Неравенства Гильберта и Бесселя для некоторых систем функций Царева Анна Сергеевна

Содержание к диссертации

Введение

1 Оценки корневых функций обыкновенных линейных дифференциальных операторов второго порядка 20

1.1 Основные понятия 20

1.2 Оценка модуля корневой функции 23

1.3 Оценка модуля корневой функции и ее производной первого порядка через Ьг-нормы корневых функций цепочки 34

1.4 Оценки С- и Lp-норм корневых функций и их производных первого порядка 46

2 Достаточные условия бесселевости и гильбертовости некоторых систем корневых функций дифференциальных операторов второго порядка в пространстве Lp 50

2.1 Достаточное условие бесселевости систем корневых функций, выражаемое через систему экспонент 50

2.2 Некоторые вспомогательные факты 59

2.3 Критерий бесселевости систем собственных функций, выражаемый через линейную комбинацию тригонометрических функций 64

2.4 Критерий гильбертовости систем собственных функций, выражаемый через линейную комбинацию тригонометрических функций 72

3 Необходимые условия бесселевости и гильбертовости некоторых систем собственных функций обыкновенных дифференциальных операторов второго порядка при невыполненном условии Карлемана 76

3.1 Необходимое условие бесселевости систем собственных функций в пространстве L2 76

3.2 Необходимое условие гильбертовости систем собственных функций в пространстве Ь2 87

Литература 92

• Оценка модуля корневой функции
• Оценки С- и Lp-норм корневых функций и их производных первого порядка
• Некоторые вспомогательные факты
• Необходимое условие гильбертовости систем собственных функций в пространстве Ь2

Введение к работе

Настоящая диссертация посвящена исследованию спектральных свойств обыкновенных несамосопряженных дифференциальных операторов.

Изучаются вопросы, связанные с базисными свойствами (бесселевости, гиль-бертовости) систем корневых функций обыкновенного, линейного, вообще говоря, несамосопряженного дифференциального оператора второго порядка при невыполненном условии, Карл емана.

Исследования по спектральной теории обыкновенных дифференциальных операторов берут свое начало еще с классических работ Ж. Лиувилля, Ш. Штурма, а также более поздних работ В.А. Стеклова [76, 98], Л.Д. Тамаркина [100, 77], Д.Биркгофа [88] и других авторов, в которых изучались вопросы асимптотики собственных значений и сходимости спектральных разложений для различных классов краевых задач.

Длительное время основным объектом исследования были спектральные свойства самосопряженных дифференциальных операторов. На данный момент проблема базисности систем корневых функций в случае самосопряженных дифференциальных операторов и самосопряженных краевых условий в основном решена. Согласно теореме Дж. фон Неймана [95], система собственных функций формально самосопряженного дифференциального оператора с произвольными самосопряженными краевыми условиями, обеспечивающими точечный спектр, образует ортонормированный базис в пространстве L₂. Отметим, что в этой ситуации понятие дифференциального оператора, как и понятие его собственной функции, неразрывно связано с краевыми условиями, что соответствует классической теории линейных дифференциальных операторов [65].

Однако полвека тому назад возник целый ряд новых, неклассических задач математической физики (таких, как задачи об устойчивости турбулентной плазмы, расчета ядерных реакторов и т.д.), приводящих к изучению спектральных свойств несамосопряженных дифференциальных операторов. Примером задач та-

кого рода может служить известная задача Бицадзе-Самарского (см., например, [5]) с нелокальными краевыми условиями для уравнения теплопроводности.

Переход к несамосопряженным задачам усложнил исследование спектральных свойств дифференциальных операторов. Было замечено, что система собственных функций несамосопряженного оператора, вообще говоря, не только не образует базис, по которому можно разложить произвольную функцию из класса L₂, но и не является полной в L₂ (то есть произвольную функцию из класса L₂ не всегда можно приблизить с любой степенью точности в метрике L₂ линейной комбинацией собственных функций). Поэтому эта система должна быть пополнена так называемыми присоединенными функциями. При этом система собственных и присоединенных функций (которую называют также системой корневых функций) строится неоднозначно и не является, вообще говоря, ортогональной В 1#2. Отсутствие свойства ортогональности приводит к тому, что даже полная и минимальная в пространстве L₂ система корневых функций может не образовывать базиса в этом пространстве. Таким образом, переход к несамосопряженным задачам потребовал выработки новых, более тонких подходов к изучению спектральных свойств по сравнению с самосопряженным случаем.

Большой вклад в спектральную теорию несамосопряженных обыкновенных дифференциальных операторов внес М.В. Келдыш, исследовавший в работах [30, 31] полноту в L₂ систем корневых функций для некоторых классов краевых задач. Благодаря целому ряду работ, вызванных к жизни работами М.В. Келдыша, вопрос о полноте систем корневых функций на сегодняшний день достаточно хорошо изучен для весьма широкого класса краевых условий: см., в частности, работы В.Б. Лидского [47, 48], М.А. Наймарка [66, 67], В.Я. Визитея и А.С. Маркуса [14], А.С.Маркуса [59], А.М.Крола [40, 92], И.Стоуна [99], А.А. Шкаликова [86, 87], G.M. Пономарева [73], Н.М.Круковского [41, 42] и т.д.

После работ М.В. Келдыша и его последователей о полноте на первый план выдвинулась проблема базисности систем корневых функций в пространстве L₂. Г.М.Кесельману [35] и В.П. Михайлову [61] удалось выделить класс краевых условий (усиленно регулярные краевые условия, по терминологии Биркгофа), обеспечивавших базисность Рисса системы корневых функций в L₂ (термин "базис

Рисса" введен Н.К.Бари [3], см. также И.Ц. Гохбёрг и М.Г.Крейн [15]). Аналогичные результаты были получены так же в третьем томе известной монографии Н. Данфорда и Дж. Шварца [16].

Однако попытки расширить класс краевых условий, обеспечивающих базис-ность систем корневых функций, оказались безуспешными. В дальнейшем выяснилось, что эти неудачи были не случайными, а вызваны существом дела. Во всех перечисленных выше работах рассматривались операторы, у которых собственные значения, начиная с некоторого, однократны, а следовательно, собственные функции однозначно определяются краевыми условиями.

В работе Н.И. Ионкина [27] была рассмотрена одна неклассическая задача о распространении тепла в однородном стержне (частный случай задачи Бицадзе-Самарского). Методом разделения переменных она сводится к краевой задаче

—(р(х)и')'+ q(x)u = Хи, а < х < Ь; и(а)=0, и'(а) =и'(Ь),

краевые условия которой являются регулярными, но не усиленно регулярными. Все собственные значения этой задачи, начиная со второго, двукратны, а общее число присоединенных функций бесконечно. Тем не менее оказалось, что корневые функции этой задачи (при надлежащем их выборе) образуют базис 1,2(а; 6). Так, для задачи А.А. Самарского - Н.И. Ионкина и" + Хи = 0, 0 < х < 1,

11(0) = 0, u'(0)=u'(l)_f (2)

система ее корневых функций |sin(27rna;), |cos(27rna;)} _ образует безусловный базис и даже базис Рисса в L₂(0; 1).

