Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Операторы дробного интегро-дифференцирования и
ЛЛЛЯ'Р.ЫЧЗиГТ.ТР D ттОт-іГіТТАГЬАИОСЇ*
j ^«...„.Ш,... J>11'1 ---** --|^~"--------- .,,,,,,,,., ,,,,,,
1.1. Интегралы и производные дробного порядка
Обобщенные операторы дробного интегро-дифференцирования и некоторые их свойства
Обобщенные операторы М. Сайго в пространстве Гельдера
Уравнение влагопереноса
Краткие выводы и примечания к главе 1
Глава 2. Некоторые краевые задачи для уравнения влагопере
носа
2.1. Краевая задача с одним нелокальным условием для уравнения
влагопереноса
Краевая задача с операторами Кобера-Эрдейи и М. Сайго
Аналог задачи Дарбу для уравнения и системы уравнений влагопереноса
Нелокальная задача с дробными производными для одного гиперболического уравнения
2.2. Нелокальные краевые задачи с операторами М. Сайго и типа
iVJVvpU- \^/ L/^-J,\>iiii .
2.3. Аналог второй задачи Дарбу для уравнения влагопереноса . .
2.3.1. Нелокальная краевая задача для уравнения влагопере
носа при \а\ < 1
Нелокальная краевая задача для уравнения влагопере-ноеа при а = 1 68
Нелокальная краевая задача для уравнения влагопере-носа при а = — 1 71
2.4. О задаче для уравнения влагопереноса с обобщенными операто-
_. .,. „ -<— -, - г -, ^4--1^ т л г — --,- - ,— ,-, Т
рсІМИ ДриОхіОі V-» ИгііЄі рО-Ді'іффсрЄпЦі'іриі><АгіИ>і г> ічріісооіл. ywilinyUiX iJ
2.4.1. Нелокальная задача для уравнения влагопереноса при
Ы <: 1 ...... . . , 75
і і
2.4.2. Исследование задачи для уравнения влагопереноса в ис
ключительных случаях (о = ±1) 80
2.5. Краткие выводы и примечания к главе 2 88
Т"!_„. о ТТ , - ,. ^_ , . _,. ,. _,_ , , , , , ,. „_н, „
ного типа 89
3.1. Нелокальные киярвые задачи с оп^ратоиами Кобетэя—Эидейи
для параболо-гиперболического уравнения 90
3.1.1. Нелокальная краевая задача для уравнения (3.1) при
\а\ < 1 90
3.1.2. Существование и единственность решения задачи 3.1 при
а = ±1 97
Задача, в которой значения функции и ее производной связаны операторами М. Сайго 100
Задача со смещением для уравнения (3.1) с обобщенными опера-юрлМй дроиної о инмегри-дифференцирования в краевом условии іиО 3.3.1. Задача для уравнения смешанного типа с оператором
\4 і Ч^Т* тттм* |-гаг)акігртплр \гррР-НЧИЧ 'Ч uiJW4pft пгьплгттттгш-
кости \а\ < 1 105
Задача для уравнения смешанного типа с оператором М. Сайго при параметре уравнения в нижней полуплоскости а = 1 107
Задача для уравнения смешанного типа с оператором М. Сайго при параметре уравнения в нижней полуплоскости а — —1 109
3.4. Краткие выводы и примечания к главе 3 111
Заключение 112
Литература 113
Введение к работе
Актуальность темы. Работа посвящена исследованию нелокальных
ivpciOiiblX осіДа^и ,і\ііЛ ВЬ1р^лЛ\ДсЬіиі_цИ.л.0уі JpCHjlibilVija і j\iii(JpwvAUjrl4v^0iYOi \J ІИІЛСЬ ki. ДЛ.ЛІ
уравнений смешанного типа с дробной производной в ограниченных областях.
Орнгтогюттагян~щп/тми в развитии трппии vnaBH^HMft ом^щаннпгг» типа стали труды Ф. Трикоми [74] и С. Геллерстедта [80]. В работах отечественных и зарубежных математиков рассматривались проблемы разрешимости известных классических краевых задач, а также ставились и исследовались новые краевые задачи Большая заслуга в развитии таких исследований принадлежит А. В. Бицадзе, С. П. Пулькину, В. А. Ильину, Е. И. Моисееву, А. М. Наху-шеву, В. И. Жегалову. Интересные результаты получены в работах А. П. Сол-датова, А. И. Кожанова, А. Н. Зарубина, К. Б. Сабитова, Н.Б. Плещинского, Р. С. Хайруллина, В. А. Елеева, А. В. Псху, О. А. Репина, Л. С. Пулькиной, /\. t\. Андреева, ±1/. її. ч^горидішкова п др.
