Содержание к диссертации
Введение
I Разрешимость дифференциального уравнения четвёртого порядка с производными по мере 16
1 Вариационная мотивация подхода 17
2 Разрешимость дифференциального уравнения четвёртого порядка с производными по мере 27
3 Свойства аналога определителя Вронского 30
4 Непрерывная зависимость решения от параметра 39
II Краевые задачи четвёртого порядка с производными по мере 45
1 Функция Грина сингулярной краевой задачи 46
2 Свойство Я-положительности интегрального оператора в частном случае 53
3 Невырожденность сильно сингулярной краевой задачи 60
4 Одно представление функции Грина сильно сингулярной краевой задачи 68
III Положительная обратимость краевых задач четвёртого порядка с производными по мере 71
1 Достаточные условия положительности функции Грина сингулярной краевой задачи 72
2 Положительность функции Грина сильно сингулярной краевой задачи 77
3 Пример нахождения достаточных условий положительно сти функции Грина 84
4 Простота и позитивность ведущего собственного значения 91
Литература
- Разрешимость дифференциального уравнения четвёртого порядка с производными по мере
- Непрерывная зависимость решения от параметра
- Невырожденность сильно сингулярной краевой задачи
- Пример нахождения достаточных условий положительно сти функции Грина
Введение к работе
Актуальность темы.
Диссертационная работа посвящена качественному анализу решений дифференциального уравнения четвёртого порядка Ш)) + (1) с обобщёнными коэффициентами. Здесь — означает обычную производив ную, а штрих — обобщённое дифференцирование; функции р(х), Q(x) и F{x) предполагаются конечной вариации. В качестве решений рассматриваются непрерывно дифференцируемые функции и(х); первая производили d2u пая которых абсолютно непрерывна; р-г-т; — абсолютно непрерывна; ах ах1 d ( d2u\ Гп — I р т- I — имеет конечное на [0; 1J изменение. Изучению подобного уравнения, актуального в самых разнообразных разделах естествознания, посвящена обширная литература. Здесь можно отметить монографии Аткинсона Ф. [2], Завалищина СП., Сесекина А.Н. [21], а также работы [45], [55], [50], [29], [57], [59], [39], [56], [25], [4], [45], [51], [37], [36], в которых изучались дифференциальные уравнения четвёртого, а иногда и произвольного, порядка. Особо можно отметить публикации: Дерр В.Я. - [14], [15], [16], [18], [19]; В. Dekoninck, S. Nicaise [17]; Lagnese J.E., Leugering G., Schmidt E.J.P.G. [32], [33]; B. Lui [34].
Уравнения с обобщёнными коэффициентами традиционно исследуются с позиций теории распределений (по Шварцу-Соболеву). Их изучению посвящена достаточно обширная литература (здесь мы ограничимся отсылками к библиографии в [2] и в [21]). Однако, в некоторых вопросах теория распределений оказывается бессильна. Известен ряд не до конца решённых проблем в теории обобщённых функций, например, проблема перемножения обобщённых функций.
В диссертации обсуждается вопрос о положительности функции Гри на краевой задачи для уравнения (1) (при краевых условиях). Эта проблема обычно обсуждается в рамках классической теории обыкновенных дифференциальных уравнений. Но эти методы оказываются непригодными для обобщённых производных, не позволяющих трактовать их как поточечные отображения из R в R. Эту трудность мы обходим, следуя концепции Ю.В. Покорного, показавшей свою эффективность для дифференциальных уравнений второго порядка (см., например, [20], [42], [43], [44], [48]), согласно которой уравнению (1) может быть придано поточечное представление d_(d_( fu\\ dQ_dF da \dx \ dx2JJ do da"1 где — означает обычное дифференцирование по сг-мере (по Радону-da Никодиму); мера а определяется параметрами р(х), Q(x) и F(x) исходной задачи. Такой подход к проблеме требует переноса классических методов регулярной теории на случай дифференциальных уравнений четвёртого порядка с производными по мере.
Используемое понятие а-производной можно определить следующим образом: а-суммируемая функция f(x) называется сг-производной F(x), если на множестве полной а-меры х F(x) - J f(s) (da)(s) = const. Последняя формула позволяет определять значения f(x) = —F(x) в точке л т- da AF либо как предел отношения ——, либо как пару односторонних пределов Да (левая и правая производные, если они различны), либо как тройку чисел, которая получается добавлением промежуточного (между левым и правым) значения производной "собственного в точке ", равного отношению скачков FK + 0J-FK-0) _ , .. — — -. Подобная ситуация возникает, например, при диффе а( + 0) - а( - 0) ренцировании функции Хевисайда 9(ж) (равной 1 при х 0 и нулю при x 0) по о(х) = x + Q(x), когда вместо привычного Э (х) = 5(х) в соответствующем уравнении (2) оказывается -j—(x) — тт(х), где тг(х) = 0 при х ф 0 аа и 7г(0) = 1. В более общей ситуации уравнение (2) в точках, где а имеет скачок, принимает вид А(ри") + uAQ — AF, здесь Аф — скачок функции ф(х), т.е. Аф — -0( + 0)- ( -0). Именно таким образом мы "раскрываем" уравнение в сингулярных точках.