Важно отметить следующий момент. В то время как система корневых функций {щ{х)} оператора

Lu = и" + ai(x)v! + а₂{х)и,

рассматриваемого на интервале G = (0;1), с краевыми условиями (2) и коэффициентами ai(x) = 0, а₂{х) = 0 при специальном выборе присоединенных функций обладает свойством базисности в _р(0; 1) при любом р > 1, система {и(х)} оператора с теми же краевыми условиями и с коэффициентами а,і(х) = є(х — 1/2), а₂{х) = (є²/4) (х — 1/2)² + є/4, где є > 0 - произвольное сколь угодно малое число,

не обладает свойством базисности ни при каком р > 1 и ни при каком выборе корневых функций. Отмеченная зависимость свойства базисности системы корневых функций от коэффициентов дифференциального оператора, при которой наличие базисности меняется на ее отсутствие для сколь угодно малого изменения коэффициентов, но при сохраненных краевых условиях, была показана В.А. Ильиным в работе [25]. Им же было замечено, что при наличии в системе бесконечного числа присоединенных функций свойство базисности существенно зависит от выбора корневых функций (для одного и того же оператора с одними и теми же краевыми условиями можно построить системы корневых функций, одни из которых образуют базис в L₂, а другие - нет).

Таким образом, для несамосопряженных краевых задач условия базисности, вообще говоря, нельзя выразить в терминах краевых условий и гладкости коэффициентов.

Рассмотрим формально несамосопряженный обыкновенный дифференциальный оператор произвольного порядка к

Lu = «<*> + _Pl(x)u<^k-^l) + р₂(х)и^-²^ + ... + р_к(х)и, (1)

определенный на некотором интервале G. Обычно (1) называют формальным дифференциальным выражением, и термин "дифференциальный оператор" употребляют только после присоединения к выражению (1) каких-либо конкретных краевых условий. Основанная на этом схема рассмотрения спектральных задач привязана к конкретным краевым условиям и не позволяет охватить системы корневых функций всех несамосопряженных краевых задач с точечным спектром. В связи с этим В.А. Ильин в 1976-1978 годах предложил новую трактовку корневых функций, которые понимаются как регулярные решения соответствующего уравнения безотносительно к виду краевых условий.

Такая трактовка позволяет рассматривать произвольные краевые условия (как локальные, так и нелокальные), системы функций, не связанных какими-либо краевыми условиями (в частности, системы экспонент), а также некоторые системы, полученные объединением подмножеств корневых функций двух различных краевых задач. Условия базисности в L₂ произвольной полной и минимальной системы корневых функций формулируются при этом не в терминах краевых условий, а в

терминах структуры множества собственных значений и в терминах соотношения между нормами корневых функций. При этом свойство базисности существенно зависит от выбора корневых функций.

Как показали работы В.А. Ильина [20, 21, 22, 23], условия базисности и равносходимости с тригонометрическим рядом в несамосопряженной ситуации более естественно выражать в терминах структуры спектра (то есть множества собственных значений) и в терминах соотношений между нормами корневых функций. Для краевых задач такие условия легко проверяются по первым членам асимптотики. Тем более, что для конкретных краевых задач давно разработаны методы отыскания асимптотических разложений собственных значений и корневых функций (см., в частности: Д. Биркгоф [88], Я.Д. Тамаркин [77,100], Р. Лангер [93, 94], М.В. Келдыш [30, 31], А.П. Хромов [83], М.В. Федорюк [81, 82], А.Г. Костюченко [36], А.Г. Костюченко и Б. Левитан [37] и т.д. (см. также библиографию в монографиях, М.А. Наймарка [65], Э.Ч. Титчмарша [78], Л. Чезари [84]). Поэтому полученные в терминах первых членов этих разложений условия базисности и равносходимости. с тригонометрическим рядом являются вполне конструктивными.

В работах [20, 21] В.А. Ильиным разработан метод исследования базисности в Ьг, произвольной полной и минимальной системы корневых функций, понимаемых в указанном выше смысле. Этот метод использовался и для получения результатов данной диссертации.

Метод основан на применении формул среднего значения. Для операторов второго порядка впервые двусторонняя формула была установлена Э.Ч. Титчмаршем [78], а ее односторонний аналог - В.В. Тихомировым [79], для операторов высокого порядка - Е.И. Моисеевым [62]. Для операторов четного порядка с негладкими коэффициентами - И.С. Ломовым [54]. Односторонний же аналог этой формулы был установлен в первоначальном варианте В. Коморником [91], а затем в различных модификациях - В.Д. Будаевым [7, 10], И.О. Ломовым [53],' В.М. Курбановым [43, 44].

На основе этих формул были получены оценки корневых функций В.А. Ильиным [20], в дальнейшем для операторов второго порядка в случае выполнения условия Карлемана И.С. Ломовым [49, 50, 51], для всех значений спектрального

параметра - В.В.Тихомировым [79, 80]. Неулучшаемые по порядку оценки для корневых функций дифференциального оператора произвольного четного порядка с гладкими коэффициентами {рі(х) Є Wi'(G),l = 2,n, pi(x) = 0) при всех значениях спектрального параметра приводятся в работах В.Д. Будаева [6, 9, 10], в исследовании В. Коморника [91]. Для операторов произвольного порядка с гладкими коэффициентами - в диссертации Н.Б. Керимова [34]. В дальнейшем оценки, полученные Н.Б. Керимовым, были распространены В.М. Курбановым [44] на случай дифференциального оператора произвольного порядка с комплекснознач-ными коэффициентами Рі(х) Є Li(G),l = 1,п. При этом значения спектрального параметра произвольны.

Далее с помощью этих оценок исследуются базисные свойства систем корневых функций. Как правило, при этом требуется достаточная гладкость коэффициентов дифференциального оператора и вводятся ограничения на спектр.

Будем утверждать, что для системы спектральных параметров, указанных выше, {i_n}^Li выполнено условие Карлемана, если

(3C)(VnJV) |Im//_n|

Впервые условие Карлемана было рассмотрено в известной работе [89]. Говорят, что система спектральных параметров {/}^ удовлетворяет условию "сумма единиц", если

(3M)(VnGiV)(V,u>0) JZ ¹<^м- (4)

Вначале критерий безусловной базисности на замкнутом интервале систем корневых функций в Ьі2 был получен В.А. Ильиным в работе [22].

Теорема (В.А. Ильин). Пусть

1) {«_n}^Li ~ произвольная полная и минимальная в L2{G) система корневых функций оператора второго порядка, а система {v_n}^_=l, биортогонально сопряженная в L2(G) к системе {и_п}₌₁, состоит из корневых функций оператора L*, формально сопряженного к оператору (1) при k = 2;

2) выполнено карлемановское условие (3).

Тогда для безусловной базисности в Li[G) каждой из систем {u_n}__v {v_ny^_=l

необходимо и достаточно существование констант М_1; Мъ таких, что

для всех т > 0, и \\и_п\\ \\v_n\\ < М₂, где через ||-|| обозначена норма в L,2(G).

Перечисленные результаты оказались новыми даже для систем экспонент.

В дальнейшем критерии безусловной базисности систем корневых функций дифференциального оператора изучались также В.Д. Будаевым [10], И.С. Ломовым [52, 53], Л.В. Крицковым [38], Н.Б. Керимовым [34], В.М. Курбановым [44].

