Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Нелокальные задачи для вырождающегося уравнения гиперболического типа 21
1.1. Поиск частных решений 21
1.2. Нелокальная начально - граничная задача 23
1.3. Нелокальная задача с граничными условиями первого рода . 33
1.4. Нелокальная задача с граничными условиями второго рода . 40
1.5. Нелокальные задачи со смешанными граничными условиями . 48
Глава 2. Нелокальные задачи для вырождающегося уравнения эллиптического типа 55
2.1. Поиск частных решений 55
2.2. Нелокальная задача с граничными условиями первого рода 56
2.3. Нелокальная задача с граничными условиями второго рода 62
2.4. Нелокальная задача в полуполосе 68
Глава 3. Нелокальные задачи для вырождающегося уравнения смешанного типа 74
3.1. Нелокальная задача с граничными условиями первого рода 74
3.2. Нелокальная задача с граничными условиями первого рода в полуполосе 87
3.3. Нелокальная задача с граничными условиями второго рода . 93
3.4. Нелокальные задачи со смешанными граничными условиями . 100
Библиографический список 112
- Нелокальная задача с граничными условиями первого рода
- Нелокальные задачи со смешанными граничными условиями
- Нелокальная задача с граничными условиями первого рода
- Нелокальная задача с граничными условиями первого рода в полуполосе
Введение к работе
Одним из важных разделов современной теории дифференциальных уравнений с частными производными является теория краевых задач для вырождающихся уравнений смешанного типа. Такой интерес объясняется как теоретической значимостью получаемых результатов, так и их важными практическими приложениями в околозвуковой газовой динамике, в магнито и гидродинамических течениях с переходом через скорость звука, в теории бесконечно малых изгибаний поверхностей, в теории электронного рассеивания и других областях.
Начиная с известных работ Ф. Трикоми и С. Геллерстедта, систематическое изучение краевых задач для уравнений смешанного типа проводилось в работах Ф.И. Франкля, К.И. Бабенко, А.В. Бицадзе, Т.Д. Джураева, В.Ф. Волко-давова, СП. Пулькина, М.М. Смирнова, М.С. Салахитдипова, В.И. Жегалова, A.M. Нахушева, Е.И. Моисеева, К.Б. Сабитова, А.П. Солдатова и других математиков.
Нелокальная задача с граничными условиями первого рода
Для того чтобы понять уникальность воды необходимо рассмотреть ее молекулярную структуру. Молекула воды состоит из одного атома кислорода и двух атомов водорода, причём атом кислорода имеет не спаренную р-электронную пару (СИ. Аксёнов 1990). Длина связи О-Н составляет 0,957 А, угол между связями — 104,523.
Атом кислорода из-за своей высокой электроотрицательности смещает на себя электроны от атомов водорода, на которых создаётся избыточный положительный заряд. Избыточный отрицательный заряд атома кислорода концентрируется вокруг двух центров, соответствующих его не спаренному р-электронному облаку в соответствии с (рис. 2). Таким образом, центры зарядов молекулы оказываются расположенными в вершинах тетраэдра (рис. 2 ). Такое строение молекулы позволяет ей участвовать в образовании четырёх водородных связей, в двух из которых она выступает донором протона, а в двух других — его акцептором. Это свойство является определяющим для всех свойств воды, которые обычно связывают с её биологической ролью (Д. Эйзенберг, В. Кауцман, 1975).
Особенностью структуры воды являются легкие подвижные молекулы с большим дипольным моментом, способные образовывать направленные тетраэдрически координированные водородные связи. Другой структурной особенностью является наличие во многом самостоятельной протонной подсистемы (В.Я. Антонченко с соавт., 1991; М.В. Киров, 2001).