Актуальность диссертационной работы обусловлена как очевидной практической востребованностью анализа краевых задач для уравнения (2), так и тем, что в настоящее время работы по данным задачам для дифференциальных уравнений четвёртого порядка носят фрагментарный характер [47].
Цель работы. Получить достаточные условия положительной обратимости краевой задачи (КХ( ) + u(x)Q a(x) = F a{x)- (3) и(0) = (р«У(0) = 0; (4) (KJ(l) = (KJi(l) = 0. (5) ч Методы исследований. В диссертации используются методы качественной теории дифференциальных уравнений, аппарат теории интеграла Стилтьеса, теории вполне непрерывных положительных операторов.
Научная новизна. Все результаты в работе являются новыми. В числе наиболее важных следует отметить:
1. Получено дифференциальное уравнение (3), как модель малых деформаций стержня-консоли.
2. Показана разрешимость уравнения (3) и непрерывная зависимость от параметра решения соответствующей начальной задачи.
3. Показана невырожденность краевой задачи (3)-(5), а также при р 0 и Q a 0 (ф 0) непрерывная зависимость решения соответствующей неоднородной задачи от краевых условий.
4. Доказано свойство Я-положителыюсти интегрального оператора, обращающего (3) при условиях и(0) = и (0) = 0 и (ри")(1) = (ри") (1) = 0.
5. Доказана положительная обратимость интегрального оператора, обращающего (3) при условиях м(0) = (ри")(0) = 0 и (ри")(1) = (ри") (1) = 0.
6. Доказана положительность, вещественность и простота ведущего собственного значения спектральной задачи (КХМ + Ф)%М = АМЖ ); «(0) = (pt&)(0) = 0; k(pt4)(i) = (p«»)i(i) = o, где М(х) — (7-абсолютно непрерывная на [0; 1] функция, и М а 0. Теоретическая и практическая значимость. Работа носит теоретический характер. Полученные в ней результаты могут быть использованы в качественной теории дифференциальных уравнений с производными по мере.
Апробация работы. Основные результаты, полученные в диссертации, докладывались на Воронежской весенней математической школе «Современные методы в теории краевых задач» «Понтрягинские чтения — VII» (Воронеж, 1996г.), Воронежской зимней математической школе «Современные методы теории функций и смежные проблемы» (Воронеж, 1997г.), Воронежской весенней математической школе «Современные методы в теории краевых задач» «Понтрягинские чтения —XI» (Воронеж, 2000г.), Воронежской весенней математической школе «Современные методы в теории краевых задач» «Понтрягинские чтения — XVII» (Воронеж, 2000г.), Воронежской весенней математической школе «Современные методы в теории краевых задач» «Понтрягинские чтения — XVIII» (Воронеж, 2007г.), на семинаре «Качественная теория краевых задач» (Воронежский госуниверситет, руководитель профессор Ю. В. Покорный), на семинаре кафедры уравнений в частных производных и теории вероятностей (Воронежский госуниверситет, руководитель профессор А. В. Глушко).
Публикации. Результаты диссертации опубликованы в работах [6], [7], [8], [9], [10], [11], [12], [13]. Из совместных работ [6], [8], [И], [12] в диссертацию вошли только результаты, принадлежащие лично диссертанту.
Структура и объём диссертации. Диссертация состоит из введения, трёх глав, объединяющих в общей сложности двенадцать параграфов, и списка литературы. Объём диссертации 101 страница. Библиография содержит 64 наименования. Нумерация формул организована следующим образом: каждый номер состоит из трёх, отделённых друг от друга точкой; первый номер — это номер главы, второй — номер параграфа, третий — самой формулы. В каждом параграфе нумерация своя.
Краткое содержание работы.
Во введении обосновывается актуальность темы диссертации, формулируются объект и предмет исследования, научная новизна, теоретическая и практическая значимость работы.
В первой главе строится аналог обычной теории обыкновенных диф ференциальных уравнений для (3), вводится специальное расширение [0, \]а отрезка [0,1] добавлением к нему "расщепленных" точек разрыва р(х), Q(x) и F(x). В § 1 в порядке мотивации избранного подхода рассматривается задача Ф(и) - min (6) для функционала і і і ф(и)= f -du + [jdQ- fudF (7) 0 0 при условии и(0) = 0. Здесь р(х), Q(x), F(x) — функции ограниченной вариации; и(х) — непрерывно дифференцируемая функция, производная которой абсолютно непрерывна, вторая производная имеет конечное на [0; 1] изменение. Интегралы в (7) понимаются по Риману-Стилтьесу.