Для исследования свойства безусловной базисности систем функций гильбертова пространства используются понятия бесселевой и гильбертовой системы. Приведем соответствующие определения.

Систему {е_п}^₌₁ элементов гильбертова пространства Н будем называть бесселевой, если

(3/3>0)(У/еН)2|(/,_Єп)|²<^||/||²,

71=1

где (, ) - скалярное произведение, а ||-|) - норма в Н.

Систему {е_п}₌₁ элементов гильбертова пространства Н будем называть гильбертовой, если

(3a>0)(V/eH)^|(/,e_n)|²>a||/||².

71 = 1

Выписанные неравенства и будем называть неравенствами Бесселя и Гильберта, соответственно, а константы a, J3 - константами Гильберта и Бесселя.

В дальнейшем Н = L₂(0; 1), а (, ) и ||-|| - скалярное произведение и норма в г(0; 1), \\-\\_г, IHloo - норма в пространствах Za(0; 1), Loo(0; 1) соответственно.

Изучение свойств бесселевости и гильбертовости - важнейшая задача спектральной теории, поскольку по известным теоремам Н.К. Бари [3] и Лорча [15] установление безусловной базисности той или иной системы функций {и_п}^.₁ в Н сводится к установлению бесселевости, гильбертовости и равномерной минимальности системы {u_n||u_n||~ } _., либо к установлению бесселевости системы {«_п ||и_п||^_1} и {у_п ||'^п||^_1}_п_₁ (где {v_n} - система биортогонально сопряженная к {и_п} в Н), полноты и минимальности одной из этих систем.

Для получения критерия безусловной базисности систем корневых функций линейных дифференциальных операторов четного порядка с гладкими коэффици-

ентами В.Д. Будаевым в [10, с. 156] был установлен критерий бесселевости. Кроме того, критерии бесселевости систем корневых функций дифференциальных операторов хорошо изучены в работах И.С. Ломова [53, 52, 55], Л.В. Крицкова [39], Н.Б.Керимова [33]. В.М. Курбанов [44] распространил данный критерий на операторы произвольного порядка с негладкими коэффициентами.

Теорема (В.Д. Будаев) (Критерий бесселевости). Пусть {и_п}'^_₁ - произвольная система корневых функций оператора (1) при к = 2т (т > 2), причем

1. ранг собственных функций этой системы равномерно ограничен;

2. выполнено карлемановское условие (3); 3)выполнена антиаприорная оценка

\\впип-і\\ < А\\и_п\\ (5)

с константой, не зависящей от и_п.

Тогда для бесселевости системы {и_п ||и_п||~^г} в Ьг(С?) необходимо и достаточно выполнение условия (4) "сумма единиц" и условия Н.В. Керимова

у KfiL < _const. аг,

M\^UnII где /jLq - произвольное фиксированное, Ц-Ц^ - норма в L^G), а константы не зависят от N.

Критерий безусловной базисности, опирающийся на приведенный критерий бесселевости, использует биортогонально сопряженную к {и_п} систему {v_n}, состоящую из корневых функций оператора L*, сопряженного к оператору L. А именно, при выполненных карлемановском условии (3), антиаприорной оценке (5) для обеих из систем {и_п}, {v_n} необходимыми и достаточными условиями безусловной базисности в Хг((?) каждой из этих систем являются полнота в L>2(G) хотя бы одной из них, условие (4) "сумма единиц", условие ||w„||_L2/_G) ||и_п||_І2(_Сл < const для всех п и условия Н.Б. Керимова, выполненные для каждой из систем.

Проанализируем, насколько вызваны существом дела некоторые условия из сформулированных теорем, а также конструктивность этих условий для конкретных краевых задач.

Неравенство "сумма единиц", как следует из критерия безусловной базисности В.Д. Будаева, является одним из достаточных и необходимых условий безуслов-

ной базисности в 2/2 (G) систем корневых функций дифференциального оператора высокого порядка. Оно позволяет утверждать, что у спектральных параметров отсутствуют конечные точки сгущения, ранг собственных функций равномерно ограничен, а также оно позволяет занумеровать корневые функции в порядке неубывания |^_п|. Остальные неравенства, содержащиеся в теоремах о безусловной базисности, кроме неравенства Карлемана, являются конструктивными условиями. Для их проверки обычно выписываются асимптотические формулы для собственных значений и корневых функций, причем, как правило, достаточно выписать только главные члены асимптотики.

Возникает вопрос. Насколько "естественно" введение условия Карлемана?

В докторской диссертации Н.Б. Керимова [34] была доказана следующая теорема:

Теорема (Н.Б. Керимов).

Пусть \u-nSn=\ ~~ произвольная минимальная в L_P(G) (1 < р < со) система, состоящая из корневых функций оператора

Lu = и" + q(x)u (q(x) Є L_x(G)), (6)

где G - конечный интервал вещественной оси. Пусть выполнены следующие два условия:

3. ранг собственных функций равномерно ограничен;

4. система {Уп}^, биортогопально сопряженная к {и_п}₌₁, состоит из корневых функций оператора L*, формально сопряженного к оператору L.

Если {«n}^Li образует базис пространства L_P(G), то существует постоянная Со такая, что для всех номеров п справедливо неравенство

\1т/л_п\ < С₀.

Однако, в силу условия 2) теорема (Н.Б. Керимова) охватывает далеко не все возможные системы корневых функций. Так, например, в работе "Безусловные базисы из экспонент и воспроизводящих ядер" [69, 70, 71, 72], состоящей из четырех частей, содержится описание семейств частот {/i_n}^Li, Для которых экспоненты

{е^,ДпХ}_п_₁ образуют безусловный базис в пространстве L₂(0;a) при условии

inf Im;u_n > — оо или suplm//_n < +00.
« я

В этой же работе В.И. Васюниным и С.А. Виноградовым построены безусловные базисы из экспонент {е.^ЩпХ}=\, удовлетворяющие условиям:

inf Im/i„ > 0, suplm/x_n = +00

^п п

inf Ітц_п < О, supIm/Лц = —00.
^п п

A.M. Минкин [60] освободился от ограничений inf Im/i_n > —со, рассмотрев тем самым общий случай. Этот критерий безусловной базисности системы экспонент в случае ее полноты состоит в том, что

а) порции спектра в верхней и нижней полуплоскостях удовлетворяют условию Карлесона [90]:

п *^х

б) спектр отделим;

Ate - А^

Mfc — Мэт

>0;

в) для квадрата модуля порождающей функции выполнено условие Макенха-упта на некоторой прямой R — гу, у > 0.

Однако, если пункты а) и б) легко подвергаются геометрической интерпретации, то применение последнего условия (пункт в) для построения конкретных примеров вызывает определенные затруднения. Во-первых, систему спектральных параметров {[і_п}₌і не удается показать в явном виде. Во-вторых, в данных работах не указываются и способы построения биортогональной системы к системе экспонент {e^t/inX}^l₁.

Таким образом, изучение базисных свойств систем корневых функций в случае невыполнения условия Карлемана становится обоснованным и актуальным.