В работе (Т.Р. Radhakrishnan, В. С. Herndon, 1997) путем ab initio расчетов кластеров воды установлена существенная зависимость энергии конфигураций от конформационной ориентации водородно-связанных молекул. Конформационный аспект молекулярной организации жидкой воды имеет сложный многоуровневый характер. Выделяют различные аспекты ее структуры: геометрический, топологический, временной и т.д. Наглядным представлением структуры воды является модель непрерывной сетки водородных связей (Г.Г. Маленков, 1984; М.В. Киров, 2001). Изучению свойств этой сетки, особенно методами компьютерного моделирования, посвящено большое число публикаций (M.F. Chaplin, 2000,2001; В.И. Лобышев с соавт., 2003; А.К. Лященко, B.C. Дуняшев, 2003). Поскольку жидкая вода имеет нерегулярную структуру, в ней нет четкого деления водородных связей по конформационным типам. Вместо дискретного набора конформаций имеется некоторое распределение связей по конформационному углу.
Однако сложность воды не ограничивается нерегулярностью сетки водородных связей. Важной структурной особенностью является изменчивость этой сетки. Изменения могут быть вызваны как изменением температуры, так и растворенными в воде химическими веществами. При этом изменяется и направление водородных связей, и топология сетки. Широко известно, что вода играет важную роль в биосистемах, а также принимает непосредственное участие в функционировании биополимеров. Этим прежде всего и объясняется повышенный интерес ученых к изучению свойств воды в биообъектах.
В последнее время возрос интерес к исследованию свойств воды на микроскопическом уровне. Так, для понимания многих вопросов физики поверхностных явлений необходимо знать свойства воды на границе раздела фаз. Отсутствие строгих представлений о структуре воды, об организации воды на молекулярном уровне приводят к тому, что при изучении свойств водных растворов как в объемной фазе, так и в капиллярных системах вода часто рассматривается как бесструктурная жидкость, при этом теряется уникальная информация о свойствах граничных слоев, которые, как оказывается, во многом определяют природу процессов, протекающих в микрообъектах, содержащих водную фазу.
Вода является ассоциированной жидкостью, структурные особенности которой определяются ее специфическим строением и особенным характером межмолекулярных взаимодействий (специфическая водородная связь). Под структурой воды понимают пространственное расположение молекул, определяемое особенностями строения самих молекул (длины связей, углы) и их взаимодействиями, в которых важную роль играет водородная связь (Н. Г. Зацепина, 1987).
Исследованию структуры жидкой воды были посвящены многочисленные работы (Д.Д. Бернал, 1956; О.Я. Самойлов, 1957; В.П. Селезнев, В.П. Мартаков, 1981; В.А. Акуличев с соавт., 1986; Н.Г. Зацепина, 1987; Е.Д. Щукин, 1988; Дж. Г. Уотерсон, 1991; A.G. Kalinichev, J. D. Buss, 1997; A.G. Kalinichev, S.U. Churakov, 2001). Однако полной ясности в этом вопросе до сих пор нет. При всей беспорядочности структуры жидкой воды в ней существуют определенные повторяющиеся агрегаты молекул. Частично в жидкой воде сохраняются элементы структуры льда с характерной для него системой водородных связей (О.Я. Самойлов, 1957; A.G. Kalinichev, S.U. Churakov, 2001), а в остальном она представляет собой более плотное вещество с неупорядоченными связями. Обе формы находятся в состоянии подвижного равновесия, и поэтому неотделимы друг от друга (О.Я. Самойлов, 1957; Ю.М. Кесслер, А.Л. Зайцев, 1989). Вода образует правильную сетку водородных связей вокруг растворенных в ней молекул. При этом клатратные сетки воды настолько просторны, что находящиеся внутри них молекулы свободно вращаются, о чем говорит сравнение вращательных спектров молекул в воде и в вакууме (СП. Габуда, 1982).