Классическая схема Лагранжа приводит задачу (6) для функционала (7) к уравнению х t (pu") (х) = - f fu(s) dQ{s) dt + j(F(t) - F(0)) dt, 0 0 0 дифференцирование по x которого нам дает x (pu") (x) = - f u{s) dQ{s) + F(x) - F(0). о
Переход от последнего к (3) возможен за счет подбора специальной строго возрастающей функции а(х), определяемой исходя из особенностей коэффициентов р, Q и F. Установлена следующая теорема Теорема 1.1.1. Минимум функционала Ф(и) является решением краевой задачи u(0) = 0; (К )(0) = 0; (KJ(i) = o; (К )І(Ц = о В § 2 Главы I дается точное описание класса функций, в котором ищется решение. Устанавливается аналог теоремы Коши-Пикара о глобальной разрешимости уравнения (3) на всем [0; 1]а. Теорема 1.2.1. При любых щ, щ, щ, щ и любой точке XQ Є [0; 1] урав пение (v x) a ) + x)Q a{x) = F {x) имеет единственное решение, удовлетворяющее условиям U(x0) = W0, и х{%0) = Щ, {Ри"х)(х0) = U2, (Р ххУхЫ) = и3 В третьем параграфе первой главы вводится аналог определителя Вронского и устанавливаются основные его свойства. В § 4 изучается непрерывная зависимость решения начальной задачи от параметра. Теорема 1.4.1. Пусть Q(x;X) — QQ{X) -\- V{X)Q\{X) и F(x;X) = Fo(x) + + vi(X)F\(x), причём Q(x;X) не убывает по х при каоїсдом фиксированном X; Qo(x), Q\(x), FQ(X) и F\(x) — а-абсолютно непрерывны на [0; 1]. И пусть у?(х; Л) — решение уравнения (KX(z) + «( ) %( ; A) = К& А), удовлетворяющее начальным условиям w(0) = 0; (0) = 0; (К,)(0) = 0; (pt4)i(o) = о. V Тогда р(х; А) обладает следующими свойствами:
1) (f(x;X) непрерывно зависит от параметра X, если v(X) и v\(X) непрерывны; 2) р(х;Х) имеет непрерывные производные (по X) до k-го порядка, если v(X) и vi(X) к раз непрерывно дифференцируемы. Во второй главе устанавливаются условия невырожденности краевой задачи tx(O) = (0) = 0; (8) (р х)(і) = (К ,ш=о. Первый параграф второй главы посвящен доказательству существования функции Грина задачи (8); получены необходимые и достаточные условия невырожденности этой краевой задачи. Во втором — изучается свойство Н положительности интегрального оператора, обращающего краевую задачу (8). Получены следующие результаты. Теорема 2.2.2. Пусть р(х) — функция ограниченной на [0; 1] вариации, и infp(x) 0. Если g(x;s) — функция Грина краевой задачи (8), то инте гральний оператор і (BF)(x) = jg(x]S)dF(s) о является Н-положительным при некоторой непрерывной и положительной на (0; 1) функции h(x), то есть (BF)(x) Z h(x) • max(BF)(x) іЄ[0;1] для любой неубывающей функции F{x). Обозначим через KBV С BV[0; 1] — конус неубывающих на [0; 1] функций. Оператор А определим следующим образом і (Аи)(х) — \ g(x;s)u(s) dQ(s). о Теорема 2.2.3. Существует функция VQ(X) такая, что для всякой F(x) Є Є KBV справедливо неравенство (BF)(x) v0(x) • max(BF)(z) при всех х, причём при некотором /3 О В § 3 втрой главы доказывается существование функции Грина задачи (3)-(5). Определение. Краевую задачу назовём невырожденной, если однородная (при F{x) = const) задача имеет только тривиальное решение. Теорема 2.3.1. Пусть р(х) — функция ограниченной на [0; 1] вариации, причём inf» 0, Q(x) — не убывает на [0;1]. Тогда, если Q(x) ф const, [О;1! то задача (9) (КХ W + и{хШх) = F {x) (х Є [0; 1],); «(0) = (pt&)(0) = 0; jw = (Kj;a)=o, невырождеиа, если же Q(x) = const, mo задача (9) вырождена. Теорема 2.3.3. 