Поскольку построение биортогональной системы является весьма непростой задачей даже для многих систем синусов, косинусов и экспонент, актуальнейшей проблемой представляется изучение условий гильбертовости, что позволило бы исследовать безусловную базисность данной системы функций без привлечения биортогональной системы.

Отметим, что гильбертовая в L₂(G) система является полной в Li2(G), но не обязательно минимальной. Поэтому свойство гильбертовости системы шире свойства безусловной базисности. Впервые неравенство Гильберта было изучено В.А. Ильиным в работе [24], в которой получены достаточные условия гильбертовости системы собственных функций оператора Лапласа для произвольной "радиальной" функции, отличной от нуля лишь в шаре малого радиуса. В дальнейшем этот вопрос изучался в работах Г.Е. Шикиной [85], А.А. Малова [56, 57, 58].

Будаевым В.Д. в работах [11, 12, 13] предложен следующий подход к изучению гильбертовости, а заодно и бесселевости: предполагая, что некоторая система функций является гильбертовой и бесселевой с константами аи/3 соответственно, рассмотреть вопрос о том, будет ли "возмущенная" система (то есть система, у которой некоторые параметры несколько изменены) гильбертовой и бесселевой. В дальнейшем данный подход был разработан Н.В. Ассоновой [2]. Отметим, что впервые подобный подход был представлен Пэли и Винером [96] для изучения базисности конкретной системы Іе¹^"¹"*⁵")¹}, п — — оо,+оо, в L₂(—7г; тг). Точная оценка "возмущения" 6 для этой системы была получена М.И. Кадецом [28].

Надо отметить, что большинство из перечисленных работ используют условие Карлемана, что, как было показано (см. работу [69]), не совсем "естественно".

Перейдем к изложению основных результатов диссертации.

Работа состоит из введения, трех глав и списка литературы. Каждая из глав разбита на параграфы.

Исследуется проблема бесселевости и гильбертовости систем корневых функций обыкновенных, линейных, вообще говоря, несамосопряженных дифференциальных операторов второго порядка:

Lu = и" + q(x)u, q(x) Є Li(G) (6)

на конечном интервале G = (а; Ь) вещественной оси. Корневые функции данного оператора понимаются по В.А. Ильину, то есть безотносительно к виду краевых условий. При этом считается, что мнимые части спектральных параметров достаточно велики по модулю, то есть не выполено условие Карлемана.

В первой главе диссертационной работы вводятся основные понятия, получены точные оценки значений корневых функций и их первых производных через нормы корневых функций, стоящих с данной в одной цепочке.

Приведем основные теоремы первой главы.

Теорема 1.2.3. Для и^ — корневой функции k-го порядка (k = 0,1,2,...), оператора (6) при \и\ > Hq, где /io - достаточно большое положительное число, и |Im/x| > 3/mes(G) справедливы оценки:

М*)| < Сг (l^jll + _е-іьщ.|я ,_Im/,| А _Ыыа),

\щ(х)\ < С₂

_{Л і}^д_і

|Im/i|i

|Im/ip

(k = 1,2,...),

К(ж)| < Сз llm/xl? ||ujfe||_MG) (A = 1, 2,...),

гспектральный параметр, соответствующий и^; х Є G; R - расстояние от точки х до границы интервала G, то есть R = dist {х; dG}, константы Сі, Сг, Сз не зависят от А, //, х, а зависят от порядка функции щ, меры интервала G и коэффициента оператора q(x).

Доказательство теоремы 1.2.1 основывается на формулах среднего Э.Ч. Титч-марша [78].

В параграфе 1.3 с помощью левосторонних и правосторонних формул среднего В.В. Тихомирова [79] доказываются следующие точные по порядку оценки:

Теорема 1.3.2. Для всех \fj,\ > /л₀, где /j,q — достаточно большое положительное число, вообще говоря, выбор которого зависит от q(x) — коэффициента дифференциального оператора (6) и меры интервала G, и |Im/^| > 3(mesG)^-1 справедливы оценки

Ых)\ < CVTb^e-^|In*^|aЕ ~_{ \\uU\_L2(_G),

i=o \Р\

\и'_к(х)\ < Сгу^е-^^Г-^ \\u_k^\\_L2{G),

где х Є G, R = dist{a;, SG} > О, константы С и Сі зависят лишь от меры интервала G, k - порядка корневой функции и q - коэффициента оператора (6).

Теорема 1.3.2. обобщает результат В.В. Тихомирова [80] для собственных функций на случай присоединенных функций произвольного порядка.

Оценки теорем 1.2.3 и 1.3.2 неулучшаемы по порядку, что подтверждают примеры, приведенные в конце параграфов 1.2 и 1.4.

Во второй главе диссертации получены достаточные условия бесселевости и гильбертовости систем корневых функций дифференциального оператора (6) в случае невыполнения условия Карлемана.

Параграф 2.1 посвящен доказательству теоремы 2.1.1, указывающей достаточные условия бесселевости некоторых нормированных систем корневых функций и их первых производных по интервалу G = (а; Ь).

Теорема 2.1.1. Пусть {и_щк}^ - произвольная система корневых функций дифференциального оператора (6) на конечном интервале G = (а;6), у которой ранг собственных функций равномерно ограничен. При |1т/л_п| > (Xq {п = Г, 2,...), где //о - некоторое достаточно большое положительное число (выбор которого, вообще говоря, зависит от коэффициента q(x) дифференциального оператора (6), меры интервала G) из бесселевости системы экспонент в Li ((b + а)/2; 6)7

_е\і»п\х^2(Ь-хУ\Ітц_п\^в

s=0

>,

к _e|lm/x„|s Y,(b - x)^s |Іт/л_п| s=0

і₂((Ь+о)/2;Ь)

следует бесселевостъ нормированных систем корневых функций и их производных в Li{G)

V>n,k I J ^Un,k

K,fc|lL₂(G)J Urn,fc||_L2(G)

Доказательство теоремы 2.1.1 опирается на оценки, полученные в параграфах 1.2 и 1.3.

Теорема 2.1.1 позволяет сводить вопрос о бесселевости нормированных систем корневых функций и их первых производных к исследованию того же свойства у соответствующих систем экспонент. В связи с этим хотелось бы отметить, что базисные свойства систем экспонент, косинусов и синусов изучены достаточно хорошо. В частности, можно перечислить следующие работы: Н.К. Никольский, B.C.

Павлов, СВ. Хрущев [69, 70, 71], Н.Б. Керимов [32, 33], Е.И. Моисеев [63, 64], Г.Г. Девдариани [18, 19], A.M. Минкин [60], Б.Т. Билалов [4], A.M. Седлецкий [74, 75] и другие.

В заключение параграфа полученные результаты применяются к конкретным примерам. Все примеры рассматриваются впервые.