Современные проблемы физики, как отмечает в своей обзорной работе
А Д І алтоі^рі/'їл'тт if)/ I тто'о ттрт^ тттл" oq f*r\f\r\i\ рлоииі^илоотігтл їгаттллтіойггчл ттор^гл
..,1 _. x ' I ' j! ' » ,!.. > >. 1 I -. 1 1 I ..«III» . W
класса задач, получивших название нелокальных задач. Сам термин «нелокальная» задача, по-видимому, впервые встречается в работе А. А. Дезина [18].
В диссертационной работе рассматриваются задачи для уравнения вла-гопереноса у2ихх — иуу + аих — 0 и уравнения смешанного типа, представленного в верхней полуплоскости уравнением диффузии дробного порядка, в нижней — уравнением влагопереноса.
Уравнение влагопереноса играет заметную роль во многих областях науки.
Как известно, скорость капиллярного движения влаги с^кап Для ряда ка-пиллярнопористых тел обратно пропорциональна пути движения х: о;Кап =
па. его капиллярных свойств и вязкости жидкости, В 1965 г. А, В. Лыков [40] для плотности потока влаги j, проходящей через эти тела, вывел уравнение % + ^^20 = Оттрф (здесь т обозначает время, Dm — коэффициент диффузии влаги в теле), итметим также, что для рассмотренного выше уравнения А. В. Лыков решил задачу в случае полуограничешюго тела, через открытую
ПиБсрХНиьТЬ КиТирОГО Пис ГуПсиЛГ ПОСТОЯННЫЙ ПиТиК БЛс.Г__ j\j СО ОЛсДуЮЩИМИ
краевыми условиями: j(0, г) = jo, j(oo, т) = 0, j(x, 0) = 0, q^ ' — 0. Одна-
КГ\ Ц 1 Р/98 Г1 R A TTflYVITTPRfl I5<4l п(лГ.РНГУР!Я ТТЯ НРКОГ>РР^"Т,ГТПГ>Т,К ТЯКПЙ ПОРТЯ ТТГтК"ТГ
- - - ' --__.. ^ L _ j _ _ _ J. _ _ _ А ^ _._ _ -_ _ .
и, уточнив ее, нашла конструктивную формулу решения вновь поставленной задачи через гипергеометрические функции.
Как оказалось, уравнение, полученное А. В. Лыковым, имеет место не только в физике, но и в биологии. Так, если за щ = щ(, t) принять одномерный поток некоторой субстанции (например, биомассы микробной популяции) в точке биологического реактора 0 ^ ^ її в момент времени t, за D — коэффициент диффузии, за Хз > 0 — константу, связывающую ско-рость переноса v и путь движения следующим соотношением: v = (яз/) ,
г л А., П _<.Я2" -,-)2,,,
то t_i оудет удовлетворять уравнению [oij ^- -\- ^.с;_;:ш_- — 1^::шт^ которое отличается от уравнения, выведенного Лыковым, лишь обозначениями. Сде-
TTOD \У ^гр/-^Л т Л7-Т-.ОТ--ТТОТТТТТЖ ПОМрЦ.Г TT__TM_tTt *--_-TJTTT TV Г>0 *^ ТТ О ^Т Т/~> ГТЛ /". Т\ Ь Л". Г ТТ О Ті Т ЛГ» —— "^ / "f Л ПІ
.__-__ __ --.-j. j |_"_._j__<__- ___ _,_._. ^ _-_p>__ _-__—_-_---- ___ __ ^'-.j-'-.-j.--,- j _ ._ / -U> у
^/л/хзуо, u(x, у) — г_і (\/xstoy, xto) мы придем к более простому соотношению v^u^—Unn+au-r = 0. Последнее в силу его физического смысла получило название уравнения влагопереиоса.
В монографии А. М. Нахушева [51] также показано, что к уравнению влагопереиоса можно прийти и с помощью линеаризации реактивно-диффузионного уравнения вида щ — [(оси + /3) г_13.г + /ш — W2, где и — и{х, I) — скалярная функция точки х Є R и времени /, а а, /5, \і и 7 — постоянные величины.
Однако было бы исторической несправедливостью утверждать, что урав-
пением влагопереноса впервые заинтересовались физики, В своей книге [10], вышедшей в 1959 г., А. В. Бицадзе рассматривает уравнение у2ихх — иуу + аих - 0 как пример уравнения ?/та0-0+а(а:, у)^+Ъ{х, у)щ+с{х, у)и = 0, для которого при |а| ^ 1 задача Коши с начальными данными на линии параболического вырождения корректна, несмотря на то, что нарушено условие Геллерстедта lmi у ~^а\^х, у і — 0. Поэтому уравнение влагопереноса так-
у-ь+0
же называют уравнением Бицадзе;—Лыкова. Еще ранее К. И. Карапетян [31] установил корректность задачи Коши для уравнения влагопереноса в случае |а| ^ 1/11, а = 1/2; Чи Минь-ю [41] исследовал эту задачу при более повышенном требовании на гладкость начальных данных. Уравнение влагопереноса с точки зрения математики интересно еще и тем, что в случае а = 1 вторая задача Дарбу оказывается некорректно поставленной [45, 51].
