Нелокальные краевые задачи для модельных уравнений смешанного и гиперболического типов Кузнецова Ирина Анатольевна

Содержание к диссертации

Введение

1 Глава. Краевые задачи для уравнения Геллерстедта 26

1.1 Нелокальная задача для уравнения смешанного типа с вырождением разного рода в конечной области 26

1.1.1 Постановка задачи для уравнения (1.1.1) с вырождением второго рода 27

1.1.2 Доказательство единственности решения задачи 1.1 28

1.1.3 Сведение к сингулярному интегральному уравнению и доказательство существования решения 31

1.1.4 Постановка задачи для уравнения (1.1.1) при т = 0 — уравнения Лаврентьева - Бицадзе 36

1.1.5 Доказательство единственности решения задачи 37

1.1.6 Получение сингулярного интегрального уравнения и доказательство существования решения задачи 38

1.1.7 Постановка задачи для уравнения (1.1.1) с вырождением первого рода .' 41

1.1.8 Доказательство единственности решения задачи 1.3 42

1.1.9 Сведение к сингулярному интегральному уравнению и доказательство существования решения задачи 44

1.2 Задачи со смещением для уравнения Геллерстедта в неограниченных областях 49

1.2.1 Постановка задачи в области, эллиптическая часть которой — полуплоскость 49

1.2.2 Доказательство единственности решения задачи 1.4 50

1.2.3 Получение сингулярного интегрального уравнения и доказательство существования решения задачи 53

1.2.4 Постановка задачи Трикоми в области, эллиптическая часть которой — полуполоса 58

1.2.5 Представление решения задачи 1.5 в области эллиптичности 59

1.2.6 Функциональное соотношение между т2(ж) и v-i{x) в области гиперболичности 61

1.2.7 Единственность решения 62

1.2.8 Доказательство существования решения задачи 64

1.3 Нелокальная задача для уравнения Геллерстедта гиперболического типа, вырождающегося внутри области 71

1.3.1 Постановка задачи и доказательство единственности решения 71

1.3.2 Сведение к интегральному уравнению Фредгольма и доказательство существования решения 75

1.3.3 Постановка задачи 1.7 и доказательство единственности решения 81

1.3.4 Сведение к сингулярному интегральному уравнению и доказательство существования решения задачи 1.7 84

2 Глава. Нелокальные краевые задачи для уравнения Бицадзе — Лыкова 88

2.1 Задача с обобщенными операторами дробного интегродифференцировапия для уравнения влагопереноса (\а\ < 1), содержащая внешние и внутренние коэффициенты степенного характера 89

2.1.1 Постановка задачи при |«| < 1 89

2.1.2 Сведение к интегральному уравнению Вольтсрра и доказательство однозначной разрешимости 90

2.1.3 Исключительные случаи (а = ±1) 93

2.2 Задачи со смещением для уравнения влагопереноса с двумя краевыми условиями 98

2.2.1 Однозначная разрешимость задачи 2.4 99

2.2.2 Однозначная разрешимость задачи 2.5 105

Заключение 111

Литература 112

• Сведение к сингулярному интегральному уравнению и доказательство существования решения
• Сведение к сингулярному интегральному уравнению и доказательство существования решения задачи
• Сведение к интегральному уравнению Фредгольма и доказательство существования решения
• Сведение к интегральному уравнению Вольтсрра и доказательство однозначной разрешимости

Введение к работе

Актуальность темы исследования. Изучение краевых задач для уравнений гиперболического и смешанного типов составляет содержание одного из важнейших разделов современной теории дифференциальных уравнений с частными производными. Этот класс уравнений имеет разнообразные приложения в газовой динамике трансзвуковых течений [59], [62], магнитной гидродинамике [19], теории оболочек [9], теории бесконечно малых изгибаний поверхностей [4], математической биологии [37|, теории лазерного излучения [35].

Основы теории краевых задач для уравнений гиперболического и смешанного типов заложены в известных работах Ф. Трикоми [57], С. Геллерстедта [64],[65], Ф.И. Франкля [59],[60]. Далы іейшее развитие исследований представлено в работах М.А. Лаврентьева, А.В. Бицадзе, К.И. Бабенко [3], СП. Пулькина, М.М. Смирнова и других авторов.

Исследования уравнений с переменными коэффициентами содержат громоздкие вычисления, в связи с чем М.А. Лаврентьев и А.В. Бицадзе предложили новую модель уравнений [7],[23] (уравнение Лаврентьева - Бицадзе)

и_хх + sgny -Uyy = 0.

Изучению еще одного класса задач, а именно задач со смещением, посвящены работы В.И. Жегалова [15],[16] и A.M. Нахушева [30], [31],[34], [36]—[38]. В постановке этих задач, в отличие от задачи Трикоми, краевое условие связывает значения решения уравнения или его дробной производной в точках, расположенных на характеристиках разных семейств и на линии вырождения уравнения.

Краевые задачи как с локальным, так и нелокальным смещением для гиперболического и смешанного типов уравнений были объектом исследования многих авторов. Отметим работы В.Ф. Волко-давова [10],[11], М.М. Смирнова [54],[55], М.С. Салахитдинова [51], Т.Д. Джураева [14], Е.И. Моисеева [27],[28], С.К. Кумыковой [21],[22], О.А. Репина [44],[46],[48],[49], К.Б. Сабитова [50], Л.С. Пулькиной [42], [43], Р.С. Хайруллина [61], Ф.Г. Мухлисова [29], Н.Б. Плещин-ского [40] и других.

Краевые условия в первых работах по изучению задач со смещением содержали интегралы и производные дробного порядка Римана - Лиувилля. В последующих публикациях в постановке задач применялись операторы, введенные Э. Лавом [66], А. Мак-Брайдом [68],

М. Сайго [69], которые являются обобщением классических операторов Римана-Лиувилля.

Краевые задачи, содержащие эти операторы, исследовались в работах М. Сайго [69]-[73], М.М. Смирнова [56], А.А. Килбаса и О.А. Репина [18], Д. Аманова [1], [2], СИ. Макарова [26] и других авторов.

Остановимся на нескольких работах, которые послужили основой исследований настоящей диссертации.

В работе [17] И.Л. Кароль представил одно из первых исследований краевых задач для уравнения смешанного типа второго рода.

Для уравнения

и_хх + sgn у\у\^т -Uyy = 0 (0 < т < 1)

автор доказал существование и единственность решения задачи Три-коми в случае, когда граница эллиптической части смешанной области является так называемой" нормальной кривой". Решение данной задачи при у > 0 является регулярным, а при у < 0 - обобщенным-решением из класса .

В работе [39] З.А. Нахушевой исследована задача Трикоми для уравнения Лаврентьева-Бицадзе в смешанной области, ограниченной кривой Жордана при у > 0 и характеристиками уравнения при у < 0. Решение задачи, постановка которой содержит операторы Римана - Лиувилля, сводится к разрешимости сингулярного интегрального уравнения.