5сли краевая задача (9) невырождеиа, то функция Грина существует. В четвертом — получено одно представление функции Грина задачи (9), которое, в дальнейшем, позволило получить достаточные условия ее положительности. Теорема 2.4.1. Если задача (9) невырождеиа, то её функция Грина G(x; s) может выть найдена по формуле д2 G(x; s) = GQ(x; S) - {x)- G0(0; s), где GQ{X;S) — функция Грина краевой задачи «(0) = и х(0) = 0; (риУ(1) = (рі4)і(1) = 0, ip(x) — решение u(0) = 0; (P J(O) = I; (p J(l) = 0; (P J;(I) = O. В третьей главе изучается возможность положительной обратимости краевых задач (8) и (9). В § 1 получены достаточные условия неотрицательности функции Грина задачи (8). Теорема 3.1.2. Пусть g(x;s) — функция Грина краевой задачи (8), в которой р(х) — функция ограниченной на [0; 1] вариации, причём inf р(х) 0; пусть функция Q(x) — полоэ/сительиая, неубывающая и а-абсолютно непрерывная на [0; 1] функция, непрерывная на концах [0; 1], Q(l) Ф Q(0). Тогда величина і fg(x;t)g(t\s) о конечна. И при KQ 1 задача u(0) = (0) - 0; k(puL)(i) = ««)L(i) = o положительно обратима. Во втором параграфе, на основе полученного в § 4 Главы II представления функции Грина краевой задачи (9), показано, что если разность Q(1) — Q(0) мала, то функция Грина положительна внутри квадрата [0; 1] х [0; 1]. Теорема 3.2.2. Пусть р(х) Є БУ[0; 1] и infp(x) 0; функция Q(x) а абсолютно непрерывна па [0; 1], не убывает, и Q(l) Q(0); величина x;s J g{x;s) о не превосходит 1, здесь g(x;s) — функция Грина краевой задачи (8). Тогда разность Q(l) — Q(Q) можно сделать настолько малой, что функция Грина краевой задачи (9) будет неотрицательна на квадрате [0; 1] х [0; 1]. В третьем параграфе для конкретного примера (с помощью описанной ранее схемы) получены условия, при которых функция Грина неотрицательна, а именно, для краевой задачи М0) = (К.)(0) = 0; (10) ,)(і) = (К Ш = о, в случае и(х) = х + Q(x — ) (Q(x) — функция Хевисайда, равная нулю при х 0 и 1 при х 0), р(х) = 1, и Q{x) = jQ(x — ), показано, что если справедливо неравенство . Г 6 6 ] то функция Грина краевой задачи (10) положительна внутри квадрата [0; 1] х [0; 1]. В § 4 доказывается позитивность и простота ведущего собственного значения спектральной задачи M0) = (KJ(0) = 0; (И) )(!) = (К,Ш = о, где М(х) — строго возрастающая, сг-абсолютно непрерывная на [0; 1] функция. Теорема 3.4.1. Пусть р(х) € J5V[0;1], infp(ar) 0, Q(x) — неубываю IIMJ щая на [0; 1] функция, Q(l) — Q(0) 0, М(х) — строго возрастающая на [0; 1] функция. Тогда, при достаточно малой разности Q(l) — Q(0), спектральная задача (11) имеет простое положительное собственное значение, которому соответствует положительная внутри (0; 1) собственная функция.
Диссертация выполнена при финансовой поддержке РФФИ (гранты 04-01-00049 и 07-01-00397) и гранта Президента РФ (НШ-1643.2003.01).
В заключение, автор выражает огромную благодарность профессору Юлию Витальевичу Покорному за постановку задачи и чуткое руководство. А также признательность всем участникам семинара "Качественная теория краевых задач" за внимание и поддержку, в особенности доценту Шаброву Сергею Александровичу.
Разрешимость дифференциального уравнения четвёртого порядка с производными по мере
В этой главе устанавливаются достаточные условия невырожденности краевой задачи, полученной в первом параграфе первой главы: (,, + .(,) , , .И; (2.0.19) и(0) = 0; (pi4)(0) = 0; которую мы назовём сильно сингулярной краевой задачей. Краевую задачу A(p JiW + wW M = M, ,e[0;lL; u(0) = 0; (0) = 0; (Кх)М = 0; (K Ji(l) = О (2.0.20) назовём сингулярной краевой задачей. В первом параграфе доказывается существование функции Грина сингулярной краевой задачи. Во втором параграфе продолжается исследование свойств функции Грина сингулярной краевой задачи (2.0.20). В третьем — доказывается, что если Q(l) Q(0), то задача (2.0.19) невырождена. А в четвёртом параграфе получено представление функции Грина задачи (2.0.19).
В этом параграфе изучаются свойства функции Грина одной краевой задачи, которая описывает малые деформации стерженя, помещённого во внешнюю упругую среду, левый конец стержня жёстко защемлён, а правый — свободен.