Теоремы, доказываемые во втором параграфе второй главы, носят вспомогательный характер и в дальнейшем используются в третьем и четвертом параграфах второй главы, где с помощью оценок из первой главы диссертации получены критерии, соответственно, бесселевости и гильбертовости некоторых систем собственных функций дифференциального оператора (6). Результаты теорем этих двух параграфов верны и при невыполненном условии Карлемана. Надо отметить, что ранее работ, посвященных этому вопросу, не было. Главным результатом этих параграфов являются теоремы 2.3.1 и 2.4.1, в которых выясняется тесная взаимосвязь между наличием свойств, соответственно, бесселевости и гильбертовости у нормированной системы собственных функций дифференциального оператора (6) и наличием этого же свойства у соответствующей нормированной системы линейных комбинаций синусов и косинусов. В конце параграфа приведены примеры, иллюстрирующие теоремы 2.3.1 и 2.4.1.

В третьей главе диссертации получены необходимые условия бесселевости и гильбертовости систем собственных функций дифференциального оператора (6) при невыполненном условии Карлемана. Глава состоит из двух параграфов.

Отметим, что необходимое условие бесселевости системы собственных функций дифференциального оператора (1) было получено В.М. Курбановым в работе [45, 46]:

Теорема 3.1.1. Для бесселевости системы собственных функций дифференциального оператора (1), где коэффициенты Рі(х), Р2{х), >Рк{^) Є Li(G),

{^u«IMfi(G)}_n=1 необходимо

J2 \М*)\² \K\\l²_2{G) < const(l + r),Vr > 0,ж Є G,

Ійі|<т

const не зависит от х.

В параграфе 3.1 получено необходимое условие бесселевости нормированной системы собственных функций дифференциального оператора (6) при требовании невыполнения условия Карлемана:

Теорема 3.1.2. Пусть {и_п}^_₁ - система собственных функций дифференциального оператора (1.1.1) на интервале G = (—1,1), a {ц_п}^-і - соответствующая система спектральных параметров, для которой выполнены следующие условия:

1) |Im//_n| > 1,5 п = 1,2,...;

%) ІМпІ > /^о > 0, где //о достаточно велико и, вообще говоря, зависит от коэффициента q оператора (1.1.1);

3) ряд ^2 сходится;

п=1 оо

4) ряд ]Г) е^-2'¹"¹''"' сходится.

Если нормированная система {и_п ||и„||^- }_п_, бесселева в 1/2(-1; 1), то и

/_e-t-sgn(Im/i„)/i„i ||_e-t-sgn(Im/Xn)/*na:|| ^l\ f (_ei-sgn(lmfi_n)fi_nx |l_ei-sgn(Im^„)/i„xll ^ll A

является бесселевой в пространстве 1^(0; 1).

В конце параграфа приведены примеры, иллюстрирующие теорему 3.1.2.

В примере 3.1.1 рассматривается система собственных функций дифференциального оператора (6) {и_п(х) \\и_п\\~¹} , соответствующая системе спектральных параметров {и_п = гп}'^_=к, где К - достаточно большое натуральное число. Если к рассматриваемой системе применить теорему 3.1.1, то можно убедиться, что для нее будет выполнено необходимое условие бесселевости. Однако, если для той же системы собственных функций использовать теорему 3.1.2, то можно убедиться, что данная система не бесселева. Это подтверждает, что теорема 3.1.2 охватывает классы систем собственных функций, не рассматриваемые теоремой 3.1.1.

В параграфе 3.2 получены необходимые условия гильбертовости нормированных систем собственных функций дифференциального оператора (6) при невыполненном условии Карлемана.

Теорема 3.2.1. Пусть {и_п}₌₁ - система собственных функций дифференциального оператора (1.1.1) на интервале G = (—1,1), а {ц_п}=і ~ соответствующая система спектральных параметров, для которой выполнены следующие

условия:

5. \lmu_n\> 1,5 п = 1,2,...;

6. |а*п| > Мо > О, где / достаточно велико и, вообще говоря, зависит от коэффициента q оператора (1.1.1);

3) ряд Y2 ІА^пІ^-2 сходится, и его сумма достаточно мала;

п=1

4) ряд Y1 е^_2'^1тМп1 сходится, и его сумма достаточно мала.

п=1

Если система {и_п\\и_п\\~ }_п=1 гильбертова в Ьг(—1;1), то и нормированная система

f_e-i-sgn(Im/j„)/i_ni ||_e-z.sgn(Im^„)/i„x||^-1\ ( f _gtsgn(Im^_n)Ai„:E \\_ei-sgn(lmfi_n)n_nxU~^l\ \

является гильбертовой в пространстве І/г(0; 1).

Доказательство теорем 3.1.2 и 3.2.1 основывается на оценках, полученных в первой главе данной диссертации. В конце параграфа приведены примеры, иллюстрирующие теорему 3.2.1.

В перспективе возможно рассмотрение в рамках данного подхода, задач, в которых изучаются системы корневых функций и их первых производных обыкновенных дифференциальных операторов высокого порядка.

Результаты диссертации излагаются в работах автора, которые приведены в конце списка литературы [101]-[109].

Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю профессору Виктору Дмитриевичу Будаеву за постановку проблемы и постоянное внимание к работе.

Оценка модуля корневой функции

Изучаются вопросы, связанные с базисными свойствами (бесселевости, гиль-бертовости) систем корневых функций обыкновенного, линейного, вообще говоря, несамосопряженного дифференциального оператора второго порядка при невыполненном условии, Карл емана. Исследования по спектральной теории обыкновенных дифференциальных операторов берут свое начало еще с классических работ Ж. Лиувилля, Ш. Штурма, а также более поздних работ В.А. Стеклова [76, 98], Л.Д. Тамаркина [100, 77], Д.Биркгофа [88] и других авторов, в которых изучались вопросы асимптотики собственных значений и сходимости спектральных разложений для различных классов краевых задач.

Длительное время основным объектом исследования были спектральные свойства самосопряженных дифференциальных операторов. На данный момент проблема базисности систем корневых функций в случае самосопряженных дифференциальных операторов и самосопряженных краевых условий в основном решена. Согласно теореме Дж. фон Неймана [95], система собственных функций формально самосопряженного дифференциального оператора с произвольными самосопряженными краевыми условиями, обеспечивающими точечный спектр, образует ортонормированный базис в пространстве L2. Отметим, что в этой ситуации понятие дифференциального оператора, как и понятие его собственной функции, неразрывно связано с краевыми условиями, что соответствует классической теории линейных дифференциальных операторов [65].

Однако полвека тому назад возник целый ряд новых, неклассических задач математической физики (таких, как задачи об устойчивости турбулентной плазмы, расчета ядерных реакторов и т.д.), приводящих к изучению спектральных свойств несамосопряженных дифференциальных операторов. Примером задач та кого рода может служить известная задача Бицадзе-Самарского (см., например, [5]) с нелокальными краевыми условиями для уравнения теплопроводности.

Переход к несамосопряженным задачам усложнил исследование спектральных свойств дифференциальных операторов. Было замечено, что система собственных функций несамосопряженного оператора, вообще говоря, не только не образует базис, по которому можно разложить произвольную функцию из класса L2, но и не является полной в L2 (то есть произвольную функцию из класса L2 не всегда можно приблизить с любой степенью точности в метрике L2 линейной комбинацией собственных функций). Поэтому эта система должна быть пополнена так называемыми присоединенными функциями. При этом система собственных и присоединенных функций (которую называют также системой корневых функций) строится неоднозначно и не является, вообще говоря, ортогональной В 1#2. Отсутствие свойства ортогональности приводит к тому, что даже полная и минимальная в пространстве L2 система корневых функций может не образовывать базиса в этом пространстве. Таким образом, переход к несамосопряженным задачам потребовал выработки новых, более тонких подходов к изучению спектральных свойств по сравнению с самосопряженным случаем.