М.Е. Лернер и О.А. Репин в работе [25] для уравнения

У^ти_хх + и_уу = 0 (т > -1)

в бесконечной области D, ограниченной при у > 0 полупрямыми х = 0, х = 1 и отрезком прямой у = 0, исследовали задачу с нелокальным условием

и(0,у)-и(1,у) = <рі(у), у>0

и локальными краевыми условиями

и_х(0,у) = ^Ы, У > 0; и(х,0) = т(х), 0 < х < 1;

lim и(х, у) = 0, 0 < х < 1.

у-юо

Решение задачи получено методом разделения переменных, а его единственность доказана с использованием принципа экстремума.

В работе [47] О.А. Репиным изучена задача Трикоми для уравнения

sgny\y\^m и_хх + и_уу = 0 (га > 0)

в бесконечной области D, эллиптическая часть которой — полуполоса {(х, у)\, 0 < х < 1, у > 0}, а гиперболическая часть ограничена характеристиками АС и ВС, А(0, 0), 5(1,0). Постановка задачи содержит краевые условия

и(0,у) = ipi(y), и(1,у) = <р₂(з/), 0 < у < со;

и\_АС = ф(х),0<х<1/2.

Доказательство единственности решения поставленной задачи проводится с помощью вспомогательных функций (методом "abc"), а решение строится методом разделения переменных и применения преобразования Ганкеля.

Цель работы. Целью работы является:

1. Постановка и исследование новых нелокальных краевых задач для уравнений Геллерстедта и Бицадзе-Лыкова в ограниченных и неограниченных областях.

2. Выявление случаев, допускающих возможность получения решений рассмотренных задач в явном виде.

3. Определение условий на параметры операторов дробного инте-гродифференцирования, па заданные функции и действительные постоянные, которые дают возможность наиболее широко охватить класс рассмотренных в работе задач.

Общая методика исследования. В работе применяется аппарат специальных функций, интегральное преобразование Ганкеля, методы теории интегральных уравнений, дифференциальных уравнений с частными производными и операторов дробного иптегро-дифференцирования, известные принципы экстремума для дифференциальных уравнений.

Научная новизна заключается в следующих результатах:

4. Для модельного уравнения смешанного типа (уравнения Гел-лерстедта) с вырождением первого и второго рода в явном виде получено решение новых задач со смещением, краевые условия которых содержат линейную комбинацию обобщенных операторов дробного интегродифференцирования с гипергеометрической функцией Гаусса в ядре. При этом представлен широкий спектр изменения функций и констант, входящих в краевые условия.

5. Для уравнения влагоперсиоса (уравнения Бицадзе-Лыкова) доказаны теоремы существования и единственности решений нелокальных задач, содержащих производные и интегралы дробного порядка в смысле М. Сайго. Выявлены условия, при которых справедлив принцип экстремума.

6. Развита методика сведения краевых задач со смещением к разрешимости интегральных уравнений Фредгольма и Вольтерра второго рода или сингулярных интегральных уравнений с ядром Коши.

Положения, выносимые на защиту. В диссертации получены следующие основные результаты:

7. Поставлены и исследованы новые нелокальные задачи со смещением для уравнения Геллерстедта с вырождением первого и второго рода с обобщенным оператором дробного интегродифференцирования М. Сайго в краевых условиях для ограниченных и неограниченных областей.

8. Установлены значения параметров операторов, входящих в краевые условия, для которых справедливы теоремы существования и единственности решения рассмотренных задач.

9. Для уравнения Бицадзе-Лыкова изучены новые нелокальные задачи, краевые условия которых содержат линейную комбинацию операторов дробного интегродифференцирования в смысле Римана-Лиувилля и М. Сайго.

10. Доказаны теоремы существования и единственности решения рассмотренных задач методом редукции к интегральным уравнениям Вольтерра и Фредгольма второго рода или сингулярным интегральным уравнениям с ядром Коши.

Апробация результатов. По теме диссертации опубликовано 11 работ. Основные результаты исследований представлены и доложены на

ежегодных научных межвузовских конференциях "Математическое моделирование и краевые задачи" в 2005 - 2007 годах (Самара, СамГТУ);

международной конференции "Современные методы физико -математических паук" в 2006 году (Орел, ОГУ);

V Школе молодых ученых "Нелокальные краевые задачи и проблемы современного анализа и информатики" в 2007 году (Нальчик - Эльбрус);

международной конференции, посвященной 100-летию со дня рождения академика И. Н. Векуа "Дифференциальные уравнения, теория функций и приложения" в 2007 году (Новосибирск, НГУ);

всероссийской научно - практической конференции, посвященной 100-летию со дня рождения СП. Пулькина "Интегративный характер современного математического образования" в 2007 году (Самара, СГПУ);

международном Российско - Азербайджанском симпозиуме "Уравнения смешанного типа и родственные проблемы анализа и информатики" в 2008 году (Нальчик - Эльбрус);

международной научной конференции "Дифференциальные уравнения и смежные проблемы" в 2008 году (Стерлитамак, США);

XII международной научной конференции им. академика М. Кравчука в 2008 году (Киев),

научном семинаре кафедры "Дифференциальные уравнения" Казанского государственного университета в 2009 году (руководитель д. ф.-м. н., профессор В.И. Жегалов).

Автор выражает глубокую благодарность научному руководителю - профессору, доктору физико-математических наук Олегу Александровичу Репину за постановку задач, ценные советы, постоянное внимание к работе и поддержку.

Перейдем к краткому изложению содержания диссертационной работы, которая состоит из введения, вводных сведений и двух глав.

Первая глава посвящена изучению краевых задач для уравнения Геллерстедта (обобщенного уравнения Трикоми)

signy\y\^mu_xx + и_уу = 0. (0.1)

В п. 1.1 поставлена и исследована нелокальная задача для уравнения (0.1) в смешанной области D при различных значениях показателя т, а также доказаны теоремы существования и единственности решения данной задачи.

Область D ограничена в полуплоскости у > 0 гладкой кривой Г с концами А(0,0) и .6(1,0), а в полуплоскости у < 0 — характеристиками

s-ч ^ і \ nt+2 „ „ А , . гп+2

Пусть D\ = D П (у > 0) — эллиптическая часть, а D₂ = D П (у < 0) — гиперболическая часть смешанной области -D , J — интервал 0 < х < 1 прямой у — 0, 6о(ж) — точка пересечения характеристик уравнения (0.1), выходящих из точек х Є (0,1), с характеристикой АС.

Единственность решения задачи, которая будет сформулирована ниже при различных значениях т, для уравнения (0.1) доказывается на основе принципа экстремума А.В. Бицадзе, а существование решения задачи сводится к разрешимости характеристического сингулярного интегрального уравнения на конечном отрезке.

