Введение к работе
Актуальность темы. Современные проблемы естествознания приводят к необходимости обобщения классических краевых задач для уравнений с частными производными, а также к постановке качественно новых задач и разработке методов их исследования. Один из классов качественно новых задач, сформировавшийся на этом пути, образуют задачи с нелокальными условиями. К задачам с нелокальными условиями различного вида приводит математическое моделирование некоторых физических процессов в том случае, когда граница протекания процесса недоступна для непосредственных измерений, но могут быть получены некоторые соотношения между значениями искомого решения и его производных в различных граничных и, возможно, внутренних точках области.
Одним из источников задач с нелокальными условиями, связывающими значения искомого решения и его производных в различных точках границы, явилась статья В.А. Стеклова1, в которой изучается процесс остывания неоднородного стержня. Математическое моделирование этого процесса привело к поиску решения уравнения теплопроводности, удовлетворяющего на границе х = 0, х = I условиям
aiux(0, t) + d2Ux(l, t) + <2з^(0, t) + а^и(1, t) = 0,
(0.1) bmx(0, t) + b2ux(l, t) + b3u(0, t) + bAu(l, t) = 0,
которые впоследствии стали называть условиями смещения.
Задачи со смещением для уравнений различных типов, в том числе для уравнений смешанного типа и уравнений высокого порядка, изучались в работах Ф.И. Франкля, A.M. Нахушева, В.И. Жегалова, В.А. Ильина, Е.И. Моисеева, А.Н. Зарубина, Н.И. Ионкина, А.П. Солдатова, О.А. Репина.
^^Стеклов В.А. Задача об охлаждении неоднородного твердого тела. // Сообщения Харьковского матем. общества. 1896. Т.5, №3-4, с. 136-181
Среди первых работ, посвященных исследованию задач с нелокальными интегральными условиями для уравнений с частными производными, отметим статьи Дж.Кэннона (J.R. Cannon)2 и Л.И. Камынина3, опубликованные в 1963 и 1964 годах соответственно. В этих работах изучен вопрос о разрешимости уравнения теплопроводности с нелокальными по пространственной переменной интегральными условиями.
Исследования нелокальных задач для параболических уравнений были продолжены в работах Н.И. Ионкина, Л.А. Муравья и А.В. Филиновского, СМ. Алексеевой и Н.И. Юрчука, А. Bouziani, А.И. Кожанова, З.А. Нахушевой.
Начало систематического исследования нелокальных задач для эллиптических уравнений положено в статье А.В. Бицадзе и А.А. Самарского4, опубликованной в 1969 г. Дальнейшие глубокие результаты исследования разрешимости и качественных свойств решений нелокальных задач для эллиптических уравнений были получены в работах А.К. Гущина, А.К. Гущина и В.П. Михайлова, А.Л. Скубачевского, Е.М. Галахова и А.Л. Скубачев-ского.
Нелокальные задачи для гиперболических уравнений стали объектом исследований позже, в 90-х годах 20 века, и в настоящее время активно изучаются. Отметим работы Д.Г. Гордезиани, Г.А. Авалишвили, A. Bouziani, А.И. Кожанова, Л.С. Пулькиной.
В настоящей диссертационной работе исследуются нелокальные задачи для гиперболических уравнений: задача с динамическим смещением и задачи с интегральными по пространственной переменной условиями.
Отметим некоторые работы, которые явились толчком для
2J.R. Cannon. The solution of heat equation subject to the specification of energy. //Quart. Appl. Math. 1963. V.21, №2. Pp.155-160.
3Камынин Л.И. Об одной краевой задаче теории теплопроводности с неклассическими условиями. //Журнал вычислительной математики и математической физики. 1964. Т.4. №6. С. 1006-1024.
4Бицадзе А.В., Самарский А.А. О некоторых простейших обобщениях эллиптических задач. // ДАН СССР. 1969. Т.185. №4. С.739-740.
исследований, представленных в диссертации.
В статьях Н.Л. Лажетича (1998, 2006 гг.) изучена задача со смещением (0.1) для гиперболического уравнения
utt - ихх + q(x)u = 0.