Нелокальные задачи со смешанными граничными условиями
Миллиметровые волны (Х= 1-Ю мм), соответствующие КВЧ диапазону (f =300-30 ГГц), были освоены сравнительно недавно. Успехи в освоении КВЧ диапазона связаны с разработкой и промышленным выпуском ламп обратной волны типа 0 - это широкополосные генераторы когерентных колебаний с электрической перестройкой частоты. Ученые, разработавшие серию оригинальных генераторов, перекрывающих весь миллиметровый диапазон, первыми сформулировали идею о важности КВЧ колебаний в функционировании живой клетки и биологических объектов различной степени организации (О.В. Бецкий, 1994). В чем же заключается уникальность ЭМВ миллиметрового диапазона? "Миллиметровая" проблема - это часть общей проблемы воздействия слабых и сверх слабых электромагнитных полей на живые организмы. Считается 34 общепринятым утверждение о том, что наиболее интересные биологические эффекты наблюдаются при слабых воздействиях ЭМИ. Это связано с проблемой так называемого "парадокса сверхмалых доз" (О.В. Бецкий с соавт., 2003). Впервые этот эффект был обнаружен в области фармакологии. Было показано, что при использовании многих лекарственных препаратов, в дозах значительно меньших общепринятых, терапевтический эффект не уменьшается, а иногда проявляется даже в большей степени.
Применительно к электромагнитобиологии можно говорить о "парадоксе сверхмалых сигналов". Дело в том, что миллиметровые волны сильно поглощаются в воде и водных растворах. Например, слой воды толщиной в 1 мм ослабляет КВЧ излучение в 102 раз на длине волны Я,=8мм и в 104 раз - при 1=1 мм. Это играет важную роль при облучении кожи человека волнами КВЧ диапазона. Кожа примерно на 65% состоит из воды (связанная и свободная вода), следовательно, КВЧ излучение почти полностью поглощается эпидермисом на глубине 0,3-0,5 мм. Но, тем не менее в пределах досягаемости КВЧ волн оказываются кожные рецепторы, свободные нервные окончания, микрокапилляры и иммунокомпетентные клетки (депо Т-лимфоцитов). Миллиметровые волны относятся к классу неионизирующих излучений, т.е. они не могут оказывать влияние на "жизнь" атомно-молекулярных систем, не могут приводить к необратимым эффектам в этих системах в отличие от ионизирующих излучений (от УФ-излучения до у-волн). Энергия кванта излучения hv в КВЧ диапазоне меньше средней энергии теплового движения кТ. Для А,=1мм hv= 1,17хЮ"3 эВ, тогда как при комнатной температуре кТ= 2,53 10"2эВ (О.В. Бецкий, 1994). Биологические эффекты ЭМИ зависят от энергии (мощности) ЭМВ. В зависимости от этого параметра различают слабые (нетепловые) и сильные (тепловые) воздействия.
Сейчас признано, что пограничной является плотность потока энергии порядка 10 мВт/см , причем нагрев биологической ткани при этом повышается не более чем на 0,1 С, что на уровне целого организма является физиологически незначимой величиной (О.В. Бецкий, 1994). Таким образом был поставлен вопрос не об энергетическом, а об информационном воздействии ЭМВ КВЧ диапазона на биологические объекты (О.В. Бецкий с соавт., 2003). С проблемой нетепловых уровней мощности при рассмотрении воздействия ЭМИ на биологические объекты тесно связана проблема энергетических и информационных воздействий. При энергетическом (тепловом) воздействии происходит превращение электромагнитной энергии в тепловую, вызывающую биологические эффекты. При малых или сверхмалых плотностях мощности ЭМВ возникает микронагрев тканей, который имеет место при воздействии любой ЭМВ. Этот микронагрев не играет существенной роли, а механизм воздействия на биологический объект может определяться совершенно другими физическими процессами. В подобных случаях говорят об информационном действии ЭМИ на биологический объект.