На необходимость рассмотрения задач сопряжения, когда в одной части области задано параболическое уравнение, в другой — гиперболическое, было указано в 1959 г. И. М. Гельфандом [17]. Он приводит пример, связанный с движением газа в канале, окруженном пористой средой: в канале движение описывается волновым уравнением, вне его —уравнением диффузии. Я. С. Уфляид в статье [75], опубликованной в 1964 г., описывает задачу о рас-
ттпорт'пяттрч-тмтд jaTTpK-T'rnvTUPPU'MV кттр^яттт-тй R pnr>TaRHMY TTMHT-T^TV КТІГіТТЯ НЯ \ШЯГФ-
ке 0 < a; < / полубесконечной линии потерями пренебрегается, а остальная часть линии рассматривается как кабель без утечки.
В качестве примера для уравнения влагопереноса или уравнений, частным случаем которых оно является, можно привести статьи А. М. Нахушева [45, 46, 49], Т.Ш. Кальменова [26-28], В.Н. Врагова [12], С.К. Кумы-ковой [36],. для параболо-гиперболических уравнений — статьи Г. М. Стручи-ной [73], С. И. Гайдука, А. В. Иванова [13], Л. А. Золиной [24], X. Б. Бжихатло-ва, A.M. Нахушева [8], В.Н. Абрашипа [1], В.А. Елеева [20]. Следует также отметить, что интерес к подобного рода проблемам не ослабевал и в дальней-
шем (см. работы А, М, Нахушева [48], Р. Н, Хубиева [77], М. М. Смирнова [70], Н. Ю. Капустина [29, 30], К. Б. Сабитова [66], А. Сопуева, Т. Д. Джураева [71], Б. Исломова [25], М.Е. Лернера [39]).
Однако в задаче Трикоми одна из характеристик в гиперболической части Г границы смешанной области свободна от граничных условий. Поэтому точки Г не являются равноправными носителями граничных данных. Такая ситуация имеет место и в задаче С. Геллерстедта [80], в «ударных» задачах ФИ, Фпянкття Г76І. r .чялтяче A.R. Бипя.ляе с. отхопом от хяпя.ктр.пир.тик f9l, Это обстоятельство вызывает принципиальные затруднения при построении теории краевых задач для уравнения смешанного типа в многомерных областях. В связи с этим в 60-х годах А. В. Бицадзе была выдвинута проблема поиска корректно поставленных краевых задач для уравнений смешанного типа с двумя независимыми переменными, когда все точки гиперболической части границы равноправны как носители граничных данных.
Одной из первых работ в этом направлении стала статья В. И. Жегало-ва [23], в которой исследована краевая задача, когда вместо значения искомого решения иа одной из характеристик задаются их линейные комбинации с переменными коэффициентами на обеих характеристиках. Важную роль при
пртттрттТ/ТМ ітяинпй nnnfinpiiu nwr'^snu мррпрпппяниа Д A/f TTpvTmTPren І4Я АА\ Отт
предложил ряд задач нового типа, вошедших в математическую литературу под названием краевых задач со смещением. Эти задачи явились непосредственным и существенным обобщением задачи Трикоми. В отличие от задачи Трикоми здесь задается условие, связывающее значение искомого решения или его производной, в том числе дробной, в трех точках, две из которых лежат на граничных характеристиках из разных семейств, а третья — на линии вырождения уравнения.
Естественность постановки задач, когда краевые условия представляют собой соотношение между значениями неизвестной функции, вычисленной в
различных точках границы, отмечалось еще В, А, Стендовым [72]. Подобные граничные условия возникают при изучении вопросов тепло- и массообмена в капиллярно-пористых средах [51], математическом моделировании задач газовой динамики, теории плазмы, изучения лазера [79], при изучении процесса размножения клеток [87]. В своей содержательной и полезной с практической
-- , м. ~J Г^?г>1 тт тт ґ~і — е: , 1Л— -----
и іеиреТическии іичск прении монографии [u»j «/і. її. v^/еришіа, никаЗываег, чти
именно нелокальные краевые условия играют важную роль в математических
моделях движения грунтовых вод и почвенной влаги.
Значительные результаты по краевым задачам со смещением для уравнения влагопереноса или уравнениям, частным случаем которых оно является, получены в работах С. К. Кумыковой [38], А. А. Килбаса, О. А. Репина, М. Сайго [81, 82], О. А. Репина [63], для параболо-гиперболических уравнений— в работах X. Г. Бжихатлова [7], В. А. Елеева [21], О. А. Репина [62], А. А. Килбаса, О. А. Репина [34], А. А. Керефова, А. О. Желдашевой [32].
А. М. Нахушев [50] подчеркивал, что интерес к двумерным краевым задачам со смещением объясняется не только тем, что они представляют собой существенное обобщение задачи Трикоми и имеют многомерные аналоги, но и тем, что содержат широкий класс корректных самосопряженных задач.