Рассмотрим краевую задачу: u(0) = 0; (0) = 0; (2.1.1) (KJ(1) = 0; Совершенно очевидно, что задача (2.1.1) при Q a 0 невырождена. В самом деле, если UQ(X) — нетривиальное решение (2.1.1), то после подстановки ре шения щ(х) в однородное уравнение, умножения полученного тождества на щ(х) и интегрирования по отрезку [0; 1] (по мере а), будем иметь равенство і і J (ри хх)"ха{х)щ(х) da + J ul(x)Q a{x) da = 0. о о Интегрируя первый интеграл в левой части последнего равенства дважды по частям, будем иметь і і (pu ijx{x)u0(x)\l - (Р4,)( )Ч )} + j(pu )(x) dx + J иЦх) dQ = 0. о 0 (2.1.2) Так как и0(0) = u 0(0) = (pu i)(l) = (puj) (l) = 0, то (2.1.2) примет вид і і I puf dx+ u20dQ = 0, из этого следует, что почти всюду (PU Q2)(X) = 0. А так как р(х) 0, то U Q2(X) = 0 почти всюду. Но U Q(X) непрерывна. Поэтому всюду на [0; 1] справедливо равенство U Q(X) — 0, из которого следует, что первая производная постоянна. А это вместе с краевым условием и 0(0) — 0 даёт нам тождество и 0(х) = 0. (2.1.3)
Интегрируя (2.1.3), с учётом краевого условия щ(0) = 0, получим щ(х) = 0, что и требовалось доказать. Теорема 2.1.1. Краевая задача и(0) = а\\ «і(0) = а2; (2-1-4) ( )(4 = «з; SPU xx) x(1) = однозначно разрешима для любой а-абсолютно непрерывной функции F(x) и любых а\, а.2, аз, а\ тогда и только тогда, когда эта задача является невырожденной. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть задача (2.1.4) невырождена. Так как любое решение и(х) неоднородного уравнения можно представить в виде и(х) - v(x) + Сіірі(х) + Сг гМ + з зМ + С4щ(х), (2.1.5) где v(x) — частное решение неоднородного уравнения, удовлетворяющее начальным условиям V(XQ) — V (XQ) = (pv")(xo) — (pv") (xo) — 0 при некотором XQ Є [0; 1], и (fi{x), p2(x), з(ж) и щ{х) образуют фундаментальную систему решений однородного уравнения. Для того, чтобы функция (2.1.5) удовлетворяла краевым условиям, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись равенства
Последняя система имеет единственное решение в том и только в том случае, когда её определитель не равен нулю. Если предположить, что определитель системы (2.1.6) равен нулю, то при v{x) = О и щ = 0 система (2.1.4) имеет бесконечно много решений, что противоречит невырожденности краевой задачи. В обратную сторону утверждение очевидно. Теорема доказана. Обозначим через GQ{X; S) функцию Грина краевой задачи (2.1.1). Покажем, что функция Грина этой краевой задачи существует. Дадим сначала определение.
Непрерывная зависимость решения от параметра
Теорема 2.2.2. Пусть р(х) — функция ограниченной на [0; 1] вариации, и mip{x) 0. Если g(x;s) — функция Грина краевой задачи (2.1.9), то интегральный оператор і (BF)(x) = J g(x;s) dF(s) (2.2.15) о является Н -положительным при некоторой непрерывной и полооїситель ной па (0; 1) функции h(x), то есть (BF)(x) Z h(x) max (ЯЛ (я) (2.2.16) яє[0;1] для любой неубывающей функции F(x). ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Неравенство (2.2.16) равносильно неравенству g{x-s) h{x)g(T]S) (2.2.17) при всех х, г, s Є [0; 1]. В самом деле, из (2.2.17) вытекает неравенство і і fg(x;s) dF(s) h(x) і g{r-s) dF(s), (2.2.18) о о справедливое для всякой неубывающей функции F(x). В силу произвольности г, неравенство (2.2.18) влечёт за собой требуемое неравенство (2.2.16). Пусть теперь дано неравенство (2.2.16). Тогда для произвольных х, т справедливо неравенство / і і g(x; s) dF(s) h(x) J д(т; s) dF(s), о 0 или і J[g(x;s)-h(x)g{T;s)]dF{s) 0. о Если для некоторой тройки о, so и го справедливо неравенство д(х0; so) - И(х0)д(щ s0) О, то, взяв в качестве F(s) функцию Хевисайда 0(s — so), равную 0 при s SQ, 1 при 5 so, получим противоречивое неравенство і О / [Фо; s) - фо)д{т0; s)] d d(s - s0) = g{x0; s0) - /г(ж0Мт0; s0) 0. о
Таким образом, для доказательства (2.2.16) достаточно доказать (2.2.17).