Нелокальная задача с граничными условиями первого рода
Для определения гемолитической устойчивости эритроцитов к воздействию ДСН и "резонансных частот" ЭМИ КВЧ использовали эритроциты крови белых беспородных крыс, отмытых в изотоническом 0,9% растворе NaCl путем центрифугирования (3000g, 15 мин). Для предотвращения оседания эритроцитов суспензию периодически перемешивали. Для облучения эритроцитов использовали генератор сигналов высокочастотный Г4-142 (Россия), колориметрические измерения проводили на спектрофотометре Spekol 221 (Carl Zeiss, ГДР) и "Флуорат - Панорама 02" (Россия). Исследование токсического действия МЗ на биообъекты проводили на культуре Paramecium caudatum, предоставленной к.б.н. Малининой Ю.А. из коллекции ГосНИОРХ. Двигательную активность парамеций определяли инструментально с помощью импульсного фотометра "Биотестер-2". Эксперименты проводили в соответствии с методом, допущенным для целей государственного экологического контроля (ПНД Ф Т 14.1:2:3:4.2-98). Фото- и флуориметрию, а так же исследование упругого рассеяния света растворов проводили на спектрофлуориметре "Флуорат - Панорама 02" фирмы Люмекс (Россия), имеющем спектральный диапазон оптического излучения, используемого для анализа, в канале возбуждения 210-730 нм, в канале пропускания 210-730 нм, в канале люминесценции 210-690 нм. Оптическая схема прибора (рис.4) обеспечивает прохождение световых потоков от источника света через монохроматоры к кювете с анализируемой пробой и далее на соответствующие фотоприёмники. Схема прибора условно разбита на четыре канала: осветительный (возбуждения люминесценции), опорный, канал пропускания (фотометрический) и флуориметрический (регистрации люминесценции). В фотометрическом режиме работы анализатора излучение, вышедшее из осветительного монохроматора (1), проходит через светоделительную пластину (5), кварцевую кювету (6) с исследуемым веществом (7) и, отражаясь от зеркала (10), попадает на приёмник излучения (11) фотометрического канала.
Электрический сигнал этого приёмника зависит от: 1) оптической плотности пробы, находящейся в кювете, 2) интенсивности зондирующего света. Как в режиме фото- так и флуориметрии после осветительного монохроматора (1) часть света отражается от светоделительной пластины (5) и попадает на приёмник излучения (12) опорного канала. Электрический сигнал этого приёмника зависит только от интенсивности падающего света и поэтому может служить для коррекции нестабильности сигналов флуориметрического и фотометрического приёмников, которая обусловлена энергетической нестабильностью работы лампы от импульса к импульсу. Для повышения достоверности результатов в анализаторе наряду с коррекцией сигналов по флуориметрическому и фотометрическому каналам на сигнал опорного канала, применяется метод усреднения информации по заданному числу вспышек импульсной лампы. Во флуориметрическом режиме работы анализатора после монохроматора возбуждения (1) свет выделенного спектрального диапазона проходит через светоделительную пластинку (5) и попадает в кюветное отделение, где располагается кварцевая кювета (6) с исследуемым веществом (7).
Излучение люминесцирующих компонентов пробы попадает во флуориметрический канал (4), где монохроматором регистрации (8) выделяется нужная спектральная область. Максимумы полосы люминесценции большинства примесей имеют спектральный сдвиг относительно максимумов полос их возбуждения в сторону больших длин волн. Поэтому для регистрации сигналов люминесценции в оптимальных условиях настройка монохроматора флуориметрического канала должна быть смещена относительно настройки монохроматора возбуждения. Отфильтрованный монохроматором регистрации световой поток регистрируется фотоприёмником (9) - фотоэлектронным умножителем (ФЭУ). С ФЭУ на вход электронного измерительного блока поступает электрический импульс.