Отгтчтлгропкмпм прп(:Їртіттоггпт,то чяляч т^яррллп'тпант-тт-.тх r ттмррр>г>ггяттт,ттт cm-
ляется наличие в краевых условиях операторов дробного интегро-диффе-ренцирования М.Сайго, введенных в работах [83-85], а также модификации операторов Кобера—Эрдейи [68]. Эти операторы представляют собой обобщение широко известных дробных интегралов и производных Римана—Ли-увилля [68], которые имеют многочисленные практические приложения. Так, поток газа Трикоми на звуковой линии прямо пропорционален дробной производной порядка 2/3 от функции тока [52], фрактальная размерность множества Кантора совпадает с дробным показателем интеграла, уравнения в дробных производных описывают эволюцию некоторых физических систем с
потерями, причем дробный показатель производной указывает на долю состояний системы, сохраняющихся за время эволюции t [56], турбулентный поток пропорционален дробной производной от удельной влажности на деятельной поверхности [69].
Таким образом, уравнение влагопереноса и уравнения смешанного типа, а также краевые задачи для них, вызывают оолыпой практический и теоретический интерес. Помимо этого, важным аспектом исследования подобного рода задач является получение новых результатов в теории дробного интегро-диф-ференцирования и в области дифференциальных, интегральных уравнений. Несмотря на то, что диссертационная работа носит теоретический характер, ее результаты могут получить хорошую физическую интерпретацию.
Цель диссертационной работы. Целями и задачами исследования являются:
а) постановка новых нелокальных задач для уравнения влагопереноса и
уравнения смешанного типа, в верхней полуплоскости представленного урав
нением дробной диффузии, в нижней — уравнением влагопереноса и доказа
тельство теорем существования и единственности решения этих задач;
б) выявление случаев, допускающих возможность получения решений ис
следуемых задач в явном виде;
в) нахождение условий на параметры операторов, заданных функций и
констант, позволяющих максимально широко охватить класс рассмотренных
в работе задач.
Научная Все результаты являются новыми. В числе наиболее
важных следует отметить:
а) для уравнения влагопереноса (гиперболического типа) получено решение задач со смещением, краевые условия которых содержат линейную комбинацию операторов типа Кобера—Эрдейи и М. Сайго. При этом представлен большой диапазон изменения функций и констант, входящих в краевые усло-
вия;
б) для системы дифференциальных уравнений в частных производных с двумя переменными рассмотрены задача Дарбу, для которой доказана корректность задачи, и нелокальная краевая задача, для которой получены условия неединственности;
Ъ) для уравнения влагопереноса при различных значениях коэцдрициента при младшей производной доказаны теоремы существования и единственности решений краевых задач, содержащих операторы в смысле Коберя.—Эр-дейи и М. Сайго;
г) для уравнения смешанного типа с дробной производной в ограниченной области решены нелокальные краевые задачи. Решения этих задач получены в замкнз'той форме с использованием функций типа Миттаг—Леффлера.
Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на:
Первой и Четвертой Всероссийских научных конференциях «Математическое моделирование и краевые задачи» (Самара, май 2004 г., май 2007 г.);
5-й международной конференции молодых ученых и студентов «Актуальные проблемы современной науки» (Самара, сентябрь 2004 г.);
_ YYYT <Ня А'ГЯПРК'ГіЙ C\F\TI Я ОТЧЁТАМ РТ'иТТРНГГРГ'К'ПЫ Ь'ПигЬ.РПРТТТТИТЛ' йпя ягтрчтт-
2005 г.);
- Международной конференции «Современные методы физико-математи
ческих наук» (Орел, октябрь 2006 г.);
= семинарах кафедры прикладной математики и информатики Самарского государственного технического университета (руководитель — д.ф.-м.н., профессор В.П. Радченко, декабрь 2007 г., декабрь 2008 г.);
VI Школе молодых ученых «Нелокальные краевые задачи и проблемы современного анализа и информатики» (Нальчик-Эльбрус, май 2008 г.);
международной конференции «Дифференциальные уравнения и смеж-
ные проблемы» (Стерлитамак, июнь 2008 г,);
семинаре кафедры прикладной математики Казанского государственного университета (руководитель — д.ф.-м.н., профессор Н.Б. Плещинский, декабрь 2008 г.);
научно-исследовательском семинаре по дифференциальным уравнениям иелгородского государственного университета ^руководитель— д.ф.-м.н., профессор А.П. Солдатов, февраль 2009 г.).
ТТуб.ггака.ттии. Осноштьтр. прлультятьт гщсгептяттии опубликованьт r пятна-дцати работах. Часть результатов п.п. 2.1.2, 2.3.1 главы 2 получена в совместных работах с профессором О. А. Репиным (Россия, Самарский государственный технический университет), доцентом Е. Н. Огородниковым (Россия, Самарский государственный технический университет). В совместных работах соавторам принадлежат постановка задач и идея доказательств, а автору диссертации — точные формулировки и доказательства утверждений.