Если одна из переменных x,s или г обращается в нуль, то (2.2.17) очевидно. Пусть теперь x,s и г отличны от нуля. Так как р(х), по условию, принадлежит пространству BV[0; 1] и іпір(ж) 0, то найдутся такие ро и pi, что для всех х выполняются 0 ро р(х) pi. Тогда при всех X,S,T Є (0; 1] последовательно получим min[ (x)(g) flfos) = о P{t) Ро # fli(a;s) ро _ ,, (r;S) min{r; } (г _ _ pi i(r;s) pi і W) где /г(ж) = ж2. Таким образом, (2.2.17) справедливо при h(x) = — h(x). Pi Теорема доказана. Наряду с оператором Б, определённым равенством (2.2.15), введём оператор і (Аи)(х) = J g(x;s)u(s) dQ(s), (2.2.19) о который, в силу свойств g(x;s), каждой непрерывной функции и(х) ставит в соответствие непрерывную функцию, т.е. действует из С[0; 1] в С[0; 1]. Через KBV С BV обозначим конус неубывающих на [0; 1] функций. Очевидно, что KBV — воспроизводящий конус, но он не является телесным. Теорема 2.2.3. Существует функция VQ(X) такая, что для всякой F(x) Є Є KBV справедливо неравенство {BF)(x) v0(x) msix(BF)(x) (2.2.20) X при всех х, причём при некотором /3 0 (Av0)(x) /3 h(x). (2.2.21)
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Так как lim 4- - = lim = 0, - o h(x) - o h (x) h"(0) то существует такая окрестность (0; S) точки x — 0, что 9(x;s) 3 g jx{0;s) = Л(я) 2 //(0) PU ; Q\X S) при всех ж Є (0;) и s Є (0; 1]. Пусть fais) = max -4-2—. Имеем (s) Є[ 5;1] /і(ж) при всех s Є (0; 1]. Положив /3(s) = max{/3i(s); / )}, будем иметь 0(z;s)O(z)/3(s) (2.2.22) при всех (х; s) Є (0; 1] х (0; 1]. Пусть VQ{X) = 1. Тогда для любой F(x) Є іГ к справедливо неравенство (BF)(x) v0(z) max(5F)(z). X Из (2.2.22) последовательно имеем і і {Avo)(x) = fg(x;s)v0{s) dQ{s) h(x) f 0(a) dQ{s). о 0 1 Тогда (2.2.21) справедливо при /3 = f (3{s) dQ(s). Теорема доказана. о 3 Невырожденность сильно сингулярной краевой задачи В этом параграфе показывается, что краевая задача ±(Kxyx(x)+u(x)dmjm ХШ. u(0) = 0; (К,)(0) = 0; (2-3.1) (KJ(1) = 0; (KJL(i) = о, при определённых условиях невырождена.
Определение 2.3.1. Краевую задачу (2.3.1) назовём невырожденной, если однородная (при F(x) = const) задача имеет только тривиальное решение.
Теорема 2.3.1. Пусть р{х) — функция ограниченной на [0; 1] вариации, причём mip(x) 0, Q(x) — не убывает на [0; 1]. Тогда, если Q(x) ф const, то задача (2.3.1) невырождена, если же Q(x) = const, то задача (2.3.1) вырождена.