Определение 1. Регулярным решением ]55] уравнения (0.1) в области D\ назовем функцию и(х,у), непрерывную в D\ и два-эюды непрерывно дифференцируемую в D\, являющуюся решением этого уравнения.

Определение 2. Обобщенное решение уравнения (0.1) в области D₂ принадлежит классу R₂ [55], если у₂{х) = и_у(х, —0) непрерывна и интегрируема в (0,1) и т(х) = и(х, 0) есть интеграл дробного порядка 1 — 2(3 от некоторой функции Т, непрерывной и интегрируемой на (0,1), то есть

_Т(х) = т(0) + f{x - t)~²⁽³T{t) ей, -К 2/3 < 0. о

Задача 1.1 (-1<т<0). Найти функцию и(х,у) со свойствами:

1. u(x,y)eC(D)-

2. и(х,у) - регулярное решение уравнения (0.1) в области D\\

3. и(х,у) -обобщенное решение класса R₂ уравнения (0.1) в области D₂\

4) и(х, у) удовлетворяет краевым условиям

и{х,у)\г = Ч>(х,у), {х,у)еГ,

a (i^"^(e+1"Neo(oi) 0*0+

+В (jtf-^W-h-ia+l-n^ ^ _{{х) = ф{х)} y_xeJ

и условию сопряжения

и_у(х, —0) = —и_у(х, +0) Ух Є J,

где (Iq+ ^vf)(x) — обобщенный оператор дробного интегродиф-ференцирования [69].

При доказательстве однозначной разрешимости задачи 1.1 получено характеристическое сингулярное интегральное уравнение на конечном отрезке

*1Р(*) + - /-^-^ = ад, (о-2)

тг J 4 - z о

fz
p(z) = (1 - 2х + 2ж²).х^_2/3^(х), ж = ^v

V^+Vl-^' f (ж) = и_у(х, —0) = —и_у(х, -f 0) Vrr Є J,

(0.3)

г Л²"^2/31

_{^n^rteJ ;}^FW_' ⁽⁰_-⁴⁾

і4Г(1 - /?)

^F(_*^} _{= Эгг}^й_'-^|ад_ш

1 . ^1-2/3,

Г(1 - 2(3)

[t(l -t)}

Ф_х(х) = 2кф{1 - 2fi)-²f>x(l -x) ! Ф)—Щ-

J br + u

dt\

/M

/3+1

[x² + (1- 2a:)*]

_ai = 2k, sin² 27Г/? + J^|y {Ak₂T{l -P)-В),

k₃ sin 27Г/3 .

1 + 2л/г(1 - z)

Ь = [2(1 - 2/3)Г' Ц=^, k₃ = ± [2(1 - 20)Г gg

и установлены теоремы 1.1 и 1.2. Теорема 1.1 Пусть

1) кривая Г совпадает с "нормальной кривой":

V 2) ^(т + 2у^У 4'

2) (р(х, у),ір(х) Є С[0,1], причем

ір(х, у) = у¹⁺¹Щх), 1р(х) Є С[0,1], 7 > 1 + т, ф(х) є #^Л[0,1], 0<а+1-/?<А<1;

^ F(x) Є Я^Лі[0,1]_; где /ц = mm[l + 2/?,A-(a + l-/?),Ь+20-1].

Тогда уравнение (0.2) разрешимо при х = 0 и его общее решение дается формулой

_м = ^W _ _* / (Г fi^V' т_Л, (0.6)

_Л . 1 , «2 1 а₂

/io = 1 Н— arctg —, fii = — 1 arctg —.

7г аі ж а\

Теорема 1.2. Пусть выполнены условия 1) и 2) теоремы 1.1, а такоюе

1) и_у(х, -0) = -Uy(x, +0) \/х Є J;

777, 1

2J /? = ——-, --АВ<0.
2(га + 2) 2

Тогда задача 1.1 имеет единственное решение и(х,у); v(x) определяется из равенства (0.3), а функция p(z) — из равенства (0.6); аі, аг, F\{z) удовлетворяют условиям (0.5) и (0.4).

Задача 1.2 (т=0).

Найти функцию и(х,у) Є C{D) П C\D) П С²(А U Д>), являющуюся решением уравнения (0.1) в области D, удовлетворяющую краевым условиям

и{х, у) |г = <р(ж,з/), (ж,у) Є Г,

A {l^a^%[Q^t)]) (x) + В (/Й^Чв )) W = ^0*0 V^ є J,

гіу(х, 0) на концах интервала J может обращаться в бесконечность порядка меньше единицы.

Единственность и существование решения задачи 1.2 сводится к разрешимости характеристического сингулярного интегрального уравнения на конечном отрезке

/

¹ Р(т)

Ъ\р{у) + — _t

-к J г — у

(0.7)

А-2В

А '

dr = F(y),

(0.8)

Ьі =

Ьо = 1,

р(у) = (1 - 2х + 2х²)и(х)_: v{x) = и_у(х, -0) = и_у(х, +0), (0.9)

F(y) = (1 - 2х + 2x²)(/i(y) + /2(2/)),

(0.10)

(a+l),l-b,a+c+l

h(y) = ~^[h₊

) (х),

_^=І

x(l-ar) />o(*)[*(l-*)]⁵

7Г У Ж

~² - {2х - 1)*

Теорема 1.3. Пусть 1) кривая Г совпадает с "нормальной кривой":

dt

я;

+ 2/

2J tp(x) = х(1 - х)<ро(х), іро{х) Є C{J),

^)ЄЯ^А[0,1], 0<а + 1<Л<1, 1-6<тЦ0,а + с + 2];

^ F(?/) Є#^А[0,1], Ао = тт[Л-(а+1),Ь-1].

Тогда уравнение (0.7) разрешимо при х = 0 ^{м его} общее решение дается формулой

[(y^fl-yV¹ F(t)

t-y

"^ = SfTfcf^(г/) - ^bftl) / (!Г (і

dt, (0.11)

//0 = -1 + -arctg—,

7Г Oi

₁ 1 , b₂
ii\ = 1 arctg—.

7Г Oi

Теорема 1.4*-Пустъ выполнены условия 1) и 2) т,еоремы 1.3, а такэ/се

4. и_у(х,0) на концах интервала J может обращаться в бесконечность порядка меньше единицы;

5. АВ < 0.

Тогда задача 1.2 имеет единственное решение и(х,у); v{x) определяется из равенства (0.9), а функция р(у) — из равенства (0.11), bi,b2,F(y) удовлетворяют условиям (0.8) и (0.10).

Задача 1.3 (т>0). Найти решение уравнения (0.1) в области D из класса и(х,у) Є C(D) П C^l(D) П C²(Di U D2), удовлетворяющее краевым условиям

и(х, у) |г = 4>(х, у): {х, у) Є Г, A (l^a₀t>^b+2'-^lu[Qo(t)]) {х)+

+В (/^^-^-4,(^ 0)) (х) = ф(х) Ух Є J.