Структура и объем диссертации. Диссертационная работа состоит из введения, трех глав, которые разбиты на двенадцать параграфов, списка использованной литературы. Объем диссертации составляет 126 страниц. Список литературы содержит 102 наименования.
ТТрпгзяст тпятгя пипррпггятіітт,г гтпросттттт-гя пггрпяггппятут пРїобтттрннпг'П nnnf^TTO-
го интегро-дифференцирования в смысле Сайго [Iq+ f) (я), - f) (x) [83-85]. Даны определения этих операторов. Показано, что дробные интегралы и производные Римана-Лиувилля (/q+/) (х), (^f-/) (я), (Dq+/) (#), {D±_f) (х), [51, 68] и операторы дробного интегро-дифференцирования типа Кобера-Эрдейи (E^f) (х), (^"і77/) (х) [68] являются их частным случаем. Из многочисленных свойств операторов обобщенного дробного интегро-дифференцирования Сайго и типа Кобера-Эрдейи, дробных интегралов и производных Римапа-Лиувилля выписаны необходимые в дальнейшем, причем
следующие из них с доказательством;
(фА V-V) (х) = (/„";"' "*>) (х),
(та.в.п \ ґ \ —п—Я—п (та,—а—1!,—и.—И \ / \
(EJ;V) (х) = х~а~ч (J0a+tV) (х) (q
№Vy>) (яг) = J (^) (я),
(s0V (<^+v) (*)) (*) = (jes+a v) w.
Вторая глава диссертации посвящена нелокальным краевым задачам для уравнения влагопереноса в случаях \а\ < 1, а = 1, а = — 1.
В параграфе 2,1 рассматриваются краевые задачи с одним нелокальным условием для уравнения влагопереноса при \а\ < 1.
В пункте 2.1.1 рассматривается уравнение влагопереноса
Lu = y2uxx-uyy + aux = 0, \а\ < 1, (1)
в хапактепистической области
D=\{x,y): 0 < ж - V- < х + V- < l|, (2)
ограниченной интервалом J = (0, 1) и характеристиками данного уравнения АС = {(ж, у) : х - = 0, у ^ OJ и ВС = {(ж, г/) : ж + = 1, у ^ 0 j. За Go (ж) = (|, — л/ж) и Gi(jt) = (^г, — VI — х) принимаются точки пересечения характеристик уравнения (1), выходящих из произвольной точки X Є (0, 1;, с характеристиками АС и ВС соответственно.
Формулируется задача 2.1.
Задача 2=1= Найти гЬиикцию и(х и} є C(D^f\C2(D^: удовлетвопяютт^ю уравнению (1) при \а\ < 1 в области D и краевым условиям
-At
\\х) ^о+ ' wLowJj \х)^-п\х) \1^_ - w[out;jy (ж; = о<я;,
u(x, 0) = r(x),
где A2(x) + B2(x) Ф 0, V.t Є J, A(a;), J3(:r), C(x), т(x) — заданные гладкие функции, ai, OJ2, / ~~заданные константы, на которые в дальнейшем будут наложены необходимые условия.
Новизна постановки заключается в том, что в задаче рассматриваются все возможные вариации значений функций и констант, входящих в краевые условия, а сами условия содержат операторы Кобера-Эрдсйи и М. Сайго.
Полученные результаты формулируются в виде следующих теорем.
Теорема 2.1.1. Пусть А{х), В{х), С{х) Є С" (7), т{х) Є C'(J) П C2(J), В(х) ф 0 Va; Є J, a2 = -^, / = |, oil > ^- Тогда решение задачи 2.1 существует и единственно.
Теорема 2.1.2. Пусть А{х), В{х), С{х) Є C'(J\ т{х) Є C'(J) П C2(J), А(х) Ф 0 Ух Є J, окі = ^, oil > -1) I < / < 1. Тогда решение задачи 2.1 существует и единственно.
Георема 2.1.3. Пусть в условиях теоремы 2.І.2 ot\ = ;ijii, оі2 = -^, / = |. Тогда решение задачи 2.1, вообще говоря, не единственно.
Тппъаът г> 1 4 ТТЧ"> Л'і — Д-3 Д+5 ^- _._ ^. а+3 д. — 3 о^оЛ —
j_c;»_»jjc;ivicii л.л..-эс. Li{ — —д—, д ~~^ СІ2 "-. ^д , /^2 — о' ^^ \Jl'J —
(1 - х)6Вг(х), 5^1 А(х), В(х), С(х) Є С(1) П C'{J), А{х) ф 0, Вг(х) ф 0 Vrc Є J, г (ж) С7 (J) П C3(J). Тогда задача 2.1 имеет более одного решения.