Первый интеграл проинтегрируем дважды по частям і і і / и0(х) d(pu ff = (puJO uolJ - PUQU Q\1 + I puf dx = puf dx. Внеинтегральные слагаемые обращаются в нуль, так как щ(х) удовлетворяет краевым условиям. Тогда равенство (2.3.2) примет вид і і / puf dx+ u2QdQ = 0. о о Так как PU Q2 0, и\ 0, и Q[x) — неубывающая функция, то Hf)M = 0 (2.3.3) и і ful{x)d{Q(x)) = 0. (2.3.4) о Из (2.3.3) вытекает тождество и0(х) = С\ + СІХ. Из условия мо(0) = 0 следует, что С\ = 0, то есть щ(х) = С іх. По теореме о среднем значении при некотором из (0; 1) справедливо соотношение і Jul(x)d(Q(x)) = ul(O(Q(l)-Q(0)). о
По условию Q(l) — Q(0) 0, поэтому «о() = 0. Тогда С = 0. Следовательно, C i — 0, и в этом случае теорема доказана. Пусть теперь Q{x) = const. Тогда уравнению (KXW = o и краевым условиям «(о) = (Кх)(о) = (K J(i) = (pu D xW = о удовлетворяет, как нетрудно видеть, функция щ(х) — Сх при всех С. Последнее означает, что задача (2.3.1) не обладает свойством невырожденности. Теорема доказана полностью. Теорема 2.3.2. Краевая задача и(0) = ot\\ (pt4)(0) = a2; (2.3.5) (pw;j(i) = a3; однозначно разрешима для любой а-абсолютно непрерывной функции F(x) и любых а\, СЇ2, о:з; OLA "тогда и только тогда, когда эта задача является невыроэ/сдепиой.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть задача (2.3.5) невырождена. Так как любое решение и (х) неоднородного уравнения можно представить в виде и(х) = v(x) + Ci pi(x) + С2(р2(х) + С ъ(х) + Сіщ(х), (2.3.6) где v(x) — частное решение неоднородного уравнения (например, удовлетворяющее начальным условиям v(xo) = V (XQ) = V"(XQ) — V "(XQ) = 0 при некотором XQ Є [0; 1]), и ірі(х), ф2{х), (ръ{х) и Фі{%) образуют фундаментальную систему решений однородного уравнения. Для того, чтобы функция (2.3.6) удовлетворяла краевым условиям необходимо и достаточно, чтобы выполнялись равенства
Невырожденность сильно сингулярной краевой задачи
Диссертационная работа посвящена качественному анализу решений дифференциального уравнения четвёртого порядка Ш)) + (1) с обобщёнными коэффициентами. Здесь — означает обычную производив ную, а штрих — обобщённое дифференцирование; функции р(х), Q(x) и F{x) предполагаются конечной вариации. В качестве решений рассматри ваются непрерывно дифференцируемые функции и(х); первая производ или d2u пая которых абсолютно непрерывна; р-г-т; — абсолютно непрерывна; ах ах1 d ( d2u\ Гп — I р т- I — имеет конечное на [0; 1J изменение.
Изучению подобного уравнения, актуального в самых разнообразных разделах естествознания, посвящена обширная литература. Здесь можно отметить монографии Аткинсона Ф. [2], Завалищина СП., Сесекина А.Н. [21], а также работы [45], [55], [50], [29], [57], [59], [39], [56], [25], [4], [45], [51], [37], [36], в которых изучались дифференциальные уравнения четвёртого, а иногда и произвольного, порядка. Особо можно отметить публикации: Дерр В.Я. - [14], [15], [16], [18], [19]; В. Dekoninck, S. Nicaise [17]; Lagnese J.E., Leugering G., Schmidt E.J.P.G. [32], [33]; B. Lui [34].
Уравнения с обобщёнными коэффициентами традиционно исследуются с позиций теории распределений (по Шварцу-Соболеву). Их изучению посвящена достаточно обширная литература (здесь мы ограничимся отсылками к библиографии в [2] и в [21]). Однако, в некоторых вопросах теория распределений оказывается бессильна. Известен ряд не до конца решённых проблем в теории обобщённых функций, например, проблема перемножения обобщённых функций.
В диссертации обсуждается вопрос о положительности функции Гри 5
на краевой задачи для уравнения (1) (при краевых условиях). Эта проблема обычно обсуждается в рамках классической теории обыкновенных дифференциальных уравнений. Но эти методы оказываются непригодными для обобщённых производных, не позволяющих трактовать их как поточечные отображения из R в R. Эту трудность мы обходим, следуя концепции Ю.В. Покорного, показавшей свою эффективность для дифференциальных уравнений второго порядка (см., например, [20], [42], [43], [44], [48]), согласно которой уравнению (1) может быть придано поточечное представление d_(d_( fu\\ dQ_dF da \dx \ dx2JJ do da"1 где — означает обычное дифференцирование по сг-мере (по Радону-da
Никодиму); мера а определяется параметрами р(х), Q(x) и F(x) исходной задачи. Такой подход к проблеме требует переноса классических методов регулярной теории на случай дифференциальных уравнений четвёртого порядка с производными по мере.
Используемое понятие а-производной можно определить следующим образом: а-суммируемая функция f(x) называется сг-производной F(x), если на множестве полной а-меры х F(x) - J f(s) (da)(s) = const. Последняя формула позволяет определять значения f(x) = —F(x) в точке л т- da AF либо как предел отношения ——, либо как пару односторонних пределов Да (левая и правая производные, если они различны), либо как тройку чисел, которая получается добавлением промежуточного (между левым и правым)
Подобная ситуация возникает, например, при ренцировании функции Хевисайда 9(ж) (равной 1 при х 0 и нулю при x 0) по о(х) = x + Q(x), когда вместо привычного Э (х) = 5(х) в соответствующем уравнении (2) оказывается -j—(x) — тт(х), где тг(х) = 0 при х ф 0
В более общей ситуации уравнение (2) в точках, где а имеет скачок, принимает вид А(ри") + uAQ — AF, здесь Аф — скачок функции ф(х), т.е. Аф — -0( + 0)- ( -0). Именно таким образом мы "раскрываем" уравнение в сингулярных точках.
