переменных, удовлетворяющая определенным условиям, обеспечивающих существование интеграла по Ю. В. Покорному.
Расширение понятия интеграла позволило нам сохранить поточечное толкование как самого решения, так и уравнения, что в рамках теории обобщенных функций было бы невозможно. Большинство классических результатов (для нелинейных краевых задач) удается перенести на случай не просто негладких, но даже разрывных решений.
Используемое понятие /і-производной (для случая разрывной /і(ж)) можно определить следующим образом: /і-суммируемая функция f(x) называется /і-производной F(x): если на множестве полной /i-меры
F(x) — / f(s)d[fi(s)} = const, о
Последняя формула позволяет определять значения f(x) = —F(x) в точке
либо как предел отношения ——, либо как пару односторонних пределов
(левая и правая производные, если они различны), либо как тройку чисел, которая получается добавлением промежуточного (между левым и правым) значения производной "собственного в точке ", равного отношению скачков
F( + 0)-F(-0)
—— — -. Подобная ситуация возникает, например, при дифферен-
№ + 0) - м( - 0) цировании функции Хевисайда О (ж) (равной 1 при х > 0 и нулю при х < 0)
по /j(x) = ж + 0(ж), когда вместо привычного Qf(x) = 5(х) в соответствующем
уравнении оказывается -j—(x) = тг(ж), где 7г(ж) = 0 при ж^Ои 7г(0) = 1.
Обыкновенное дифференциальное уравнение
— (ри'У + qu = f
с обобщенными коэффициентами и соответствующая задача Штурма-Лиувилля изучалась многими авторами. Из большого количества работ особо отметим работы Дерра В. Я., Егорова Ю. В., Завалищина С. Т., Сесе-кина А. Н., Покорного Ю. В., Шаброва С. А., Зверевой М. В., Kurzweil J., Левина А. Ю., Максимова В. П., Pandit S. G.
В классической монографии Ф. Аткинсона описывались решения со скачками производных; достаточно тонкий анализ однородного уравнения с обобщенными коэффициентами проводился в работах А. Д. Мышкиса, J. Kurzweil; более полную библиографию можно найти в монографиях Ф. Аткинсона, А. Ф. Филиппова, С. Т. Завалищина и А. Н. Сесекина.
Актуальность диссертационной работы обусловлена как очевидной практи-
ческой востребованностью анализа краевых задач для уравнения
-(ри'и)(х) + (ри'и)(0) + / ud[Q] = / f\s,u{s))d[(r{s)l
о о
так и тем, что в настоящее время работы по задачам для дифференциальных уравнений второго порядка носят фрагментарный характер.
Цель работы. Получить достаточные условия существования и единственности решения, существования нескольких решений краевой задачи
-(pu'Jix) + (р<)(0) + jud[Q] = j f(s,u(s))d[a(s)},
(Ю(0)-7і«(0) = 0, I (Pu^)(l) +72«(/) = 0.
Методы исследования. В диссертации используются методы качественной теории дифференциальных уравнений, аппарата теории интеграла Стил-тьеса, теории вполне непрерывных положительных операторов.
Научная новизна. Все результаты являются новыми. В числе наиболее важных следует отметить:
Получены оценки функции Грина краевой задачи с негладкими решениями.
Изучена непрерывная ветвь нелинейной спектральной задачи.
Получены достаточные условия существования нескольких решений краевой задачи с «монотонной непрерывностью».
Получены нелокальные условия существования знакоопределенного решения нелинейной краевой задачи.
Получены достаточные условия существования второго решения нелинейной краевой задачи.
Изучен случай сильной нелинейности.
Получены оценки функции Грина краевой задачи с разрывными решениями.
Получена оценка вторых собственных значений спектральной задачи с разрывными решениями.
Практическая и теоретическая значимость. Габота носит теоретический характер. Полученные в ней результаты могут быть использованы в качественной теории нелинейных дифференциальных уравнений с производными по мере.
Апробация работы. Основные результаты докладывались и обсуждались на Воронежской зимней математической школе «Современные методы теории
функций и смежные проблемы» (2007 г.), Крымской осенней математической школе (2006 г.), Воронежской весенней математической школе «Современные методы теории краевых задач — Понтрягинские чтения — XX» (2009 г.), Воронежской весенней математической школе «Современные методы теории краевых задач — Понтрягинские чтения — XXI» (2010 г.), на семинарах проф. Покорного Ю.В., доц. Баєва А.Д., проф. Сапронова Ю.И.
Публикации. Основные результаты опубликованы в работах [1]-[11]. Из совместных публикаций [3]-[6], [9] в диссертацию вошли результаты, принадлежащие лично автору. Работа [3] опубликована в издании, соответствующем списку ВАК РФ.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав и списка цитируемой литературы, включающего 50 наименований. Общий объем диссертации 102 страницы.