В пункте 2.1.2 для той же области D ставится следующая задача.
Задача 2.2. Найти функцию и(х, у) Є C(D)f]C2(D), удовлетворяющую уравнению (1) при \а\ < 1 в области D и краевым условиям
Uy(x, 0) = z/(», где A(x), B(x),
Доказана однозначная разрешимость этой задачи.
Также в этом пункте рассматриваются частные случаи задачи 2.2 при а = 1 и а = —1.
В качестве замечания отмечено, что обобщенные операторы дробного дифференцирования могут успешно применяться при решении краевых задач для систем дифференциальных уравнений с частными производными.
Рассматривается система дифференциальных уравнений:
2бУі _ д'Щ , OU2 _ П.
У "Ш? ~W "*" дх ~ и' /о\
Q.2д2и2 _ д2и2 і dv± __ п
" дх2 ду2 дх '
где и (я, у) = (щ; U2)T — вектор искомых функций, в области D, ограниченной отрезком [0, 1] линии ее параболического вырождения у = 0 и характе-
ристиками АС — х — \ = 0 и ВС = х + ^- = 1.
Систему уравнений (3) можно записать в векторной форме:
у2ихх - Uyy + Апх = 0.
где матрица .Л = (? о ) и является простейшим примером инволютивной матрицы [14].
Для этой системы дифференциальных уравнений изучена нелокальная задача
А0(х)и[ві(х)] = В0(х)и(х: 0) + с0(ж),
Uj,(ic, 0) = и{х),
где Ло(х), So (ж) —известные функциональные [2 х 2]-матрицы, cq{x), v(x) Є С[0, 1] ПС2(0, 1)—заданные вектор-функции.
Найдено единственное решение этой задачи.
Для системы (3) рассмотрена следующая задача.
Задача Дарбу. Найти регулярное в D решение системы уравнений (3) с
условиями
Щ [бо(я)] = у(х), и2 [вг(х)] = ф(х), х Є [0, 1],
(4) иу(х, 0) = v(x), х Є (0, 1).
Эта задача рассматривалась в работе [58], однако решение ее не приводилось, а окончательные выражения для компонент вектора т{х) опубликованы в неполном и искаженном виде. Нами решение задачи было уточнено.
Далее для системы уравнений (3) исследован аналог задачи Коши-Гурса с условиями
Щ [В0(аг)] = а2и2(х, 0) + сі{х); и2 [&i(x]\ = aiui(x, 0) + с2(х),
(5) \іу(х: 0) = v(x),
где сц, а2 Є R — заданные числовые параметры; с\{х) и с2(х) — известные функции, х Є [0, 1].
В работе [5] было показано, что при а\—а2 — \ решение этой задачи определяется с точностью до произвольных констант, т.е. неединственно. Однако эта задача не была до конца исследована. В частности, оставался открытым вопрос, при каких значениях параметров а\ и а2, кроме а\ — а2 = 1, наблюдается эффект неединственности,а в каком случае задача имеет единственное решение?
Ответ на этот вопрос был нами получен и сформулирован в теореме.
В пункте 2.1.3 для уравнения влагопереноса (1) при а=-1в области D рассматривается следующая краевая задача.
Задача 2.2.1. Найти функцию и(х, у), удовлетворяющую уравнению (1) при а = — 1 в области D и краевым условиям
и(х, 0) = т(х) О Є [0, 1]) A (0> [во(*)]) (х) + В (/а,АаЛ [в!(0]) (х) = д{х) (х Є (0, 1)),
где А, В, а, (3 — ненулевые вещественные константы, удовлетворяющие условиям:
- < а < 1, /? < 0, а-/?>1,
т{х) и д(х) — известные функции, причем
т(0) = 0, т{х) Є ЯЛі[0, 1] П С2(0, 1), #0) Є #Л2[0, 1] П С2(0, 1), ос - \ < Лі < 1, 1 - а < Л2 ^ 1.
Будем искать решение задачи 2.1 в классе таких функций и(х, у), что lim uy(x, у) — v(x) Є ЯА[0, 1], 0 < Л < а, Л + а > 1.
у—>0-
Эта задача является продолжением исследований работы Килбаса А.А., Репина О.А. и Сайго М. [35], где была исследована задача при а — 1.
Доказывается, что разрешимость задачи 2.2.1 сводится к вопросу разрешимости характеристического сингулярного уравнения на конечном отрезке. Решение задачи дается в явном виде.
В параграфе 2.2 рассматриваются нелокальные задачи для уравнения влагопереноса (1) при \а\ = 1, когда краевые условия содержат операторы М. Сайго и типа Кобера-Эрдейи.