Им была установлена ее однозначная разрешимость методом разделения переменных. Решающую роль при обосновании разрешимости играло условие самосопряженности оператора
—v"(x) + q(x)v(x) = 0
с областью определения, порождаемой условиями смещения
aivx(0) + a2vx(l) + a3v(0) + aAv{l) = 0,
(0.2) M*(0) + b2vx(l) + M(0) + hv(l) = 0,
в которых щ, bj— заданные постоянные. Существенным обобщением условия (0.1) являются динамические условия смещения:
ai(t)ux(0, t) + a,2(t)ux(l,t) + as(t)u(0, t) + a±(t)u(l,t) = 0,
(0.3) &i(*K(0, t) + h(t)ux(l,t) + b3(t)u(0, t) + h{t)u{lt) = 0.
Задачи с такими условиями для параболического уравнения изучались А.И. Кожановым. Для гиперболического уравнения А.И. Кожанов и Л.С. Пулькина рассмотрели задачу с комбинацией динамических смещений и интегральных условий.
В предложенной диссертационной работе исследована задача с динамическими условиями смещения в ином, нежели в упомянутых работах, функциональном пространстве, и полученные результаты использованы для доказательства разрешимости задачи с нелокальными интегральными условиями I рода для гиперболического уравнения.
Целью настоящей работы является исследование разрешимости задачи с динамическими условиями смещения В.И. Стек-
лова и задач с нелокальными условиями I рода для гиперболического уравнения. Заметим, что оба класса задач, рассмотренных в работе, тесно связаны между собой.
Общая методика исследования. В работе используются методы теории дифференциальных уравнений с частными производными, интегральных уравнений, аппарат функциональных пространств С.Л. Соболева.
Научная новизна. В диссертации получены следующие новые результаты:
-
Доказана однозначная разрешимость задачи с динамическими условиями смещения для гиперболического уравнения.
-
Разработан метод сведения интегральных условий первого рода к интегральным условиям второго рода специального вида и доказана их эквивалентность.
-
Доказана однозначная разрешимость двух задач с интегральными условиями первого рода для гиперболического уравнения.
Все результаты диссертации являются новыми.
Теоретическая и практическая значимость. Работа носит теоретический характер. Полученные результаты могут быть использованы для дальнейшего развития теории нелокальных задач, для применения в исследовании прикладных задач, математическими моделями которых являются задачи с нелокальными интегральными условиями.
Апробация работы. Основные результаты доложены на следующих семинарах:
научном семинаре кафедры уравнений математической физики механико-математического факультета Самарского государственного университета в 2008, 2009 гг. (руководитель - д.ф-м.н., профессор О.П. Филатов);
научном семинаре кафедры уравнений математической физики механико-математического факультета Самарского государ-
ственного университета "Неклассические задачи математической физики". 2010-2011 г. (руководитель - д.ф-м.н., профессор Пуль-кина Л.С);
научном семинаре кафедры математического анализа физико-математического факультета Поволжской государственной социально-гуманитарной академии в 2010г. (руководитель - д.ф-м.н., профессор К.Б. Сабитов); а так же на конференциях:
Воронежской весенней математической школе "Понтрягин-ские чтения Ц XIX "Современные методы теории краевых задач". Воронеж, 2008;
VII школе молодых ученых "Нелокальные краевые задачи и проблемы современного анализа и информатики". Нальчик -Хабез. Июнь, 2010;
международной конференции "Дифференциальные уравнения и динамические системы". Суздаль. Июль 2010;
девятой молодежной научной школе-конференции "Лобачевские чтения - 2010". Казань, октябрь 2010;
Воронежской весенней математической школе "Понтрягин-ские чтения - XXII". Воронеж, май 2011;
IX школе молодых ученых "Нелокальные краевые задачи и проблемы современного анализа и информатики". Кабардино-Балкария, Нальчик, май, 2011;
конференции "Дифференциальные уравнения и их приложения", СамДиф - 2011. Самара, июнь 2011;
международной конференции "Комплексный анализ и его приложения в дифференциальных уравнениях и теории чисел", Белгород, октябрь, 2011;
международной конференции молодых ученых "Математическое моделирование фрактальных процессов, родственные проблемы анализа и информатики". Кабардино-Балкария, Нальчик, 2011.
Публикации. По теме диссертации опубликовано 12 работ,
которые отражают ее основные результаты. Список публикаций приведен в конце автореферата. Работы [12], [11] опубликованы в соавторстве с научным руководителем, которому принадлежит постановка задачи. 3 работы: [10], [12], [11] опубликованы в изданиях, рекомендованных ВАК.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения и двух глав, разбитых на параграфы, списка литературы из 83 наименований, включая работы автора. Объем диссертации составляет 95 страниц машинописного текста.