Пример нахождения достаточных условий положительно сти функции Грина
Пусть EQ — множество непрерывно дифференцируемых функций и(х), производная которых абсолютно непрерывна, вторая производная имеет конечное на [0; 1] изменение, причём «(0) = 0. Функционал описывает полную потенциальную энергию стержня, помещённого в упругую среду, локальный коэффициент упругости которой равен dQ (см. [47]), который деформировался под воздействием силы dF. Функции р(х), Q(x) и F(x) имеют конечное на [0; 1] изменение и непрерывны в точках х = 0 и х = 1, причём inf р(х) 0 и Q(x) не убывает. Так как и{х) и и {х) непре-рывны, то все интегралы в (1.1.1) понимаются по Риману-Стилтьесу.
Реальная деформация стержня щ(х) должна давать минимум функционала Ф(и) на множестве EQ. Применим схему Лагранжа к задаче
Для избавления от произвола h второй и третий интегралы в левой части равенства (1.1.3) дважды проинтегрируем по частям. Для этого введём в рассмотрение функции о Так как Q(x) — функция ограниченной вариации, то равенство (1.1.4) не определено для точек, принадлежащих S(Q), где S(g) — множество точек разрыва д(х). Для придания корректности функции (1.1.4) введём расшире ние отрезка [0; 1], обозначаемое нами через [0; l]s. Пусть S = S(Q) (J 5(F) — объединение множеств точек разрыва функций Q(x) и F{x). Если — одна из таких точек, то её мы заменяем на пару элементов { — 0; + 0} с сохранением естественной упорядоченности: х — 0 + 0 для всех ж , и—0 +0 для всех х . Расширение [0; 1]5 можно получить и строго математически. Пусть Q(x) = Q x) - Q2{x), F(x) = Fi(x) - F2(x) жордановы разложения функций Q(x) и F(x) соответственно на разность двух неубывающих функций. Положим
Здесь первое слагаемое обеспечивает строгую монотонность функции а(х). На множестве [0; 1]\5 определим метрику Аксиомы метрики проверяются непосредственно. Метрическое пространство [0; 1]\5 с метрикой р(х;у) очевидно не является полным, так как, например, последовательность { — -}, где Є 5 , фундаментальна по метрике р(х;у), но не является сходящейся в этом пространстве. Стандартное пополнение этого метрического пространства при водит к [0; l]s.
Рассмотрение функций Q(x), F{x) и (1-1.4) на множестве [0; l]s не приводит к недоразумениям, и в дальнейшем функции Q(x), F(x) и а(х) мы будем считать определёнными на [0; l]s. Заметим, что функция а(х) имеет ограниченную вариацию.
Тождество (1.1.15), с учётом обозначений (1.1.5) и (1.1.6), принимает вид X X (pu i)(x) = I F(t) dt - J a(t) dt, (1.1.19) о 0 а так как функции a\(x) и /3 (я) абсолютно непрерывны на [0; 1], производные а[(х) и /З (х) имеют конечное на [0; 1] изменение, то функция ри${х) абсолютно непрерывна на [0; 1], производная (ри о) (х) имеет на [0; 1] ограниченную вариацию. Следовательно, равенство (1.1.19) можно продифференцировать по х: (рио) (х) = F{x) - а(х). (1.1.20) Функции F(x) и а(х) = / UQ(S) d(Q(s)), определённые на множестве [0; 1]5, о оказываются сг-абсолютно непрерывными (по мере, порождённой функцией (1.1.7)). Поэтому производная (рид) (ж) также сг-абсолютно непрерывная, что позволит равенство (1.1.20) продифференцировать по мере а. Таким образом, почти при всех х (относительно меры а) справедливо равенство Ya{v )\x) + u0(x) Q(x) = F(X). (1.1.21)
В каждой точке Є 5(a) квазипроизводная (ри ) (х) может иметь скачок, что даёт тройное значение для -—(ри п) (х). Непосредственно в самой точке мы имеем отношение скачков
Наряду с этим в точке с помощью соответствующих односторонних предельных переходов определены ещё две производные: (ри о) ( — 0) и (ри о) ( + 0). Эта тройственность тройственность разрыва следует из представления о эквивалентного определению а-производной по Радону-Никодиму. Отмеченная многозначность толкования уравнения (1.1.21) в точках множества 5(a), а следовательно, и его неоднозначность на [0; 1], снимается задани ем уравнения (1.1.21) на множестве [0; l]ff = [0; l]s U S(a), то есть точки разрыва функции а(х) "вставлены", на прежние места. Из (1.1.19) получаем два равенства