Большой вклад в спектральную теорию несамосопряженных обыкновенных дифференциальных операторов внес М.В. Келдыш, исследовавший в работах [30, 31] полноту в L2 систем корневых функций для некоторых классов краевых задач. Благодаря целому ряду работ, вызванных к жизни работами М.В. Келдыша, вопрос о полноте систем корневых функций на сегодняшний день достаточно хорошо изучен для весьма широкого класса краевых условий: см., в частности, работы В.Б. Лидского [47, 48], М.А. Наймарка [66, 67], В.Я. Визитея и А.С. Маркуса [14], А.С.Маркуса [59], А.М.Крола [40, 92], И.Стоуна [99], А.А. Шкаликова [86, 87], G.M. Пономарева [73], Н.М.Круковского [41, 42] и т.д.

Оценки С- и Lp-норм корневых функций и их производных первого порядка

После работ М.В. Келдыша и его последователей о полноте на первый план выдвинулась проблема базисности систем корневых функций в пространстве L2. Г.М.Кесельману [35] и В.П. Михайлову [61] удалось выделить класс краевых условий (усиленно регулярные краевые условия, по терминологии Биркгофа), обеспечивавших базисность Рисса системы корневых функций в L2 (термин "базис Рисса" введен Н.К.Бари [3], см. также И.Ц. Гохбёрг и М.Г.Крейн [15]). Аналогичные результаты были получены так же в третьем томе известной монографии Н. Данфорда и Дж. Шварца [16]. Однако попытки расширить класс краевых условий, обеспечивающих базис-ность систем корневых функций, оказались безуспешными. В дальнейшем выяснилось, что эти неудачи были не случайными, а вызваны существом дела. Во всех перечисленных выше работах рассматривались операторы, у которых собственные значения, начиная с некоторого, однократны, а следовательно, собственные функции однозначно определяются краевыми условиями. В работе Н.И. Ионкина [27] была рассмотрена одна неклассическая задача о распространении тепла в однородном стержне (частный случай задачи Бицадзе-Самарского). Методом разделения переменных она сводится к краевой задаче —(р(х)и ) + q(x)u = Хи, а х Ь; и(а)=0, и (а) =и (Ь), краевые условия которой являются регулярными, но не усиленно регулярными. Все собственные значения этой задачи, начиная со второго, двукратны, а общее число присоединенных функций бесконечно. Тем не менее оказалось, что корневые функции этой задачи (при надлежащем их выборе) образуют базис 1,2(а; 6). Так, для задачи А.А. Самарского - Н.И. Ионкина и" + Хи = 0, 0 х 1, 11(0) = 0, u (0)=u (l)f (2) система ее корневых функций sin(27rna;), cos(27rna;)} _ образует безусловный базис и даже базис Рисса в L2(0; 1). Важно отметить следующий момент. В то время как система корневых функций {щ{х)} оператора Lu = и" + ai(x)v! + а2{х)и, рассматриваемого на интервале G = (0;1), с краевыми условиями (2) и коэффициентами ai(x) = 0, а2{х) = 0 при специальном выборе присоединенных функций обладает свойством базисности в р(0; 1) при любом р 1, система {и(х)} оператора с теми же краевыми условиями и с коэффициентами а,і(х) = є(х — 1/2), а2{х) = (є2/4) (х — 1/2)2 + є/4, где є 0 - произвольное сколь угодно малое число, не обладает свойством базисности ни при каком р 1 и ни при каком выборе корневых функций. Отмеченная зависимость свойства базисности системы корневых функций от коэффициентов дифференциального оператора, при которой наличие базисности меняется на ее отсутствие для сколь угодно малого изменения коэффициентов, но при сохраненных краевых условиях, была показана В.А. Ильиным в работе [25]. Им же было замечено, что при наличии в системе бесконечного числа присоединенных функций свойство базисности существенно зависит от выбора корневых функций (для одного и того же оператора с одними и теми же краевыми условиями можно построить системы корневых функций, одни из которых образуют базис в L2, а другие - нет). Таким образом, для несамосопряженных краевых задач условия базисности, вообще говоря, нельзя выразить в терминах краевых условий и гладкости коэффициентов. Рассмотрим формально несамосопряженный обыкновенный дифференциальный оператор произвольного порядка к Lu = « + Pl(x)u k-l) + р2(х)и -2 + ... + рк(х)и, (1) определенный на некотором интервале G. Обычно (1) называют формальным дифференциальным выражением, и термин "дифференциальный оператор" употребляют только после присоединения к выражению (1) каких-либо конкретных краевых условий. Основанная на этом схема рассмотрения спектральных задач привязана к конкретным краевым условиям и не позволяет охватить системы корневых функций всех несамосопряженных краевых задач с точечным спектром. В связи с этим В.А. Ильин в 1976-1978 годах предложил новую трактовку корневых функций, которые понимаются как регулярные решения соответствующего уравнения безотносительно к виду краевых условий.

Некоторые вспомогательные факты

Такая трактовка позволяет рассматривать произвольные краевые условия (как локальные, так и нелокальные), системы функций, не связанных какими-либо краевыми условиями (в частности, системы экспонент), а также некоторые системы, полученные объединением подмножеств корневых функций двух различных краевых задач. Условия базисности в L2 произвольной полной и минимальной системы корневых функций формулируются при этом не в терминах краевых условий, а в терминах структуры множества собственных значений и в терминах соотношения между нормами корневых функций. При этом свойство базисности существенно зависит от выбора корневых функций.

Как показали работы В.А. Ильина [20, 21, 22, 23], условия базисности и равносходимости с тригонометрическим рядом в несамосопряженной ситуации более естественно выражать в терминах структуры спектра (то есть множества собственных значений) и в терминах соотношений между нормами корневых функций. Для краевых задач такие условия легко проверяются по первым членам асимптотики. Тем более, что для конкретных краевых задач давно разработаны методы отыскания асимптотических разложений собственных значений и корневых функций (см., в частности: Д. Биркгоф [88], Я.Д. Тамаркин [77,100], Р. Лангер [93, 94], М.В. Келдыш [30, 31], А.П. Хромов [83], М.В. Федорюк [81, 82], А.Г. Костюченко [36], А.Г. Костюченко и Б. Левитан [37] и т.д. (см. также библиографию в монографиях, М.А. Наймарка [65], Э.Ч. Титчмарша [78], Л. Чезари [84]). Поэтому полученные в терминах первых членов этих разложений условия базисности и равносходимости. с тригонометрическим рядом являются вполне конструктивными.

В работах [20, 21] В.А. Ильиным разработан метод исследования базисности в Ьг, произвольной полной и минимальной системы корневых функций, понимаемых в указанном выше смысле. Этот метод использовался и для получения результатов данной диссертации.