Однозначная разрешимость задачи 1.3 сводится, как и в случаях -1 < m < 0 и m = 0, к решению сингулярного интегрального уравнения.

Содержание п. 1.2 включает исследование двух задач для уравнения (0.1) при т > 0 в бесконечных областях.

Пусть D — D\ U1 U J, D\ — полуплоскость у > 0, 1 ^— конечная область полуплоскости у < 0, ограниченная характеристиками уравнения (0.1)

АС : х - ^-(-у)'- = Q и ВС :х+ ^-(^)^ = 1,

т + 2 т + 2

выходящими из точек А(0,0) и 5(1,0), и отрезком АВ прямой у — 0. J — интервал 0 < х < 1 прямой у = 0.

Задача 1.4 (т>0). Найти функцию u(z) = и(х_:у) со свойствами:

6. u(z) = и(х,у) Є C(D) П C\D U J U J_x U J₂) П C²(>i U D₂), причем n(oo) = 0, w(0) = 0 и гі_ж(а:, 0) при х = 0, ж = 1 может обращаться в бесконечность порядка ниже 2(3;

7. и(х_:у) является решением уравнения (0.1) в D\ U 1, удовлетворяет краевым условиям

w(rr, 0) = ^г(ж) \/ж Є Jj, г = 1, 2, 13

+B (5*№»-*^_t| 0)) (x) = ф(х) V* є J,

Ji = {(x,y) : -co < ж < 0, y = 0},

J₂ = {{x, y) : 1 < x < +00, у = 0} ,

00 (х) — точка пересечения характеристик уравнения (0.1), выходящих из точек (ж, 0) Є J, с характеристикой АС,

А и В — действительные константы разных знаков.

Для доказательства единственности решения задачи 1.4 исследована соответствующая однородная задача, которая имеет только тривиальное решение. Существование решения задачи сведено к разрешимости характеристического сингулярного интегрального уравнения

сщ(х) + ^- f P^-dt = F(x), (0.12)

7Г J t — X

/z(x) = (1 - x)-W f _{x ^T_ __2pdt, (0.13)

t{x) = u(x, 0) Ух Є J, F(ar) = (1-2:)-^(3:),

+00

^M = T^2P \J^{x~ *^)2/?~^{Vl{t)dt +} /^(ж " ^~¹⁽A(t)dt

l-oo 1

1 /,--(0-)3+1),-(6+2/3-1),0+6 Л /ч

⁺B_l-A_l2v{i-f3) v^io+ ^;^w'

ci и C2 — известные константы. Теорема 1.7. Пусть

8. с? + сі^0;

9. фі{х) Є Я^Л"[0,1], где Л₀ = тгга[Л - (а - /? + 1), b + 2/3 - 1].

Тогда уравнение (0.12) разрешимо при х ⁼ > ^{и его} общее решение дается формулой

М ₌ ^F{x) - -гр-к [ (тТ Ст^Т Т^< (¹⁵)

1 ^c2 1 C2

/io = 1 H—arctg—, /ii = — 1 arctg—.

7Г Сі 7Г Ci

Теореліа і.5. Пусть

10. u(oo) = 0, u(0) = 0, ?л_х(ж, 0) при x = 0, ж = 1 может обращаться в бесконечность порядка ниже 2(3 ;

11. (р'і(х) Є C(Ji), і — 1,2_; и могут обращаться в бесконечность порядка ниже 2(3 при х = 0, х = 1 соответственно, а при достаточно больших \х\ удовлетворяют неравенству

\(Рг(х)\<М\х\-¹-^а₁ М,(7>0;

3) ф{х) Є #^A(J), 0<а-/3 + КА<1;

4) Р ⁼ Т-.Z7' Н^{' 1-2/3 <6< 2-2/3, АБ<0.}

2т + 4

Тогда задача 1.4 имеет единственное решение и(х,у); т{х) определяется из равенства (0.13), а функция ц(х) имеет вид (0.15), F(x) удовлетворяет условию (0.Ц).

В постановке следующей задачи изменим область эллиптичности. Область D теперь ограничена полупрямыми х = 0, х = 1 с концами в точках А(0, 0) и 5(1, 0), расположенными в полуплоскости у > 0 и характеристиками АС и ВС уравнения (0.1) в области гиперболичности.

Пусть А - D П {{x,y):y>0},D₂ = D П {(rc,j/) : у < 0}, А_Л(0,/ь),Бл(1,Л),Л>0.

Задача 1.5 (т>0). Найти решение и(х,у) уравнения (0.1) в области D = АиД> из класса и(х,у) C(p)nC\D)C\C²(DiVD₂) со свойствами:

1) lim и(х, у) = 0 равномерно по ж Є J;

2/-++0О

2. и(0,у) = ₂(2/) приу>0;

3. Аг (l^a_Qf-^l-^au[Qo(t)]) (х)+

+Л₂ (jgM^-'uit, 0)) (ж) = (*) Уж Є J.

Теорема 1.9. Пусть

1. у>і(у), v?₂(2/) Є С[0, +оо), y^Є L(0, +оо);

2. ф(х) є Н^х[0,1};

³⁾ ^ = 2^+1^{5 05' М<А}

b> Х-a-/3, 1 + а-/?<А<1, ЛіА₂ > 0.

Тогда решение задачи 1.5 существует и оно единственно.

В п. 1.3 рассматривается гиперболическое уравнение Геллсрстед-

\у\¹и_хх - и_уу = 0, (0.16)

где I = т > 0 при 7/<0и/ = п>0 при у > 0 (отдельно исследован случай т — п) в конечной области D, ограниченной характеристиками уравнения (0.16)

л ^, 2 п+2 „ „ Z п+2

Ad: х- ——у ₂ = 0, BCi : х + —— у * = 1,
n + z п + 2

* ^-v <" / \ tn+2 „ .„ -^ / _ч m4 2

Пусть D, = Bn{(z,j/) : у > 0} , D₂ = >П{(ж,г/) : у < 0} , в?'(ж)

и Gi (.т) — точки пересечения характеристик уравнения (0.16), выходящих из точки (ж, 0) Є J, с характеристиками ACi и 2?Сі соответственно.

Задача 1.6. Найти решение уравнения (0.16) в области D из класса и(х,у) Є C(D) Г) C²{D\ U -D2), удовлетворяющее краевым условиям

4i (^"'"^[oWl) (*)+ +А₂ ^^+ІМ2р-^-^а-\(і, -0)) (_Ж) = ір^х) Ух є J,

Ві (/^^1-1-01^²^)]) (rc)+

+₂ (/ГГ^⁴"¹''¹^¹"¹^¹""¹"¹^^, +0)) (яг) = ^>(х) Vx Є J и условию сопряжения

lim «у(ж, ?/) = lim w_y(ж, у) Уж Є J.