Задача 2.3. Найти функцию и(х, у) со свойствами:
и (ж, у) удовлетворяет уравнению влагопереноса (1) при |а| < 1 в области D]
и(х, у) Є C(D) П C\D U (0, 1)) П C2(D);
AQ (Еа^-а'и[в0(і)}) (х) = В0 {^Е^'^^и^ 0)) (*)+
+ С0 lim uy(x, y) + /oO);
y-+Q-
Аг (i^-^uie^t)}) (x) = Вг (/^ ^""'^(i, 0)) (*)+
+ d ^+^.^-^-18 Дт ny(t; y)) (X) + /l(x),
где/оСт),/і(ж) —заданные функции такие, что/о(ж), /і(ж) Є С[0, 1]ПС2(0, 1), Aq, Bq, Со, Лі, J5i, Сі, ai, a2, 62 — заданные константы такие, что
Г (|) Л0 = Г (1±й) Бо, Гф^-Г^Я^О, С0^0, ^<а!<^, а2>0.
Доказывается, что однозначная разрешимость задачи 2.3 сводится к вопросу разрешимости интегрального уравнения Вольтерра, которое имеет единственное решение. Полученный результат формулируется с помощью теоремы.
Далее, в этом же параграфе исследуются задачи 2.3.1 и 2.3.2, аналогичные по постановке и решению задаче 2.3. Главное отличие заключается в том, что задача 2.3.1 посвящена уравнению влагопереноса в случае а = 1, а задача 2.3.2 — в случае а= —1.
В параграфе 2.3 для уравнения (1) рассматривается задача, в которой след искомого решения и нормальная производная связаны обобщенными операторами дробного интегродифференцирования в смысле М. Сайго [84].
В пункте 2.3.1 рассматривается задача для |а| < 1.
Задача 2.4. Найти функцию и(х, у) Є С (D) П С2 (D), удовлетворяющую уравнению влагопереноса (1) при \а\ < 1 в области D и краевым условиям
* (с1, ^1,"«(*, 0))(1) +
+ А2 ( '" С1% (*, 0)) (х) = tp! (х) (xeJ), Вг (1 - хГ+2й+* (/?: "' "+і (1 - t)'l и [Є, (і)]) (х) =
+ В3 (* --*-- ~а-^щ (t, 0)) + <р2 (х) (х Є J) ,
где Лі, 2, Bit 2, з, ол, 61, сі, а, ,5 —ненулевые вещественные константы, которые удовлетворяют условиям:
ЯАі (J) , t/?2(^) Є -ffAs («/) ,
Будем искать решение этой задачи в классе таких функций и(х, г/), что
lim и„(яг. у) = v(x) Є ЯА [J] , - < А < 1.
у->о- L 2
Здесь доказывается, что разрешимость задачи 2.4 сводится к вопросу однозначной разрешимости характеристического сингулярного уравнения на конечном отрезке. Решение дается в явном виде.
В пунктах 2.3.2-2.3.3 рассматриваются аналогичные по постановке и методу решения задачи. Основным отличием является то, что в пункте 2.3.2 рассматривается уравнение влагопереноса при а — 1, а в пункте 2.3.3 —при а= -1.
В параграфе 2.4 рассматривается уравнение влагопереноса (1) при \а\ = 1 в области D — D1UD2, где D\ — область, ограниченная интервалом J — (0, 1) и характеристиками данного уравнения АС\ = <(х, у) : х — у = 0, у ^ 0 >, ВС\ — < (х, у) : а; + у = 1, у ^ 0 >, D^ — область, ограниченная интервалом J = (0, 1) и характеристиками ЛС2 = j (ж, у) : х — у = 0. ?/^0>, -ВСг = {(я, у): а; + = 1,2/>0}.
За во(а:) и 6i(a;) принимаются точки пересечения характеристик уравнения (1), выходящих из точки х Є J, с характеристиками л Сі и SC2 соответственно.
В пункте 2,4,1 рассматривается краевая задача для уравнения влагопере-носа при \а\ < 1. Формулируется задача 2.5.
Задача 2.5. Найти функцию и(х; у) со свойствами:
1) и(х, у) удовлетворяет уравнению влагопереноса (1) при |о| < 1 в области D;
2)и(х, y)eC(D)nC2(D);
3) и(х, —0) = и(х, +0) (х Є J), Hm иу{х, у) = lim иу(х, у) (х Є J);
у—»0— ' J/—»0+
4) Л0 (Ch^~aiu[eQ(t)]) (х) = В0 (C+^bl'^-ai«(t, 0)) (*) +
+ Со Л^+^-^-н Hm % (і, 0)) (х) + v?o (х) (хе J),
Лі (/^^""""^ttieiCt)]) (*) = Si (^^'^""'"^«(t, 0)) +
+ Ci (^+^^-^2-3 Hm u (t, 0)) + (p! [x) (ij),
\ т/->0+ J
где Лод, Д).ъ Со,ъ ^1,2) ^1,2 — ненулевые вещественные константы, которые удовлетворяют условиям:
Д)Г (I) - ДГ (*±а) ^ 0, ЛХГ (|) - ВгГ (*=*) ^ 0, ^о(^) и ^i(ж) — известные функции, причем
щ{х) є Ял (7), ^(я) є я* (7),
oi - s=i < Ло < 1, a2 + fi±i < Ai ^ 1. Будем искать решение этой задачи в классе таких функций и(х, у), что
lim ^(ж, і/) = I'M Є ЯА р] , - < Л ^ 1.