Метод основан на применении формул среднего значения. Для операторов второго порядка впервые двусторонняя формула была установлена Э.Ч. Титчмаршем [78], а ее односторонний аналог - В.В. Тихомировым [79], для операторов высокого порядка - Е.И. Моисеевым [62]. Для операторов четного порядка с негладкими коэффициентами - И.С. Ломовым [54]. Односторонний же аналог этой формулы был установлен в первоначальном варианте В. Коморником [91], а затем в различных модификациях - В.Д. Будаевым [7, 10], И.О. Ломовым [53], В.М. Курбановым [43, 44].

На основе этих формул были получены оценки корневых функций В.А. Ильиным [20], в дальнейшем для операторов второго порядка в случае выполнения условия Карлемана И.С. Ломовым [49, 50, 51], для всех значений спектрального параметра - В.В.Тихомировым [79, 80]. Неулучшаемые по порядку оценки для корневых функций дифференциального оператора произвольного четного порядка с гладкими коэффициентами {рі(х) Є Wi (G),l = 2,n, pi(x) = 0) при всех значениях спектрального параметра приводятся в работах В.Д. Будаева [6, 9, 10], в исследовании В. Коморника [91]. Для операторов произвольного порядка с гладкими коэффициентами - в диссертации Н.Б. Керимова [34]. В дальнейшем оценки, полученные Н.Б. Керимовым, были распространены В.М. Курбановым [44] на случай дифференциального оператора произвольного порядка с комплекснознач-ными коэффициентами Рі(х) Є Li(G),l = 1,п. При этом значения спектрального параметра произвольны.

Далее с помощью этих оценок исследуются базисные свойства систем корневых функций. Как правило, при этом требуется достаточная гладкость коэффициентов дифференциального оператора и вводятся ограничения на спектр. Будем утверждать, что для системы спектральных параметров, указанных выше, {in} Li выполнено условие Карлемана, если (3C)(VnJV) Im//n C. (3) Впервые условие Карлемана было рассмотрено в известной работе [89]. Говорят, что система спектральных параметров {/} удовлетворяет условию "сумма единиц", если (3M)(VnGiV)(V,u 0) JZ 1 м- (4) li Refin fi+l Вначале критерий безусловной базисности на замкнутом интервале систем корневых функций в Ьі2 был получен В.А. Ильиным в работе [22]. Теорема (В.А. Ильин). Пусть 1) {«n} Li произвольная полная и минимальная в L2{G) система корневых функций оператора второго порядка, а система {vn} =l, биортогонально сопряженная в L2(G) к системе {ип}=1, состоит из корневых функций оператора L , формально сопряженного к оператору (1) при k = 2; 2) выполнено карлемановское условие (3). Тогда для безусловной базисности в Li[G) каждой из систем {un}_v {vny =l необходимо и достаточно существование констант М1; Мъ таких, что T Re/in T+l для всех т 0, и \\ип\\ \\vn\\ М2, где через - обозначена норма в L,2(G). Перечисленные результаты оказались новыми даже для систем экспонент. В дальнейшем критерии безусловной базисности систем корневых функций дифференциального оператора изучались также В.Д. Будаевым [10], И.С. Ломовым [52, 53], Л.В. Крицковым [38], Н.Б. Керимовым [34], В.М. Курбановым [44]. Для исследования свойства безусловной базисности систем функций гильбертова пространства используются понятия бесселевой и гильбертовой системы. Приведем соответствующие определения. Систему {еп} =1 элементов гильбертова пространства Н будем называть бесселевой, если оо (3/3 0)(У/еН)2(/,Єп)2 /2, 71=1 где (, ) - скалярное произведение, а -) - норма в Н. Систему {еп}=1 элементов гильбертова пространства Н будем называть гильбертовой, если оо (3a 0)(V/eH) (/,en)2 a/2. 71 = 1 Выписанные неравенства и будем называть неравенствами Бесселя и Гильберта, соответственно, а константы a, J3 - константами Гильберта и Бесселя. В дальнейшем Н = L2(0; 1), а (, ) и - - скалярное произведение и норма в г(0; 1), \\-\\г, IHloo - норма в пространствах Za(0; 1), Loo(0; 1) соответственно.

Изучение свойств бесселевости и гильбертовости - важнейшая задача спектральной теории, поскольку по известным теоремам Н.К. Бари [3] и Лорча [15] установление безусловной базисности той или иной системы функций {ип} .1 в Н сводится к установлению бесселевости, гильбертовости и равномерной минимальности системы {unun } _., либо к установлению бесселевости системы {«п ип_1} и {уп п_1}п_1 (где {vn} - система биортогонально сопряженная к {ип} в Н), полноты и минимальности одной из этих систем.

Необходимое условие гильбертовости систем собственных функций в пространстве Ь2

Для получения критерия безусловной базисности систем корневых функций линейных дифференциальных операторов четного порядка с гладкими коэффици ентами В.Д. Будаевым в [10, с. 156] был установлен критерий бесселевости. Кроме того, критерии бесселевости систем корневых функций дифференциальных операторов хорошо изучены в работах И.С. Ломова [53, 52, 55], Л.В. Крицкова [39], Н.Б.Керимова [33]. В.М. Курбанов [44] распространил данный критерий на операторы произвольного порядка с негладкими коэффициентами. Теорема (В.Д. Будаев) (Критерий бесселевости). Пусть {ип} _1 - произвольная система корневых функций оператора (1) при к = 2т (т 2), причем 1) ранг собственных функций этой системы равномерно ограничен; 2) выполнено карлемановское условие (3); 3)выполнена антиаприорная оценка \\впип-і\\ А\\ип\\ (5) с константой, не зависящей от ип. Тогда для бесселевости системы {ип ип г} в Ьг(С?) необходимо и достаточно выполнение условия (4) "сумма единиц" и условия Н.В. Керимова у KfiL const. АГ, M Re „ JV I\UnII где /JLQ - произвольное фиксированное, Ц-Ц - норма в L G), а константы не зависят от N. Критерий безусловной базисности, опирающийся на приведенный критерий бесселевости, использует биортогонально сопряженную к {ип} систему {vn}, состоящую из корневых функций оператора L , сопряженного к оператору L. А именно, при выполненных карлемановском условии (3), антиаприорной оценке (5) для обеих из систем {ип}, {vn} необходимыми и достаточными условиями безусловной базисности в Хг((?) каждой из этих систем являются полнота в L 2(G) хотя бы одной из них, условие (4) "сумма единиц", условие w„L2/G) ипІ2(Сл const для всех п и условия Н.Б. Керимова, выполненные для каждой из систем. Проанализируем, насколько вызваны существом дела некоторые условия из сформулированных теорем, а также конструктивность этих условий для конкретных краевых задач. Неравенство "сумма единиц", как следует из критерия безусловной базисности В.Д. Будаева, является одним из достаточных и необходимых условий безуслов ной базисности в 2/2 (G) систем корневых функций дифференциального оператора высокого порядка. Оно позволяет утверждать, что у спектральных параметров отсутствуют конечные точки сгущения, ранг собственных функций равномерно ограничен, а также оно позволяет занумеровать корневые функции в порядке неубывания п. Остальные неравенства, содержащиеся в теоремах о безусловной базисности, кроме неравенства Карлемана, являются конструктивными условиями. Для их проверки обычно выписываются асимптотические формулы для собственных значений и корневых функций, причем, как правило, достаточно выписать только главные члены асимптотики.