у—>0—0 у—О+О

Единственность решения задачи 1.6 доказывается на основе принципа экстремума для гиперболических уравнений и свойств дробных производных. Существование решения задачи сводится к разрешимости интегрального уравнения Фредгольма второго рода, безусловная разрешимость которого в заданном классе следует из единственности решения задачи.

Теорема 1.10 Пусть

ЦР=Ъ^,-Р<<1-1>,Ь>1,

A = -^^1 > ~Рі<а₁<1-р₁, 6і > 1;

2. срііх) Є #^Аі@ , 0 < а + р < Лі < 1, у?₂(ж) Є Я^А2(7), 0 < а_х + (Зі < Л₂ < 1;

3. Аі >0, А₂<0, БіБ₂>0.

Тогда решение задачи 1.6 существует и единственно. Во второй главе доказаны существование и единственность решения нелокальных краевых задач для уравнения Бицадзе - Лыкова

у²и_хх - и_уу + аи_х = 0. (0.17)

В п. 2.1 включены исследования уравнения (0.17) для |а| < 1 в конечной области D, ограниченной интервалом J = (0,1) прямой у = 0 и характеристиками уравнения (0.17)

АС: х- У- = 0 и ВС :х + ~ = 1,

где Л(0,0), В(1,0), С(|,-1).

Обозначим 1^(,7) множество функций и(х,у) таких, что

lim [а(ж,2/)гц + Ь(х,у)и] Є C(J),

у->-0

где а{х,у) и Ь(х_}у) — заданные функции требуемой гладкости, причем предполагается существование пределов а(х, у), Ь(х, у) при 2/-> -0.

Задача 2.1. Найти решение и(х,у) уравнения (0.17) в области D при |а| < 1 из класса и(х,у) Є C(D) (lC²(D) ПВД, удовлетворяющее краевым условиям

lim [а(х, у)и_у + b(x, у)и] = с(х) Ух Є J, у-*-о

А_хх^ (С^-^р*-^[во(*)]) (я:) =

= А₂ (і^^Аа?-^н \)3(t)u(t, -0)]) (х) + ті(яг) V* Є J,

h = р + q, во (ж) — точка пересечения характеристик уравнения (0.17), выходящих из точек (а;, 0), с характеристикой АС.

Вопрос однозначной разрешимости задачи 2.1 эквивалентно сводится к разрешимости интегрального уравнения Вольтерра второго рода.

Теорема 2.1. Пусть

1. 7l(*) Є #^Al(J) П C²(J) , 0 < Л! < 5^p - р;

2. а(ж,0), Ь(ж,0), /3(ж) Є C^J) Г) C²(J), а(ж, 0) ^ 0, /3(ж) ^ 0 Ух є J;

3. с(х) Є Щ{1) П C²(J), 0 < Л < і;

_л. а — 1 3 4- а 1 , „ , „

4) —|— < Р < -^-, 5 < 2> ^А\А₂ 7^ 0.

Тогда задача 2.1 имеет единственное решение.

Задача 2.2. Найти решение и(х,у) уравнения (0.17) в области D при а = 1 из класса и(х,у) Є C(D) П C²(D) П H^J), удовлетворяющее краевым условиям

lim [а(ж, y)w_y + 6(ж, г/)гі] = с(ж) \/ж Є J,

3/-+-0

Лі (i?₊« [Є₀(і)]) (х) = А₂ {iS+PQMt, -0)) (х) + 72^) Уж Є J,

где Оо(ж) — точка пересечения характеристик уравнения (0.17), выходящих из точек (ж, 0), с характеристикой АС.

Решение задачи 2.2 сводится к разрешимости интегрального уравнения Вольтерра второго рода.

Теорема 2.2. Пусть

4. а(ж,0), Ь(ж,0), (3(x)eC^l(J)nC²{J), а{х_: 0) ^ 0, /?(ж) ^ 0 Ух Є J;

5. с(ж) Є tf₀^A(J) П C²( J), 0 < Л < і;

6. ₇₂(ж) є Я₀^Л2[0,1], 0 < р < А₂ < 1;

7. АіА₂^0.

Тогда задача 2.2 однозначно разрешима.

Задача 2.3. Найти решение и(х,у) уравнения (0.17) в области D при а = -1 из класса и(х,у) Є С(>) П С²(>) П VK(J), удовлетворяющее краевым условиям

lim [а(ж, у)и_у + &(ж, ?/)w] = с(х) Ух Є J,

2/->-0

Л_1ЯН (iJJ'-¹-^ [Є₀(*)]) (я) =

2 (/о+

1+Р,0,-(р+в+

^Ні,-0))(х) + 7з(ж) V.TG J,

где 0о(ж) — точка пересечения характеристик уравнения (0.17), выходящих из точек (ж, 0), с характеристикой АС. Теорема 2.3. Пусть

8. а(ж,0), Ь(ж,0), /?(:r)GC^)nC²(J), а(ж, 0) ^ 0, /?(ж) ^0 Уж є J;

9. с(ж), ₇з(ж) Є Я₀^Лз(7), с(0) = 0, тз(0) = 0,

3) ЛіДг^О.

2'

Тогда задача 2.3 однозначно разрешима.

В п. 2.2 рассмотрены две задачи для уравнения (0.17) при \а\ < 1, содержащие два краевых условия с операторами дробного инте-гродифференцирования, в области D = D\ U J U D₂, ограниченной характеристиками

Ж7_і:ж-|- = 0, ВСігя + І^І,

АС₂:х

0, ВС₂:ж + |- = 1_;

гдеА(0,0), 5(1,0), D_l = Dn(y>0), D₂ = Dn{y<0).

в^)])(*)+ +А₂ (l^^+au_y{t, -0)) (ж) = _gi(x) Уж є J,

Ai (I^a^~^a'^~\

Задача 2.4. Найти решение и(х,у) уравнения (0.17) в области D при \а\ < 1 из класса и(х,у) Є C(.D) П C²(D\J), удовлетворяющее краевым условиям

0+

^{^(/ГГ^^'-^^и^м])^)}

₊

+В₂ (і^а^и_у{і, +0)) (ж) = g₂(x) Уж Є J

и условию сопряжения

lim и_у(х,у) — lim u_y(x_:y) Уж Є J.
г/->-о z/->+o

Единственность решения задачи 2.4 доказывается на основании принципа экстремума для гиперболических уравнений и свойств дробных производных, а существование решения сводится к разрешимости характеристического сингулярного интегрального уравнения на конечном отрезке

і
71^) + -/^^ = /(^), (0-18)

7Г J 1-Х 0

ц(х) = х^и(х), v(x) = и_у(х, —0) = и_у{х, +0), (0.19)

f(x) = xi (. {-jfc (ti^n) (*)+

+5^-^ «})<*> ⁽⁰²⁰⁾

^гД^е 7i, 72, fcj ( = 1,4) — известные константы. Теорема 2-4- Пусть

1) 7?+ 7? 7^0;

1) /(ж) Є Я^Л-5[0,1], Л₀ = mm

3 + а 3 — а
Ai, А₂, — а, — а

Тогда при х — ~ 1 для разрешимости уравнения (0.18) в классе Н^х[0,1] необходимо и достаточно, чтобы

[ х~^{1 - x)-^f(x)dx = 0,

1 . 72 _л 1 , 72

До = —arctg—, ці — 1 arcrg—.