Нелокальная задача с граничными условиями первого рода в полуполосе
Согласно теории упругого рассеяния жидкостями А. Эйнштейна, предполагается, что размеры оптических неоднородностеи в среде малы по сравнению с длиной волны света. Вблизи критических точек фазовых переходов интенсивность флуктуации значительно возрастает и размеры областей неоднородностеи становятся сравнимы с длиной волны света, что приводит к резкому увеличению рассеяния света средой (И.Л. Фабелинский, 1965). Эти эффекты описываются теорией Орнштейна-Цернике. Физическая идея этой теории состоит в том, что вблизи критической точки сильное возрастание сжимаемости приводит к большим изменениям плотности среды даже под действием очень малых сил. В таких условиях возникшая флуктуация плотности может оказать влияние на состояние среды на расстояниях, значительно превосходящих радиус молекулярного взаимодействия в обычных условиях. Свободная энергия теперь зависит не только от —, но и от градиента этой величины. Таким образом, две флуктуации плотности Api и Ар2, возникшие в двух соседних объемах V і и V 2, уже более не являются статистически независимыми, как это считалось раньше, хотя и в этом случае предполагается, что с ростом расстояния между двумя соседними флуктуациями взаимодействие уменьшается и, наконец, на большом расстоянии они снова могут рассматриваться как независимые (И.Л. Фабелинский, 1965). Измерение молекулярного рассеяния света позволяет зафиксировать увеличение радиуса корреляции воды в присутствии растворенного вещества. Исследовать рассеяние света приповерхностной водой липосом невозможно, т.к. сами липосомы сильно рассеивают свет. Поэтому нами исследовалось рассеяние света объемной водой в присутствии МЗ в концентрациях 5x10" -5x10"13 %, которую можно рассматривать как модель приповерхностной воды (М.Ф. Вукс, Л.В. Шурупова, 1976). Результаты проведенных исследований водных растворов МЗ свидетельствуют о способности последнего в определенных концентрациях значительно увеличивать светорассеяние. Концентрации МЗ, используемые в эксперименте достаточно низкие, поэтому увеличение светорассеяния не может быть связано с флуктуациями концентрации во всем указанном интервале. Следовательно, наблюдаемое увеличение интенсивности светорассеяния, по крайней мере в области низких концентраций МЗ, следует связывать с существованием флуктуации плотности растворителя в критической области.
Объяснить увеличение светорассеяние можно флуктуациями структуры и увеличением размера флуктуации. Как было сказано выше подобного рода флуктуации возникают вблизи критической точки фазового Ji-перехода. При образовании "гигантских флуктуации" плотности воды, свет рассеивается более интенсивно (М.Ф. Вукс, Л.В. Шурупова, 1976), что и было нами обнаружено (рис.13). Значимые отличия в интенсивности рассеяния света водными растворами МЗ от рассеяния чистой водой наблюдаются в области концентраций 5х10-3-5х1(Г9%. Для фазового Х-перехода существуют аномалии термодинамических свойств. Особенностью фазового .-перехода является снижение, практически до ноля, коэффициента диффузии вещества в растворе. Поэтому, нами для проверки предположения о том, что присутствие МЗ в водной фазе приводит к фазовому -переходу в структуре сетки водородных связей воды, проводилось измерение коэффициента диффузии флуоресцентного зонда в водных растворах МЗ в соответствующем интервале концентраций. Поскольку, мы предположили, что протекторное действие МЗ на клетки вызвано снижением коэффициента диффузии водной среды, которое связано со способностью МЗ вызывать фазоАытереход, то было необходимо исследовать влияние МЗ на диффузионные характеристики раствора. Для оценки влияния МЗ на диффузионные свойства раствора удобно измерять коэффициенты диффузии какого-либо флуоресцентного зонда. Мы использовали в качестве зонда ФН, который хорошо растворяется в воде и в небольших концентрациях определяется методом флуоресцентной спектроскопии (Л.И. Кунянц, 1998). Обращение в ноль коэффициента диффузии зонда служило подтверждением гипотезы о том, что МЗ способен вызывать фазовый Х- переход. Существует множество методов определения коэффициента диффузии, описанных, в частности, в монографиях (А. Вайсбергер, 1952; Д. Фрайфельдер, 1980). Нами был выбран метод диффузии в геле, который позволяет получать воспроизводимые результаты с точностью около 26%, что достаточно для целей данного эксперимента. Для измерения коэффициента диффузии был применен метод диффузии в агарозном геле с концентрацией агарозы 1% и 2%. Коэффициент диффузии определялся с помощью программы, написанной в Mathcad 8.0. Эта программа минимизирует сумму квадратов отклонений экспериментальных и расчетных концентраций зонда.