Вопрос о существовании единственного решения этой задачи сводится к вопросу разрешимости сингулярного интегрального уравнения [42] относительно т(х) = и(х, —0) = и(х. +0) и получает положительный ответ. Отметим, что данные методы исследования нелокальных краевых задач для уравнения (1) были ранее предложены в работах [37], [64].
В пункте 2.4.2 рассмотрены аналогичные по постановке и методу решения задачи. Главным отличием является то, уравнение влагопереноса рассматривается при а = ±1.
Третья глава посвящена нелокальным краевым задачам для уравнения смешанного типа, в верхней полуплоскости представленного уравнением диффузии дробного порядка, в нижней — уравнением влагопереноса,
Рассматривается уравнение смешанного типа:
{
ихх — Dn+ „и, у > О, у2ихх - иуу + аих, у < О, \а\ ^ 1.
Здесь Dq+ — частная дробная производная Римаиа-Лиувилля порядка а, 0 < а < 1 от функции гг(з;, у) по второй переменной [68].
Пусть D — D+ U D~, где ?+ = {(гс, у) : 0 ^ х, у ^ 1} —квадрат, D~~ — область, лежащая в нижней полуплоскости (у < 0) и ограниченная характеристиками уравнения (1) и отрезком [0, 1] прямой у = 0.
В параграфе 3.1 для уравнения (6) исследована следующая задача.
Задача 3,1, Найти решение и(х, у) уравнения (6) при \а\ < 1 в области D, удовлетворяющее краевым условиям
и(0, у) = (ро(у), и(1, у) =
A (Ea0^3^u[e0(t)]) (х) = Б (^+-^, 0)) (*)
+
4- С lim ?іу(х, у) 4- (р(х), (8)
у->0-
где А, В, С, а\ — заданные константы, такие что
у-. _/1 + а\ а — З а + 3
ip{x), а также условиям сопряжения lim у1~аи{х. у) = lim и(х, у) (re Є J), (9) limy-* (y^uix, y)) = lim щ(х, у) (x Є J). (10) г/-*о+ у у—до- будем искать решение и(х, у) поставленной задачи в классе дважды дифференцируемых функций в области D таких, что у1~аи{х, у) Є C{D+), и(х, у) Є C(D-), (11) уг~а (уг-аи)у Є С (D+ U {{х, у):0<х<1,у = 0}), ихх eC{D+U D~) , иууєС (fir) . Вопрос о существовании единственного решения сводится к вопросу разрешимости интегрального уравнения Вольтерра второго рода, которое имеет единственное решение. В пункте 3.1.2 рассматриваются задачи, аналогичные по постановке и методу решения, где уравнение влагопереноса рассматривается при а = ±1. В параграфе 3.2 изучена задача, для уравнения (6), в которой функциональными соотношениями связаны искомая функция и ее производная. Задача 3.2. Найти решение и(х, у) уравнения (6) в области D: удовлетворяющее краевым условиям (7) и Лг {laQp-M+^Ciu(t, 0)) (х) + А2 (Г0^щ(Ь, 0)) (х) = ф), (13) где Лі, УІ2, oi, &i, сі —заданные константы, такие что - < аь Ь\ ^ 1, а также условиям сопряжения (9) и (10). Будем искать решение и(х: у) поставленной задачи в классе, аналогичном задаче 3.1. Единственность решения задачи 3,2 вытекает из аналога принципа экстремума А. В. Бицадзе. Существование решения задачи доказывается путем сведения задачи к интегральному уравнению Вольтерра второго рода. В параграфе 3.3 для уравнения (6) рассмотрена задача следующего вида. Задача 3.3. Найти решение и(х, у) уравнения (6) при |а| < 1 в области .D, удовлетворяющее краевым условиям (7) и л (Cbl'^-ttlu[e0(t)]) (х) = в (С+1?,*ьЧ*~в1«(*> 0)) (*)+ + С (C+irM~h^~a\(t: 0)) (х) + ф), (14) где А, В, С, ai, 61—заданные константы, такие что V5FA - Г №) В ^ 0, а также условиям сопряжения (9) и (10). Будем искать решение и(х, у) поставленной задачи в классе, аналогичном задаче 3.1. Решение данной задачи аналогично решению задачи 3.2. Решение задачи получено в явном виде. В пунктах 3.3.2 и 3.3.3 рассмотрены задачи 3.3.1 и 3.3.2, где уравнение влагопереноса рассматривается при а = 1иа = -1 соответственно.Похожие диссертации на Нелокальные краевые задачи для уравнений гиперболического и смешанного типов