7Г 7i тг 7i

При выполнении этого условия единственное решение уравнения (0.18) имеет вид

*>^-^/(?Г(й)"л_{л (МЦ}

о Теорема 2.5. Пусть

1) А_гА₂ > 0, В_ХВ₂ > 0, ⁺ ^' + а > 0,0 < ~'^' + а < 1,

у/7Г А₂ V^ , Д

2Г(^) Лі '2Г(^) Bi

_{'з+а,~їг> '^fcr + ^ >;}

2) gi(x)eC^\j)r\C²(J),i = l_:2,
l_l2{l) = 0_]

3) lim u_y(x, у) Є Я^А (x*; [0,1]V О < Л < 1.

Тогда задача 2.4 имеет единственное решение и(х, у); v(x) определяется из равенства (0.19), функция fi(x) имеет вид (0.21), f(x) соответствует условию (0.20).

Далее рассматривается задача 2.5, которая отличается от задачи 2.4 тем, что в краевых условиях еще дополнительно присутствуют множители степенного характера.

Сведение к сингулярному интегральному уравнению и доказательство существования решения

Изучение краевых задач для уравнений гиперболического и смешанного типов составляет содержание одного из важнейших разделов современной теории дифференциальных уравнений с частными производными. Этот класс уравнений имеет разнообразные приложения в газовой динамике трансзвуковых течений [59], [62], магнитной гидродинамике [19], теории оболочек [9], теории бесконечно малых изгибаний поверхностей [4], математической биологии [37, теории лазерного излучения [35].

Основы теории краевых задач для уравнений гиперболического и смешанного типов заложены в известных работах Ф. Трикоми [57], С. Геллерстедта [64],[65], Ф.И. Франкля [59],[60]. Далы іейшее развитие исследований представлено в работах М.А. Лаврентьева, А.В. Бицадзе, К.И. Бабенко [3], СП. Пулькина, М.М. Смирнова и других авторов.

Исследования уравнений с переменными коэффициентами содержат громоздкие вычисления, в связи с чем М.А. Лаврентьев и А.В. Бицадзе предложили новую модель уравнений [7],[23] (уравнение Лаврентьева - Бицадзе) ихх + sgny -Uyy = 0. Изучению еще одного класса задач, а именно задач со смещением, посвящены работы В.И. Жегалова [15],[16] и A.M. Нахушева [30], [31],[34], [36]—[38]. В постановке этих задач, в отличие от задачи Трикоми, краевое условие связывает значения решения уравнения или его дробной производной в точках, расположенных на характеристиках разных семейств и на линии вырождения уравнения. Краевые задачи как с локальным, так и нелокальным смещением для гиперболического и смешанного типов уравнений были объектом исследования многих авторов. Отметим работы В.Ф. Волко-давова [10],[11], М.М. Смирнова [54],[55], М.С. Салахитдинова [51], Т.Д. Джураева [14], Е.И. Моисеева [27],[28], С.К. Кумыковой [21],[22], О.А. Репина [44],[46],[48],[49], К.Б. Сабитова [50], Л.С. Пулькиной [42], [43], Р.С. Хайруллина [61], Ф.Г. Мухлисова [29], Н.Б. Плещин-ского [40] и других. Краевые условия в первых работах по изучению задач со смещением содержали интегралы и производные дробного порядка Римана - Лиувилля. В последующих публикациях в постановке задач применялись операторы, введенные Э. Лавом [66], А. Мак-Брайдом [68], М. Сайго [69], которые являются обобщением классических операторов Римана-Лиувилля. Краевые задачи, содержащие эти операторы, исследовались в работах М. Сайго [69]-[73], М.М. Смирнова [56], А.А. Килбаса и О.А. Репина [18], Д. Аманова [1], [2], СИ. Макарова [26] и других авторов. Остановимся на нескольких работах, которые послужили основой исследований настоящей диссертации. В работе [17] И.Л. Кароль представил одно из первых исследований краевых задач для уравнения смешанного типа второго рода. Для уравнения ихх + sgn у\у\т -Uyy = 0 (0 т 1) автор доказал существование и единственность решения задачи Три-коми в случае, когда граница эллиптической части смешанной области является так называемой" нормальной кривой". Решение данной задачи при у 0 является регулярным, а при у 0 - обобщенным-решением из класса . В работе [39] З.А. Нахушевой исследована задача Трикоми для уравнения Лаврентьева-Бицадзе в смешанной области, ограниченной кривой Жордана при у 0 и характеристиками уравнения при у 0. Решение задачи, постановка которой содержит операторы Римана - Лиувилля, сводится к разрешимости сингулярного интегрального уравнения. М.Е. Лернер и О.А. Репин в работе [25] для уравнения Утихх + иуу = 0 (т -1) в бесконечной области D, ограниченной при у 0 полупрямыми х = 0, х = 1 и отрезком прямой у = 0, исследовали задачу с нелокальным условием и(0,у)-и(1,у) = рі(у), у 0 и локальными краевыми условиями их(0,у) = Ы, У 0; и(х,0) = т(х), 0 х 1; lim и(х, у) = 0, 0 х 1. у-юо Решение задачи получено методом разделения переменных, а его единственность доказана с использованием принципа экстремума. В работе [47] О.А. Репиным изучена задача Трикоми для уравнения sgny\y\m ихх + иуу = 0 (га 0) в бесконечной области D, эллиптическая часть которой — полуполоса {(х, у)\, 0 х 1, у 0}, а гиперболическая часть ограничена характеристиками АС и ВС, А(0, 0), 5(1,0). Постановка задачи содержит краевые условия Доказательство единственности решения поставленной задачи проводится с помощью вспомогательных функций (методом "abc"), а решение строится методом разделения переменных и применения преобразования Ганкеля. Цель работы. Целью работы является: 1. Постановка и исследование новых нелокальных краевых задач для уравнений Геллерстедта и Бицадзе-Лыкова в ограниченных и неограниченных областях. 2. Выявление случаев, допускающих возможность получения решений рассмотренных задач в явном виде. 3. Определение условий на параметры операторов дробного инте-гродифференцирования, па заданные функции и действительные постоянные, которые дают возможность наиболее широко охватить класс рассмотренных в работе задач.