Возникает вопрос. Насколько "естественно" введение условия Карлемана? В докторской диссертации Н.Б. Керимова [34] была доказана следующая теорема: Теорема (Н.Б. Керимов). Пусть \u-nSn=\ произвольная минимальная в LP(G) (1 р со) система, состоящая из корневых функций оператора Lu = и" + q(x)u (q(x) Є Lx(G)), (6) где G - конечный интервал вещественной оси. Пусть выполнены следующие два условия: 1) ранг собственных функций равномерно ограничен; 2) система {Уп} , биортогопально сопряженная к {ип}=1, состоит из корневых функций оператора L , формально сопряженного к оператору L. Если {«n} Li образует базис пространства LP(G), то существует постоянная Со такая, что для всех номеров п справедливо неравенство \1т/лп\ С0. Однако, в силу условия 2) теорема (Н.Б. Керимова) охватывает далеко не все возможные системы корневых функций. Так, например, в работе "Безусловные базисы из экспонент и воспроизводящих ядер" [69, 70, 71, 72], состоящей из четырех частей, содержится описание семейств частот {/in} Li, Для которых экспоненты {е,ДпХ}п_1 образуют безусловный базис в пространстве L2(0;a) при условии inf Im;un — оо или suplm//n +00. « я В этой же работе В.И. Васюниным и С.А. Виноградовым построены безусловные базисы из экспонент {е.ЩпХ}=\, удовлетворяющие условиям: inf Im/i„ 0, suplm/xn = +00 п п или inf Ітцп О, supIm/Лц = —00. п п A.M. Минкин [60] освободился от ограничений inf Im/in —со, рассмотрев тем самым общий случай. Этот критерий безусловной базисности системы экспонент в случае ее полноты состоит в том, что а) порции спектра в верхней и нижней полуплоскостях удовлетворяют условию Карлесона [90]: х кфп б) спектр отделим; Ate - А Mfc — Мэт 0; в) для квадрата модуля порождающей функции выполнено условие Макенха-упта на некоторой прямой R — гу, у 0. Однако, если пункты а) и б) легко подвергаются геометрической интерпретации, то применение последнего условия (пункт в) для построения конкретных примеров вызывает определенные затруднения. Во-первых, систему спектральных параметров {[іп}=і не удается показать в явном виде. Во-вторых, в данных работах не указываются и способы построения биортогональной системы к системе экспонент {et/inX} l1.

Таким образом, изучение базисных свойств систем корневых функций в случае невыполнения условия Карлемана становится обоснованным и актуальным.

Поскольку построение биортогональной системы является весьма непростой задачей даже для многих систем синусов, косинусов и экспонент, актуальнейшей проблемой представляется изучение условий гильбертовости, что позволило бы исследовать безусловную базисность данной системы функций без привлечения биортогональной системы. Отметим, что гильбертовая в L2(G) система является полной в Li2(G), но не обязательно минимальной. Поэтому свойство гильбертовости системы шире свойства безусловной базисности. Впервые неравенство Гильберта было изучено В.А. Ильиным в работе [24], в которой получены достаточные условия гильбертовости системы собственных функций оператора Лапласа для произвольной "радиальной" функции, отличной от нуля лишь в шаре малого радиуса. В дальнейшем этот вопрос изучался в работах Г.Е. Шикиной [85], А.А. Малова [56, 57, 58].

Будаевым В.Д. в работах [11, 12, 13] предложен следующий подход к изучению гильбертовости, а заодно и бесселевости: предполагая, что некоторая система функций является гильбертовой и бесселевой с константами аи/3 соответственно, рассмотреть вопрос о том, будет ли "возмущенная" система (то есть система, у которой некоторые параметры несколько изменены) гильбертовой и бесселевой. В дальнейшем данный подход был разработан Н.В. Ассоновой [2]. Отметим, что впервые подобный подход был представлен Пэли и Винером [96] для изучения базисности конкретной системы Іе1 "1" 5")1}, п — — оо,+оо, в L2(—7г; тг). Точная оценка "возмущения" 6 для этой системы была получена М.И. Кадецом [28].

Теорема 2.1.1 позволяет сводить вопрос о бесселевости нормированных систем корневых функций и их первых производных к исследованию того же свойства у соответствующих систем экспонент. В связи с этим хотелось бы отметить, что базисные свойства систем экспонент, косинусов и синусов изучены достаточно хорошо. В частности, можно перечислить следующие работы: Н.К. Никольский, B.C. Павлов, СВ. Хрущев [69, 70, 71], Н.Б. Керимов [32, 33], Е.И. Моисеев [63, 64], Г.Г. Девдариани [18, 19], A.M. Минкин [60], Б.Т. Билалов [4], A.M. Седлецкий [74, 75] и другие.

В заключение параграфа полученные результаты применяются к конкретным примерам. Все примеры рассматриваются впервые.

Теоремы, доказываемые во втором параграфе второй главы, носят вспомогательный характер и в дальнейшем используются в третьем и четвертом параграфах второй главы, где с помощью оценок из первой главы диссертации получены критерии, соответственно, бесселевости и гильбертовости некоторых систем собственных функций дифференциального оператора (6). Результаты теорем этих двух параграфов верны и при невыполненном условии Карлемана. Надо отметить, что ранее работ, посвященных этому вопросу, не было. Главным результатом этих параграфов являются теоремы 2.3.1 и 2.4.1, в которых выясняется тесная взаимосвязь между наличием свойств, соответственно, бесселевости и гильбертовости у нормированной системы собственных функций дифференциального оператора (6) и наличием этого же свойства у соответствующей нормированной системы линейных комбинаций синусов и косинусов. В конце параграфа приведены примеры, иллюстрирующие теоремы 2.3.1 и 2.4.1. В третьей главе диссертации получены необходимые условия бесселевости и гильбертовости систем собственных функций дифференциального оператора (6) при невыполненном условии Карлемана. Глава состоит из двух параграфов.

Похожие диссертации на Неравенства Гильберта и Бесселя для некоторых систем функций

Разработка теории нормированных систем функций и их применения к решению начально-краевых задач для уравнений в частных производныхКарачик Валерий Валентинович

Неортонормированные фундаментальные системы функций оператора ЛапласаСолдатова Милена Александровна

Базисность и равномерная минимальность систем корневых функций обыкновенных дифференциальных операторовКеримов, Назим Бахыш оглы

Исследование свойств гамильтоновых систем и функций цены в динамических моделях ростаУсова, Анастасия Александровна

Безусловная базисность систем корневых функций обыкновенных дифференциальных операторовБудаев, Виктор Дмитриевич

Абсолютная устойчивость двумерных систем с гистерезисной функцией релейного типаЕвдокимов Сергей Маратович

Свойства функции быстродействия линейной системы в критическом случаеРодионова, Алла Григорьевна

Построение функции Ляпунова для линейных систем со случайными коэффициентамиХайтхам, Абдулраззак Махди

Система осцилляторов, связанных единой управляющей функциейСалобутина Евгения Олеговна

Матричные фундаментальные оператор-функции вырожденных операторно-дифференциальных системКоробова Ольга Викторовна