Сведение к сингулярному интегральному уравнению и доказательство существования решения задачи

Для модельного уравнения смешанного типа (уравнения Гел-лерстедта) с вырождением первого и второго рода в явном виде получено решение новых задач со смещением, краевые условия которых содержат линейную комбинацию обобщенных операторов дробного интегродифференцирования с гипергеометрической функцией Гаусса в ядре. При этом представлен широкий спектр изменения функций и констант, входящих в краевые условия.

Для уравнения влагоперсиоса (уравнения Бицадзе-Лыкова) доказаны теоремы существования и единственности решений нелокальных задач, содержащих производные и интегралы дробного порядка в смысле М. Сайго. Выявлены условия, при которых справедлив принцип экстремума.

Развита методика сведения краевых задач со смещением к разрешимости интегральных уравнений Фредгольма и Вольтерра второго рода или сингулярных интегральных уравнений с ядром Коши. Положения, выносимые на защиту. В диссертации получены следующие основные результаты: 1. Поставлены и исследованы новые нелокальные задачи со смещением для уравнения Геллерстедта с вырождением первого и второго рода с обобщенным оператором дробного интегродифференцирования М. Сайго в краевых условиях для ограниченных и неограниченных областей. 2. Установлены значения параметров операторов, входящих в краевые условия, для которых справедливы теоремы существования и единственности решения рассмотренных задач. 3. Для уравнения Бицадзе-Лыкова изучены новые нелокальные задачи, краевые условия которых содержат линейную комбинацию операторов дробного интегродифференцирования в смысле Римана-Лиувилля и М. Сайго. 4. Доказаны теоремы существования и единственности решения рассмотренных задач методом редукции к интегральным уравнениям Вольтерра и Фредгольма второго рода или сингулярным интегральным уравнениям с ядром Коши. Апробация результатов. По теме диссертации опубликовано 11 работ. Основные результаты исследований представлены и доложены на - ежегодных научных межвузовских конференциях "Математическое моделирование и краевые задачи" в 2005 - 2007 годах (Самара, СамГТУ); - международной конференции "Современные методы физико -математических паук" в 2006 году (Орел, ОГУ); - V Школе молодых ученых "Нелокальные краевые задачи и проблемы современного анализа и информатики" в 2007 году (Нальчик - Эльбрус); - международной конференции, посвященной 100-летию со дня рождения академика И. Н. Векуа "Дифференциальные уравнения, теория функций и приложения" в 2007 году (Новосибирск, НГУ); - всероссийской научно - практической конференции, посвященной 100-летию со дня рождения СП. Пулькина "Интегративный характер современного математического образования" в 2007 году (Самара, СГПУ); - международном Российско - Азербайджанском симпозиуме "Уравнения смешанного типа и родственные проблемы анализа и информатики" в 2008 году (Нальчик - Эльбрус); - международной научной конференции "Дифференциальные уравнения и смежные проблемы" в 2008 году (Стерлитамак, США); - XII международной научной конференции им. академика М. Кравчука в 2008 году (Киев), - научном семинаре кафедры "Дифференциальные уравнения" Казанского государственного университета в 2009 году (руководитель д. ф.-м. н., профессор В.И. Жегалов). Автор выражает глубокую благодарность научному руководителю - профессору, доктору физико-математических наук Олегу Александровичу Репину за постановку задач, ценные советы, постоянное внимание к работе и поддержку. Перейдем к краткому изложению содержания диссертационной работы, которая состоит из введения, вводных сведений и двух глав. Первая глава посвящена изучению краевых задач для уравнения Геллерстедта (обобщенного уравнения Трикоми) В п. 1.1 поставлена и исследована нелокальная задача для уравнения (0.1) в смешанной области D при различных значениях показателя т, а также доказаны теоремы существования и единственности решения данной задачи. Область D ограничена в полуплоскости у 0 гладкой кривой Г с концами А(0,0) и .6(1,0), а в полуплоскости у 0 — характеристиками Пусть D\ = D П (у 0) — эллиптическая часть, а D2 = D П (у 0) — гиперболическая часть смешанной области -D , J — интервал 0 х 1 прямой у — 0, 6о(ж) — точка пересечения характеристик уравнения (0.1), выходящих из точек х Є (0,1), с характеристикой АС. Единственность решения задачи, которая будет сформулирована ниже при различных значениях т, для уравнения (0.1) доказывается на основе принципа экстремума А.В. Бицадзе, а существование решения задачи сводится к разрешимости характеристического сингулярного интегрального уравнения на конечном отрезке. Определение 1. Регулярным решением ]55] уравнения (0.1) в области D\ назовем функцию и(х,у), непрерывную в D\ и два-эюды непрерывно дифференцируемую в D\, являющуюся решением этого уравнения. Определение 2. Обобщенное решение уравнения (0.1) в области D2 принадлежит классу R2 [55], если У2{Х) = иу(х, —0) непрерывна и интегрируема в (0,1) и т(х) = и(х, 0) есть интеграл дробного порядка 1 — 2(3 от некоторой функции Т, непрерывной и интегрируемой на (0,1), то есть

Сведение к интегральному уравнению Фредгольма и доказательство существования решения

Подставим (1.1.79) в краевое условие (1.1.73) и преобразуем его с учетом свойства операторов интегродифференцирования (0.29). Тогда

Получим соотношение между функциями т(х) и У2{Х) для области D-i: Сформулируем принцип экстремума для задачи 1.3. Лемма 1.3. Пусть ф(х) = 0. Тогда решение и{х,у) задачи 1.3 для уравнения (0.1) при га 0 положительный максимум (отрицательный минимум) в области D\ принимает на кривой Г. Доказательство. При условии ф(х) = 0 Функция и(х,у) в области і не может достигать экстремума. Предположим, что положительный максимум в области D\ достигается в точке Р(жо,0) Є J. Учитывая, что дробные производные (D0+ Т)(Х) в точке положительного максимума строго положительны (в точке отрицательного минимума строго отрицательны) [37], при выполнении условия (1.1.75) из равенства (1.1.83) получаем, что щ{щ) 0. Последнее противоречит принципу Заремба - Жиро [8]. Следовательно, функция и(х,у) не может достигать положительного максимума в области D\ в точке P(XQ,0) Є J. Аналогично доказывается, что и(х,у) не может достигать отрицательного минимума в области D\. Из принципа экстремума следует, что задача 1.3 не может иметь более одного решения. 1.1.9 Сведение к сингулярному интегральному уравнению и доказательство существования решения задачи Положим, что контур Г является "нормальной кривой": (х Л21 4 ,/-+3 і а функция ip(x,y) допускает следующее представление р(х,у)=у2 р1{х), рг(х) Є С[0,1]. (1.1.84) Решение задачи 1.3 для уравнения (0.1) в области D\ записывается следующим образом [55]: Из равенства (1.1.85) следует соотношение между функциями т{х) и У\{х) = иу(х,+0) Ух Є J : 1 т(х) = -кі J vi(t) [\x\-213- (x + t-2xt)-w]dt + ${x), (1.1.86) Учитывая представление функции ср(х,у) (1.1.84), получим выражение для Ф(х): Исключим г (а:) из равенств (1.1.81) и (1.1.86) и положим и(х) = І(ГЕ) = 2 (ж). После преобразований с учетом свойства операторов дробного интегродифференцирования (0.31) получим Л72Г(1 - (3) - В / !_ = -АШ) (/ot+ffl "b,a+6+ V) (x) + Ф(х). (1.1.89) Применим к равенству (1.1.89) оператор D0+ и воспользуемся формулой композиции операторов дробного интегродифференцирования (0.30). В результате получим Л72Г(1 - /?) - в +D ;2" I fci / i (t) [ж - Г2" - (ж + t - 2xtyw] dt J = = -АШ )(x) + ( ;2"Ф){x) {1ЛЩ где 9(x) = (/ ).- + /3-1 (x) (1 191) Для преобразования второго слагаемого в левой части равенства (1.1.90) воспользуемся результатами работы [22]:

Сведение к интегральному уравнению Вольтсрра и доказательство однозначной разрешимости

Пусть D2 = D П (у 0), Di = D П (у 0), J — интервал 0 x 1 прямой у = 0. Є ОП) = - г{х 2 )4 и в12)(х) = + г((1 - ) ) -точки пересечения характеристик уравнения (1.3.1), выходящих из точки (ж, 0) Є J, с характеристиками АС2 и BCi соответственно (рис. 6).

Задача 1.6. Найти решение уравнения (1.3.1) в области D из класса и(х,у) є C(D) П C2{D\ U D2), удовлетворяющее краевым условиям +А2 [la0- l 2l5-l a-luy{t, -0)) (х) = (х) Ух Є J, (1.3.2) Яі (/ 1-1-1 2 )]) (д0+ B2 ГРі+ІА+2(і1 1Л-аі-1иу(і, +0)) (ж) = р2(х) Ух Є J (1.3.3) и условию сопряжения lim иу(х: у) = \imuy(x,y), 2/-++0 2/-+-0 (1.3.4) п где A\ 0, Л2 0, В\,В2 — ненулевые действительные константы одного знака; га А = /3 2га+ 4 1 2п + 4 -/? а 1 - /3, Ь 1, -А аі 1 - А, Ьі 1. (1-3.5) Pi(x) и p2{x) - такие заданные функции, что ірі(х) Є #Al(J), 0 а + /3 Аі 1, р2(ж) Є HX (J), 0 ai + /?i A2 1. Пусть т2(х) = u(x, -0), Ti(a;) = и(ж, +0), v2{x) = l\mQUy(x,y), vx(x) = Ътиу{х,у). Решение задачи Коши [8] для уравнения (1.3.1) в области D2 имеет вид (1.1.77), а значение U[QQ (Х)] определяется равенством (1.1.79). Из решения задачи Коши для уравнения (1.3.1) в области D\ і Ф,у) = Щ /тг [х + (1 - 2«)(1 - 2А)У ] ( (1 - )Г(1_Л) dt+ Г2(А 2 Vn + 2y/ Г2(1-А Подставим значения W[0Q ( )] и w[@i ( )] из (1-1-79) и (1.3.6) в краевые условия (1.3.2), (1.3.3) и применим свойство дробных операторов (0.28). После преобразований имеем л1Ъг(р) (т -1-» )) ( ) + -(Л172Г(1 - р) - А2) (ll- 2 -l-%2{t)) (х) = (х), (1.3.8) 5і73Г(А) (С 1 1-1-01 )) (х) +(Бі74Г(1 - /) + В2) Н-і-АЛ+гА- -і-і щ) (х) = ). (1.3.9) Подействуем на обе части равенств (1.3.8) и (1.3.9) операторами і0+ и ijj соответственно и с учетом свойства (0.28) получим r2(z) = Ал (/о1;2 )) ( ) + 91 (я), (1-3.10) П(а;) = /с2 (/t2fti/i(t)) (ж) + (s), (1.3.11) _ А172Г(1 - J3) - А2 В11АТ{1 - /) + 2 1 Л171Г(/?) 2 Б17зГ(А) 92{Х) = В Ш { - -Wt)) (х). (1.3.12) Применим к обеим частям равенств (1.3.10) и (1.3.11) операторы D0+ и Dl_ соответственно и воспользуемся свойствами (0.30) и (0.36) операторов Римаиа - Лиувилля. Теперь положим т{х) = т\(х) = т2{х) и выпишем следующие соотношения х) = H ( ;2/Ч )) ( ) - ( 5ї2 і( )) ( )} (L3-13) W = { (D{-201T(t)) (х) - (D\Z 92{t)) (х)}. (1.3.14) Из принципа экстремума для гиперболических уравнений [63] следует, что положительный максимум (отрицательный минимум) функции и(х,у) достигается в областях D\ и D2 в точке ( 0)0) Є J. Заметим далее, что дробные производные в точке положительного максимума строго положительны [33] (в точке отрицательного минимума строго отрицательны). Тогда из соотношений (1.3.13) и (1.3.14) при gi(x) = д2(х) = 0 следует, что v2{xQ) 0 (1/2(0) 0), a v\(хо) 0(щ(хо) 0), что противоречит условию сопряжения (1.3.4). Это, в свою очередь, доказывает единственность решения задачи 1.6.

Похожие диссертации на Нелокальные краевые задачи для модельных уравнений смешанного и гиперболического типов

Спектральные вопросы задачи Франкля для уравнения смешанного типа и разрешимость аналога этой задачи для уравнения ГельмгольцаАмбарцумян Ваграм Эдвардович

Нелокальные краевые задачи для уравнений смешанного типа третьего и четвертого порядковРустамова Людмила Рустамовна

Задачи типа Геллерстедта для уравнений смешанного типа с нелокальным интегральным условием сопряженияСкороход, Анна Владимировна

Асимптотические решения бисингулярных задач для уравнений параболического типаКапустина, Татьяна Олеговна

Решение краевых задач для уравнений смешанного типа методом спектрального анализа Хасанова Светлана Леонидовна

Резонансные краевые задачи для уравнений эллиптического типа с разрывными нелинейностямиВинокур Вадим Вильямович

Разрешимость краевых задач для уравнений смешанного типа высокого порядкаЧуешев Александр Викторович

Разностные методы решения краевых задач для уравнений параболического типа с дробной производной в граничных условиях Худалов Марат Захарович

Разностные методы решения нелокальных краевых задач для уравнения параболического типа с вырождением Олисаев Эльбрус Георгиевич

Задача Дирихле и видоизмененные задачи для уравнений смешанного типа с характеристическим вырождениемТрегубова (Сулейманова) Альбина Хакимьяновна